Chuyển đổi Didactic tổ chức dự án khoảng cách và ứng dụng trong hình học Taxicab cho học sinh chuyên toán

1. Minkowski đã xây dựng nhiều không gian với các công thức tính khoảng cách khác nhau để hoàn thiện các tiên đề của không gian metric. Mục đích của chúng tôi là cùng [r]

1

Chuyển đổi Didactic tổ chức dự án khoảng cách

và ứng dụng trong hình học Taxicab cho học sinh chuyên toán

Chu Cẩm Thơ1,*, Trần Thị Hà Phương2

1 Viện Khoa học giáo dục Việt Nam 2

Trường THPT Chuyên Bắc Giang, đường Hoàng Văn Thụ, thành phố Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang

Nhận ngày 10 tháng 2 năm 2017 Chỉnh sửa ngày 20 tháng 4 năm 2017; Chấp nhận đăng ngày 22 tháng 6 năm 2017

Tóm tắt: Những năm đầu thế kỷ 20, Minkowski (1864-1909) đã đưa ra ý tưởng về một metric

mới, một trong nhiều metric của hình học phi - Ơclit mà ông đã thiết lập, đặt nền móng đầu tiên cho hình học Taxicab Mục đích của chúng tôi là thiết kế các hoạt động để học sinh có thể xây dựng được khái niệm khoảng cách và các vận dụng thực tế của hình học Taxicab thông qua học tập theo dự án

Từ khóa: Chuyển đổi Didactic, Hình học Taxicab, học tập theo dự án.

1 Đặt vấn đề *

Một trong những cách để biết sâu sắc hơn

về hình học Ơclit là chúng ta đi tìm hiểu sự liên

hệ của nó với các môn hình học Phi - Ơclit

khác Hình học Phi Ơclit mà chúng ta lựa chọn

để đối chiếu với hình học Ơclit cần có các điều

kiện: thứ nhất phải gần gũi với hình học Ơclit

về mặt cấu trúc, thứ hai là phải có ý nghĩa trong

áp dụng vào thực tế và thứ ba là phù hợp với

kiến thức của học sinh ở cấp trung học phổ

thông khi các em đã có nền tảng cơ bản về hình

học Ơclit Hình học Taxicab, một trong các

dạng hình học Phi Ơclit, lần đầu tiên được đưa

ra bởi Minkowski, đáp ứng đầy đủ ba điều kiện

đã nói ở trên [1, p12] Minkowski đã xây dựng

nhiều không gian với các công thức tính khoảng

cách khác nhau để hoàn thiện các tiên đề của

không gian metric Taxicab là một trong những

công trình của Minkowski, khác hình học Ơclit

_

*

Tác giả liên hệ ĐT.: 84-983380718

Email: chucamtho1911@gmail.com

https://doi.org/10.25073/2588-1159/vnuer.4091

về cấu trúc khoảng cách nên nếu hình học Ơclit

là mô hình tốt trong một không gian “hoàn hảo” thì hình học Taxicab lại là một mô hình có ứng dụng rộng rãi hơn trong không gian thực tế [2, p110]

Mục đích của chúng tôi là cùng với học sinh tìm hiểu, nghiên cứu về hình học Taxicab, một dạng hình học Phi-Ơclit mới nhưng rất gần gũi với các tiên đề của hình học Ơclit, đồng thời đưa ra các vấn đề nghiên cứu phù hợp với năng lực của học sinh xung quanh một số nội dung hình học này Bên cạnh đó, thông qua tương tự hóa với hình học Euclide, học sinh có thể tự xây dựng khái niệm về các đường conic trong hình học Taxicab Cách thức giúp học sinh lĩnh hội tri thức là thông qua học tập theo dự án

2 Nội dung nghiên cứu

Trong tổ chức dạy học theo dự án và theo quan điểm của Didactic Toán thì “hoạt động hóa người học, sự xác lập vị trí chủ thể của người họ không làm suy giảm, mà ngược lại

còn nâng cao vai trò, trách nhiệm của người

thầy” [3, 4] Mặc dù học sinh hoàn toàn chủ

động trong thực hiện các dự án học tập ngoài

phạm vi thời gian và không gian lớp học, nhưng

vai trò, trách nhiệm của người thầy với tư cách

người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế

hóa được biểu hiện cụ thể là:

Thiết kế: giáo viên xây dựng dự án học tập,

trong đó ban đầu thiết kế một số tình huống

thực tế với mục tiêu học sinh sẽ một cách gần

nhất tiếp thu khái niệm khoảng cách Taxicab và

học sinh áp dụng khoảng cách Taxicab để xây

dựng các khái niệm tương tự nhưng có ý nghĩa

ứng dụng hơn trong đời sống thực tế

Ủy thác: Trong hình học Ơclit các đường

Conic được định nghĩa dựa trên khoảng cách,

nên sử dụng định nghĩa tương tự, giáo viên

hướng học sinh chủ động xây dựng và biểu diễn

các đường tương ứng trong hình học Taxicab

Điều khiển: Trong quá trình học sinh thực

hiện dự án học tập có sự theo dõi, kiểm tra và

hỗ trợ về kiến thức, cơ sở vật chất và tác động

tâm lí của giáo viên khi cần thiết

Thể chế hóa: Trong quá trình các nhóm học

sinh báo cáo sản phẩm sau dự án, giáo viên xác

nhận những kiến thức mới được phát hiện, đồng

nhất hóa các kiến thức riêng lẻ của học sinh

thành tri thức khoa học, qua đó hướng dẫn học

sinh cách vận dụng và ghi nhớ tri thức [5, p3]

2.1 Thiết kế dự án học tập

Trong hình học Ơclit HS đã biết thế nào là

điểm, cách xác định đường thẳng, góc và

khoảng cách giữa một số đối tượng hình học

Học sinh được trang bị hệ trục tọa độ và xác

định khoảng cách giữa hai điểm thông qua tọa

độ của chúng Khoảng cách giữa hai điểm

 1; 1 ;  2; 2

E

Hình học Taxicab rất gần gũi với hình học

Ơclit khi điểm, góc, hệ trục tọa độ và tọa độ của

điểm được xác định tương tự như hình học

Ơclit Tuy nhiên khoảng cách Taxicab được

xác định theo công thức sau:

T

Ví dụ A1; 3 ,  B4;1 thì

1 2 1 2

E

T

Chúng tôi xây dựng dự án học tập và đề xuất các bước sau để tổ chức hoạt động cho học sinh hình thành khái niệm và những vận

dụng trong hình học Taxicab:

Bước 1: Thiết kế các hoạt động của HS để xây dựng khái niệm khoảng cách trong hình học Taxicab

Chúng tôi đưa ra trường hợp thực tế: quy hoạch của một thành phố được chia thành các trục đường song song, cách đều nhau theo hướng Bắc - Nam, Đông - Tây, và ta có thể coi

như một mặt phẳng tọa độ (Oxy) Tình huống có

một vụ tai nạn xảy ra tại vị trí X(1;-4), có hai đội cảnh sát giao thông đang ở các vị trí A(-2;-1) và B(1;1) Hỏi quãng đường đi của đội giao nào đến hiện trường gần nhất, biết thành phố thiết

kế các trục đường theo các hướng Bắc - Nam, Đông - Tây song song hoặc vuông góc với nhau? Rõ ràng khoảng cách trong hình học Ơclit không còn phù hợp trong tình huống này Chúng tôi tổ chức các hoạt động để học sinh

có thể một cách tự nhiên nhất xây dựng khái niệm khoảng cách mới phù hợp với thực tế Để học sinh chủ động thực hiện các hoạt động, chúng tôi

chia lớp thành các nhóm 5-6 em

Hoạt động 1: Hoạt động hình thành khái niệm khoảng cách trong hình học Taxicab

Vấn đề 1: Giao cho học sinh nghiên cứu ở

địa bàn thành phố Bắc Giang Các em hãy dùng bản đồ du lịch hoặc dùng Google maps để tìm đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm cụ thể Hãy chứng tỏ rằng cung đường em chọn là đường ngắn nhất

Học sinh sử dụng bản đồ, máy tính nối mạng, phần mềm Google maps và các tài liệu

để tìm thông tin tham khảo Đây là hình ảnh

mà các em dùng Google maps chụp lại một phần thành phố, cho thấy các trục đường chính được thiết kế theo các trục ngang, dọc

Hình 1: Một phần thành phố Bắc Giang

(Nguồn : Google map)

Vấn đề 2: Giáo viên cho các địa điểm cụ thể

và yêu cầu HS chỉ ra đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm đó Các tuyến đường ô tô đi được trong thành phố được kiến trúc chủ yếu theo các trục dọc, ngang, và đi từ vị trí này sang vị trí khác phải đi theo các con đường chứ không được đi xuyên qua nhà dân

Ghi lại lịch trình khi phải đón và trả ba vị khách khác nhau, xác định số km lái xe đã đi để đưa các vị khách và đi đến vị trí đón vị khách tiếp theo

G

Chặng Điểm đón khách Điểm trả khách Quãng đường di chuyển

(km) (khoảng cách Taxicab)

Chặng 1

Chặng 2

Chặng 3

Chặng 4

Chặng 5

Tổng số km:

y

Vấn đề 3: Em hãy dùng Google maps để

xác định tự động đường đi ngắn nhất, đối chiếu

với kết quả đã tính ở trước

Hình 2 Google map chỉ ra đường đi ngắn nhất và

khoảng cách giữa hai vị trí

Qua hình ảnh, học sinh đầu tiên nhận ra rằng con đường ngắn nhất nối hai vị trí trong thành phố trên thực tế không phải là đường thẳng như trong hình học Ơclit, thứ hai các em nhận thấy con đường ngắn nhất để đi từ vị trí này sang vị trí kia không phải duy nhất mà có thể có nhiều cách khác nhau Nếu trang bị hệ trục tọa độ vào bản đồ thành phố, chúng tôi yêu cầu các em xác định khoảng cách các điểm trên thực tế dựa vào tọa độ của chúng Từ hoạt động trên, giáo viên yêu cầu học sinh tự đưa ra công thức tính quãng đường đi ngắn nhất trong không gian thực tế:

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hai điểm

 1; 1 ;  2; 2

Khoảng cách Ơclit giữa hai điểm được định nghĩa d A B  ;    x1 x22  y1 y22; Khoảng cách trong hình học Taxicab được định nghĩa : dT A B ;   x1 x2  y1 y2 . Nếu A (-2; -1), B(1;1) và C (4;1) thì

 ;   ;  3;  ;  13;  ;  5

d B C d B C  d A B  d A B 

Như vậy để đi từ vị trí A    2; 1  đến điểm

  1;1

B trên thực tế ta thường không đi thẳng từ

A tới B Một trong những cung đường ngắn

nhất là xuất phát từA    2; 1 ,  qua điểm

 2;1 , 

E  và sau đó tới B   1;1 ,với khoảng

cách là 5.

2.4 Ủy thác của giáo viên với các hoạt động

của học sinh

Giáo viên sau khi thiết kế một số hoạt động

với mục đích giúp học sinh tiệm cận khái niệm

mới, thông qua thể chế hóa, giáo viên xác nhận

và xây dựng định nghĩa mới về khoảng cách

Taxicab cho học sinh Mục đích tiếp theo của

chúng tôi là hướng dẫn vận dụng kiến thức

thông qua việc ủy thác cho học sinh tiếp tục tìm

câu trả lời cho các vấn đề đặt ra sau:

Vấn đề 4: Dùng Google maps để tìm con

đường ngắn nhất giữa hai vị trí

Khi dùng Google maps, học sinh tự nhận ra

rằng khoảng cách ngắn nhất của mỗi tuyến

đường không phải là duy nhất Học sinh nhận ra

khoảng cách ngắn nhất không phải được xác

định duy nhất như trong hình học Ơclit và hoàn

toàn có thể tự giải thích dựa vào định nghĩa đã

được giáo viên thể chế hóa trước đó

Hình 3 Minh họa các đường đi ngắn nhất

khác nhau trên thực tế

Vấn đề 5: Dùng tỉ lệ trên bản đồ để xác định

khoảng cách địa lý theo đường chim bay giữa hai vị trí (khoảng cách Ơclit) So sánh khoảng cách này với khoảng cách thực di chuyển bởi taxi, rút ra nhận xét?

Nhận xét:d T (A; B) ≥ d E (A; B)

Vấn đề 6: Nếu chúng ta biết khoảng cách

Taxicab giữa hai điểm thì ta có thể xác định được khoảng cách Ơclit giữa chúng hay không?

Vấn đề 7: Một hội nghị được diễn ra tại

Trung tâm hội nghị 3-2 của thành phố Bắc Giang (ở tọa độ A(1;1)) Để thuận tiện di chuyển bằng ô tô, các đoàn khách được sắp xếp tại các khách sạn cách trung tâm hội nghị không quá 3km Biết các trục đường trong thành phố được quy hoạch theo các trục ngang, dọc Em dùng bản đồ du lịch thành phố hoặc Google maps để tìm các khách sạn theo yêu cầu Đánh dấu vị trí các khách sạn và đưa ra nhận xét về tập các điểm đã đánh dấu

Hình 4 Học sinh vẽ được phạm vi các khách sạn

yêu cầu trên hệ trục tọa độ Bước 2 : Thiết kế các dự án học tập cho học sinh nhằm vận dụng khái niệm khoảng cách trong hình học Taxicab

Chúng tôi phát biểu chủ đề của hai dự án học tập sau đây:

Chủ đề 1: “Ứng dụng của hình học Taxicab

trong thực tế”

Chủ đề 2: “Tương tự hóa giữa hình học

Ơclit và hình học Taxicab trong xây dựng khái

niệm ba đường Conic”

Trước hết chúng tôi cho các nhóm chọn dự

án, nếu chưa phù hợp thì điều chỉnh để số nhóm

thực hiện mỗi dự án là tương đương nhau Mục

đích là các em hoàn toàn chủ động trong giải

quyết các chủ đề mà chúng tôi đưa ra

Để học sinh có thể triển khai các dự án,

trước hết chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi bài học

và ghi lại cách giải quyết của các nhóm ở dưới

1 An và Bình học tại hai trường đại học ở

vị trí M   1;1 và N  8; 7  trong thành phố Hai

bạn nên thuê nhà ở vị trí nào để quãng đường đi

học của mỗi bạn bằng nhau

Ta cần xác định quỹ tích các điểm I(x;y)

sao cho

Xét các trường hợp sau

Trường hợp 1 : x <1

(i) Với y<1 Khi đó

(*)   1 x 1 y   8 x 7 y130

(vô nghiệm)

(ii) Với 1y7 Khi đó

15

2

(loại)

(iii) Với y 7 Khi đó

(*)  1 x y   1 8 x y701(vô

nghiệm)

Trường hợp 2 : 1  x  8.

(i) Với y 1 Khi đó

15

2

(thỏa mãn)

17

2

(thỏa mãn)

(iii) Với y 7 Khi đó

3

2

(thỏa mãn)

Trường hợp 3 : x  8 (i) Với y 1 Khi đó (*) x  1 1 yx  8 7 y  1 0(v

ô nghiệm)

(ii) Với 1 y7 Khi đó

1

2

(loại)

(iii) Với y 7 Khi đó (*) x 1 y 1 x 8 y701(vô

nghiệm)

Hình 5 Học sinh vẽ quỹ tích các điểm cách

đều hai điểm cho trước Vậy ta có quỹ tích các điểm cách đều M, N

là đường gấp khúc

7

2 17

2 3

2

















Sau khi xét các trường hợp ta thu được quỹ

tích các điểm I cách đều M,N là đường như

hình

2 Trong thành phố có ba bệnh viện ở các vị

trí A(-3;1); B(5;1) và C(2;-6) Hãy vẽ các

đường ranh giới chia thành phố thành các khu

riêng biệt sao cho mỗi người trong thành phố có

thể đến được bệnh viện gần nhà họ nhất

3

2

1

-1 -2

-3

-4 -5

-6

-7

-8

d1

E

C

B

5 -3

Hình 6 Đường ranh giới chia thành phố

thành các khu riêng biệt

3 Trên đường song song và cách trục chính

thành phố 2km (đường y = 2) người ta cần xây

dựng nhà máy rác thải y tế Rác của ba bệnh

viện được tập kết tại bệnh viện A và đem đi xử

lý Hãy tìm vị trí đặt nhà máy sao cho gần bệnh

viện A nhất nhưng để đảm bảo môi trường, nhà

máy cần cách trung tâm thành phố ít nhất

10km

4 Đường thẳng (AB) trong hình học

Taxicab được xác định giống như trong hình

học Ơclit, là đường thẳng đi qua hai điểm A, B

a) Nêu định nghĩa khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng trong hình học Ơclit

b) Tương tự với hình học Ơclit, hãy xây

dựng định nghĩa khoảng cách từ một điểm tới

một đường thẳng trong hình học Taxicab Nêu

quy trình xác định khoảng cách đó [6, p46]

5 Tương tự với định nghĩa đường tròn trong hình học Ơclit, hãy nêu định nghĩa đường tròn trong khoảng cách Taxicab và cho ví dụ minh họa

6 a) Hãy nhắc lại định nghĩa về ba đường Conic trong hình học Ơclit

b) Tương tự trong hình học Taxicab, em hãy xây dựng khái niệm ba đường Conic theo khoảng cách Taxicab So sánh với các đường Conic tương ứng trong hình học Ơclit

2

2

M

F2 F1

Hình 7 Đường Elip sử dụng khoảng cách Taxicab.

2.5 Điều khiển hoạt động học tập thông qua dự

án của học sinh

Trong quá trình học sinh thực hiện các dự

án học tập, chúng tôi hướng dẫn trợ giúp về điều kiện cơ sở vật chất, thời gian và những khó khăn khi HS cần thiết

Bước 3: Thiết kế tài liệu hỗ trợ cho học sinh Nội dung trong sách tham khảo: Eugene F.Karause (1986), Taxicab Geometry, an adventure in non-Euclidean geometry [1]; On the iso-taxicab trigonometry [2]; Taxicab Geometry: History and applications [6]

- Các nguồn tài liệu tham khảo

- Các trang web: dethi.violet, diendantoanhoc.net, math.vn, mathscope, mathlink,

- Sổ theo dõi dự án

- Mẫu phiếu phân công công việc trong nhóm

g

Nhiệm

vụ

Nội dung Thời

gian thực hiện

Người thực hiện (*)

Kết quả thu được

NV 1 Tìm hiểu về bộ câu hỏi bài học

1.1 Sử dụng bản đồ, phần mềm Google maps để thực hiện

các hoạt động giáo viên yêu cầu Xây dựng công thức

tính khoảng cách trong hình học Taxicab

1.2 Tìm hiểu lịch sử của hình học Taxicab

NV2 Chuẩn bị trước các tài liệu hỗ trợ tham khảo (photo,

tải trên mạng, điều kiện truy cập các trang web)

Các thành viên thực hiện độc lập, chủ động NV3

Nhóm dự án : ” Ứng dụng

của hình học Taxicab

trong thực tế ”

Xây dựng các vận dụng thực tế của môn học

Tìm hình ảnh minh chứng

Nhóm dự án: “Tương tự

hóa giữa hình học Ơclit

và hình học Taxicab

trong xây dựng khái niệm

ba đường Conic”

Hệ thống lại ba đường Conic trong hình học Ơclit

Xây dựng các khái niệm tương tự trong hình học Taxicab

Dùng phần mềm minh họa các quỹ tích trong hình học Taxicab

NV4 Thiết kế các sản phẩm báo cáo (In chuyên đề, chuẩn

bị Powerpoint, Prezi,…)

4.1 Chuẩn bị bài thuyết trình, cử đại diện báo cáo

4.2 Dự kiến trả lời các câu hỏi có thể được pháp vấn trong

quá trình báo cáo

Hình 8 Mẫu phiếu phân công công việc trong nhóm.

2.6 Thể chế hóa kiến thức cho học sinh

Bước 4 Tổ chức cho học sinh thực hiện

dự án học tập và báo cáo sản phẩm trước lớp

Giáo viên định thời gian và mời các giáo

viên khác dự buổi báo cáo sản phẩm của các

nhóm học sinh theo các dự án đã lựa chọn Ở

bước này trong học tập theo dự án, giáo viên có

nhiệm vụ xác nhận các kiến thức mới phát hiện,

đồng nhất hóa những kiến thức riêng lẻ mang

màu sắc cá thể trong các sản phẩm sau dự án

của các nhóm thành các tri thức khoa học Bên

ạnh đó là quá trình đánh giá sản phẩm của

giáo viên và các nhóm với mỗi sản phẩm báo

cáo [7]

3 Kết quả thực hiện của học sinh

Trong và sau quá trình học sinh thực hiện các dự án học tập, chúng tôi quan sát và nhận thấy:

- Trong chủ đề tương tự hóa giữa hình học Ơclit và hình học Taxicab trong xây dựng khái niệm ba đường Conic, học sinh chủ động nghiên cứu, dùng phần mềm vẽ hình minh họa

- Các nhóm chủ động trong học tập, nhiệt tình, tích cực trong nghiên cứu để xây dựng các sản phẩm của dự án: tích cực, chủ động trong việc chọn dự án học tập và giải quyết các câu hỏi nội dung, chủ động về phân chia công việc trong nhóm dựa trên năng lực của mỗi cá nhân, chủ động thời gian thảo luận của nhóm, tích cực

trong thiết kế các slide báo cáo sản phẩm, tìm

các hình ảnh minh họa thuyết phục

- Thuyết trình: tích cực tập luyện khả

năng thuyết trình, nói lưu loát và giao tiếp

trước đám đông

Hình 9 Đại diện mỗi nhóm báo cáo trước lớp

- Các em phát huy được năng lực sáng tạo:

chủ động xây dựng được mô hình trực quan

minh họa khoảng cách Taxicab và ứng dụng

của nó trong thực tế; tương tự hóa để xây dựng

khái niệm mới về ba đường Conic trong hình

học Taxicab khi đây là một khái niệm rất mới,

vẽ được các hình minh họa bằng phần mềm

- Học sinh tự đọc tài liệu và trình bày

hướng mở rộng dự án về một khoảng cách mới

(sử dụng metric mới cũng thuộc hình học phi –

Ơclit (khoảng cách Large) [1]

Qua đó chúng tôi thấy được sự nghiên cứu

nghiêm túc trong dự án học tập, thấy sức sáng

tạo, sự hứng thú và học tập hướng mục đích rõ

ràng của học sinh

4 Kết luận

Hình học Taxicab là một dạng hình học Phi

- Ơclit nhưng có cấu trúc gần gũi với hình học Ơclit và phù hợp với sự tiếp nhận của học sinh

ở bậc trung học phổ thông Để giúp các em tiếp cận với khái niệm mới này chúng tôi thiết kế dự

án học tập và tổ chức các hoạt động cho học sinh học tập và tự nghiên cứu theo quan điểm Didactic Toán Thông qua dự án học tập, các

em có thể tự xây dựng khái niệm khoảng cách trong hình học Taxicab, thấy rõ các ứng dụng thực tiễn của nó, có thể xây dựng và vẽ minh họa các khái niệm tương tự như ba đường Conic Các em được rèn luyện kỹ năng làm việc độc lập và làm việc theo nhóm, phát huy năng lực tự học, năng lực tự giải quyết vấn đề,

có cơ hội trình bày những nghiên cứu và nhận được sự đánh giá, đóng góp của giáo viên, các thành viên trong lớp

Tài liệu tham khảo

[1] Eugene F.Karause, Taxicab Geometry, an adventure in non-Euclidean Geometry, Dover Publications, Inc NewYork (1986)

[2] Ada T and Kocayusufoglu On the iso-taxicab trigonometry, PRIMUS, 22(2): 108 - 133, ISSN 1051-1970 (2012) 108

[3] Lê Thị Hoài Châu, Những thay đổi mà didactic

có thể mang lại cho việc đào tạo giáo viên ở Việt Nam , Báo cáo tại hội thảo thứ nhất về Didactic- phương pháp dạy học Toán (ĐH Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh 17-18/6/2005)

[4] Fenandez, Paz Didactic Innovative Proposal for Mathematic learning at the University by the Blended Model, Social and Behavioral Sciences,

7 October 2014, Vol.152 (2014) 796

[5] Nguyễn Bá Kim, Nghiên cứu dạy học toán và đổi mới phương pháp dạy học toán, Báo cáo tại hội thảo thứ nhất về Didactic- phương pháp dạy học Toán (ĐH Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh 17-18/6/2005)

[6] Chip Reinhardt, Taxicab Geometry: History and applications, The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol 2, no.1 (2005) 38

[7] Trần Việt Cường, Tổ chức dạy học theo dự án trong dạy học môn Toán cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí Giáo dục, số 325 (kì 1 tháng 1/2014) 44

Didactic Reform: Organising Learning Projects

on Distance and Applications in Taxicab Geometry

for Students Specialising in Mathematics

Chu Cam Tho1, Tran Thi Ha Phuong2

1 The Viet Nam institude of educational sciences 2

Bac Giang Specialized Upper Secondary School, Hoang Van Thu Street, Bac Giang City, Bac Giang, Vietnam

Abstract: In the early 20th century, Hermann Minkowski (1864-1909) proposed an idea about a new metric, one of many metrics of non-Euclidean geometry that he developed called Taxicab geometry The purpose of this paper is to design activities so that students can construct the concept of distance and realise practical applications of Taxicab geometry

Keywords: Didactic reform, taxicab geometry, project-based learning