Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán đã mở khóa

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC... Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN VẤN ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH TỨ DIỆN KHÓ

1 Tứ diện S.ABC có SA a SB b SC c ,  ,  và ASB̂= α, BSĈ= β, CSÂ=φ:

SABC

S S V

a



 (Công thức thể tích góc nhị diện)

4 Tứ diện S.ABC có SA a SB b SC c ,  ,  và ((SAB),(SAC)̂ ) , ASB̂= β, ASĈ=φ thì

. sin sin sin6

ABCD

V  a b c b  c a a  c b (Thể tích tứ diện gần đều)

VẤN ĐỀ 2: GÓC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Góc loại 1: (SA,(P) ̂ ) = SAĤ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy)

2 Góc loại 2: (SB,(SIC)̂ ) = BSF ̂ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SI)

3 Góc loại 3: (SK,(SDE)̂ ) = KSG ̂ (Góc giữa đường cao SK và mặt bên SDE ) 

VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1 Góc loại 1: ((SAB),(P)̂ ) = SCD̂ (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy)

2 Góc loại 2: ((SAB),(SCD)̂ ) = KSJ ̂ (Góc giữa hai mặt bên có hai cạnh song song AB và CD)

3 Góc loại 3: ((SMN),(SHN)̂ ) = OPM ̂ (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SH)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAABCD và SC2a Tính thể tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Như vậy SBĈ= SDC ̂ = SAĈ 90 Các đỉnh A, B, D cùng nhìn cạnh SC dưới một góc vuông

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

D

SA

R R  Các vấn đề cần chú ý về R (bán kính D

đường tròn ngoại tiếp mặt đáy):

1 Nếu đáy là tam giác vuông thì 1

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD SA, 2a và ABCD là hình chữ nhật với đường chéo có

độ dài bằng a 5 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SAABCD, SA2a và ABC vuông tại A, BC2a Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SAABC SA, 2a à ABC cân tại A, AB a , BAĈ 120  Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt cầu loại 3: Nếu O ABC là tam diện vuông tại O thì 2 1 2 2 2

4

R  OA OB OC

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau Biết SA a SB , 2a và SC3a

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có các cạnh bên bằng nhau (hình chóp đều) thì

2

SA R SO

 Trong đó O là tâm của

đáy và:

1 Nếu đáy là tam giác đều thì O là trong tâm, trực tâm

2 Nếu đáy là tam giác vuông thì O là trung điểm cạnh huyền

3 Nếu đáy là hình vuông, hình O là giao điểm hai đường chéo và là trung điểm mỗi đường

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với AB a SA , 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

trong đó AB là giao tuyến

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SAB đều và ằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

R   Giao tuyến của SAB và  ABCD là  AB a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được tính theo công thức:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Biết SAB  ABC, SAB cân

tại S và SA2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

    là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là 2 2 3 3

Giao tuyến của SAB và ABC là AB a

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được tính theo công thức:

2 2

VẤN ĐỀ 5: NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VỀ ĐA DIỆN ĐỀU

VẤN ĐỀ 6: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT TRỤ, HÌNH NÓN VÀ KHỐI TRỤ

1 Hình 1:

* Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R

* Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB2R và AD h Nếu thiết diện qua trục

5 Hình 5: Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng

đường chéo của hình trụ Nghĩa là: Đường chéo hình vuông bằng 2 2

* Nếu h là chiều cao của hình nón ban đầu thì ta có tỉ số: r x

R h

* Thiết diện chứa trục là một tam giác cân

* Nếu tam giác đó vuông cân thì h R Nếu tam giác đó là tam giác đều thì hR 3

2 Hình 2:

+ Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân SAB:

+ (SO,(SAB)̂ ) = OSM ̂ , ((SAB),(ABC)̂ ) = SMÔ

+ Nếu M là trung điểm của AB thì ABSMO

VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN



C 125  3

dm4



D 125  3

dm3



Lời giải

Gọi ,V V và C C lần lượt là thể tích tối đa của bể nsuôi cá có thể chứa, thể Ch

tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích khối chỏm cầu bị cắt bỏ

HDedu - Page 7

Ví dụ 1: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng được khối  H như hình vẽ bên

Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ

điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy

nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (hình vẽ) Tính thể tích của  H

d R

Ví dụ: Một sân chơi trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 m và

chiều rộng bằng 60 m Người ta dự định làm một con đường

nằm trong sân như hình vẽ Biết rằng viền ngoài và viền trong

của con đường là hai đường elip Elip của đường viền ngoài có

trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh của hình chữ

nhật và chiều rộng của mặt đường là 2 m Kinh phí mỗi m 2

làm đường là 600.000 đồng Số tiền làm con đường đó là:

VẤN ĐỀ 9: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA OXYZ

Xác định điểm thông qua hệ thức vector:

ta được x M Tương tự như vậy nếu nhập y y ta được A, B y và nhập M z z ta được A, B z M

Xác định tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác:

1 Tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ: . 0; . 0

2 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Chân đường phân giác trong D của góc A: bDB cDC 0

3 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Chân đường phân giác ngoài E: bED cEC 0

4 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Tâm nội tiếp: aIA bIB cIC  0

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng:   1 2

1 2

, ,

Mối quan hệ song song và vuông góc:

1 Mối quan hệ song song: P P//  n n d d, //  u u P d, //  n u

2 Mối quan hệ vuông góc: PP n n d,   d u u P,   d n u

Nếu d  P u u A B, ,   P n AB

3 Mối quan hệ vuông góc của 2 cặp vector: ab a,     c a b c, 

Tương giao mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng  P ax by cz d:    0 và mặt cầu     2  2 2 2

S x x  y y  z z R

1 Trường hợp 1:  P không cắt  S nếu d I P ;  R

2 Trường hợp 2:  P tiếp xúc với  S nếu d I P ;  R và khi đó tiếp điểm sẽ là hình chiếu vuông góc

của tâm I trên mặt phẳng  P

3 Trường hợp 3:  P cắt mặt cầu S theo một đường tròn giao tuyến khi d I P ;  R Khi đó tâm đường

tròn sẽ là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng  P đồng thời bán kính r của đường tròn thỏa

mãn hệ thức:     2

R r  d I P 

Tương giao đường thẳng và mặt cầu:

1 Đường thẳng d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi d I d ;  R

2 Chú ý 1: Hệ thức liên hệ     2

;4

R  AB  d I d 

3 Chú ý 2: Nếu ABI vuông cân thì R 2d I d ;  

4 Chú ý 3: Nếu ABI đều thì 2    

;3

1 Nếu M là trọng tâm tam giác ABC thì: a3x M,b3y M,c3z M

2 Nếu M là trực tâm của tam giác ABC thì OM n P

3 Nếu V O ABC. min thì M là trọng tâm của tam giác ABC

4 Nếu 12 12 12

OA OB OC min thì M là trực tâm của tam giác ABC

5 Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là ; ;

R a b c

Chú ý về tam diện vuông: Tổng bình phương diện tích các mặt bên bằng bình phương diện tích mặt còn

lại: S OAB2 S OBC2 S OCA2 S2ABC

VẤN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG OXYZ

1 Viết  P chứa d sao cho (d',(P)̂ ) lớn nhất: n P  u d,u u d, d

2 Viết d nằm trong  P sao cho (d,̂ ) nhỏ nhất: d' u d n P,n u P, d

3 Viết  P chứa d sao cho ((P),(Q)̂ ) nhỏ nhất: n P  u d,u n d, Q

4 Viết d nằm trong  P và qua A sao cho d M d , nhỏ nhất: u d  n P,n AM P, 

5 Viết  P chứa d sao cho d M P ,   lớn nhất: n P  u d,u AM d,  với A bất kỳ trên d

6 Viết d nằm trong  P và qua A sao cho d M d , lớn nhất: u d n AM P, 

4 z là một số thực nếu zz và z là một số thuần ảo nếu z z

5 Nếu az2bz c 0với , ,a b c có hai nghiệm phức thực sự z z thì đây là hai số phức liên hợp của 1; 2nhau, đồng thời z12 z22 z z1 2 c

1sin

Trên máy tính cầm tay, sử dụng phương thức EQN: w5để giải hệ phương trình này Ấn w52

và nhập các hệ số của hệ phương trình Ta tìm được nghiệm A1,B 5,C5

Trên máy tính cầm tay, sử dụng phương thức EQN: w5để giải hệ phương trình này Ấn w52

và nhập các hệ số của hệ phương trình Ta tìm được nghiệm A 4,B5,C 2

12 va t dt : Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc theo thời gian

13 b  d

a

s v t t : Quãng đường là tích phân của vận tốc giữa hai thời điểm t a và t b

Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t 5t1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:

x x

Ví dụ: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x0 và x2, biết rằng khi cắt vật

thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x0 x 2 thì ta được thiết diện là một phần tư hình tròn có bán kính bằng 2

5

2 4

A 122,776 (mét) B 122,767 (mét) C 122,677 (mét) D 122,771 (mét)

Lời giải

Ta có 1  

5020

Ví dụ: Tính diện tích mặt tròn xoay khi 2  2

9y x 3x với 0 x 3 quay quang trục Ox

 

  

01

m m

  

  

39

m m

m

m m

Đáp án D

4 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số bậc ba

yf x ax bx  cx d là y mx n  trong đó mx n là dư thức trong phép chia f x cho   f x  

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

  lập thành cấp số nhân nếu 1 nghiệm là 3 d

x a

 

Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 3:

1 Để xác định của a ta chú ý đến hình dáng của đồ thị hàm số Đồ thị đi lên ở bên phải thì a0. Đồ

thị đi xuống ở bên phải thì a0

2 Để xác định dấu của b ta chú ý vào vị trí của điểm uốn và hoành độ tương ứng là

3

b x a

Hình dáng đồ thị cho dấu

của tham số a

O

HDedu - Page 19

3 Để xác định dấu của c ta xét tích hai hoành độ cực trị 1 2

1 Điều kiện có ba cực trị: ab0 ( ,a b trái dấu)

Ví dụ: Giá trị của tham số m để hàm số 4 2 4

2 Luôn có 1 cực trị là A 0;c và hai cực trị còn lại đối xứng qua trục tung

3 Tam giác tạo thành ba cực trị có các tính chất dưới đây:

* Tam giác ABC vuông cân tại A khi 3

 bán kính đường tròn nội tiếp: r 2S

a b c



  (với a,b,c là độ dài

các cạnh của tam giác

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x4 m2015x22017 có 3 cực trị tạo

thành tam giác vuông cân tại A

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4   2

y x  m x  có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120

9 100

b a c a

3139

m m m

5 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần trên và diện tích phần dưới

bằng nhau khi và chỉ khi

2

2

00

5 36

b a c a

99

m

m m

2 Tiếp tuyến với tiệm cận:

* Tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm

  với I là giao 2 tiệm cận

* Diện tích tam giác IAB không đổi: S IAB 22 ad bc

Đặc biệt chú ý: Điểm M thỏa mãn một trong các yếu tố: Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất/ Chu vi tam

giác IAB nhỏ nhất/ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/ Khoảng cách từ I tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất thì điểm M đó phải thỏa mãn tính chất: IA IB  y x' M 1

3 Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:

ab còn nếu bên phải thì ab0

VẤN ĐỀ 16: ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT

+ Hàm số yloga x có tập xác định D0;, tập giá trị E

+ Đồ thị hàm số yloga x luôn đi qua điểm I 0;1 và có tiệm cận ngang là trục hoành Oy

Loại 3: Đồ thị hàm số lũy thừa

+ y x có tập xác định D nếu  ,D \ 0  nếu   và D0;nếu 

+ Đồ thị hàm số y x  luôn đi qua điểm I 1;1

VẤN ĐỀ 17: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT CƠ BẢN CẦN BIẾT

1 Bài toán 1: Đem số tiền a đi gửi ngân hàng thu được số tiền P a 1r%n

Ví dụ 1: Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58.000.000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được 61.329.000 đồng Khi đó lãi suất hàng tháng là

Nếu a3863151 đồng thì thì số tiền người đó nhận được sau 2 năm là

Như vậy nếu hàng tháng gửi 3863151 đồng thì sau 2 năm chỉ nhận được gần 100 triệu đồng Vậy nên đáp

án phải là 3863152 đồng (thà gửi dư chứ không thể gửi thiếu)

ax bx c  có hai nghiệm phân biệt âm khi  0,S0,P0

ax2bx c 0 có hai nghiệm trái dấu khi P0

4 2

0

ax bx c  có hai nghiệm phân biệt x1x2  khi  0,x1 x2   0,x1x2 

ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt  x1x2 khi  0,x1 x2   0,x1x2 

2

0

ax bx c  có hai nghiệm phân biệt x1  x2 khi  0,x1 x2   0

5 mf x  có nghiệm trên D khi min  ; max   ;  