bài giảng hình học afin và hình học ơclit

Để dễ lĩnh hội kiến thức khi nghiên cứu các không gian hình học, người học cũng cần có khả năng trực quan trên các không gian hai hay ba chiều thông thường, đó là các mô hình của các khô

NGUYỄN DUY BÌNH

BÀI GIẢNG

HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT

NGHỆ AN 2019

MỤC LỤC Trang

LỜI MỞ ĐẦU……….1

Chương 1 - Hình học afin……… 2

Mục tiêu của chương……… 2

§1 Không gian afin………2

1.1 Định nghĩa……… 2

1.2 Các ví dụ……….3

1.3 Một số tí nh chất đơn giản của không gian afin………3

1.4 Hệ điểm độc lập……… 4

1.5 Mục tiêu afin Tọa độ afin……… 5

1.6 Các phẳng trong không gian afin……… 7

1.7 Tâm tỉ cự………14

1.8 Tỉ số đơn, Tập lồi, Đơn hì nh, Hì nh hộp……….15

§𝟐 Ánh xạ afin Biến đổi afin……… 17

2.1 Ánh xạ afin……….17

2.2 Đẳng cấu afin, biến đổi afin……… 19

§𝟑 Siêu mặt bậc hai trong không gian afin……….22

3.1 Khái niệm siêu mặt bậc hai………22

3.2 Giao của đường thẳng với siêu mặt bậc hai……… 24

3.3 Tâm, điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai………25

3.4 Phương tiệm cận, đường thẳng tiệm cận của siêu mặt bậc hai………… 26

3.5 Siêu phẳng kí nh của siêu mặt bậc hai………27

3.6 Tiếp tuyến, siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai……… 29

3.7 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai……….30

Tóm tắt chương………32

Câu hỏi và bài tập chương 1………33

Chương 2 – Hình học Ơclit……… 36

Mục tiêu của chương……… 36

§4 Không gian vectơ Ơclit……….36

4.1 Định nghĩa………36

4.2 Hệ vectơ trực giao, cơ sở trực chuẩn………37

4.3 Không gian con trực giao, bù trực giao……….37

§𝟓 Không gian Ơclit………38

5.1 Định nghĩa………38

5.2 Các ví dụ………38

5.3 Mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn……….39

5.4 Sự trực giao trong không gian Ơclit……… 39

5.5 Khoảng cách trong không gian Ơclit……….41

5.6 Góc và thể tích trong không gian Ơclit……… 47

§𝟔 Ánh xạ đẳng cự……… 50

6.1 Khái niệm ánh xạ đẳng cự……….50

6.2 Ví dụ……… 50

6.3 Phép dời hình và phép phản dời hình……….51

6.4 Phân loại các phép đẳng cự trong 𝐸2 và 𝐸3………52

6.5 Hình học Ơclit………54

6.6 Hình học đồng dạng……… 55

§𝟕 Siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit……… 55

7.1 Dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai trong 𝐸𝑛……… 55

7.2 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong 𝐸𝑛………56

7.3 Siêu cầu trong 𝐸𝑛……… 57

Tóm tắt chương………61

Câu hỏi và bài tập chương 2………62

Tài liệu tham khảo………65

LỜI MỞ ĐẦU

Bài giảng trì nh bày các kiến thức cơ bản về hình học afin và hình học Ơclit , trong đó các không gian hình học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Hình học trên các không gian này là tập hợp các bất biến của các nhóm biến đổi đặc biệt, liên quan đến cấu trúc của từng không gian Bởi vì các không gian hì nh học cùng với các yếu tố trên nó liên quan tới các kiến thức về không gian vectơ, do đó để tiếp thu các kiến thức trong bài giảng này, sinh viên cần có các kiến thức cơ bản về không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính trong đại số tuyến tính Để dễ lĩnh hội kiến thức khi nghiên cứu các không gian hình học, người học cũng cần có khả năng trực quan trên các không gian hai hay ba chiều thông thường, đó là các mô hình của các không gian được định nghĩa bằng phương pháp tiên đề Bài giảng gồm hai chương tương ứng với hai loại hình học, đó là loại hình học afin và hình học Ơclit Đầu mỗi chương là mục tiêu của chương mà sinh viên sau khi học xong cần đạt được và kết thúc chương

là hệ thống câu hỏi và bài tập giúp người học có thể thực hành để nắm vững kiến thức Để tránh cồng kềnh và không thực sự cần thiết, nhiều kết quả chỉ phát biểu mà không đưa vào chứng minh, người học có thể xem trong các tài liệu tham khảo

Chương 1 HÌNH HỌC AFIN

Mục tiêu của chương

- Hiểu được khái niệm không gian afin và các khái niệm cơ bản trong không gian afin:

phẳng; hệ điểm độc lập; mục tiêu và tọa độ afin; đơn hình; hình hộp

- Hiểu được khái niệm ánh xạ afin, biến đổi afin, hình học afin

- Lập được phương trình của phẳng; xác định được vị trí tương đối của các phẳng

- Lập được phương trình phép biến đổi afin

- Giải được một số bài toán liên quan đến tính chất của ánh xạ afin, biến đổi afin

- Hiểu được khái niệm siêu mặt bậc hai và các khái niệm liên quan

- Xác định được các yếu tố liên quan đến đường bậc hai: dạng của đường bậc hai, tâm của đường bậc hai; phương tiệm cận;…

§1 Không gian afin

1.1 Định nghĩa Cho 𝑽 là không gian vectơ trên trường 𝑲 (𝑲 = ℝ, ℂ, … ), 𝑨 là một tập

hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ 𝜑: 𝑨 × 𝑨 → 𝑽 Ký hiệu 𝜑(𝑀, 𝑁) = 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với 𝑀, 𝑁 ∈ 𝑨 Bộ ba (𝑨, 𝜑, 𝑽) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau

thỏa mãn:

i) Với mọi điểm 𝑀 ∈ 𝑨, mọi vectơ 𝑣 ∈ 𝑽, có duy nhất điểm 𝑁 ∈ 𝑨 sao cho 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

𝑣 ;

ii) Với mọi ba điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃 ∈ 𝑨 có 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (hệ thức Chasles)

Không gian afin (𝑨, 𝜑, 𝑽) còn gọi là không gian afin 𝑨 liên kết với không gian vectơ

𝑽, còn gọi tắt là không gian afin 𝑨 trên trường 𝑲 (hoặc 𝑲 – không gian afin 𝑨) Không gian vectơ liên kết 𝑽 thường được kí hiệu 𝑨⃗⃗

Không gian afin 𝑨 được gọi là không gian n chiều nếu 𝑑𝑖𝑚𝑽 = 𝑛 Không gian afin

n chiều thường được kí hiệu là 𝑨𝒏, số chiều của không gian afin 𝑨 ký hiệu là 𝑑𝑖𝑚𝑨

Khi 𝑲 là trường số thực, ta nói 𝑨 là không gian afin thực, khi 𝑲 là trường số phức,

ta nói 𝑨 là không gian afin phức

Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian afin là không gian afin

n chiều và 𝑲 là trường số thực 𝑹 hoặc trường số phức 𝑪 Liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ chú trọng đến việc trình bày trong không gian afin thực

1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Trong hình học ở trường trung học phổ thông, chúng ta cần phân biệt không gian

ba chiều thông thường là không gian chỉ gồm các điểm, kí hiệu là 𝑬𝟑 và không gian các vectơ “tự do”, kí hiệu là 𝑬3 Với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với vectơ chứng tỏ 𝑬3 là một không gian vectơ ba chiều Khi đó việc “vẽ” vectơ nối hai điểm A và

B chính là ánh xạ liên kết 𝜑 Ta có 𝑬𝟑 là không gian afin liên kết với không gian vectơ 𝐄⃗ 3

vì có thể dễ dàng kiểm tra ánh xạ

𝜑: 𝑬3× 𝑬3 → 𝑬⃗⃗ 3 (𝐴, 𝐵) ↦ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

thỏa mãn các tiên đề trong định nghĩa

Ví dụ 2 Cho 𝑽 là không gian vectơ trên trường 𝑲, ánh xạ

𝜑: 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 (𝑢⃗ , 𝑣 ) ↦ 𝜑(𝑢⃗ , 𝑣 ): = 𝑣 − 𝑢⃗

Khi đó, 𝜑 thỏa mãn các tiên đề của không gian afin nên 𝑽 là không gian afin liên kết với chính nó Ta nói 𝜑 xác định một cấu trúc afin chính tắc trên không gian vectơ 𝑽 hay 𝑽 là

không gian afin với cấu trúc afin chính tắc

Ví dụ 3 Cho tập hợp 𝑹𝑛 trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ n số thực có thứ tự, 𝑽𝑛 là

không gian vectơ mà mỗi vectơ 𝑥 ứng với một bộ số thực (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), với 𝑥𝑖 ∈ 𝑹 Ánh

xạ 𝑓 xác định như sau:

Với hai điểm 𝐴(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) của 𝑹𝑛 ta đặt tương ứng với một vectơ (𝑏1− 𝑎1, 𝑏2− 𝑎2, … , 𝑏𝑛− 𝑎𝑛) của 𝑽𝑛 Khi đó dễ dàng chứng minh được 𝑹𝑛 là không gian

afin n – chiều

1.3 Một số tính chất đơn giản của không gian afin

Sau đây là một số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa của không gian afin:

1 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ; ∀𝑀 ∈ 𝑨

Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có: 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , suy ra 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

a) Định nghĩa Hệ 𝑚 + 1 điểm {𝑀0, 𝑀1, … , 𝑀𝑚} (𝑚 ≥ 1) của không gian afin 𝑨 được

gọi là độc lập afin (hay gọi tắt là độc lập) nếu hệ vectơ {𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀0𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑀0𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } của 𝑨⃗⃗ 0𝑀𝑚độc lập tuyến tính

Hệ điểm không độc lập afin gọi là phụ thuộc afin (hay gọi tắt là phụ thuộc)

Quy ước: hệ chỉ gồm một điểm luôn được xem là độc lập

b) Nhận xét:

- Trong định nghĩa trên điểm 𝑀0 không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm 𝑀𝑖khác Thật vậy người ta có thể chứng minh được rằng nếu các vectơ {𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀0𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑀0𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } độc lập tuyến tính thì đối với một i nào đó thì hệ m vectơ 0𝑀𝑚{𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑀𝑖𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀𝑖𝑀𝑖−1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑀𝑖𝑀𝑖+1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } cũng độc lập tuyến tính; 𝑖𝑀𝑚

- Hệ con của hệ điểm độc lập là hệ điểm độc lập, một hệ điểm chứa hệ con phụ thuộc

là hệ điểm phụ thuộc;

- Hệ điểm {𝑀0, 𝑀1, … , 𝑀𝑚} (𝑚 ≥ 1) của không gian afin A là phụ thuộc nếu hệ

vectơ {𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀0𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑀0𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } của 𝑨⃗⃗ là phụ thuộc tuyến tính 0𝑀𝑚

c) Định lý Trong không gian afin n chiều 𝑨𝒏 luôn có những hệ m điểm độc lập với 1 ≤

m ≤ n + 1, mọi hệ gồm nhiều hơn n+1 điểm đều là hệ không độc lập

Chứng minh Giả sử {𝑒⃗⃗ } là một cơ sở nào đó của 𝐀𝑖 ⃗⃗⃗⃗ Vì 𝑨𝐧 𝒏 không rỗng nên có M0 ∈ 𝐀𝑛, khi đó tồn tại duy nhất các điểm M sao cho M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑒M ⃗⃗⃗⃗ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Theo định nghĩa, hệ ,

điểm {M0, M1, … , M𝑛} là hệ gồm n+1 điểm độc lập Khi đó, hiển nhiên hệ {M0, M1, … , M𝑚−1} với 1 ≤ m ≤ n + 1, là hệ gồm m điểm độc lập

Nếu hệ {N0, N1, … , Np} gồm hơn n+1 điểm thì p > 𝑛 , do đó hệ {N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N0N1, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … , N0N2, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } có nhiều hơn n vectơ nên phụ thuộc tuyến tính Theo 0Npđị𝑛ℎ nghĩa, hệ gồm p + 1 điểm {N0, N1, … , Np} là hệ điểm phụ thuộc

1.5 Mục tiêu afin.Tọa độ afin

1.5.1 Mục tiêu afin

Định nghĩa Cho không gian afin n chiều 𝐴𝑛 liên kết với không gian vectơ 𝐴⃗⃗⃗⃗ Gọi 𝜀 =𝑛{𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } là một cơ sở của 𝐴𝑛 ⃗⃗⃗⃗ và 𝑂 là một điểm thuộc 𝐴𝑛 𝑛 Khi đó tập hợp {𝑂; 𝜀} hay {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } được gọi là mục tiêu afin của 𝐴𝑛 𝑛, 𝑂 gọi là điểm gốc, 𝑒⃗⃗ gọi là vectơ cơ sở 𝑖

thứ i của mục tiêu, 𝜀 = {𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } gọi là cơ sở nền của mục tiêu 𝑛

Nhận xét

i) Kí hiệu Ei là điểm thỏa mãn OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ei ⃗⃗ , khi đó hệ điểm {𝑂; 𝐸i 1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛} là hệ điểm độc lập Ngược lại một hệ gồm 𝑛 + 1 điểm độc lập {𝑂, 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛} xác định một mục tiêu afin {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } với 𝑂𝐸𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑒𝑖 ⃗⃗ Do đó ta cũng gọi một hệ gồm 𝑛 + 1 điểm 𝑖

độc lập {𝑂; 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛} là một mục tiêu afin với điểm gốc là 𝑂, 𝐸𝑖 được gọi là đỉnh thứ

𝑖 của mục tiêu

ii) Một mục tiêu afin chỉ có một cơ sở nền duy nhất, nhưng ngược lại với một cơ sở

{𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } của 𝐴𝑛 ⃗⃗⃗⃗ có thể là nền của nhiều mục tiêu khác nhau trong 𝐴𝑛 𝑛

1.5.2 Tọa độ afin của một điểm

Trong không gian afin n chiều 𝑨𝒏 cho mục tiêu afin {O; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } Với mỗi 𝑛điểm X ∈ 𝑨n ta có vectơ OX⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝑨⃗⃗⃗⃗ , vì vậy có duy nhất bộ n phần tử 𝑥n 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 của trường

𝑲 sao cho OX⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥1𝑒⃗⃗⃗ + 𝑥1 2𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑥2 𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ 𝑛

Bộ n phần tử (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) được gọi là tọa độ của điểm 𝑋 đối với mục tiêu đã chọn,

kí hiệu 𝑋(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) hay 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

Nhận xét :

i) Theo định nghĩa, đối với mục tiêu afin {𝑂; 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛}, điểm 𝑂 có tọa độ

(0,0, … ,0) và điểm 𝐸𝑖có tọa độ (0, … ,0,1,0, ,0) (số 1 đứng ở vị trí thứ i)

xạ này cho phép đồng nhất mỗi điểm của 𝐴𝑛 với một phần tử của 𝐾𝑛 và nhờ đó sau này các đối tượng hình học sẽ được đồng nhất với các đối tượng đại số

1.5.3 Đổi mục tiêu afin

Trong không gian afin n chiều 𝑨𝒏 cho hai mục tiêu afin {O; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } (I) và 𝑛{O′; 𝑒⃗⃗⃗⃗ , 𝑒1′ ⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑒2′ ⃗⃗⃗⃗⃗ } (II) Với mỗi điểm 𝑋 ∈ 𝑨𝑛′ 𝑛 gọi (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) là tọa độ của 𝑋 đối với với mục tiêu (I), (𝑥1′, 𝑥2′, … , 𝑥𝑛′) là tọa độ của 𝑋 đối với với mục tiêu (II)

+𝑥1′(𝑐11𝑒⃗⃗⃗ + 𝑐1 12𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑐2 1𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ ) 𝑛 +𝑥2′(𝑐21𝑒⃗⃗⃗ + 𝑐1 22𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑐2 2𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ ) 𝑛 + ⋯ … … …

+𝑥𝑛′(𝑐𝑛1𝑒⃗⃗⃗ + 𝑐1 𝑛2𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑐2 𝑛𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ ) 𝑛 = (a1+ 𝑥1′𝑐11+ 𝑥2′𝑐21+ ⋯ + 𝑥𝑛′𝑐𝑛1)𝑒⃗⃗⃗ 1

+(a2+ 𝑥1′𝑐12+ 𝑥2′𝑐22+ ⋯ + 𝑥𝑛′𝑐𝑛2)𝑒⃗⃗⃗ 2 + ⋯ … … …

[𝑥] = 𝐶𝑇[𝑥′] + [𝑎] (**) Các biểu thức (*) hoặc (**) được gọi là công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II)

1.6 Các phẳng trong không gian afin

1.6.1 Định nghĩa Cho không gian afin 𝐀 liên kết với không gian vectơ 𝐀⃗⃗ Gọi I là một điểm của của 𝐀 và 𝛼 là một không gian vectơ con của 𝐀⃗⃗ Khi đó tập hợp

𝛼 = {𝑀 ∈ 𝑨| 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 } được gọi là cái phẳng (hay gọi tắt là phẳng) đi qua I, có phương là 𝛼

Nếu 𝛼 có số chiều bằng m thì ta nói α là phẳng m chiều (hay 𝑚 −phẳng) và viết 𝑑𝑖𝑚𝛼 = 𝑚

Theo cách gọi thông thường, 1 −phẳng là đường thẳng, 2 −phẳng là mặt phẳng

Siêu phẳng là tên gọi của phẳng có đối chiều 1, tức là nếu số chiều của không gian là 𝑛 thì

số chiều của siêu phẳng sẽ là 𝑛 − 1

Nhận xét

i) Nếu 𝛼 là phẳng đi qua điểm 𝐼 thì 𝐼 ∈ 𝛼 và với mọi 𝑀, 𝑁 ∈ 𝛼, vectơ 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ − 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ∈

𝛼

ii) Mỗi điểm là một 0 −phẳng

iii) Điểm 𝐼 trong định nghĩa của phẳng α không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của α (điểm 𝐼 bình đẳng với mọi điểm của α) Thật vậy, giả sử 𝛼 là cái phẳng đi qua

𝐼 có phương 𝛼 và 𝐽 là một điểm nào đó của 𝛼 Điều đó có nghĩa là 𝐼𝐽⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 Ta có 𝑀 ∈ 𝛼 khi và chỉ khi 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 hay khi và chỉ khi 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐼𝐽⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 , tức là khi và chỉ khi 𝐽𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 Điều

đó chứng tỏ rằng điểm 𝐽 có thể đóng vai trò của điểm 𝐼

iv)

1.6.2 Các tính chất

Định lý Nếu 𝛼 là 𝑚 − phẳng của không gian afin 𝑨 và có phương 𝛼 thì 𝛼 là không

gian afin m chiều liên kết với không gian vectơ 𝛼

Chứng minh

Giả sử 𝛼 là 𝑚 − phẳng đi qua 𝐼 và có phương 𝛼 Rõ ràng 𝛼 ≠ ∅ vì 𝐼 ∈ 𝛼 Với mọi

cặp điểm 𝑀, 𝑁 ∈ 𝛼 ta lấy vectơ MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝐀⃗⃗ (không gian afin 𝐀 là bộ ba (𝐀, φ, A⃗⃗ ) theo định nghĩa của 𝛼 thì 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 , 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 , từ đó suy ra 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 Vậy ta có thể xét ánh xạ:

𝜑|𝛼×𝛼: 𝛼 × 𝛼 → 𝛼

và ánh xạ đó thỏa mãn hai tiên đề i), ii) của không gian afin

Tiên đề i) suy ra từ định nghĩa của phẳng, còn tiên đề ii) đúng vì nó đúng trên toàn bộ 𝑨

Vậy (𝛼, 𝜑|𝛼×𝛼, 𝛼 ) là không gian afin hay 𝛼 là không gian afin liên kết với không

Sự duy nhất của 𝑚 − phẳng đó là hiển nhiên

Hệ quả 𝑚 + 1 điểm của không gian afin 𝐀 là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một (𝑚 − 1) − phẳng (𝑚 ≥ 1)

1.6.3 Phương trình của 𝐦 − phẳng trong không gian afin 𝐀𝐧

a) Phương trình tham số Trong không gian afin n chiều An với mục tiêu afin {O; ε}, với

ε = {𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ }, cho cho 𝑚 − phẳng α đi qua điểm I có phương α⃗⃗ (0 < 𝑚 < 𝑛) 𝑛

Chọn m vectơ độc lập tuyến tính trong 𝛼 : 𝑎⃗⃗⃗⃗ , 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ , khi đó 𝑎𝑚 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑎1 ⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗ là một 𝑚

cở sở của 𝛼 Giả sử tọa độ điểm 𝐼 đối với mục tiêu {𝑂; 𝜀} là (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛), tọa độ vectơ

𝑎𝑖

⃗⃗⃗ đối với cơ sở 𝜀 là (𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, … , 𝑎𝑖𝑛)

Giả sử 𝑋 ∈ An và tọa độ của 𝑋 đối với mục tiêu đã cho là (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) Ta có

𝑋 ∈ 𝛼 ⇔ 𝐼𝑋⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝛼 ⇔ 𝐼𝑋⃗⃗⃗⃗ = 𝑡1𝑎⃗⃗⃗⃗ + 𝑡1 2𝑎⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑡2 𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡𝑚 1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚𝜖𝑲)

Tức là

∑(𝑥𝑖− 𝑏𝑖)𝑒⃗⃗ 𝑖𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑡𝑗𝑚

𝑗=1

∑ 𝑎𝑗𝑖𝑒⃗⃗ 𝑖𝑛

trong đó t là tham số, các phần tử a1,a2, ,a n không đồng thời bằng 0 là các thành phần tọa

độ của vectơ chỉ phương của α, (b1,b2, ,b n ) là tọa độ của điểm I cho trước thuộc α còn (x i)

là tọa độ của điểm tùy ý 𝑀 ∈ 𝛼

b) Phương trình tổng quát Trong không gian afin n chiều An với mục tiêu afin {O; ε}, với ε = {𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ }, cho cho 𝑚 − phẳng 𝛼 có phương trình tham số dạng (1) 𝑛

phương trình đầu Giải hệ m phương trình đó (là hệ Cramer) ta tìm được các nghiệm

𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚 biểu thị một cách duy nhất (do đó các t i là duy nhất) dưới dạng bậc nhất qua các 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚 Thay m giá trị này của các t i vào n − m phương trình còn lại ta thu được

hệ phương trình dạng

∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛

Tóm lại, mỗi m-phẳng trong không gian An được biểu thị bằng một hệ phương trình

tuyến tính có hạng bằng n − m Ta gọi hệ phương trình dạng (4) là phương trình tổng quát của m- phẳng

Nhận xét Phương trình tổng quát của một siêu phẳng trong 𝑨𝑛 (ứng với 𝑚 = 𝑛 − 1) đối với một mục tiêu afin cho trước có dạng

𝑎1𝑥1+ 𝑎2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑏 = 0, trong đó các phần tử 𝑎𝑖 ∈ 𝑲 không đồng thời bằng không

Như vậy từ phương trình tổng quát của m-phẳng, ta có thể xem một 𝑚 − phẳng là

giao của 𝑛 − 𝑚 siêu phẳng (độc lập) nào đó

1.6.4 Vị trí tương đối của các phẳng

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An cho 𝑝 − phẳng 𝛼 và 𝑞 −phẳng β (với 𝑝 ≤

𝑞) có phương lần lượt là 𝛼 và 𝛽

i) 𝛼 và 𝛽 được gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung;

ii) 𝛼 được gọi là song song với 𝛽 nếu 𝛼 ⊂ 𝛽 hoặc 𝛽 ⊂ 𝛼 , ký hiệu 𝛼//𝛽;

iii) 𝛼 và 𝛽 được gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau;

Giao 𝛼 ∩ 𝛽 hiểu theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp và gọi là giao của hai cái phẳng 𝛼 và 𝛽;

Tổng 𝛼 + 𝛽 là giao của tất cả các phẳng chứa 𝛼 và 𝛽, 𝛼 + 𝛽 gọi là tổng của hai cái phẳng 𝛼 và 𝛽

Ví dụ Xét trong không gian 3 chiều thông thường 𝐸3

1 Hai đường thẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1 −phẳng cắt nhau tại một điểm (0 −phẳng) Tổng của chúng là mặt phẳng duy nhất xác định bởi hai đường thẳng đó

2 Hai mặt phẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 2 −phẳng cắt nhau theo một đường thẳng (1 −phẳng) Tổng của chúng chính là 𝐸3

3 Hai đường thẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 1 −phẳng song song Tổng của chúng chính là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó

4 Tương tự, hai mặt phẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 2 −phẳng song song Hai đường thẳng “chéo nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1 −phẳng chéo nhau Tổng của chúng chính là 𝐸3

Nếu 𝛼 ∩ 𝛽 ≠ ∅ thì chúng có ít nhất một điểm chung 𝐼 Gọi 𝛾 là cái phẳng đi qua 𝐼

có phương 𝛾 = 𝛼 ∩ 𝛽

𝑀 ∈ 𝛾 ⇔ 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜖𝛾 = 𝛼 ∩ 𝛽 ⇔ {𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜖𝛼

𝐼𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜖𝛽 ⇔ {

𝑀𝜖𝛼𝑀𝜖𝛽 ⇔ 𝑀 ∈ 𝛼 ∩ 𝛽

Như vậy 𝛼 ∩ 𝛽 là cái phẳng có phương 𝛼 ∩ 𝛽

Hệ quả 1 Nếu hai cái phẳng 𝛼 và 𝛽 song song với nhau thì hoặc chúng không có điểm chung hoặc chúng chứa nhau

Thật vậy, nếu 𝛼//𝛽 thì 𝛼 ⊂ 𝛽 (hoặc 𝛽 ⊂ 𝛼 ) Giả sử 𝛼 ∩ 𝛽 ≠ ∅ ta có 𝛼 ∩ 𝛽 là cái

phẳng có phương 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝛼 (hoặc 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝛽 ) Suy ra 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝛼 (hoặc 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝛽) hay

𝛼 ⊂ 𝛽 (hoặc 𝛽 ⊂ 𝛼)

Hệ quả 2 Tồn tại duy nhất m-phẳng đi qua điểm 𝐼 cho trước và song song với m-phẳng đã cho 𝛼

Thật vậy, gọi 𝛼 là m-phẳng có phương 𝛼 , 𝛼′ là 𝑚 −phẳng đi qua 𝐼 và có phương 𝛼

Khi đó 𝛼′ song song với 𝛼 Nếu có một m-phẳng 𝛼′′ cũng đi qua 𝐼 và song song với 𝛼 thì 𝛼′ và 𝛼′′ cũng song song với nhau, lại có 𝛼′′⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 và 𝛼′′ có chung điểm 𝐼 với 𝛼′ nên chúng trùng nhau

b) Định lý (đinh lý về số chiều của giao và tổng hai cái phẳng) Trong không gian afin n

chiều An cho 𝑝-phẳng 𝛼 và 𝑞-phẳng 𝛽 có phương lần lượt là 𝛼 và 𝛽

Nếu 𝛼 và 𝛽 cắt nhau thì

𝑑𝑖𝑚(𝛼 + 𝛽) = 𝑑𝑖𝑚𝛼 + 𝑑𝑖𝑚𝛽 − 𝑑𝑖𝑚 (𝛼 ∩ 𝛽) Nếu 𝛼 và 𝛽 không cắt nhau thì

dim(𝛼 + 𝛽) = 𝑑𝑖𝑚𝛼 + 𝑑𝑖𝑚𝛽 − dim(𝛼 ∩ 𝛽 ) + 1

c) Định lý Trong không gian afin n chiều An cho siêu phẳng 𝛼 và 𝑚 −phẳng β (1 ≤ 𝑚 ≤

𝑛 − 1) Khi đó hoặc 𝛽 song song với 𝛼, hoặc 𝛽 cắt 𝛼 theo một (𝑚 − 1)-phẳng

Chứng minh

*) Nếu 𝛼 và 𝛽 cắt nhau thì có thể xảy ra hai trường hợp

Trường hợp 1 𝛽 ⊂ 𝛼, khi đó 𝛽 và 𝛼 song song với nhau

Trường hợp 2 𝛽 ⊄ 𝛼, khi đó 𝛼 + 𝛽 = 𝑨𝑛

Áp dụng công thức của Định lý về số chiều của giao và tổng các phẳng ta có

𝑑𝑖𝑚(𝛼 + 𝛽) = 𝑑𝑖𝑚𝛼 + 𝑑𝑖𝑚𝛽 − 𝑑𝑖𝑚 (𝛼 ∩ 𝛽) hay 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 − 1 − dim(𝛼 ∩ 𝛽)

Suy ra 𝑑𝑖 𝑚(𝛼 ∩ 𝛽) = 𝑚 − 1

Vậy α và β cắt nhau theo một (𝑚 − 1) −phẳng

*) Nếu 𝛼 và 𝛽 không cắt nhau, cũng áp dụng công thức của Định lý về số chiều của giao và tổng các phẳng ta có

𝑑𝑖𝑚(𝛼 + 𝛽) = 𝑑𝑖𝑚𝛼 + 𝑑𝑖𝑚𝛽 − 𝑑𝑖𝑚(𝛼 ∩ 𝛽 ) + 1 hay 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 − 1 − 𝑑𝑖𝑚(𝛼 ∩ 𝛽 ) + 1

+) G là trọng tâm của hệ hai điểm A, B nếu 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ;

+) G là trọng tâm của hệ hai điểm A, B, C nếu 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗

b) Định lý Cho m-phẳng 𝛼 đi qua m+1 điểm độc lập 𝑃0, 𝑃1, … , 𝑃𝑚 Khi đó 𝛼 chính là tập hợp các tâm tỷ cự của họ điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau

c) Định lý Cho m-phẳng 𝛼 đi qua m+1 điểm độc lập 𝑃0, 𝑃1, … , 𝑃𝑚 và một điểm O tùy ý Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc 𝛼 là

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝜆𝑚 𝑖𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖

𝑖=0 , trong đó ∑𝑚 𝜆𝑖 = 1

1.8 Tỷ số đơn, Tập lồi, Đơn hình, Hình hộp

a) Tỷ số đơn Cho 𝑃 và 𝑄 là hai điểm phân biệt trong không gian afin thực 𝑨 Điểm 𝑀 thuộc đường thẳng 𝑑 đi qua 𝑃 và 𝑄 đồng thời 𝑀 ≠ 𝑄 khi và chỉ khi có số thực 𝑘 ≠ 1 để 𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó 𝑘 được gọi là tỉ số đơn của hệ ba điểm 𝑀, 𝑃, 𝑄 thẳng hàng lấy theo

thứ tự đó Ký hiệu 𝑘 = (𝑀𝑃𝑄)

- Khi 𝑘 = −1, ta gọi 𝑀 là trung điểm của cặp điểm 𝑃 và 𝑄

- Cho hai điểm phân biệt P, Q Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng PQ gồm hai điểm P, Q và các điểm M sao cho k = (MPQ) < 0 được gọi là đoạn thẳng PQ Hai điểm

P, Q gọi là các đầu mút của đoạn thẳng

b) Tập lồi Tập 𝑋 trong không gian afin thực 𝐴 gọi là tập lồi nếu với mọi điểm 𝑃, 𝑄 thuộc

𝑋 thì đoạn thẳng 𝑃𝑄 nằm hoàn toàn trong 𝑋

Bao lồi của một tập Dễ thấy giao của một họ không rỗng các tập lồi là một tập lồi

Từ đây ta có định nghĩa bao lồi của một tập 𝑿 ⊂ 𝐴 là giao của tất cả các tập lồi chứa

𝑿, tức là tập lồi bé nhất chứa 𝑿

Ví dụ

i) Mỗi m-phẳng 𝛼 trong không gian afin thực 𝑨 là tập lồi vì nếu 𝑃, 𝑄 là hai điểm phân biệt thuộc 𝛼 thì toàn bộ đường thẳng 𝑃𝑄 thuộc 𝛼, do đó đoạn thẳng 𝑃𝑄 nằm hoàn toàn trong 𝛼

ii) Gọi 𝛼 là siêu phẳng trong không gian afin thực 𝑨 Ta chia tập 𝑨\𝛼 thành hai tập, mỗi

tập gọi là một nửa không gian mở bằng cách như sau:

Lấy điểm 𝑂 ∈ 𝑨\𝛼 Tập 𝑋 gồm những điểm 𝑀 mà đoạn thẳng 𝑂𝑀 không có điểm chung với 𝛼 Tập 𝑌 gồm những điểm 𝑀 mà đoạn thẳng 𝑂𝑀 có điểm chung với 𝛼 Khi đó

𝑋 và 𝑌 là những tập mở

Tập 𝑋 ∪ 𝛼, 𝑌 ∪ 𝛼 gọi là các nửa không gian đóng của không gian afin 𝑨

được gọi là hình hộp m chiều hay gọi tắt là m- hộp Kí hiệu 𝐻(𝑃0, 𝑃1, … , 𝑃𝑚)

Chú ý - Từ định nghĩa, 1 −hộp là một đoạn thẳng Theo cách gọi thông thường 2 −

2.1.1 Định nghĩa Cho A, A’ là các không gian afin trên trường K liên kết với hai không

gian vectơ 𝐴 và 𝐴′⃗⃗⃗ Ánh xạ 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến tính

𝑀′𝑁′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ = 𝜃(𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

c) Cho không gian afin A và vectơ 𝑎 ∈ 𝐴 Xét ánh xạ

𝑇𝑎⃗ : 𝐴 ⟶ 𝐴, , 𝑀 ⟼ 𝑀′ sao cho 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎

𝑇𝑎⃗ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ 𝑎 Ta có phép tịnh tiến 𝑇𝑎⃗ là ánh xạ afin liên kết với ánh xạ tuyến tính đồnh nhất 1𝐴 Thật vậy, ta có

𝑀′𝑁′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1𝐴 (𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∀𝑀, 𝑁 ∈ 𝐴

Phép tịnh tiến theo vectơ 0⃗ chính là ánh xạ đồng nhất

d) Cho không gian afin A, một điểm 𝐼 ∈ 𝐴 và một số 𝑘 ≠ 0 (thuộc trường K) Xét ánh

xạ

𝑉𝐼𝑘: 𝐴 ⟶ 𝐴, 𝑀 ⟼ 𝑀′ với 𝑀′ xác định bởi 𝐼𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐼𝑀.⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉𝐼𝑘 được gọi là là phép vị tự tâm I tỉ số k

Ta có 𝑉𝐼𝑘 là ánh xạ afin có ánh xạ tuyến tính liên kết

𝜑: 𝐴 ⟶ 𝐴 , 𝜑(𝑥 ) = 𝑘𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐴

Thật vậy, ta có

𝑀′𝑁′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐼𝑀′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐼𝑁′ ⃗⃗⃗⃗ − 𝑘𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘(𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ − 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑘𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜑(𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∀𝑀, 𝑁 ∈ 𝐴

e) Phép chiếu song song

Cho không gian afin A và phẳng 𝛼 ⊂ 𝐴 có phương là không gian con 𝛼 ⊂ 𝐴 Gọi

𝛽 ⊂ 𝐴 là không gian con của 𝐴 sao cho 𝑑𝑖𝑚𝛼 + 𝑑𝑖𝑚𝛽 = 𝑑𝑖𝑚𝐴 và 𝛼 ∩ 𝛽 = {0⃗ } Khi đó mỗi phẳng có phương là 𝛽 sẽ cắt 𝛼 tại một điểm duy nhất

Xét ánh xạ 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝛼 (𝛼 là không gian afin có không gian kiến kết là 𝛼⃗⃗⃗ ) cho bởi:

với 𝑀 ∈ 𝐴, 𝑀′ = 𝑓(𝑀) là giao điểm của phẳng qua M có phương là 𝛽 với phẳng 𝛼 Ta gọi M’ là hình chiếu của M lên phẳng 𝛼 theo phương 𝛽 và f là phép chiếu song song không gian afin A lên phẳng 𝛼 theo phương 𝛽 Đây là mở rộng của phép chiếu vuông góc

sẽ trình bày trong hình học Ơclit

Định lý Phép chiếu song song là ánh xạ afin

2.1.3 Tí nh chất của ánh xạ afin

a) Mỗi ánh xạ afin chỉ có một ánh xạ tuyến tính liên kết duy nhất

b) Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: 𝐴 ⟶ 𝐴′⃗⃗⃗ và cặp điểm 𝐼 ∈ 𝐴, 𝐼′ ∈ 𝐴′ Khi đó có duy nhất ánh

xạ afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ nhận 𝜑 là ánh xạ liên kết và 𝑓(𝐼) = 𝐼′

c) Cho n+1 điểm độc lập 𝑀1, 𝑀2, … , 𝑀𝑛+1 trong không gian An và n+1 điểm

𝑀′1, 𝑀′2, … , 𝑀′𝑛+1 trong không gian afin A’ Khi đó có duy nhất một ánh xạ afin 𝑓: 𝐴 ⟶𝐴′ sao cho 𝑓(𝑀𝑖) = 𝑀′𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 + 1

d) Tích g.f của hai ánh xạ afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ và 𝑔: 𝐴′ ⟶ 𝐴′′ là ánh xạ afin nhận ánh xạ liên kết là 𝑔.⃗⃗⃗ 𝑓 , tức là 𝑔 𝑓⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑔.⃗⃗⃗ 𝑓.⃗⃗⃗

e) Ánh xạ afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ biến một m-phẳng trong A thành một l- phẳng trong A’ và 𝑙 ≤

𝑚

2.2 Đẳng cấu afin, biến đổi afin

2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ là song ánh được gọi là đẳng cấu afin

Đẳng cấu afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴 được gọi là biến đổi afin hay phép afin

Khi đó có đẳng cấu afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ ta nói hai không gian A và A’ là đẳng cấu

Ví dụ Phép vị tự, phép tịnh tiến là các phép biến đổi afin

2.2.2 Tí nh chất

a Ánh xạ afin là đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính liên kết là đẳng cấu tuyến

tính

b Hai không gian afin là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng chiều

c Cho hai hệ n+1 điểm độc lập 𝑀1, 𝑀2, … , 𝑀𝑛+1 𝑣à 𝑀′1, 𝑀′2, … , 𝑀′𝑛+1 trong hai không gian afin A, A’ có chiều n Khi đó có duy nhất đẳng cấu afin 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴′ sao cho 𝑓(𝑀𝑖) =𝑀′𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 + 1

d .Đẳng cấu afin biến một m-phẳng thành một m-phẳng

e Ánh xạ ngược của đẳng cấu afin là đẳng cấu afin

2.2.3 Biểu thức tọa độ của phép afin

Cho phép afin 𝑓: 𝐴𝑛 ⟶ 𝐴𝑛 Giả sử trong 𝐴𝑛 đã cho mục tiêu {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , , 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ } 𝑂𝑛 ′ =𝑓(𝑂) có tọa độ đối với mục tiêu là 𝑂′(𝑏1, … , 𝑏𝑛) và giả sử 𝑓 biến cơ sở {𝑒⃗⃗⃗ , , 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ } biến 𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎21𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑎1 2𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ 𝑛

…

𝑒′ 𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑛1𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑎1 𝑛𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ 𝑛

X là một điểm bất kỳ trong 𝐴𝑛 , gọi X’=f(X) Giả sử đối với mục tiêu đã cho 𝑋(𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑋′(𝑥′1, … , 𝑥′𝑛) Ta có liên hệ giữa tọa độ của X và tọa độ của điểm ảnh X’ cho bởi công thức sau

[𝑥′…1𝑥′𝑛] = [

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛]

𝑇[

Ví dụ Cho A, B, C là 3 điểm độc lập trong không gian afin A2 Gọi 𝑓: 𝐴2 ⟶ 𝐴2 là phép afin thỏa mãn f(A)=B, f(B=C, f(C)=A Lập phương trình của f đối với mục tiêu

Do đó ma trân chuyển từ cơ sở {𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ } sang ảng của nó qua ánh xạ tuyến tính liên kết

là

𝐴 = [−1 1−1 0] Điểm B là ảnh điểm gốc A của mục tiêu và tọa độ B đối với mục tiêu{A;B,C} là (1,0) Vậy phương trình của phép afin là

[𝑥′] = [−1 1−1 0]𝑇[𝑥] + [𝐵]

hay {𝑥′

1 = −𝑥1+ 1𝑥′2 = −𝑥1

2.2.4 Hì nh học afin

a) Hì nh trong không gian: Ta gọi mỗi tập con khác rỗng trong không gian afin A là một

hình Ví dụ: một điểm, một hệ điểm, một m-đơn hình, một m-hộp ; một m-phẳng,…là các

hình trong không gian afin

b) Tương đương afin: Hai hình là ảnh của nhau qua một phép afin được gọi là tương đương afin Ví dụ: Hai điểm là tương đương afin; hai hệ m điểm độc lập là tương đương afin; hai m-đơn hình là tương đương afin; hai m-hộp là tương đương afin

c) Bất biến afin: Ta gọi một tính chất là bất biến afin nếu tính chất đó có trên một hình H thì có trên mọi hình H’ tương đương afin với hình H

Ví dụ: Ta có các bất biến afin sau:

Tính độc lập, phụ thuộc của một hệ điểm, tính đồng quy của các đường thẳng, tính thẳng hàng của các điểm;

Tính cắt nhau, song song, chéo nhau của hai phẳng

Tỷ số đơn của 3 điểm, đặc biệt tính chất là trung điểm của đoạn thẳng, là các bất biến afin

d) Hì nh học afin: Hình học afin n chiều nghiên cứu tất cả các bất biến afin trong không gian afin n chiều Như vậy, hình học afin nghiên cứu tính độc lập, phụ thuộc của hệ điểm; các phẳng; quan hệ giữa các phẳng (song song, cắt nhau, chéo nhau), m-đơn hình, m-hộp,

tỷ số đơn, tính đồng quy của các đường thẳng, tính thẳng hàng của hệ điểm,…

§3 Siêu mặt bậc hai trong không gian afin

3.1 Khái niệm siêu mặt bậc hai

Trong không gian afin 𝐴𝑛 trên trường số thực chọn mục tiêu afin {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } 𝑛Cho phương trình bậc hai:

𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑛

𝑖,𝑗=1

+ 2 ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛

𝑖=1

+ 𝑎0 = 0 (1)

trong đó các hệ số 𝑎𝑖𝑗, 𝑎𝑖, 𝑎0 là các số thực, các 𝑎𝑖𝑗 không đồng thời bằng không và 𝑎𝑖𝑗 =

𝑎𝑗𝑖

Tập hợp tất cả những điểm X thuộc 𝐴𝑛 sao cho tọa độ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) của nó thỏa

mãn phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình đó

Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) thì phương trình (1)

được gọi là phương trình của (S)

Với 𝑛 = 2 và 𝑛 = 3 thì các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường bậc hai

𝑎1

𝑎2

⋮

𝑎𝑛]

Khi đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0 (2)

Ma trận 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] được gọi là ma trận bé, ma trận

𝐵 =[

Một siêu mặt bậc hai gọi là không suy biến nếu ma trận lớn không suy biến

(𝑑𝑒𝑡𝐵 ≠ 0)

Dựa vào các tính chất đặc trưng, người ta gọi một siêu mặt bậc hai suy biến với

hạng của ma trận lớn bằng hạng của ma trận bé là siêu nón bậc hai, một siêu mặt bậc hai suy biến với hạng của ma trận lớn khác hạng của ma trận bé là siêu trụ bậc hai

Nhận xét Khái niệm siêu mặt bậc hai không phụ thuộc vào việc chọn mục tiêu trong

Ví dụ Trong không gian afin A2 với mục tiêu cho trước, cho siêu mặt bậc hai có phương trình𝑥12+ 2𝑥1𝑥2 + 3𝑥22+ 2𝑥1− 4𝑥2+ 1 = 0

Ta có 𝑎11 = 1, 𝑎12 = 𝑎21 = 1, 𝑎22 = 3, 𝑎1 = 1, 𝑎2 = −2, 𝑎0 = 1

Định lý Qua phép biến đổi afin, một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt bậc hai

(𝐵[𝑥′] + [𝑏])𝑡𝐴(𝐵[𝑥′] + [𝑏]) + 2[𝑎]𝑡(𝐵[𝑥′] + [𝑏]) + 𝑎0 = 0 Khai triển phương trình trên với chú ý rằng: [𝑥′]𝑡𝐵𝑡𝐴[𝑏] = [𝑏]𝑡𝐴𝐵[𝑥′] (vì 2 vế của đẳng thức là các ma trận vuông cấp 1 nên chuyển vị của nó bằng chính nó), ta có:

[𝑥′]𝑡𝐵𝑡𝐴𝐵[𝑥′] + 2(𝐵𝑡(𝐴[𝑏] + [𝑎]))𝑡[𝑥′] + [𝑏]𝑡𝐴[𝑏] + 2[𝑎]𝑡[𝑏] + 𝑎0 = 0 (5)

Ta có 𝐵𝑡𝐴𝐵 = (𝐵𝑡𝐴𝐵)𝑡 và hạng của 𝐵𝑡𝐴𝐵 bằng hạng của 𝐴 do 𝑑𝑒𝑡𝐵 ≠ 0

Vậy (5) cũng là phương trình của một siêu mặt bậc hai (S’), đó chính là ảnh của

siêu mặt bậc hai S qua ánh xạ afin f đã cho

3.2 Giao của siêu mặt bậc hai với đường thẳng

Trong không gian afin 𝐴𝑛 cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình:

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0 (2)

và đường thẳng (d) đi qua điểm 𝐵(𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) có không gian phương sinh bới vectơ

𝑐 (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) Khi đó phương trình của (d) có thể viết dưới dạng:

[𝑥] = 𝜆𝑐 + 𝑏 (6) trong đó c, b là các ma trận cột

𝑏1

𝑏2

⋮

𝑏𝑛)

Khi đó giao điểm của (d) với (S) có tọa độ là nghiệm của hệ (2) và (6) Thay (6) vào (2) ta được:

(𝜆𝑐 + 𝑏)𝑡𝐴(𝜆𝑐 + 𝑏) + 2[𝑎]𝑡(𝜆𝑐 + 𝑏) + 𝑎0 = 0 (7) hay

(𝑐𝑡𝐴𝑐)𝜆2+ 2𝑃𝜆 + 𝑄 = 0 (8)

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 ≠ 0 thì (8) là phương trình bậc hai đối với 𝜆, bởi vậy nó có thể có

2 nghiệm phân biệt, một nghiệm kéo hoặc vô nghiệm Như vậy (d) sẽ cắt (S) tại hai điểm phân biệt hoặc tại một điểm (mà ta sẽ gọi là điểm kép) hoặc không cắt

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 = 0 và 𝑃 ≠ 0 thì phương trình (8) có nghiệm duy nhất, tức là (d) cắt (S) tại một điểm duy nhất

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 = 0 và 𝑃 = 0, 𝑄 ≠ 0 thì phương trình (8) vô nghiệm, tức là (d) không cắt (S)

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 = 0 và 𝑃 = 0, 𝑄 = 0 thì phương trình (8) có nghiệm với mọi 𝜆∈

ℝ, tức (d) chứa trong (S)

3.3 Tâm, điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai

Định nghĩa Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì

phương trình của (S) có dạng:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗𝑛

𝑖,𝑗=1

+ 𝑎0 = 0 hay viết dưới dạng ma trận là

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 𝑎0 = 0 với 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]

Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm M thuộc siêu mặt bậc hai (S) và (S) có tâm I thì điểm M’ đối xứng với M qua tâm I cũng thuộc (S) Vậy nếu (𝑆) ≠ ∅ thì tâm của nó cũng chính là tâm đối xứng của tập (S)

Nếu cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0

từ định nghĩa của tâm, ta thấy rằng, một điểm là tâm của (S) khi và chỉ khi có tọa độ thỏa mãn phương trình

{−3𝑥𝑥1− 3𝑥2+ 1 = 0

1+ 2𝑥2− 2 = 0 Nghiệm của hệ là 𝑥1 = −47, 𝑥2 =17 Vậy tâm của (S) là điểm I=(−47, 17)

Định nghĩa Một điểm I được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu 𝐼 ∈ (𝑆) và I là tâm của (S)

Nếu cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0 thì điểm kì dị có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

{[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0

𝐴[𝑥] + [𝑎] = 0 ⇔ {([𝑥]𝑡𝐴 + [𝑎])[𝑥] + [𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0

𝐴[𝑥] + [𝑎] = 0 ⇔ {[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0

𝐴[𝑥] + [𝑎] = 0 (11)

3.4 Phương tiệm cận và đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai

Định nghĩa Vectơ 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) với

Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đường thẳng đi qua tâm được gọi là

đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai nếu phương của nó là phương tiệm cận và nó không

- Parabol 𝑦2 = 2𝑝𝑥 có một vectơ chỉ phương tiệm cận là 𝑐 (0,1) nhưng không

có đường tiệm cận nào vì không có tâm

3.5 Siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai

Định lý Cho hai điểm M1, M2 thay đổi của siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường thẳng M1M2

có phương cố định c ≠ 0 (mà không phải là phương tiệm cận) Khi đó tập hợp trung điểm của đoạn thẳng M1M2 nằm trên một siêu phẳng đi qua tâm (nếu có) của (S)

Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S) liên hợp với phương c , hoặc c là

phương liên hợp với siêu phẳng kính đó

Chứng minh Giả sử trong không gian afin 𝐴𝑛 với mục tiêu đã chọn, siêu mặt bậc hai (S)

có phương trình:

[𝑥]𝑡𝐴[𝑥] + 2[𝑎]𝑡[𝑥] + 𝑎0 = 0 (2) Giả sử 𝑀1, 𝑀2 ∈ (𝑆) và 𝐼(𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) là trung điểm đoạn thẳng 𝑀1𝑀2 Phương trình đường thẳng qua 𝑀1, 𝑀2 có dạng:

[𝑥] = [𝑏] + [𝑐]𝜆 (𝑥𝑖 = 𝑏𝑖 + 𝑐𝑖𝜆, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛) trong đó (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) là tọa độ của vectơ 𝑐

Để tìm tọa độ M 1 , M 2 ta giải phương trình (8):

(𝑐𝑡𝐴𝑐)𝜆2+ 2𝑃𝜆 + 𝑄 = 0 (8) Giả sử 𝜆1, 𝜆2 là nghiệm của phương trình (8) ứng với các giao điểm M 1 , M 2 Ta có

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐼) − (𝑥𝑀1) = [𝑏] − ([𝑏] + [𝑐]𝜆1) = −[𝑐]𝜆1

𝑀2𝐼

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐼) − (𝑥𝑀2) = [𝑏] − ([𝑏] + [𝑐]𝜆2) = −[𝑐]𝜆2Mặt khác, 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀1𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ nên suy ra [𝑐]𝜆2𝐼 1+ [𝑐]𝜆2 = 0

⇔ 𝜆1+ 𝜆2 = 0 (do 𝑐 ≠ 0⃗ ) Vậy 𝑃 = 0 hay

𝑃 = 𝑏𝑡𝐴𝑐 + 𝑎𝑡𝑐 = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑖𝑐𝑗

𝑛

𝑖,𝑗=1

+ ∑ 𝑎𝑖𝑐𝑖𝑛

Vì tâm của (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình 𝐴𝑥 + 𝑎 = 0 nên cũng thỏa mãn phương trình (13) Vậy nếu siêu phẳng bậc hai (S) có tâm thì siêu phẳng kính liên hợp với phương nào đó chứa mọi tâm của (S)

Ví dụ

Trong không gian afin 2 chiều thông thường ta có:

1 Đường kính liên hợp với phương 〈𝑐 〉, với 𝑐 (𝑐1, 𝑐2), của elip 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1 là đường thẳng có phương trình 𝑐1 𝑥

3.6 Tiếp tuyến và siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai

a) Định nghĩa Trong không gian afin 𝐴𝑛 cho siêu mặt bậc hai (S) Đường thẳng (d) được

gọi là một tiếp tuyến của (S) nếu:

- Hoặc phương của d không phải là phương tiệm cận của (S) và (d) cắt (S) tại đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm), ta nói (d) tiếp xúc với (S) tại điểm ấy

- Hoặc phương của (d) là phương tiệm cận và (d) nằm trên (S)

b) Định lý Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phương trình

Vậy phương trình trên tương đương với phương trình

(𝑐𝑡𝐴𝑐)𝜆2+ 2𝑃𝜆 = 0 (15) hay

𝜆[(𝑐𝑡𝐴𝑐)𝜆 + 2𝑃] = 0

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 ≠ 0, tức 𝑐 không phải là phương tiệm cận, để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (S) thì điều kiện cần và đủ là (d) cắt (S) tại một điểm duy nhất Điều này tương đương với 𝑃 = 0 hay [𝑏]𝑡𝐴[𝑐] + [𝑎]𝑡[𝑐] = 0

- Nếu 𝑐𝑡𝐴𝑐 = 0, khi đó 𝑐 là phương tiệm cận của (S), để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (S) thì điều kiện cần và đủ là (d) nằm trên (S), tức là phương trình (15) nhận mọi giá trị của 𝜆 là nghiệm Điều này cũng tương đương với 𝑃 = 0 hay [𝑏]𝑡𝐴[𝑐] + [𝑎]𝑡[𝑐] = 0

Hệ quả Nếu B là một điểm kì dị của (S) thì mọi đường thẳng qua B đều là tiếp tuyến của

(S)

Thật vậy, nếu 𝐵(𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) là điểm kì dị của (S) thì B là tâm nên tọa độ của nó

thỏa mãn phương trình 𝐴[𝑏] + [𝑎] = 0 hay [𝑏]𝑡𝐴 + [𝑎]𝑡 = 0, suy ra [𝑏]𝑡𝐴[𝑐] + [𝑎]𝑡[𝑐] =

0 (ở đây 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) là phương của đường thẳng qua B)

c) Định lý Nếu B thuộc (S) và B là điểm không kì dị thì các tiếp tuyến của (S) tại B tạo

thành một siêu phẳng Siêu phẳng đó gọi là siêu tiếp diện của (S) tại B

Thật vậy, giả sử 𝐵(𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) và 𝑀(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≠ 𝐵 thì M nằm trên tiếp

tuyến của (S) tại tiếp điểm B khi và chỉ khi 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑐 , 𝜆 ≠ 0 Điều này tương đương với tọa độ vectơ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thỏa mãn phương trình (14), tức là:

[𝑏]𝑡𝐴([𝑥] − [𝑏]) + [𝑎]𝑡([𝑥] − [𝑏]) = 0 hay

([𝑏]𝑡𝐴 + [𝑎]𝑡)([𝑥] − [𝑏]) = 0 (15)

Do B không phải là điểm kì dị nên [𝑏]𝑡𝐴 + [𝑎]𝑡 = (𝐴[𝑏] + [𝑎])𝑡 ≠ 0 Phương trình (15) là phương trình của một siêu phẳng

Ví dụ

Trong không gian afin 2 chiều thông thường ta có:

1 Tiếp tuyến tại điểm 𝐵(𝑏1, 𝑏2) của elip 𝑥𝑎22+𝑦𝑏22 = 1 là đường thẳng có phương trình 𝑏1𝑥

3.7 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai

Định lý Cho (S) là một siêu mặt bậc hai trong không gian afin An Khi đó tồn tại mục tiêu afin để phương trình của (S) đối với mục tiêu có một trong các dạng sau:

−𝑥12− ⋯ − 𝑥𝑘2+ 𝑥𝑘+12 + ⋯ + 𝑥𝑟2 = 1, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, (𝐼)

−𝑥12− ⋯ − 𝑥𝑘2+ 𝑥𝑘+12 + ⋯ + 𝑥𝑟2 = 0, 0 ≤ 𝑘 ≤ [𝑟

2] , 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, (𝐼𝐼)