Một vài tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các phương trình vi phân phiến hàm

TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM II.. Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,khoa Khoa học ứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Cao Thanh Tình

2 Thư ký: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm

3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi

4 Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính

5 Ủy viên: TS Lê Xuân Đại

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN TRẦN ĐỨC Mã số học viên: 1670239

Ngày, tháng, năm sinh: 10/03/1989 Nơi sinh: Bà Rịa - Vũng TàuChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH

ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM

HÀM

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Kiến thức cơ sở

- Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2017

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2017

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS CAO THANH TÌNH

PGS TS HUỲNH QUANG LINH

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầyhướng dẫn TS Cao Thanh Tình – Trường Đại học Công Nghệ ThôngTin, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, người đã luôn tận tụy, nhiệttình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức vàtạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ ChíMinh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiệntốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán ỨngDụng khóa 2016 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học vàquá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người

đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốtthời gian học tập

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để

bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Trần Đức

i

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian

2 Một vài điều kiện tường minh cho tính ổn định mũ của các phươngtrình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian

3 Áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo

Cách tiếp cận của chúng tôi trong luận văn này dựa trên Định lýPerron-Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm

Kết quả chúng tôi thu được các điều kiện đủ tường minh cho tính ổnđịnh mũ của một vài lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộcthời gian

ABSTRACT

In this thesis, we research these following subjects:

1 General functional differential systems with time-varying

2 Several new explicit criteria for exponential stability of general tional differential systems with time-varying

func-3 An application to neural networks

The approach utilized in this thesis is based on the celebrated Frobenius theorem and the comparison principle

Perron-After all, we get new explicit criteria for exponential stability of tional differential systems with time-varying

func-ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Trần Đức, mã học viên: 1670239, học viên cao họcchuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố HồChí Minh khóa 2016 - 2018 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kếtquả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, cáccông việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của TS Cao Thanh Tình và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệmtính trung thực về đề tài nghiên cứu này

Tp Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 12 năm 2017

Học viên thực hiện

Nguyễn Trần Đức

iii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

JF(x) Ma trận Jacobi của hàm F tại x

det(M ) Định thức của ma trận vuông M

M−1 Nghịch đảo của ma trận vuông M

trận vuông MC([a, b],Kn) Không gian Banach các hàm liên tục trên [a, b],

nhận giá trị trong Kn với chuẩn kϕk = maxt∈[a,b]kϕ(t)k

C := C([−h, 0],Rn) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0], nhận

giá trị trong Rn với chuẩn kϕk = maxt∈[−h,0]kϕ(t)k

BV ([α, β],Km×n) Không gian Banach các hàm có biến phân bị chặn

trên [α, β], nhận giá trị trong Km×n thỏa mãn η(α) = 0

và được trang bị với chuẩn kηk = V ar[α,β]η(·)

N BV ([α, β],Km×n) := {η ∈ BV ([α, β],Km×n); η liên tục trái trên (α, β)}

N BV0([α, β],Km×n) := {η ∈ BV ([α, β],Km×n); η liên tục trái trên [α, β]}

v

LỜI MỞ ĐẦU

Từ hơn 100 năm trước, lý thuyết ổn định của các hệ động lực đã được

sơ khai hình thành và có thể nói cơ bản bắt đầu từ những công trình tiênphong của nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (1857-1918):

- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid(in 1884, Russian)

- General problem of the stability of motion (1892, in Russian)

Đồng hành với những thành tựu, sự phát triển của lý thuyết Tối ưu

và lý thuyết Điều khiển, lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung

và của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm nói riêng cũng đã pháttriển không ngừng Các phương trình vi phân phiếm hàm xuất hiện trongnhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như: Sinh học, Khoa học máy tính,

Lý thuyết điều khiển, Vật lý, Kinh tế học, (xem phần tài liệu thamkhảo)

Các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm đãđược nghiên cứu trong suốt nhiều thập kỷ trước Gần đây, các bài toán ổnđịnh mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm đã có những pháttriển vượt bậc và là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trongnhiều lĩnh vực khác nhau Phương pháp truyền thống để nghiên cứu cácbài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm (đặc biệt làcác hệ phụ thuộc thời gian) là xây dựng các hàm Lyapunov hoặc các biếndạng của nó như các hàm Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin.Các kết quả thu được bằng cách tiếp cận này thường cho dưới dạng cácbất đẳng thức ma trận phức tạp và khó sử dụng

Cho đến bây giờ, không có nhiều tiêu chuẩn tường minh cho tính ổnđịnh mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến

vi

Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơngiản cho tính ổn định mũ của một vài lớp hệ phương trình vi phân phiếmhàm.

Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Danh mục chữ viết tắt

và kí hiệu, lời mở đầu, nội dung chính của luận văn (gồm 2 chương), kếtluận, tài liệu tham khảo

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở

- Chương 2: Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm.Một cách cụ thể hơn, Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở sẽđược dùng trong các chương sau Chương 2 trình bày kết quả chính củaluận văn, cụ thể chúng tôi trình bày ba phần, phần thứ nhất là trình bàymột vài điều kiện ổn định mũ cho các hệ tuyến tính (Định lý 2.1.2, Hệquả 2.1.3), phần thứ hai là trình bày một vài điều kiện ổn định mũ chocác hệ phi tuyến (Định lý 2.2.1), phần thứ ba trình bày thảo luận và một

số ví dụ minh họa để so sánh những kết quả đã trình bày ở trên với một

số kết quả đã có, áp dụng các kết quả thu được (Định lý 2.2.1) vào việcnghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng của các mạng nơ ronnhân tạo

Các vấn đề được đặt ra trong luận văn này là mở và có ý nghĩa khoahọc, các kết quả mong đợi là mới và là một đóng góp có ý nghĩa trong líthuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm

vii

Mục lục

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU vi

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 11.1 Véc tơ và ma trận 11.2 Hàm có biến phân bị chặn và tích phân Riemann-Stieltjes 61.3 Sơ lược về phương trình vi phân phiếm hàm 9

Chương 2 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHIẾM HÀM 132.1 Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm

hàm tuyến tính 142.2 Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phiếm

hàm phi tuyến 182.3 Thảo luận và một số ví dụ minh họa áp dụng vào mạng nơron

nhân tạo 24

viii

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ

sở được sử dụng trong chương sau

1.1 Véc tơ và ma trận

Gọi N, R, và C lần lượt là tập các số tự nhiên, trường các sốthực và trường các số phức Kí hiệu N0 := N ∪ {0} Gọi K là trường

số thực hoặc phức Cho số tự nhiên m, ta định nghĩa các tập hợp sau:

m := {1, 2, , m} và m0 := {0, 1, , m} Cho các số nguyên dương l và

q, tập hợp tất cả các ma trận cỡ l × q với các số hạng trong K, được kíhiệu bởi Kl×q Đối với hai ma trận thực cỡl × q là A = (aij) vàB = (bij),bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q Đặc biệt,nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q, khi đó ta viết A  B thay cho A ≥ B

Ma trận A = (aij) ∈ Rl×q được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0

với mọi i ∈ l, j ∈ q Cách hiểu tương tự đối với véc tơ không âm Tậphợp tất cả các ma trận thực không âm cỡ l × q được kí hiệu bởi Rl×q+

Với số nguyên dương m, ta kí hiệu ma trận đơn vị cấp m bởi Im Với

x = (x1, x2, , xm)T ∈ Rm và P = (pij) ∈ Rl×q ta định nghĩa giá trịtuyệt đối của véc tơ và ma trận như sau |x| = (|xi|)T và |P | = (|pij|)

Cho trước hai ma trận C, D (với cỡ phù hợp), ta dễ dàng kiểm tra được

|C + D| ≤ |C| + |D| và |CD| ≤ |C||D|

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Giả sử

M (t) = (mij(t)) ∈Rl×q, t ∈ [a, b];

F (t) = (F1(t), F2(t), , Fm(t))T ∈ Rm, t ∈ [a, b],

trong đó,mij(·), i ∈ l, j ∈ q,vàFk(·), k ∈ mlà các hàm khả tích Riemanntrên [a, b], tích phân của hàm giá trị ma trận và hàm giá trị véc tơ trênđoạn [a, b] được định nghĩa như sau:

Z b a

M (t)dt := (

Z b a

F1(t)dt,

Z b a

F2(t)dt, ,

Z b a

Fm(t)dt)T ∈ Rm

Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Cho X là không gian véc tơ trên trường K Ánh

xạ k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau:

Một chuẩnk·ktrên Kn được gọi là đơn điệu nếu|x| ≤ |y|thìkxk ≤ kyk

với x, y ∈ Kn Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng k · k là một chuẩn đơn

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

điệu nếu và chỉ nếu kxk = k|x|k, với mọi x ∈ Rn Chú ý rằng, k · kp trên

Kn với 1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu

Giả sử k · k1 và k · k2 là các chuẩn xác định trên cùng một không gianvéc tơ X Khi đó, k · k1 và k · k2 được gọi là các chuẩn tương đương nếutồn tại các số dương α và β sao cho αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1, với mọi

x ∈ X Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Kn đều tương đương

Định nghĩa 1.1.2.(Chuẩn toán tử của ma trận)Cho ma trậnM ∈ Kl×q,chuẩn của toán tử tuyến tính M : Kq → Kl, x 7→ M x :

kM k := max

x6=0

kM xkkxk = maxkxk=1



kM xk

,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M

Chẳng hạn như nếu Kn được trang bị bởi chuẩn k · k1 thì chuẩn toán

tử của ma trận M = (mij) ∈ Kn×n được cho bởi kM k1 = max

(giá trị lớn nhất của tổng các cột) Nếu Kn được trang bị bởi chuẩn k · k∞

thì chuẩn toán tử của M được cho bởi kM k∞ = max

Giả sử Kl và Kq được trang bị các chuẩn đơn điệu Khi đó, chuẩn toán

tử tương ứng k · k của ma trận trên Kl×q có tính chất sau:

P ∈ Kl×q, Q ∈ Rl×q+ , |P | ≤ Q ⇒ kP k ≤ k|P |k ≤ kQk, (1.1)xem [25]

Trong suốt Luận văn này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các

ma trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véc tơ đơn điệunào đó

Với bất kì ma trận M ∈ Kn×n, hoành độ phổ của M được định nghĩabởi

µ(M ) = max{<λ : λ ∈ σ(M )},

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Định nghĩa 1.1.4 Một ma trận thực M ∈ Rn×n được gọi là ma trận

M etzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận M

đều không âm Điều đó có nghĩa là ma trận M := (aij) ∈ Rn×n, i, j ∈ n

được gọi mà ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với mọi i, j ∈ n, i 6= j

Định lý sau đây tổng kết một vài tính chất quan trọng của ma trậnMetzler và chúng sẽ được dùng trong suốt luận văn

Định lý 1.1.1 ([25]) Giả sử M ∈ Rn×n là ma trận Metzler và t ∈ R.

Khi đó

i) (Perron-Frobenius) µ(M ) là một giá trị riêng của M và tồn tại mộtvéc tơ riêng không âm x ∈ Rn+, x 6= 0 sao cho M x = µ(M )x

ii) Giả sử α ∈ R cho trước Khi đó, tồn tại một véc tơ không âm x ∈ Rn+,

x 6= 0 sao cho M x ≥ αx khi và chỉ khi µ(M ) ≥ α

iii) (tIn − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ(M )

iv) Cho trước B ∈ Rn×n+ , C ∈ Cn×n Khi đó,

|C| ≤ B ⇒ µ(M + C) ≤ µ(M + B)

Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được suy

ra trực tiếp từ Định lý 1.1.1

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Định lý 1.1.2 ([25]) Cho M ∈ Rn×n là ma trận Metzler Những khẳngđịnh sau đây là tương đương:

[(i)⇒(iii)]: DoM ∈ Rn×nlà ma trận Metzler vàµ(M ) < 0nênM−1 ≤ 0,theo Định lý 1.1.1 (iii) Vậy ta có (i) suy ra (iii)

[(iii) ⇒ (ii)]: Giả sử M−1 ≤ 0 Đặt

e := (1, 1, , 1)T ∈ Rn,

và

p := (−M )−1e ∈ Rn (1.2)

Dễ thấy p  0 Nhân hai vế của (1.2) cho (−M ) từ bên trái, ta có

(−M )p = e hay M p = −e Vì vậy M p  0 với p ∈ Rn, p  0 Vậy ta

có (iii) suy ra (ii)

[(ii) ⇒ (i)]: Vì M ∈ Rn×n là ma trận Metzler nên tồn tại véc tơ x ∈

Rn, x ≥ 0, x 6= 0 sao cho MTx = µ(M )x, theo Định lý 1.1.1 (i) Từ (ii)

ta có

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Nhân hai vế của (1.3) với xT từ bên trái, ta được xTM p < 0 Suy ra

µ(M )xTp = xTM p < 0

Vì xTp > 0, nên µ(M ) < 0 Vậy ta có (ii) suy ra (i)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (iii), (iv) và (v) là tương đươngnhau

[(iii) ⇒(iv)]: Giả sử b ∈ Rn, b  0 Khi đó x := −M−1b ≥ 0, x 6= 0 Vậy

M x + b = 0

[(iv) ⇒ (v)]: Giả sử (iv) đúng và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈

Rn+\{0} sao cho véc tơ hàng xTM ≥ 0 Lấy r ∈ Rn, r  0, theo (iv)tồn tại véc tơ p ∈ Rn+ sao cho M p + r = 0 hay r = −M p Do đó,

0 < xTr = −xTM p ≤ 0 Đây là một mâu thuẫn Vậy ta có (iv) suy ra(v)

[(v) ⇒ (i)]: Giả sử (v) đúng và giả sử phản chứng rằng µ(M ) ≥ 0 Do M

là ma trận Metzler nên theo Định lý 1.1.1 (i), tồn tại p ∈Rn+\{0}sao cho

MTp = µ(M )p Với µ(M ) ≥ 0vàp ∈ Rn+\{0}, ta có MTp = µ(M )p ≥ 0.Điều này kéo theo pTM ≥ 0 Mâu thuẫn với (v)

Định lý được chứng minh

1.2 Hàm có biến phân bị chặn và tích phân Riemann-Stieltjes

Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất

cơ bản của các hàm có biến phân bị chặn và tích phân Rieman-Stieltjes

Định nghĩa 1.2.1 Giả sửJ là một đoạn của R Hàm ma trậnη(·) : J →

Rm×n được gọi là đơn điệu tăng trên J nếu η(θ2) ≥ η(θ1) với θ1, θ2 ∈ J,

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Định nghĩa 1.2.3 Hàm η(·) : [α, β] → Km×n được gọi là có biến phân

bị chặn trên đoạn [α, β] nếu

V ar[α,β]η(·) := sup

P [α,β]

X

kkη(θk) − η(θk−1)k < +∞,

ở đây, supremum được lấy trên tập tất cả các phân hoạch P [α, β] củađoạn [α, β]

Kí hiệu BV ([α, β],Km×n) là không gian Banach các hàm ma trận

η(·) có biến phân bị chặn trên [α, β] thỏa mãn η(α) = 0, được trang

bị với chuẩn kηk = V ar[α,β]η(·) Do các chuẩn ma trận là tương đươngnên hàm ma trận η(·) = (ηij(·)) ∈ Rm×n là hàm có biến phân bị chặnnếu và chỉ nếu mỗi ηij(·) là hàm có biến phân bị chặn Chú ý rằng,

η(·) ∈ BV ([α, β],Rm×n) nếu và chỉ nếu η(·) = η2(·) − η1(·), trong đó,

η1(·) và η2(·) là các hàm đơn điệu tăng Đặt

N BV ([α, β],Km×n) := {η ∈ BV ([α, β],Km×n) : η liên tục trái trên (α, β)};

N BV0([α, β],Km×n) := {η ∈ BV ([α, β],Km×n) : η liên tục trái trên [α, β]}

Dễ thấy rằng, N BV ([α, β],Km×n) và N BV0([α, β],Km×n) là các khônggian con đóng trong BV ([α, β],Km×n) và do đó chúng là không gianBanach với chuẩn kηk = V ar[α,β]η(·)

Định nghĩa 1.2.4 Cho trước η(·) : [α, β] → Km×n và ϕ(·) : [α, β] →

Kn Chia đoạn [α, β] thành các đoạn con bởi các điểm chia α = θ0 <

trong đó, ξk ∈ [θk−1, θk] Nếu maxk(θk− θk−1) → 0, tổng S dần tới mộtgiới hạn (hữu hạn) không phụ thuộc cách chia đoạn [α, β] và cách chọncác điểmξk, thì giá trị giới hạn ấy được gọi là tích phân Riemann-Stieltjescủa ϕ(·) theo η(·) và được kí hiệu là Rαβd[η(θ)]ϕ(θ)

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Định lý 1.2.1 ([11]) Cho trước η(·) ∈ BV ([α, β],Km×n) Khi đó, vớibất kỳ ϕ ∈ C([α, β],Kn), tích phân Rαβ d[η(θ)]ϕ(θ) tồn tại Hơn nữa, tacó

k

Z β α

d[η(θ)]ϕ(θ)k ≤ max

θ∈[α,β]kϕ(θ)kkηk

Định lý 1.2.2 ([11]) (Định lý biểu diễn Riesz)

Giả sử L : C([α, β],Rn) → Rn là toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó,tồn tại duy nhất η(·) ∈ N BV ([α, β],Rn×n) sao cho

Lϕ =

Z β αd[η(θ)]ϕ(θ), ∀ϕ ∈ C([α, β],Rn)

Định nghĩa 1.2.5 Hàm ϕ(·) : [α, β] → Rn được gọi là không âm vàđược kí hiệu ϕ ≥ 0 nếu ϕ(θ) ≥ 0 với bất kỳ θ ∈ [α, β]

Định nghĩa 1.2.6 Toán tử L : C([α, β],Rn) → Rn được gọi là toán tửdương nếu Lϕ ∈ Rn+ với mọi ϕ ∈ C([α, β],Rn), ϕ ≥ 0

Nhận xét 1.2.1 (i) Giả sử Lϕ = Rβ

α d[η(θ)]ϕ(θ), ϕ ∈ C([α, β],Rn),

với η(·) ∈ N BV ([α, β],Rn×n) Xét hàm η1(·) : [α, β] → Rn được xácđịnh bởi: η1(θ) := η(θ) nếu θ ∈ [α, β) và η1(β) := limθ→β−η(θ) ∈ Rn×n

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Định nghĩa 1.2.7 Giả sửF (·) : Rl → Rm khả vi tại x = (x1, x2, , xl)T

∈ Rl Ma trận Jacobi của F (·) tại x là ma trận cỡ m × l trong Rm×l, kíhiệu JF(x), được xác định như sau

là hàm khả vi liên tục trên U và các véc tơ x ∈ U, h ∈ Rm sao cho

x + th ∈ U, với mọi t ∈ [0, 1] Khi đó,

F x + h
− F x

=

 Z 1 0

JF x + th
dt



h,

trong đó, JF(·) là ma trận Jacobi của hàm F

1.3 Sơ lược về phương trình vi phân phiếm hàm

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sựtồn tại, tính duy nhất nghiệm, sự kéo dài nghiệm, và một số khái niệm

cơ bản về ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm.Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm được xác định bởi:

˙x(t) = F t, xt
, t ≥ σ, (1.4)trong đó, xt ∈ C := C([−h, 0],Rn), được xác định bởi xt(θ) := x(t + θ),

θ ∈ [−h, 0] và hàm F (·; ·) : Ω → Rn, Ω ⊂ R× C (h > 0 cố định)

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Với mỗi σ ∈ R cố định, chúng ta xét điều kiện đầu

x(σ + θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0], ϕ ∈ C (1.5)

Định nghĩa 1.3.1 ([10]) Một hàm x(·) được gọi là nghiệm của bài toángiá trị đầu (1.4)-(1.5) nếu

(i) Tồn tại A > 0 sao cho x(·) ∈ C([σ − h, σ + A),Rn), (t, xt) ∈ Ω,

∀t ∈ [σ, σ + A) và x(·) thỏa mãn (1.4) với mỗi t ≥ σ;

(ii) x(·) thỏa mãn điều kiện đầu (1.5)

Định lý sau đây trình bày các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm (địaphương) của bài toán (1.4)-(1.5)

Định lý 1.3.1 ([10]) Cho Ω là tập mở trong R× C Giả sử F (·, ·) liêntục trên Ω và F liên tục Lipzchitz theo biến thứ hai trên mỗi tập concompact của R× C Khi đó, với bất kỳ (σ, ϕ) ∈ Ω, bài toán (1.4)-(1.5) códuy nhất nghiệm

Nói rõ ra, nghiệm được cho bởi Định lý 1.3.1, xác định và liên tục trên

[σ −h, γ)vớiγ > σ và thỏa (1.4) trên[σ, γ)và được kí hiệu x(·; σ, ϕ) Nếu

[σ − h, γ)là khoảng lớn nhất của sự tồn tại nghiệmx(·; σ, ϕ) thìx(·; σ, ϕ)

được gọi là một nghiệm không thể kéo dài Sự tồn tại của nghiệm khôngthể kéo dài được suy ra từ bổ đề Zorn và khoảng lớn nhất của sự tồn tạiphải là một khoảng nửa mở [σ, γ)

Định lý 1.3.2 ([10]) Cho Ω là tập mở trong R× C Giả sử F (·, ·) : Ω →

Rn là liên tục hoàn toàn (nghĩa là, F là liên tục và biến các tập đóng bịchặn trong Ω thành các tập bị chặn trong Rn) và x(·) là nghiệm khôngthể kéo dài của (1.4)-(1.5) trên [σ − h, γ) Khi đó, với tập đóng bị chặn

U trong Ω, tồn tại tU sao cho (t, xt) /∈ U với tU ≤ t < γ

Giả sử F (t, 0) = 0, ∀t ∈ R Khi đó, x(·, σ, 0) ≡ 0 là một nghiệm của(1.4)-(1.5)