Đại số giải tích 11 học kì 1 năm 2020 2021

Phương trình bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác .... HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCDạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác  Phương pháp giải.. Hãy tìm tập xác định D của hàm số

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 1

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3

Dạng toán 1 Tìm tập xác định 3

Dạng toán 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 8

Dạng toán 3 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác 18

Dạng toán 4 Tìm chu kỳ của hàm số lượng giác 20

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 21

§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 41

Dạng toán 1 Phương trình bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác 41

Dạng toán 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos (cổ điển) 51

Dạng toán 3 Phương trình lượng giác đẳng cấp 56

Dạng toán 4 Phương trình lượng giác đối xứng 59

Dạng toán 5 Một số dạng toán khác 62

§ 4 ÔN TẬP CHƯƠNG 1 67

Chương 2 TỔ HỢP & XÁC SUẤT 79

§ 1 CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 79

§ 2 HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 91

Dạng toán 1 Các bài toán liên quan đến hoán vị 91

Dạng toán 2 Các bài toán liên quan đến tổ hợp và chỉnh hợp 96

Dạng toán 3 Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến , k, k n n n P C A 105

§ 3 NHỊ THỨC NEWTON 111

Dạng toán 1 Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển Newton 112

Dạng toán 2 Chứng minh hoặc tính tổng 121

Dạng toán 3 Tìm số hạng hoặc hệ số dạng có điều kiện (kết hợp dạng 1, 2) 129

§ 4 BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 141

Dạng toán 1 Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn đồ vật 143

Dạng toán 2 Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn người 147

Dạng toán 3 Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn số 152

Dạng toán 4 Xác suất liên quan hình học 158

§ 5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 165

Chương 3 DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 171

§ 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 171

§ 2 DÃY SỐ 175

§ 3 CẤP SỐ CỘNG 183

§ 4 CẤP SỐ NHÂN 197

ĐỊA CHỈ GHI DANH

 TRUNG TÂM THẾ VINH – 45A LÊ THÚC HOẠCH – Q TÂN PHÚ (ĐỐI DIỆN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ)

 TRUNG TÂM HOÀNG GIA – 56 PHỐ CHỢ – P TÂN THÀNH – Q TÂN PHÚ (SAU CHỢ TÂN PHÚ)

 71/25/10 PHÚ THỌ HÒA – P PHÚ THỌ HÒA – Q TÂN PHÚ – TP HỒ CHÍ MINH

ĐIỆN THOẠI GHI DANH

 0983.047.188 – Zalo (Thầy Nguyễn Đức Nam) – Face: https://www.facebook.com/marion.zack/

 0933.755.607 – Zalo (Thầy Lê Văn Đoàn) – 0929.031.789 – Face: https://www.facebook.com/levan.doan.902

NHÓM TOÁN THẦY LÊ VĂN ĐOÀN

Ths Lê Văn Đoàn – Ths Trương Huy Hoàng – Ths Nguyễn Tiến Hà – Thầy Bùi Sỹ Khanh – Thầy Nguyễn Đức Nam – Thầy Đỗ Minh Tiến – Thầy Nguyễn Duy Tùng – Thầy Trần Nguyễn Vĩnh Nghi – Thầy Hoàng

Minh Thiện – Thầy Trần Quốc Tuấn

THỜI KHÓA BIỂU CÁC LỚP TOÁN ĐANG HỌC

KHỐI 6 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật

KHỐI 7 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật

KHỐI 8 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật

KHỐI 9 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật

KHỐI 10 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật

T12C T12A1

T12A2 T12HG1

T12C T12A1

T12A2 T12HG1

T12C T12HG2

Lớp chuyên

đề VD và VDC

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

2 Công thức lượng giác cơ bản

3 Cung góc liên kết

O

-1 -1

1

1

3π 2 π

π 2

sinx

cosx

(IV) (III)

4 Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin b cos(a b)cosacosbsinasin b

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

f x

f x



sin ( )

f x



 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

1

( )

P x

2

1

( )

n

P x

 (cĩ mẫu khơng ?, cĩ tan, cot khơng ? cĩ căn khơng ?)

0

A

A B

B

 



2

2













cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                       tan 0 tan 1 4 tan 1 4 x x k x x k x x k                       

cot 0 2 cot 1 4 cot 1 4 x x k x x k x x k                          BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: tan 2 sin cos 1 x y x x    2 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: cos 3 tan 1 sin x y x x    Điều kiện: cos 1 0 cos 1 cos 2 0 cos 2 0 x x x x                     2 2 2 2 4 2 x k x k k x k x                                       (k  ) Tập xác định: \ 2 ; ( )

4 2 k k   k                       D

Đáp số: \ , 2 k k                      D

3 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng

x y

x





4 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng

y

x



Đáp số: \ , 4 2 k k                      D

Đáp số: \ , 2 k 4 k                       D

5 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 2 3 2 tan cos sin y x x x    6 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 1 1 sin cos y x x   

Đáp số: \ ; 4 2 2 k k                       D

Đáp số: \ , 2 k k                    D

7 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 2 sin cos 1 x y x     8 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 1 1 sin y x    Vì 1 sin 1 2 sin 0 1 cos 1 cos 1 0 x x x x                       Hàm số xác định khi 2 sin 0 cos 1 x x    cosx 1 0     cosx  1 2 ( ) x  k  k      Tập xác định: D  \ {k2 ,  k }

Đáp số: D \ { / 2 k2 ,  k }.

9 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng

x y

x





10 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng

x y

x





Đáp số: D  \ {/2k2 ,  k }.

Đáp số: D \ { /2 k2 ,  k }.

11 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: y  42 x2 cot2 x 12 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: y  2x2 cot 2 x Điều kiện: 2 2 2 2 4 0 sin 2 0 , 2 x x k x x k                            Xét , 2 2 2 k x k x             2 2 2 k k             4 4 k k          { 4; 3; 2; 1;0} k       3 2 ; ; ; ;0 2 2 x                        TXĐ: 3 ( 2 ;2 ) \ ; ; ; 0 2 2                    D

Đáp số: D  (  ; ) \ {/2;0}

13 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 2 2 sin 2 x y x     14 Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng giác: 2 4 2 cos 2 x y x    

Đáp số: D  (  ; ) \ {/2; 0}.

Đáp số: D  [ /2; /2] \ { /4}.

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1 (THPT Chuyên Bắc Ninh) Hàm số 2 sin 1

x y

x





A x k B x k 2

2

x   k 

D

2 x   k 

Câu 2 (THPT Hùng Vương – Bình Phước) Hàm số 1 3 cos sin x y x   xác định khi A x k B. x k 2 C 2 k x    D

2 x  k   

Câu 3 (THPT Yên Mỹ – Hưng Yên) Tập xác định của hàm số 1 cos sin 1 x y x    là A \ 2 k                   B \ 2 2 k                   C \ { }.k D \ { 2 }.k 

Câu 4 (THPT Nghĩa Hưng – Nam Định) Tập xác định của hàm số cot cos 1 x y x   là A \ 2 k                 D B \

2 k                    D C D  \ { }.k D. D  \ { 2 }.k 

Câu 5 (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng) Hàm số 1 sin cos y x x   xác định khi A x k 2 B

2 x   k  C x k D 4 x   k 

Câu 6 (THPT Kinh Môn – Hải Dương) Tập xác định của hàm số tan 2 cos x y x  là A  B. \

2 k                   C \

4 2 k                   D \ ; 4 2 2 k k                     

Câu 7 (THPT Sơn Tây – Hà Nội) Tập xác định của hàm số tan 25

x y

x





A \





 B. 

C \ 2

2 k                   D \ {k }

Câu 8 (THPT Hoài Ân – Hải Phòng) Hàm số 1 sin 1 sin x y x    xác định khi A 2 2 x    k  B x  k C 2

2 x   k  D 2 2 x    k 

Câu 9 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Tập xác định hàm số sin 2 2 1 cos x y x    là A D   B D  \ { 2 }.k  C D { 2 }.k  D D  \ { }.k

Câu 10 (THPT Tân Bình – TP.HCM) Tập xác định D của hàm số tan 2 sin 1 x y x   là A \ 2 ; 2 4 2 k k                       D B \ 4 2 k                    D C D  \ { 2 }.k  D \ ; 2 4 2 k k                       D

Câu 11 (THPT Trần Phú TP HCM) Tập xác định của hàm 1 cos cot 6 1 cos x y x x              là A 3 \ ; , 3 k 4 k k                         D B D  \ {k , k } C D  \ { 2 , k  k } D \ ; 2 , 6 k k k                       D

Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

Phương pháp 1 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác

 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

Phương pháp 2 Khảo sát parabol

Trong trường hợp hàm số cĩ dạng bậc hai theo một hàm lượng giác, ta cĩ thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đĩ khảo sát hàm này và kết luận

Kiến thức cơ bản về parabol:

b I

2

b a

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số y  5 3 cos 4 x

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

  

maxy 8

 khi cos 4x   1

miny 2  khi cos 4x  1

Đáp số: maxy 5, miny  1

3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 2 sin 2 x 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 2 sin 2 x

Đáp số: maxy 5, miny 1.

Đáp số: maxy 3, miny 1.

5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 4 cos 3 x y    6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2 1 sin 2 2 y  x

Đáp số: miny 1/3; maxy 5/3

Đáp số: miny 0,5; maxy 1

7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sinx sin(x 2 /3). 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y cosx cos(x /3) Ghi CT: sinasinb 

Đáp số: miny  1; maxy 1

Ghi CT: cosa cosb 

Đáp số: miny   3; maxy  3.

9 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

y

x



10 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

y

x



Đáp số: miny 4/3; maxy 4

Đáp số: miny 8/3; maxy 4

11 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1 cos y x     12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 2 sin 3 y x   

Đáp số: miny 1; maxy 3/(3 2).

Đáp số: miny  2/2; maxy 1.

Gặp hàm số y asinx bcosx c thì ta sẽ rút a2 b2, rồi áp dụng công thức cộng cung ngược: sin cosx cos sinx  sin(x ) và cos cosx sin sinx  cos(x ) Lưu ý Ta có thể sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng: ax by  (a2 b2)(x2 y2) 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx  3 cosx 12 14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 sinx cosx  5 Ta có: y sinx  3 cosx 12 1 3 2 sin cos 12 2 2 x x               2 sin cos cos sin 12 3 3 x  x             2 sin 12 3 x           

Đáp số: miny 3, miny 7

15 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Đáp số: miny 2, maxy 6.

Ta có: cos4x sin4x (cos2x)2 (sin2x)2 

Suy ra y  3 cos 2x sin 2x  1

Đáp số: miny  1, maxy 3

17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 sin2x 4 sinx  3 18 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos2x 2 cosx  4 Đặt sin x t thì t  [ 1;1]. Khi đó hàm số trở thành y 4t24t  là một parabol có 3 Đỉnh 1 ;2 2 I       và a  4 0 nên có BBT: t 1 1 2 1 y 11 3 2 miny 2  khi t  sinx 1/2 maxy 11  khi t  sinx   1

Đáp số: miny  5, maxy  1.

19 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos2x 2 sinx  2 20 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 4 2 cos 2 sin 1 y  x  x 

Đáp số: miny 0, maxy 4

Đáp số: miny  1, maxy 2

21 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

22 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Xét hàm số g x( ) 5 4 sinx sin2x trên 

Đáp số: miny 2, maxy  10.

Xét hàm số g x( )cos2x 6 cosx 14 trên 

Đáp số: miny 3, maxy  21.

23 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2(sin cos ) sin 2 3 y x  x  x  24 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y sinx cosx 2 sin cosx x 1 Đặt t sinx cosx  2 sin(x /4) Khi đó t  [ 2; 2] 2 (sin cos )2 t x x    

Đáp số: miny 1, maxy  4 2 2.

Đáp số: miny  2,25 và maxy  2.

25 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 sin 2x trên đoạn [0; /2] ? 26 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2x 2 trên [0; /2] ? Do 0; 2 [0; ] 2 x  x           

Đáp số: miny 2, maxy  3

Đáp số: miny 2, maxy  3.

27 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

cos

3

y  x 



28 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1 sin 2

y  x  



 

Đáp số: miny  1; maxy  0, 5.

Đáp số: miny (1 2)/2; maxy  3/2.

29 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin4x cos4x  trên 1 0; 6           30 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin6x cos6x trên ; 2 2           Ta có: sin4x cos4x (sin2x)2 (cos2x)2 2 2 2 2 2 (sin x cos x) 2 sin cos x    2 2 1 1 1 (2 sin cos ) 1 sin 2 2 x x 2 x     1 1 cos 4 3 1 1 cos 4 2 2 4 4 x x              Suy ra y 

Đáp số: miny   3/4; maxy 0.

Sử dụng: a3 b3 (ab)3 3 (ab a b) Ta có: sin6x cos6x (sin2x)3 (cos2x)3 



5 3 5 3 cos 4 cos 4 8 8 x y 8 8 x     

Đáp số: miny 1/4; maxy 7/4.

31 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 sin 2x 2 cos2x  3, 5 ; 6 4           32 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của sin 2 cos 2 3 y x  x  trên ; 4 4          

Đáp số: miny 2; maxy 6

Đáp số: miny 2; maxy  3 2.

33 Cho hàm số y sin13x 10 cos x Tìm giá trị

lớn nhất của hàm số đã cho ?

trị lớn nhất của hàm số đã cho ?

Có x thì sin13x sin2x  y sin2x 10 cosx

2

2

     ( )

Đặt cosx t t,  [ 1;1]. Khi đó: ( ) trở thành y   t2 10t 1 g t( ), t  [ 1;1]

Đáp số: maxy 10.

Ta có: y sin5x  3 cosx sin4x  3 cos x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 32 (2 2 cos )(1 cos )(1 cos ) 3 2  x  x  x 27 

 Nhận xét Nếu học sinh làm theo cách của bài 33, sẽ sai đáp án vì sai điểm rơi của bài toán Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng đánh giá 4 sin 3 cos y   x  x và ghép Cauchy tương tự miny 3    (Dành cho học sinh rèn luyện) 35 Cho hàm số 1 1 ( ) 2 cos 1 cos f x x x     với mọi 0; 2 x        Tìm GTNN của hàm số ? 36  Cho hàm số 2 sin 1 cos (sin cos ) 4 x y x x x    với mọi ; 4 2             Tìm GTNN của hàm số ?

Đáp số: miny 4/3

Đáp số: miny 17/4

37  Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: sin 1 3 sin y x    x 38 Hàm số ( )f x cosx  4cosx m có giá trị lớn nhất bằng 3 2 Tìm tham số m

Đáp số: maxy 2 2

Đáp số: m  2

BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1 (THPT Lê Quý Đôn – Điện Biên) Tập giá trị của hàm số y 2 cos 3x 1 là

A T  [ 3;1] B T   [ 3; 1]

C T  [ 1;3] D. T [1;3]

Câu 2 (KTNL GV Bắc Giang) Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 sinx 1 là A 1 B 1 C 0,5 D 3

Câu 3 (THPT Lê Hoàn – Thanh Hóa) Giá trị lớn nhất của 3 sin2 4 12 y  x        là A 7 B 1 C 4 D. 3

Câu 4 (THPT Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3 2 sin 5 y   x lần lượt là A 2; 3 B 1; 3 C 1; 4 D 1; 3

Câu 5 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  1 (sin 2x cos 2 )x 3 lần lượt là A 1 2; 12 2 B 12 2; 12 2 C 1 2; 12 2 D 22 2; 12 2

Câu 6 (THPT Chuyên Lương Văn Chanh – Phú Yên) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  42 sin 25 x  lần lượt là 8 A 28, 6 8 B 28, 6  8 C 2 2; 22 2 D 2 8, 6 8

Câu 7 (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2019) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

y

x



A 9 3 2

1;

7

B 1; 93 2

C 2; 93 2

D 2; 93 2

Câu 8 (THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2020) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 5 2 cos sin y x x   lần lượt là A 4 5 ; 2 2 5 B 4 2; 4 5 C 4 5 4 2 ; 5 3  D 4 5 4 2 ; 7 3 

Câu 9 (THPT Chu Văn An – Hà Nội) Gọi M m, tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 1 cos 2 x y x     Khẳng định nào sau đây đúng ? A M 9m  0 B 9M m 0 C 9M m 0 D M m  0

Câu 10 (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 12 7 4 sin y x   trên đoạn 5 ; 6 6           lần lượt là A 12 12 ; 5 7  B 4; 3 C 1; 1 D 4 4; 3

Câu 11 (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số cos 3 sin 3 y  x  x  lần lượt là A 2; 6 B 1; 5 C 1; 5 D 2; 5

Câu 12 (THPT NewTon – Hà Nội) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y 3 sinx 4 cosx 2

lần lượt là

A 3; 7

B 7; 3

C 7; 1

D 1; 3

Câu 13 (THPT Ngọc Tảo – Hà Nội) Cho hàm số y 2 sin2x sin 2x 10 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng A 10 B 11 2 C 11 2 D 9 2

Câu 14 (THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho hàm số y 2 cos2xsin 2x  Giá trị nhỏ nhất 5 của hàm số bằng A 2 B  2

C 6 2 D 6 2

Câu 15 (THPT Trần Hưng Đạo – Tp.HCM) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 sinx trên đoạn ;5 6 6           Tính M m, . A M 1, m  1 B M 2, m  2 C M 1, m  2 D M 2, m  1

Câu 16 (THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos 2 cos 3 y  x  x  lần lượt là A 3; 0 B 4; 1 C 4; 0 D 3; 1

Câu 17 (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giá trị lớn nhất của hàm y 2 sin2x cosx là phân số tối giản có dạng a b với , a b .    Giá trị của a b bằng A 8 B 9 C 7 D 10

Câu 18 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Giá trị lớn nhất của hàm số y sin9x cos12x

Câu 19 (Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ số 489 năm 2018) Số giờ cĩ ánh sáng của một thành phố X ở

Câu 20 (THPT Minh Châu – Hưng Yên 2019) Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

 Bước 2 Tính f(x), nghĩa là sẽ thay x bằng x, sẽ cĩ 2 kết quả thường gặp sau:

 Nếu f( x) f x( ) f x( ) là hàm số chẵn

 Nếu f(  x) f x( ) f x( ) là hàm số lẻ

Lưu ý:

ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ

cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan( )a   a tan , cot( )a   a cot a

 Lũy thừa: sin (2n )sin2n , cos (2n )cos2n , tan (2n ) tan2n ,

làm tâm đối xứng

Đáp số: Hàm số ( ) là hàm số lẻ.

Dạng toán 4: Tìm chu kỳ của hàm số lượng giác



a



 Lưu ý Giả sử hàm số f x( )g x( )h x( ) cĩ hàm ( ) tuần hồn với chu kì T1 và hàm h x( ) tuần

Câu 2 (THPT Thạch Thành – Thanh Hĩa) Hàm số y  tan 2x cĩ chu kỳ là

Câu 3 (THPT Xuân Hịa – Nam Định) Hàm số 3 sin

Câu 4 (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh) Hàm số 3

Câu 5 (Lê Trọng Tấn – Tp HCM) Tìm m để hàm số y cosmx tuần hồn với chu kì To .

A m 1 B m 2

C m /2. D m 

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Nếu đề bài cho dạng độ ( thì ta sẽ chuyển 2) k  k360 ,  k k180 , với  180 

ĐS: S {7 /36 k2 /3; 11 /36  k2 /3}.

5 Giải phương trình: 2 sin(x 20 )  3 0 6 Giải phương trình: sin(4x 45 ) sin 2 x

Đáp số: S {100 k360 ; 10  k360 }.

tana tanb a  b k  và cota cotb a  b k 

Đáp số: S  { /12k , k  }.

BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1 (THPT Minh Châu – Hưng Yên) Nghiệm của phương trình 2 cosx   là 1 0

A 2

2 3

Câu 2 (THPT Sơn Tây – Hà Nội) Họ nghiệm của phương trình cosx 1 là

Câu 3 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) Phương trình 2 sinx  1 0 có tập nghiệm là

Câu 4 (Lê Văn Thịnh Bắc Ninh) Với k  , phương trình 2 cos 1

Câu 5 (THPT Yên Phong – Nam Định) Với k  , phương trình 2 sinx  1 0 có tập nghiệm là

Câu 6 (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc) Với k  , phương trình 2 sinx  3  có tập nghiệm là 0

Câu 7 (THPT Việt Trì – Phú Thọ) Phương trình tan 0

Đáp số: S { /6 k2 , 5 /6  k2 ,  k  }.

Nhóm bài toán áp dụng công thức nhân đôi

sin 4 2 sin 2 cos 2

Đáp số: S { /8 k /2, k  }.

Đáp số: S { /32 k /8, k  }.

29 Giải: 2 sinx 2 sin 2x 0 30 Giải: sin 4x  3 sin 2x 0

Đáp số: S { 2 ; k  5 /3 k4 ;  k  }.

33 Giải phương trình sin 3x cos 5x 0 34 Giải phương trình sinxcos2x 0.

1) Muốn bỏ dấu "" trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?

41 Giải: tan 3 tan

Tìm nghiệm thuộc miền cho trước

Đáp số: S {90 ; 270 ; 450 ; 630 }.   

49 Giải phương trình: sin( sin 2 ) x 1 50 Giải phương trình: sin( cos 2 ) x 1

Đáp số: S { /6 k , k  }

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

n





51 Giải p.trình: sin 4 (2x tan )2x 0 52 Giải p.trình: (cos 4x 1)(1cot )2x  0

Đáp số: S  { /2k ; /4k }.

Câu 2 (Kinh Môn 2 Hải Dương) Phương trình ( 3 tanx 1)(sin2x 1) có họ nghiệm là 0

Câu 3 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên) Tập nghiệm của 8 cos2 sin2 cos 4x x x   2 là

Câu 4 (Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình) Họ nghiệm của phương trình sin cos cos2x x x 0 là

Câu 5 (THPT Chuyên Đại Học Vinh) Họ nghiệm của phương trình sin 2x cosx 0 là

Câu 6 (THPT Chuyên Bắc Giang) Phương trình sinx cosx có số nghiệm thuộc đoạn [ ; ] là

Câu 7 (THPT Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh năm 2019) Phương trình 2 sin 2x  2  có bao nhiêu 0

Câu 8 (THPT Thạch Thành 2 – Thanh Hóa) Phương trình sin 2x 3 cosx  0 có bao nhiêu nghiệm

Câu 9 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân, biết rằng có số đo của

Câu 10 (Sở GD & ĐT Ninh Bình) Gọi S là tổng các nghiệm trong khoảng (0; ) của phương trình

2 sinx 1. Giá trị của S bằng

Câu 11 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc) Số nghiệm của phương trình sin(cos )x 0 trên

đoạn [0;2 ] bằng

Câu 12 Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 0

x   

  



Câu 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3 sinx m 1 có nghiệm ?

A 3 B 5

C 6 D 7

Câu 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3 sin 2x  5 m2 có nghiệm ?

A 6 B 2

C 1 D 7

Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

55 Giải: sin 5x sin 3x sinx  0 56 Giải: sin 7x sin 4x sinx  0

Đáp số: S  { /2k , k  }

 Nếu gặp số 1, ta thường ghép: 1cos 22 cos2, 1 cos2 2 sin2, cos 2 1 2 sin x2

61 Giải: cos 3x cos 2x cosx  1 0 62 Giải: 1sinx cos 2x sin 3x  0

(cos 3x cos ) (1x cos 2 )x 0

Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

 Lưu ý đối với cơng thức hạ bậc của sin và cosin:

― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhĩm hạng tử thích hợp

để sau khi áp dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung

ĐS: {22 /65 k4 /13; 38 /55   k4 /11}.

71 Giải phương trình: sin 22 x sin2x 1 72 Giải phương trình: sin 22 x cos 32 x 1

PT sin 22 x  1 sin2x  sin 22 x cos2x

ĐS: S { ; k  k /5, k  }

ĐS: x {k /2; k /9, k  }.

Giải cos2xcos 22 xcos 32 x cos 42 x 1,5

Áp dụng công thức tích thành tổng

79 Giải: sin sin 7x x  sin 3 sin 5 x x 80 Giải: sin sin 3x x sin 4 sin 8x x  0

Phương trình  sin 7 sinx x  sin 5 sin 3x x

85 Giải: sin 7 cosx x  sin 5 cos 3 x x 86 Giải: cos 5 sin 4x x cos 3 sin 2 x x