Chuyên ĐHSP 2011 V1 Chứng minh bất đẳng thức... aTìm chữ số tận cùng của M... Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
LUYỆN THI CHUYÊN
3 1 1
2
3 1
2
3 1 1
2
3 1
−
−
− + + + +
Câu 2 Thực hiện phép tính:
a)
2 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
− +
−
− +
=
A
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
c) Tính giá trị
2 2
139
19
5
15
1
1
++
++
++
++
Câu 4 Tính giá trị của tổng
A =
2 2
2 2 2
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
122
1
−+
2 Tính giá trị của biểu thức S =a2 + a4 +a +1
Câu 7 (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
Trang 24 80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
1
>
+ + + +
+ +
+ +
Câu 8 Tính giá trị biểu thức:
( 3 2 )2006
2 8
38 5 17
3
− +
3
3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a≠
b.Chứng minh rằng
03
3
2)
(
)(
3 3
=
−
++
−
+
−+
−
a b
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
1 3
1 6 27 3
1
+ +
− + + + + +
1
1
− +
2 1
1 : 1
=
x x x x
x x
x
x P
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q = P− x
nguyên
Trang 3Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức :
1 2
1
1 1
1 1 1
−
− +
− +
−
− +
x x
x x
x
x P
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
−
−+
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
+ +
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
+
+ +
2 2 2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
−++
−
=
với a>b>0
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 21 Cho biểu thức (x +
2006 2006
Trang 4a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
a a
a a a
a a
a a
−+
−+
2
24)
1(3
24)
1(3
2 2
2 2
Câu 25 (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức
157
;
1:
−+
+
+
x x
x x x x
x P
( Với x>0, x≠
1) a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
2
)(
:
2
b a ab
a
a ab
b
b b
a
b a b a
b a
+
=
Với a=0;b>0 và a khác ba) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
Trang 5x x x
x x
x x
x
3
1 :
9
2 3
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a Q
−
−+
+
++
−
=
33
2
2 3
với a>0 ; b>0 a≠
b Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
LUYỆN THI CHUYÊN
3 1 1
2
3 1
2
3 1 1
2
3 1
−
−
− + + + +
( )
2
3 1 2
1 3 4
3 2 4
2
3
1
2 +
3 1 4
3 2 4
Trang 62 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
− +
−
− +
=
A
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
c) Tính giá trị
2 2
5
2 4 10 17 5 17 5 2 4 10 17 5 17
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
) 1 3 ( 2
3 2 4 3 2
2 +
=
+
= +
) 1 3 ( 3 2
1 3 1 3 2 6 2 2
) 1 3 ( 2
6 2
2
) 1 3
=
− + +
= +
−
− +
+ + +
Vậy B= 2
c) Tính giá trị
2 2
Trang 7Biểu thức
2 2
139
19
5
15
1
1
++
++
++
++
1
913
15
9
11
5
1
++
++
++
++
=
=+
−
−+
++
−
−+
+
−
−+
+
−
−
)20012005
)(
20012005
(
20012005
)913)(
913(
913)
59)(
59(
59)
15
20012005
4
9134
594
2 2 2
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
+ + +
a a
a > 0
ta có
2 2
2 2 2
2 2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
1 1
1
+
+ + + +
= + + +
=
a a
a a
a a a
a A
Trang 8=
2 2
2 2
2 2
2 2
4
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2
+
+ +
= +
+ + + +
a a
a a a
a
a a
a a
Vì a > 0, A > 0 nên A = 1
1 1 1 ) 1 (
1 2
+
− +
= +
+
+
a a a
a
a a
Áp dụng ta có
B =
2 2
2 2 2
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
=
99 , 99 100
1 100 ) 100
1 99
1 1 (
) 3
1 2
1 1 ( )
1 1
2 2
2 2
2 2
x x
y
y
x x
x x
y y
− +
+ +
+
Tương tự −(x+ 1 +x2 ) (= y− 1 + y2 )( 2 )
Cộng (1) và (2) Ta có
01
11
122
1
−+
432
14
232
14
28
12.4
132
14
2
8
122
18
28
122
18
28
28
12
2
1
2 2
2
2 2
=
−+
⇔+
=++
⇔+
=+
⇒
−+
=
a a
a a
a
a
a a
a
2.Theo phần 1
Trang 92 2
4
2 4 2
2
22
31
8
121
8
124
)1(20
22
−
=+
a a a
a
a a a
a a
1
6 5
1 4
3
1 2
1
+ + + +
+ +
+
+
80 79
2
6 5
2 4
3
2 2
1
2
2
80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
1
+ +
+ +
+ +
+ +
=
+ +
+ +
+ +
+ +
=
A
A
) (
4
8 1 81 80 81
3 4 2 3 1
2
2
) 80 81 )(
80 81 (
80 81
) 3 4 )(
3 4 (
3 4 )
2 3 )(
2 3 (
2 3 )
1 2 )(
1
2
(
1 2
2
81 80
1 80
79
1
4 3
1 3
2
1 2
− +
− +
−
>
− +
− +
+
− +
− +
− +
− +
− +
−
>
+
+ + + + +
+ +
+ +
>
Câu 8 Tính giá trị biểu thức:
( 3 2 )2006
2 8
38 5 17 3
− +
3
3 3
2 2
3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Hướng dẫn
Trang 100 2 2
) 2 )(
2 (
) 2 ( 2 2
2 ) 2 )(
2 (
2
4 2 2 2
4
2 2
2 ) 2 ( 2
2 )
2 )((
2 2 2 2
2 4
2
2
3 3
3 3
2 3 3
3 3
3
3 3 2 2
3
3 3
3
3 3
3
3
3 3
3
3 3
− +
+
=
−
− +
− +
+
− +
=
−
− +
− +
=
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy
xy xy
xy xy
xy xy
xy
xy y
xy xy
xy xy
xy
xy P
xy
xy xy
xy xy
xy y
3
2)
(
)(
3 3
=
−
++
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
3 2
3 3
3
2 )
(
3 3
2 )
(
) (
3
3 3
3 3
ĐPCM b
ab a
b a
a b b a a a a b b a a
a
Q
b a
a b
ab a
b a
a a b b b b a b b a a
a
Q
b a b a
b a a b
ab a
b a
a a b b b
a
b a b a
Q
a b
ab a
b b a a
a a b b b a
b
a
Q
= +
+
=
−
− +
+
−
+
− +
+ +
1 3
1 6 27 3
1
+ +
− + + + + +
1
; 3
1 6 27 3
1
+ +
− +
= +
+ +
Trang 11Câu 12 Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
3
3 2 2 4 3
1
1
− +
4 2 (
2 3 1 3 ) 4 2 ( ) 2 3 ( 1
1 ).
4 2 ( ) 4 2 ( 2 3 2 3 1 ) 4 2 ( ) 2
3
(
3 3
3 3 3 3 3
3 3
3 3 2 3 2 3
−
−
− +
=
A
Câu 13 Tính A =
3471048535
Ta có A =
33441048535
=
)32(1048535
=
)35(535
Trang 122 1
1 : 1
=
x x x x
x x
x
x P
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để
x P
1
1 1
1 1
) 1 (
1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
) 1 (
: 1
1 1
) 1 )(
1 (
2 1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
2 1
1 : 1
+ +
=
− +
− +
− +
+ +
=
x
x x
x x
x x x
x x
x
x
P
x x
x x
x x x
x
x x
x x
3 1 1
2 1
2 1
2
− +
x x
x x
x x x
x x
1
1 1
1 1 1
−
− +
− +
−
− +
x x
x x
x
x P
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn Pb) Tìm x để 2
:,01
1,
0
1,011
01
1
01
−
+
≠
−+
x x
x
x x x x
x x
x x
x
x
Thì P có nghĩa
Trang 13Rút gọn P
2 2
2 2
2 2
12
21
2
12
)1)(
1(21
1
12
)1)(
1(.)1)(
1
(
)11
(
12
)1)(
1(.1
11
1
12
1
)11
(1
11)
11
(1
11
x
x P
x x x
x
P
x x x
x
x x
P
x x x
x P
x x
x
x x
x
x P
−
−++
−
−
−+
−
−+
+
−
−
−+
12
11
2
21
2
2
2 2
x
x P
1 2
2
x x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
−
−+
Trang 142
) (
2
2
) (
2 )
.(
2
2
) (
) (
2
3
=
−
− +
+
−
=
y x
y y
x
x y x
y x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y xy x
y x xy
y xy x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y x y
x xy
y x P
y x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
3
3 2
3 2 3
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
+ +
−
=
(x≠8;x≠−8;x≠0) Chứng minh A không phụ thuộc biến số
x x
x
A
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
A
x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x x
A
∉
= +
+ +
+ +
+ +
+ +
−
=
2 2
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
4
2 2
) 2
4 )(
2
(
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
2 4 : 2
) 2
4 )(
3 3
3
3 3
3 2
3 2 3
3 3
3 2 3
3
3 3
3 3
3
3 3
3 2 3
3 2 3
3
3 2 3
3
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức
y x xy
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
+
+ +
=
a)Rút gọn A
b) Tìm x ; y biết
5
;36
y x xy xy
y x A
y x xy
y x xy y
xy x y x xy
y x y x xy
y x A
+
= + +
+ +
=
+
+ +
+
− +
+
=
.
) (
:
2
2
5 5
là nghiệm dương của phương trình bậc 2
0 1 5 6 0 6
1
1 ⇒ 1 = 2 =
=
Trang 15;3
1
;4
2 2 2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
−++
b a b
b a P
b a
b a b
a b a
b a b a b a b a b a b a P
b a
b a b a b a
b a b
a b a
b a P
a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
.
)
− +
− + +
− +
−
− +
− +
− + +
−
=
b)Thay a=b+1 ta có
2 2 2 2
1 2 1 2 2 )
1
+
≥ +
= + +
=
b
b b
b b b
b b
=
212
212
22
)
(
b
a P
Min
Câu 21 Cho biểu thức (x +
2006 2006
2006 (
2006 (
2006 (
2006 − 2 + − 2 +
= x x y y <= > 2006 = (x− x2 + 2006 ) )(y− y2 + 2006 )
Vậy
) y
y ( x
x ( ) y
y )(
x x
Trang 16Nếu x ≠ 0 => y ≠ 0 từ (*) =>
0 2006
2006 2
2
>
−
= +
+
y
x y
; b 5 2 6= − ⇒ + = a b 10
và a.b 1=
.Đặt
U ∈ Z
.Lại theo (*) U4 =10U3−U2
cũng có giá trị nguyên
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n
* N
∈.Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên
a)Tìm chữ số tận cùng của M (0.5 điểm)
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2
=> S = x + y = 0
Trang 17a a
a a a
a a
a a
−+
−+
2
24)
1(3
24)
1(3
2 2
2 2
Giải
Biến đổi vế trái
Trang 18) ( '
2 2
)(
2 )(
1 (
) 2 2
)(
2 )(
1 (
"
"
2
2
) 2 )(
2 ( ) 1 ( ) 2 )(
1 (
) 2 )(
2 ( ) 1 ( ) 2 )(
1 (
"
"
2
2
4 )
1 ( ) 2 3 (
4 )
1 ( ) 2 3 (
"
"
2
2
2 4 )
1 ( 3
2 4 )
1 ( 3
"
"
2 2
2 2
2 2
2 2
dpcm VP
a
a VT
a
a a
a a
a
a a
a a
VYT
a
a a
a a
a a
a a
a a
a VT
a
a a
a a
a
a a
a a VT
a
a a
a a a
a a
a a VT
= +
− +
− + +
− +
− + +
+
−
−
− +
−
=
−
+ +
− +
− +
;
1:
−+
+
+
x x
x x x x
x P
( Với x>0, x≠
1) a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
1 )
1 )(
1 (
) 1 (
1
) 1 (
) 1 (
1 1
− +
+
+
=
− +
+
+
=
− +
+
+
=
x x
x x
x x
x x
x P
x x x
x x
x x
x x x x x
x P
:
2
b a ab
a
a ab
b
b b
a
b a b a
b a
+
=
Với a=0;b>0 và a khác ba) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Trang 192 2
Trang 2010 ( 100
20
) 8 ( 92 20 64
16 92
20
2 2
2 2 2
4
+
= +
= +
+
=
+ +
+
= + +
+ +
=
a a
a a
A
a a
a a
0 dấu “=” khi a=-10
Câu 29 (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:
=
x x x
x x
x x
x
3
1 :
9
2 3
b) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
)3(
.)3
)(
3
(
)3
(
)3(
)3(
2)1(
:)3
)(
3
(
2)3
x x x x
x x
P
x x
x x
x x
x x x
P
2)
DKXD x
x x
x x
x x
x x
x P
∈
=
⇔
=+
−
⇔
=
−+
−
⇔
=
−+
)103
)(
2
(
02010
630204
33
453
4
Câu 30 (Chuyên ĐH SP 2013 V1) Cho biểu thức
a b b a
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a
Q
−
−+
+
++
2
2 3
với a>0 ; b>0 a≠
b Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b