HDC HSG TOÁN 8

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 Ngày thi: 07/4/2019

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

1a

(2,0 điểm)

Với x�1 ta có

:

A

0,5

2

:

x

2

:

     



2

x

x

2 2 1

x



Vậy

2

x A



1b

(1,0 điểm

Ta có:

2

2 2

0

1 0

A

x

�

�

(1)

Xét

0



 �

Từ (1) và (2) ta có: 0 4

3

A

� � mà Acó giá trị nguyên nên A� 0;1

0,5

+/Xét A0 tìm được x0 ( thỏa mãn ĐK)

+/ Xét

2 2

1

x

0,25

Vậy khi x�0; 1  thì biểu thức A có giá trị nguyên. 0,25

2

(2,0 điểm)

B

Từ GT ta có: a b c  3�(a     1) (b 1) (c 1) 0

Đặt x a 1;y b 1;z c  ta có: 1 x y z   và 0 x�0;y�0;z�0

Khi đó

B

 

0,75

x y  xy z    vì ( x y z    ) z �x3y3 z3 3xyz

0,75

HDC ĐỀ CHÍNH

THỨC

Thay x3y3 z3 3xyz vào biểu thức B ta có : B 3xyz 3

xyz

Vậy khi a b c, , và a b c  3 thì B3 0,25

1

(2,0 điểm)

(x 5x2) 4(x 2)(5x (1)4)

Đặt

2

2 2

�  

(a b ) 4ab�(a b ) 0�a b 0

0,75

Với a b  thì 0 x2 2 5x 4 0�x25x 6 0�(x2)(x 3) 0 0,75

2

(2,0 điểm)

5

19

x y

Từ (1) ta có 19(x y M mà (19;5) 1) 5   x y M5�x y 5m ( m ��) thay

vào (1) tính được 2 2

19

0,5

x y  m� x  xy y  m ta có

Xét:(x y )24xy (x y)2� �0 25m24(25m219 ) 0m � �75m276m�0 0,25

76 0

75

m

ۣ

�

+/ Nếu : m ta có 0 0 0

�

+/ Nếu: m ta có 1 5

6

x y xy

 

�

� 

1

(2,0 điểm)

Vì ( )P x cho x dư 1, chia cho 1 x dư 9 nên theo định lí Be’zout ta có:3

( 1) 1

Vì đa thức chia 2

x  x  bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b khi đó ta có:

2

�

0,5

�

2

(2,0 điểm)

Ta có: 2n1 và 3n1 là các số chính phương nên ta có:

2

2n  ( với 1 a a��) (1)

2

3n  ( với 1 b b��) (2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có: 3a22b2  (3)1 0,25

Ta có: 2n 9 (2n   1) 8 a2 8(3a22 ) 25b2  a216b2 (5a4 )(5b a4 )b (4) 0,25

Do 2n là số nguyên tố , mà 59 a4b�5a4b nên từ (4) ta có

5

b

5

b

vào (3) 2

11 5

b b

b



�



0,5

+/ Nếu b1�a1 khi đó n0 và 2n 9 9 (loại) 0,25 +/ Nếu b11�a9 khi đó n40 và 2n 9 89 (thỏa mãn) 0,25

1.(2,0 điểm)

BE, CF là đường cao của ABC ( GT)

AEB AFC



�

Xét AEB và AFC có:

�

0

90 ( / ) chung

EAB

�

� ( định nghĩa) �AE AC AF AB (tính chất) (1) 0,25

�

�

�

�

ca�n ta�i C (GT)

CF la� ����ng cao (GT)

ABC

CF là đường trung tuyến ( t/chất)   

2

AB

Từ (1) và (2) ta có:

2

2

AB

2.(2,0 điểm)

Xét CFB có: MD // BF (c/m trên)  CM CD

CF CB ( định lí Ta-let) (3) 0,5

Xét CFB có: DK// BE (c/m trên)  CD CK

Từ (3) và (4) CM CK

Xét CFE có: CM CK

CF CE (c/m trên)  MK//FE ( định lí Ta-let đảo) 0,25

3.(1,0 điểm)`

ABC ABC ABC ABC

4.(1,0 điểm)`

Trên tia đối của tia FC lấy điểm Q sao cho �FNQ FCE� Chứng minh được CEF NQF ( g-g) …�EF FN FQ CF (5) 0,25 Chỉ ra CF là đường phân giác của ABC  �FCN �FCE

Chứng minh được CNQ CFE ( g-g) …�CE CN CQ CF  (6) 0,25

Từ (5) và (6) ta có

2

(1,0 điểm)



Chứng minh được bất đẳng thức: 1 1 4 (*); (x y)2 4 (**)xy

 Với x0;y  , dấu “=” xảy ra khi x y0 

0,25

Với a b, là hai số thực dương , 0  �a b 1

Áp dụng bất đẳng thức (*) và (**) ta có:

4

2

2

  � �

Từ (1); (2) và (3)  Q�4 2 1 2012 2019   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

2

a b 

0,5

Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2019 khi a b 1 0,25

Lưu ý khi chấm bài:

- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí

sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.

- Câu 5 học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm chứng minh.