Dạng 2 giao của đường thẳng và mặt phẳng

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG Phương pháp Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một m

Trang 1

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN

TÌM GIAO ĐIỂM

ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

Phương pháp

Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1

Nếu trong  P có sẵn một đường thẳng ' d cắt d tại M ,

khi đó '      

M d P

Trường hợp 2

Nếu trong  P chưa có sẵn ' d cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng  Q chứa d

Bước 2: Tìm giao tuyến     P  Q

Bước 3: Trong  Q gọi M   d thì M chính là giao điểm của d P

d' d

Q

P

M

Trang 2

BÀI MẪU

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD M là một điểm trên cạnhSC

a) Tìm giao điểm của AM vàSBD

b) Gọi N là một điểm trên cạnhBC Tìm giao điểm của SD vàAMN

Hướng dẫn

Gọi ACBD O

( ); ( ) ( )

AM SAC SAC  SBD SO

Gọi AMSO H A M SBD   H

b) AN giao CD tại K

  

    

Bài 2 Cho tứ diệnABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AC và BC K là một điểm trên cạnh

BD và không trùng với trung điểm của BD Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNK

Hướng dẫn

CD ACD CDNK  P CD MNK  P

P

K

H

O C D B

A

S M

N

H

P

N M A

B

C

D K

Trang 3

 

MPAD H , suy ra ADMNK   H

Bài 3 Cho tứ diện ABCD M N , là hai điểm lần lượt trên AC và AD O là một điểm bên trongBCD Tìm giao điểm của:

a) MN và ABO b) AO vàBMN

Hướng dẫn

a) MNACD ; ACD  ABOAH

AHMN  K MN ABO  K

b) AOAOB ; AOB  BNMBK

BKAO I AO BMN  I

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi , , I J K là ba điểm lần lượt

trên SA AB BC , ,

a) Tìm giao điểm của IK vớiSBD 

b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng IJK với  SD và SC

Hướng dẫn

a) IKSAK ; SAK  SBDSP

I K A

B

C

D H M

N

O

L

H

N

Q M P

M P

A

C D

B I

K

I

K J

Trang 4

     

SPIK  M IK SBD  M

b) JKDB Q ;

SD SDB JI SB N IJK SDB QN

QN SD H SD IJK H

+ SCSCB ; SCB  IJKKN KN; SC L SCIJK   L

Điểm thuộc cạnh Xác định giao điểm của:

a) Đường thẳng và mặt phẳng b) Đường thằng và mặt phẳng

Hướng dẫn

N MN

N SC SBC





  

b)

 

P PI

P AB SAB





  

  P PISAB

Xác định giao điểm của

Hướng dẫn

I

S

A

B

C

M

N P

Trang 5

O BD

O AC SAC





  

b)

 

M DM

M SA SAB





  

Gọi là điểm thuộc miền trong tam giác Tìm giao điểm của

Hướng dẫn

a) Chọn mặt phẳng BCD chứa  BD.Trong mặt phẳng ACD gọi I MNCD

I MN OMN

I CD BCD





  I OMN  BCD OI BCD  OMN

Gọi J là giao điểm của OI và BD trong mặt phẳng BCD 

 

J BD

J OI OMN





b) Trong mặt phẳng BCD gọi K OICB Khi đó K BCOMN

M

O

D O

D

C B

S

J

K

I A

B

C

D O

M N

Trang 6

Bài 8 Cho hình chóp có hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh và là điểm nằm trong tam giác Xác định giao điểm của

a) Đường thẳng và mặt phẳng

b) Đường thằng và mặt phẳng

c) Đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn

a) Trong mặt phẳng ABC, gọi I ABOC Khi đó I  ABSOC

b) SI SOC Trong mặt phẳng SAB gọi J MNSI Khi đó J MN SOC

c) Chọn mặt phẳng SCI chứa SO

 

J MN MNC

J SI SIC





  J SIC  MNC CJ SIC  MNC

Gọi K là giao điểm của JC và SO trong mặt phẳng SCI

 

K SO

K CJ CMN





trung điểm của Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn

ABC

K J J

I I

S

A

B

C

B A

S

M

N

M

N

Trang 7

Chọn mặt phẳng SBD chứa SD

N BD SBD

N AMN







  N SBD  AMN

Trong mặt phẳng SAC gọi I  AMSO

I AM AMN

I SO SBD





  I SBD  AMN

Khi đó SBD  AMNNI

Gọi K là giao điểm của NI và SD trong mặt phẳng SBD 

 

K SD

K NI AMN





trọng tâm của tam giác Xác định giao điểm của

a) Đường thẳng và mặt phẳng

b) Đường thằng và mặt phẳng

c) Đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn

K

I

N

M

O

C

D S

SCD

P J

K

O

N

I

M

D K

O

N

I

M

D

C B

Trang 8

a) Gọi I là trung điểm của CD Khi đó MN SBI

Trong mặt phẳng  SIB gọi J MNBI

Khi đó

 

J MN

J BI ABCD





  

b) Trong mặt phẳng ABCD gọi O ACBI

Chọn mặt phẳng SBI chứa MN

 

O BI SBI

O AC SAC





  O SAC  SBI SOSAC  SBI

Gọi K là giao điểm của MN và SO trong mặt phẳng SBI

 

K MN

K SO SAC





c) Trong mặt phẳng SAC gọi P AKSC Khi đó

 

P SC

P AK AMN





  

trên

a Tìm giao điểm của với mặt phẳng

b Tìm giao điểm của với mặt phẳng

Hướng dẫn

a Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP)

, ,

SA SB SC

Q I

O

Q I

O

S

A

B

C

B A

S

M

N

P

M

N

P

Trang 9

Trong (SBD), gọi ISONP mà NP(MNP)  I SO(MNP)

b Tìm giao điểm Q của SO với (MNP)

Trong (SAC), gọi QSCMI, mà MI (MNP) Q SC(MNP)

và là một điểm trên cạnh

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn

a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi E  ABCD

Trong SAB gọi N SBEM

Ta có NEM MCD N MCD và NSB nên N SBMCD

b) Trong ABCD gọi I  ACBD

Trong SAC gọi K MCSI

Ta có KSI SBD và KMC nên K MCSBD

Trên lấy điểm sao cho không song song với ( không trùng với các đầu mút) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

S ABCD ABCD

K

I N

E I

S

A

B

C

D

C B

A

S

M

,

Trang 10

Hướng dẫn

● Chọn mặt phẳng phụ ABC chứa BC

Ta có H là điểm chung thứ nhất của ABC và IHK 

Trong mặt phẳng SAC , do  IK không song song với AC nên gọi FIKAC Ta có

Suy ra F là điểm chung thứ hai của ABC và IHK

Do đó ABC  IHKHF

Trong mặt phẳng ABC, gọi EHFBC, mà HFIHK

Vậy EBCIHK

a Tìm giao điểm của mặt phẳng với đường thẳng AB

b Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và sao cho không song song với Tìm giao điểm của mặt phẳng với đường thẳng AD

Hướng dẫn

E F

I

H

S

A

B

C K

MCD

,

IJM

Trang 11

a) Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa AB

Trong BCD gọi NDOBC,

trong ADN gọi PDMAN  

P DM CDM

P AN ABC



 

Lại có CCDM  ABCPC CDM  ABC

Trong (ABC) gọi H PCABH (MCD)AB

b) Trong BCD gọi EBOCD F, IJ CD , K BEIJ;

Trong ABE gọi GKMAE

F IJ IJM

F IJM ACD

F CD ACD



G KM IJM

G AE ACD







(IJM) (ACD) FG

  

Trong (ACD) gọi LGFAD Vậy L AD(IJM)

( không là trung điểm , không song song với ) Tìm giao điểm của :

Hướng dẫn

L G

K

E

F

H

P

N

A

B

C

D

C B

A

I

J

, ,

Trang 12

a) Tìm giao điểm của IK và (SBD)

Trong (ABCD), gọi P AKBD

Trong (SAK) gọi QIK SP, mà SP(SBD)

Vậy QIK(SBD)

b) Tìm giao điểm của SD và (JIK)

Chọn mp phụ (SBD)SD

 Tìm giao tuyến của (SBD)và (JIK)

Ta có : Q là điểm chung của (SBD)và (JIK)

Trong (ABCD) gọi M JKBD mà JK (JIK)M(JIK)

Vậy M là điểm chung của (SBD)và (JIK)

(JIK) (SBD) QM

  

 Trong (SBD), gọi N QM SD mà QM (JIK)

Vậy N SD(JIK)

c) Tìm giao điểm của SC và (JIK)

Chọn mp phụ (SAC)SC

 Tìm giao tuyến của (SAC) và (JIK)

Ta có I là điểm chung của (SAC) và (JIK)

Trong (ABCD), gọi EACJK suy ra E là điểm chung của (SAC) và (JIK)

(SAC) (JIK) IE

  

Trong (SAC) gọi F IESC, mà IE(JIK)

Vậy F SC(JIK)

F

E

N

Q

P M Q

P

D

B

D

S

C

I

K

C

I

J

K

C

I

J

K

Trang 13

Hướng dẫn

Chọn mặt phẳng SAC chứa AM Gọi O là giao điểm của AC và BD trong  ABCD

O AC SAC

O BD SBD



 

  O SAC  SBD SOSAC  SBD

Gọi I là giao điểm của AM và SO trong mặt phẳng SAC 

 

I AM

I SO SBD





Tìm giao điểm của MG và mặt phẳng

Hướng dẫn

S ABCD

SBD

I

O

M

B

S

C

ACD

Trang 14

Chọn mặt phẳng MBG chứa MG

Gọi O là giao điểm của BG và CD trong BCD

O BG MBG

O CD ACD



 

O MBG ACD

   mà AMBG  ACD

Nên AOMBG  ACD

Gọi I là giao điểm của MG và AO trong mặt phẳng MBG

 

I MG

I AO ACD





giao điểm của SA và mặt phẳng

Hướng dẫn

Chọn mặt phẳng SAC chứa SA 

I

O

A

B

C

D G

M

DMN

I H

O

M

I H

O

M

D

C B

A

S S

A

D

N N

Trang 15

Gọi O là giao điểm của AC và BD trong ABCD

Gọi H là giao điểm của DM và SO trong SBD

H DM DMN

H SO SAC



 

H DMN SAC

   mà NDMN  SAC

Nên NH DMN  SAC

Gọi I là giao điểm của SA và NH trong mặt phẳng SAC

 

I SA

I NH DMN





mặt phẳng

Hướng dẫn

Chọn mặt phẳng SAC chứa SC 

Gọi O là giao điểm của AC và BD trong ABCD 

Gọi H là giao điểm của MN và SO trong SBD 

H MN AMN

H SO SAC



 

 HAMN  SAC  AH AMN  SAC

Gọi I là giao điểm của SC và AH trong mặt phẳng SAC 

S ABCD

AMN

I H

M

N

O

S

A

B

C D

Trang 16

 

I SC

I AH AMN





SB, SD Tìm giao điểm I của SC và mặt phẳng và tính tỉ số

Hướng dẫn

Chọn mặt phẳng SAC chứa SC

Gọi O là giao điểm của AC và BD trong ABCD

Gọi H là giao điểm của MN và SO trong SBD 

H MN AMN

H SO SAC



 

 HAMN  SAC  AH AMN  SAC

Gọi I là giao điểm của SC và AH trong mặt phẳng SAC 

 

I SC

I AH AMN





Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SBDMN/ /BDH là trung điểm SO

Vẽ OK song song với AI (K thuộc SC)

Vì H là trung điểm của SO nên I là trung điểm của SK

Vì O là trung điểm của AC nên K là trung điểm của IC

2

IS

IC

   

vói CD Gọi O là một điểm bên trong BCD

S ABCD ABCD

AMN IS

IC

K

I H

O

M

N

D K

I H

O

M

N

D

C B

Trang 17

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN)

Hướng dẫn

a) MN cắt CD tại K, suy ra (OMN)(BCD)OK

b) OK giao BC và BD tại H và Q Suy ra BC giao (OMN) tại H và BD giao (OMN) tại Q

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Trên đoạn AB lấy điểm P Trên đoạn ,

SA SB lần lượt lấy các điểm M N sao cho , MN không song song với AB

Câu 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AC BC Lấy K là điểm trên đoạn ,

BD sao cho BK KD

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi M N là các điểm lần lượt thuộc , cạnh SA SB Tìm giao điểm của đường thường , MN với (SCD )

Câu 4: Cho hình chóp S ABC điểm , MSA N, SB O, SC, điểm I thuộc miền trong ABC Tìm giao điểm của SI và (MNO )

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có , MAB N, SC O, BC Tìm giao điểm MN và (SAO )

Câu 6: Cho hình chóp S ABC điểm , ISC M, SA N, BC Tìm giao điểm MN và (IAB )

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD AB, / /CD điểm M thuộc miền trong , SCD Tìm giao điểm của SD

và (MAB )

Câu 8: Cho hình chóp S ABCD điểm , MSA N, CD Tìm giao điểm của MN và (SBD )

Câu 9: Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB AC lần lượt lấy các điểm , M N Gọi , O là điểm thuộc miền trong BCD Tìm giao điểm của:

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD . Gọi M là điểm trên đoạn SC Tìm giao điểm của:

Câu 11: Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AC AD lần lượt lấy các điểm , M N Gọi , O là điểm thuộc miền trong BCD

a) Tìm giao điểm của (OMN và () ABM ) b) Tìm giao điểm của SD và (OMN )

Câu 12: Cho hình chóp ABCD Trên đoạn AB AC lần lượt lấy các điểm , M N Gọi H là điểm thuộc , miền trong BCD Tìm giao điểm của:

a) BC và (AHD ) b) MN và (BCD )

c) MN và (AHD ) d) AH và ( DMN )

Trang 18

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB Gọi ) I J K là các điểm , , lần lượt nằm trên đoạn SA AB BC Tìm giao điểm của: , ,

a) IK và ( SBD ) b) SD và (IJK ) c) SC và (IJK )

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Trên đoạn AB SC lần lượt lấy các , điểm M N Tìm giao điểm của: ,

a) AN và (SBD ) b) MN và (SBD )

Câu 15: Cho hình chóp S ABC Trên đoạn SA SB lần lượt lấy các điểm , D E DE không song song , (

)

AB Trên đoạn AC lấy điểm F Tìm giao điểm của:

a) BC và (DEF ) b) SC và (DEF )

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi M N lần lượt là các điểm thuộc , miền trong SBC và SCD Tìm giao điểm của:

a) MN và (SAC ) b) SC và (AMN )

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có ,I J lần lượt là trung điểm của SA BC Gọi , M N lần lượt là các , điểm trên đoạn IJ và SC Tìm giao điểm của:

a) SM và (ABC ) b) CM và (SAB ) c) MN và (ABC )

Câu 18: Cho hình chóp S ABC Gọi D F lần lượt là các điểm trên cạnh , SA AC Gọi E là trung điểm , của SB Tìm giao điểm của:

a) BC và (DEF ) b) SC và (DEF )

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD . Gọi P là điểm thuộc miền tron SAB. Lấy M là điểm trên cạnh SD

sao cho MD2MS

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung điểm , của SC AB ,

a) Tìm giao điểm I của AM với ( SBD ) b) Tìm giao điểm của MN với (SBD )

c) Tính tỉ số IA

IM

Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của

,

SC và N là điểm trên cạnh SD

a) Tìm giao điểm của SO và (BMN ) b) Tìm giao tuyến của (SAD và () BMN )

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N lần lượt là các điểm trên cạnh ,

SC và BC Tìm giao điểm của SD với (AMN )

Trang 19

Câu 23: Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là các điểm trên cạnh , AC và AD Gọi O là điểm thuộc miền trong BCD

a) MN và (ABO ) b) AO và (BMN )

Câu 24: Cho hình chóp S ABCD . Lấy điểm I trên cạnh SA sao cho SIIA Gọi J là một điểm trên cạnh SC và M là trung điểm của SB

a) Tìm giao tuyến của (SAD và () SBC ) c) Tìm giao điểm F của BC và (IJM )

b) Tìm giao điểm E của AB và ( IJM ) d) Tìm giao điểm N của SD và (IJM )

Câu 25: Cho hình chóp S ABC Gọi M N lần lượt là trung điểm cạnh , SA và BC. Gọi P là điểm trên

cạnh AB sao cho: 1

3

AP

AB 

a) Tìm giao điểm Q của SC với (MNP ) b) Tính SQ

SC

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	785,17 KB