Đề cương ôn tập môn Toán 8 trong kì nghỉ phòng dịch | Trường THCS Phú Hội

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho... 4 KL ΔAMN ∽ ΔABC.[r]

Các em chép bài vào vở và làm các bài tập

Tuần 22

Đại số: BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

I Tìm điều kiện xác định ( ĐKXĐ ) của 1 phương trình:

Ví dụ 1: Tìm ĐKXĐ của mỗi phương trình sau:

a) 2 1 1

2

x x







Nhận xét: x 2 ≠ 0

x ≠ 2 Vậy ĐKXĐ của phương trình là : x ≠ 2

x   x

Nhận xét: x 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

x ≠ 1 và x ≠ -2 Vậy ĐKXĐ của phương trình là : x ≠ 1 và x ≠ - 2

II Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

 Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu :

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình

- Bước 2: Quy đồng mẫu 2 vế của phương trình rồi khử mẫu

- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận dược

- Bước 4: ( Kết luận ) Trong các giá trị của ần tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

2 2 3 2( 2)

  

 (2) ĐKXĐ : x ≠ 0 và x ≠ 2 ( B1: Tìm ĐKXĐ )

 2( 2)( 2) (2 3)

2 ( 2) 2 ( 2)

  ( B2: quy đồng mẫu 2 vế )

Suy ra : 2(x 2)(x 2) x(2x 3) (2a) ( khử mẫu 2 vế phương trình )

(2a)  2

2(x   4) x(2x 3)

2x 8 2x 3x

    ( B3: Giải phương trình 2a )

3x 8

  

8 3

x 

  ( nhận ) ( Kiểm tra nghiệm với ĐKXĐ )

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là : S = 8

3



 

 

  ( B4: Kết luận )

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

(3)

     2 

    ; ĐKXĐ : x ≠ 3 và x ≠ -1

 (  1)  (  3)  2.2 

2 3 ( 1) 2 1 ( 3) 2 1 3

 x x(   1) x x(   3) 4x

x  x x  x x

 2

2x  6x 0

 2 (x x  3) 0

2x = 0 hay x – 3 = 0

x = 0 ( nhận ) hay x = 3 ( loại )

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là : S =  0

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:



0

x



3)

 

x



 

   

  ;

5)

  

1 2 ( 1)(2 )

9) 1 2 52

   

   

Hình học: CHỦ ĐỀ: HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A Khái niệm hai tam giác đồng dạng

I Định nghĩa:

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

' ' ' ' ' ' ' ; ' ; ' ; A B A C B C

Kí hiệu: ∆𝐴′𝐵′𝐶′ ∽ ∆𝐴𝐵𝐶

' ' '

A B C

' ; ' ; ' ' ' ' ' ' '



  

II Tính chất:

Thì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC

III Định lí:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì

nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

GT ΔABC

A

M

A A'

KL ΔAMN ∽ ΔABC

tam giác và song song với cạnh còn lại

Bài tập:

Bài 1: ABC có AB = 5cm, AC = 10cm, BC = 7cm Biết ABC đồng dạng với DEF có cạnh lớn nhất dài 15cm Hãy tính các cạnh còn lại của DEF

Bài 2: Cho ΔMNP ∽ ΔABC Biết MN=4cm, NP=6cm, AB=2cm, 𝑃̂=40o Tính BC, 𝐶̂

Tuần 23

Đại số:

Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I Lý thuyết chung

Để giải một số dạng toán đố hoặc bài toán phát sinh từ thực tế, ta có thể lập phương trình (từ các dữ kiện đề bài cho) sau đó giải phương trình và trả lời yêu cầu của bài toán

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1 Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2 Giải phương trình

Bước 3 Trả lời: Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận

Ví dụ Năm nay, tuổi mẹ gấp ba lần tuổi Phương 13 năm sau thì tuổi mẹ chỉ còn gấp hai lần

tuổi Phương Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

Giải Gọi số tuổi của Phương năm nay là x (điều kiện: xN*)

Tuổi của mẹ năm nay là: 3x

a

a N

M A

C B

A N

M

13 năm sau thì tuổi của Phương là: x + 13

13 năm sau thì tuổi của mẹ là: 3x + 13

Vì 13 năm sau tuổi của mẹ gấp hai lần tuổi của Phương nên ta có phương trình:

13 nhan

x

 

Vậy năm nay Phương 13 tuổi

Bài tập

1 Hiệu của hai số là 18 Số lớn gấp 7 lần số bé Tìm hai số đó

2 Tổng của hai số là 84 Số bé bằng 1/3 số lớn Tìm hai số đó

II Một số dạng toán

Dạng 1 Bài toán liên quan đến hình chữ nhật

Công thức cần nhớ: Chu vi: P = (d + r).2; nửa chu vi: d + r; diện tích: S = d.r

Thường đặt ẩn x là chiều rộng hoặc chiều dài

Ví dụ Cho hình chữ nhật có chiều rộng kém chiều dài 20m Biết chu vi của nó bằng 72m

Tính diện tích hình chữ nhật đó

Giải Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) (điều kiện x > 0)

Chiều dài hình chữ nhật là x + 20

Vì chu vi hình chữ nhật bằng 72m nên ta có phương trình:

 20 .2 72

8 (nhan)

x x x

 

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là: 8m

Chiều dài hình chữ nhật là : 8 + 20 = 28 (m)

Diện tích hình chữ nhật là : 28.8 = 224 (m2)

Bài tập

1.Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài và diện tích bằng 150 2

m Tính chu vi hình chữ nhật

2 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 385 2

m so với diện tích ban đầu Tìm các kích thước ban đầu của khu vườn

3 Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 160m Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích tăng thêm 200m2 Tính kích thước miếng đất

4 Một hình chữ nhật có chu vi là 26 m Nếu tăng một cạnh thêm 2 m và giảm cạnh còn lại 3

m thì diện tích giảm 20 m2 Tính kích thước hình chữ nhật ?

5 Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10 m Nếu tăng chiều rộng thêm

5 m và giảm chiều dài 2 m thì diện tích tăng thêm 100 m2 Tính kích thước của miếng đất lúc đầu

6 Cạnh bé nhất của một tam giác vuông có độ dài bằng 6cm, cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 2 cm Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó

7 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng Nếu chiều rộng tăng thêm

5 mét thì diện tích mảnh đất tăng thêm 250 m2 Tính chu vi của mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu

8 Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 5m, giảm chiều dài đi 5m thì diện tích đất tăng 10m2.Tính chiều dài, chiều rộng miếng đất đó

Hình học: CHỦ ĐỀ: HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

B Các trường hợp đồng dạng của tam giác

I Trường hợp đồng dạng góc-góc:

Định lí:

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác

đó đồng dạng với nhau

Xét ΔABC và ΔDEF có:

A D

B E

 









 ΔABC ∽ ΔDEF (g.g)

a Chứng minh AB2 = BH.BC

b Chứng minh AC2 = CH.CB

c Chứng minh AH2 = HB.HC

Giải

a Chứng minh AB2 = BH.BC

Xét ΔABC và ΔHBA ta có:

D

F E

C B

A

H B

(góc chung)

ABC ABH BAC BHA





 ΔABC ∽ ΔHBA (g.g)

2

AB HB BC

b Chứng minh AC2 = CH.CB

Xét ΔABC và ΔHCA ta có:

90o

ACB ACH BAC AHC





 ΔABC ∽ ΔHAC (g.g)

2

.

AC BC

HA CA

AC HA BC

c Chứng minh AH2 = HB.HC

Ta có ΔABC ∽ ΔHBA (cmt)

ΔABC ∽ ΔHAC (cmt)

 ΔHBA ∽ ΔHAC

2

.

HB HA

HA HC

HA HB HC

Bài tập:

Bài 1: Cho ABC nhọn (AB > AC) Trên cạnh AB lấy D sao cho ACD  ABC Hỏi ABC có đồng dạng ACD không ? Vì sao ?

Bài 2: Cho ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H

a) Chứng minh: ABM ACM

b) Chứng minh: HBN HCM

c) Chứng minh: AMN ABC

(tỉ số đồng dạng)

(tỉ số đồng dạng)

(tỉ số đồng dạng)

Bài 3: Cho ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh: AF.AB = AE.AC

b) Chứng minh: HB.HE = HC.HF

c) Chứng minh: AE.BC = AB.EF

Bài 4: Cho OMN vuông tại O có OH là đường cao (HMN)

a) Chứng minh: OMN HMO

b) Chứng minh: HNO ONM

c) Chứng minh: HMO HON

Tuần 24 Đại số: Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 2 Toán chuyển động (đều)

Có 3 đại lượng: vận tốc (v), quãng đường (s), thời gian (t) liên hệ với nhau theo công thức:

; ;

Nếu đề cho biết vận tốc thì ta thường gọi x là thời gian, và ngược lại

Để đơn giản, ta thường kẻ bảng ra nháp sau đó mới giải

Ví dụ Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h rồi quay về ngay với vận tốc 40km/h

Thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 24 phút Tính chiều dài quãng đường AB (biết ô tô đi và về trên cùng một con đường)

Nháp Đổi 5 giờ 24 phút = 5, 4 giờ Gọi thời gian đi là x (giờ)

Quãng đường đi và về như nhau nên có pt : 50x = 40(5,4 – x)

Giải Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (h) (điều kiện 0 < x < 5,4)

Thời gian ô tô từ B về A là: 5,4 – x (h)

Quãng đường AB là: 50x (km)

Quãng đường BA là : 40.(5,4 – x) (km)

Vì quãng đường đi và về như nhau nên ta có phương trình:

50 40(5, 4 )

90 216

2, 4 (nhan)

x x

 

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 2,4 giờ

Quãng đường AB dài: 50.2,4 = 120 (km)

Bài tập

1 Một xe đạp đi từ A đến B với vận tốc 12km/h rồi quay về ngay với vận tốc 9km/h Thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ Tính chiều dài quãng đường AB (biết

xe đạp đi và về trên cùng một con đường)

2 Để đi hết đoạn đường A đến B, một xe máy phải đi hết 3 giờ 30 phút, còn ô tô chỉ

đi hết 2 giờ 30 phút Tính quãng đường AB biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe

máy là 20km/h

3 Một xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B Cùng lúc đó, một ô tô đi từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h Biết quãng đường AB dài 140 km

và hai xe gặp nhau sau 2 giờ, tính vận tốc mỗi xe (hai xe đi trên cùng một con

đường)

Hình học: CHỦ ĐỀ: HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

II Trường hợp đồng dạng cạnh cạnh (c.c.c)

1 Định lí:

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Xét ΔABC và ΔHQK có

HQ  HK QK

 ΔABC ∽ ΔHQK (c.c.c)

2 Ví dụ

Cho ΔABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm và ΔMNP có MN = 2cm, MP = 4cm, NP = 3cm Chứng minh ΔABC ∽ ΔMNP

H

K Q

C B

A

Xét ΔABC và ΔMNP

Ta có:

6 3 2 12 3 4 9 3 3

AB MN AC MP BC NP

  









  



 ΔABC ∽ ΔMNP (c.c.c)

Bài tập:

Bài 1: Cho KFC có KF = 4cm, FC = 8cm, KC = 6cm và NBA có NA = 12cm, NB = 6cm,

BA = 9cm Hỏi 2 tam giác có đồng dạng không ? Vì sao ?

Bài 2: Cho ABC vuông tại B có BK là đường cao Biết AB = 6cm, BC = 8cm

a) Chứng minh: ABC AKB

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, KA, KB, KC

Tuần 25 Đại số: Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 3 Toán năng suất

Có 3 đại lượng :

+) Năng suất (N) : số sản phẩm sản xuất được trong 1 ngày (hoặc giờ) Đơn vị sp/ngày (hoặc sp/h)

+) Tổng sản phẩm (S) : tổng số sản phẩm sản xuất được Đơn vị : sp

+) Thời gian hoàn thành (T) Đơn vị : ngày (hoặc giờ)

Liên hệ giữa 3 đại lượng: N = S/T, S = N.T, T = S/N

Đại lượng năng suất , tổng sản phẩm , thời gian hoàn thành lần lượt có ý nghĩa tương tự đại lượng vận tốc , quãng đường , thời gian chuyển động

Ví dụ Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm Khi thực hiện, mỗi

ngày tổ sản xuất được 60 sản phẩm Do đó tổ đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày Hỏi theo

kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Nháp

Đề cho biết năng suất nên ta gọi số ngày tổ phải sản xuất theo kế hoạch là x

Tổng sp không đổi nên có pt: 50x = 60.(x – 3)

Giải

Gọi số ngày tổ phải sản xuất theo kế hoạch là x (điều kiện xN x*, 3)

Số ngày thực tế hoàn thành công việc: x – 3

Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch: 50x

Số sản phẩm thực tế làm được: 60.(x – 3)

Vì thực tế sản xuất ra số sản phẩm đúng theo kế hoạch nên ta có phương trình:

50 60.( 3)

18 (nhan)

x x

   

 

Vậy theo kế hoạch tổ phải mất 18 ngày mới sản xuất xong

Số sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là: 50.18 = 900 (sản phẩm)

Ví dụ Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50

tấn than Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn Do đó, đội đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 ngày và còn vượt kế hoạch 13 tấn Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than?

Nháp Đề cho biết năng suất nên ta gọi x (ngày) là thời gian hoàn thành khai thác theo kế

hoạch

N (tấn/ngày) S (tổng số tấn) T (ngày)

Vì thực tế khai thác được nhiều hơn kế hoạch 13 tấn nên ta có pt: 57.(x – 1) – 50x = 13

Giải: Học sinh tự trình bày lời giải tương tự ví dụ trên (Đáp số: 500 tấn)

Bài tập

1 Một đội làm đường theo kế hoạch mỗi ngày làm 30m đường Nhưng khi thực hiện do

có một số công nhân được điều đi làm công việc khác nên mỗi ngày đội chỉ làm được 25m đường Vì vậy đội hoàn thành trễ 2 ngày so với kế hoạch Tính số mét đường mà đội phải làm theo kế hoạch

2 Một xưởng may theo kế hoạch mỗi ngày may 300 cái áo, nhưng khi thực hiện do có cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày may được 400 cái áo Do đó xưởng đã hoàn thành công việc trước thời gian dự định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may bao nhiêu cái áo?

3 Lớp 8A tham gia trồng cây, theo dự định mỗi ngày trồng 30 cây, nhưng thực tế mỗi ngày trồng được 40 cây Do đó lớp đã trồng trước kế hoạch 3 ngày và còn trồng thêm được 20 cây nữa Tính xem theo kế hoạch lớp 8A trồng bao nhiêu cây?

Hình học: CHỦ ĐỀ: HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

III Trường hợp đồng dạng cạnh góc cạnh (c.g.c)

Định lí:

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng

Xét ΔABC và ΔKMN có:

 











 ΔABC ∽ ΔHQK (c.g.c)

Ví dụ: Cho ΔABC có AB = 6cm, AC = 9cm Lấy M AB sao cho AM = 3cm, lấy NAC sao cho AN = 2cm Chứng minh ΔAMN ∽ ΔACB

Giải

Ta có:

3 1

9 3

2 1

6 3

AM

AC

AN

AB

  





  



N

M A

C B

H

K Q

C B

A

Xét ΔAMN và ΔACB có:

 

cmt







 ΔAMN ∽ ΔACB (c.g.c)

Bài tập:

Bài 1 Cho ΔABC và ΔDEF có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 4cm, DE = 1,5cm, DF = 2,5cm,

EF = 2cm Chứng minh ABC EDF

Bài 2 Cho tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 5cm, CD = 12cm AD = 10cm và AC = 10cm

Chứng minh AB//CD

Bài 3 Cho ΔABC nhọn (tam giác có 3 góc nhọn) có 3 đường cao: BD, AF và CE cắt nhau

tại H (D AC; E  AB; F  BC)

a/ Chứng minh ΔBHE ∽ ΔCHD

b/ Chứng minh AE.AB = AD.AC

c/ Chứng minh AED ACB

d/ Chứng minh BE.AB + CH.CE = BC2

Bài 4 Cho ΔABC nhọn, AH là đường cao (H  BC) Vẽ HM ⏊ AB tại M (M AB),

HN⏊AC tại N (N AC)

a/ Chứng minh ΔAHB ∽ΔAMH và AH2 = AM.AB

b/ Chứng minh ΔAHC ∽ΔANH và AM.AB = AN.AC

c/ Chứng minh ΔAMN đồng dạng với ΔACB

d/ Chứng minh MN.AH = AM.NH + MH.AN

Bài 5: Cho ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB đặt đoạn thẳng AE

= 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn AF = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng EF

Bài 6: Cho DEF có DE = 5cm, DF = 10cm Trên cạnh DF, đặt đoạn DM = 2,5cm Chứng minh: DEF  DME

Bài 7: Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao

(góc chung)

a) Chứng minh: AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b) Chứng minh: HA2 = HB.HC

c) Chứng minh: AB.AC = AH.BC

d) Chứng minh: 12 12 12

AH  AB  AC

Bài 8: Cho ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC)

a) Chứng minh: BAH BCA

b) Trên HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E Chứng minh: CE.CA = CB.CD

c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh: BEC ADC và tính số đo AHM

Bài 9: Cho ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AH

a) Chứng minh: ABC HAC

b) Chứng minh: HB.HC = HA2

c) Tia phân giác góc BAC lần lượt cắt BC và đường thẳng vuông góc với AB tại B ở D và

I Chứng minh: AD.AB = AC.ID

d) Biết 3

4

DB

DC  Tính HC

HB ?

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH

a) Chứng minh rằng: ABC HBA Từ đó suy ra AB2 = BH BC

b) Chứng minh rằng: HAB HCA Từ đó suy ra AH2 = BH CH

c) Vẽ HD vuông góc AC tại D Đường trung tuyến CM của tam giác ABC cắt HD tại N Chứng minh rằng: HN CN

BM  CM và HN = DN

d) Qua A vẽ đường thẳng d song song với BC Trên đường thẳng d lấy điểm E (E và C

nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AH) sao cho AE AD

BC  CD Gọi I là giao điểm của AH và

CM Chứng minh rằng: 3 điểm B, E, I thẳng hàng

Bài 11: Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH Biết AB = 12cm, BC = 20cm

a) Chứng minh: ΔABC ΔHBA và tính độ dài AH

b) Gọi M là trung điểm của AC Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt BC tại O

Chứng minh: CM.CA = CH.CO

c) Lấy điểm I là trung điểm AH Chứng minh: MBC  ABI

d) Gọi K là giao điểm của BI và OM Chứng minh: KC  BC

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1 Chứng minh ABC EDF