Lý thuyết về chuỗi fourier và ứng dụng vào giải một số phương trình đạo hàm riêng

Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Théorie analytique de la chaleur của ông được c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

MSSV: 1070020 Lớp: Sư phạm toán 01 K33

Cần Thơ - 2011

LỜI CẢM TẠ

Qua bốn năm dưới mái trường đại học, em xin chân thành cảm

ơn các thầy cô trong khoa Sư Phạm trường Đại học Cần Thơ đã tận

tình chỉ dạy hướng dẫn cho em giúp em được trang bị những kiến

thức quý báu trong suốt những năm học đại học Đặc biệt là thầy

Phạm Gia Khánh đã trực tiếp, tận tình hướng dẫn em hoàn thành

luận văn tốt nghiệp này

Mặc dù có những cố gắng trong quá trình nghiên cứu và viết

luận văn nhưng do kiến thức toán của bản thân còn hạn chế, với lại

khuôn khổ và thời gian nghiên cứu không nhiều nên luận văn khó

tránh khỏi những sai sót Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý

cho em để luận văn hoàn thiện hơn

Kính chúc quý thầy cô luôn dồi dào sức khỏe và công tác tốt!

Em xin chân thành cảm ơn!

SVTH: Nguyễn Duy Linh

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Ngày…….tháng……năm 2011

ĐÔI NÉT VỀ JOSEPH FOURIER

Jean Baptiste Joseph Fourier sinh ngày 21-03-1768 tại Auxerre, cách 100 dặm về phía nam của Paris Ông là một nhà toán học và vật lý học người Pháp Danh tiếng của ông được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier và những ứng dụng trong nhiệt học Sau đó biến đổi Fourier cũng được đặt tên để tưởng nhớ tới những đóng góp của ông Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811,

cuốn Théorie analytique de la chaleur của ông được công bố vào năm 1822 Theo

quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của Fourier có phần không chính thức liên quan đến sự không hoàn chỉnh trong khái niệm hàm số và tích phân vào đầu thế

kỉ XIX Sau đó, Dirichlet và Riemann đã diễn đạt lại các công trình của Fourier một cách chính xác hơn và hoàn chỉnh hơn

Sinh ra trong một gia đình thợ may ở Auxerre (Pháp) và sớm trở nên mồ côi

Ông trở nên yêu thích toán học tại trường học của quân đội ông được gửi vào nhà thờ ở Auxerre Ở đó, Fourier được dạy dỗ bởi các tu sĩ dòng Benedict trong tu viện

St Mark Sau đó Fourier nhận làm trợ giảng môn toán trong quân đội, nhưng không

đủ tư cách vào hội đồng khoa học vì nơi đó chỉ dành cho những người trong gia đình danh giá Trong một kì thăng nhiệm, Fourier đã thể hiện sự vượt trội của mình

và được bổ nhiệm vào École Normale Supérieure năm 1795, ngay sau đó là một vị

trí tại Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique)

Trong những năm cuối đời ông sống ở Paris, nơi mà ông đã từng là thư ký

của Académie des Sciences Ông mất vào 16-05-1830

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học.Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng

Việc nghiên cứu chuỗi này bắt nguồn từ các ngành của vật lý như lý thuyết dao động và lý thuyết truyền nhiệt Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học kỹ thuật hiện nay Đặc biệt được sử dụng nhiều trong toán học và trong vật lý kỹ thuật Áp dụng chuỗi này vào giải các phương trình

vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Và với sự giúp đỡ, định hướng, hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn em đã chọn đề tài:

“ Lý thuyết về chuỗi Fourier và ứng dụng vào giải một số phương

trình đạo hàm riêng”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm giải quyết một số các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Thay đổi các giá trị tại biên và ban đầu trong một phương trình cụ thể

3 Phương pháp nghiên cứu

Suy luận, tổng hợp, hệ thống các kiến thức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm, tính chất và ứng dụng của chuỗi Fourier Luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Bao gồm một số kiến thức bổ trợ, một số định lý, định nghĩa, một

số tính chất cơ bản của chuỗi Fourier

Chương 2: Ứng dụng của chuỗi Fourier Áp dụng những kiến thức ở trong

chương 1 để nghiên cứu nghiệm của một số phương trình vi phân đạo hàm riêng thông qua phương trình truyền sóng trên dây và thanh, phương trình truyền nhiệt…

Mục lục

Chương 1 Lý thuyết về chuỗi Fourier 1

1 Chuỗi lượng giác 1

2 Hàm tuần hoàn và hàm điều hòa 1

2.1 Hàm tuần hoàn 1

2.2 Hàm điều hòa 1

3 Chuỗi Fourier 2

3.1 Các hệ số Fourier 3

3.1.1 Hệ số a0 3

3.1.2 Hệ số a n 3

3.1.3 Hệ số b n 4

3.2 Sự hội tụ và các tính chất 6

3.2.1 Sự hội tụ 6

3.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 7

3.3 Khai triển Fourier tương ứng của một hàm số và một số ví dụ 8

3.3.1 Hàm số tuần hoàn có chu kỳ 2l 8

3.3.2 Trên đoạn [ ]0;π 9

3.3.3 Hàm số f( )x là hàm lẻ (chuỗi Fourier sin) 10

3.3.4 Hàm số f( )x là hàm chẵn (chuỗi Fourier cosin) 11

3.3.5 Khai triển chuỗi Fourier trên ( )a; b 11

3.3.6 Trên khoảng ( )0 l 13

3.3.7 Các ví dụ khai triển thành chuỗi Fourier 13

3.4 Dạng cực của chuỗi Fourier 22

3.5 Dạng phức của chuỗi Fourier 22

3.6 Làm cho chuỗi Fourier hội tụ tốt hơn 23

3.7 Các trung bình cộng của các tổng riêng và của nhân Dirichlet 27

3.8 Tính đầy đủ của các hệ số Fourier 28

3.9 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier 29

Chương 2: Ứng dụng của chuỗi Fourier vào giải một số phương trình vi phân đạo hàm riêng 32

1 Phương trình truyền sóng 32

1.1 Bài toán 1 32

1.2 Bài toán 2 47

1.3 Bài toán 3 46

1.4 Bài toán 4 50

2 Phương trình truyền nhiệt 52

2.1 Bài toán 1 52

2.2 Bài toán 2 58

2.3 Bài toán 3 62

2.4 Bài toán 4 65

Bảng phụ lục 68

Kết luận 70

Danh mục tài liệu tham khảo 71

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ CHUỖI FOURIER

1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa : Chuỗi hàm lượng giác là chuỗi hàm có dạng

b hội tụ thì theo dấu hiệu Weierstrass chuỗi lượng giác trên hội

tụ đều trên R và có tổng S ( ) x là hàm tuần hoàn với chu kỳ là2 π

Định nghĩa: Hàm số f ( ) x được gọi là đơn điệu từng khúc trên [ ] a, b nếu có thể chia đoạn đó bởi một số hữu hạn điểm chia a = x0, x1, , xk = b tạo thành các khoảng ( a , x1), ( x1, x2),…, ( xk−1, b ) sao cho trên mỗi khoảng đó hàm f ( ) x đơn điệu

1

0 1

2

x x

x x

x

f là hàm đơn điệu từng khúc trên đoạn [ ] − 1 , 1

2 HÀM TUẦN HOÀN VÀ HÀM ĐIỀU HÒA

hàm điều hòa có biên độ A, tần số ω và pha ban đầu là ϕ Hàm điều hòa này có

( ) ∑∞ ( )

=

++

0

0

sincos

a x

f

Lưu ý ký hiệu " ~ " không mang ý nghĩa về sự hội tụ của chuỗi trên về f ( ) x

là nó chỉ mối liên hệ giữa (3.1) và (3.2) Dấu bằng chỉ xảy ra khi hàm số f ( ) x thỏa mãn điều kiện Dirichlet

Có thể chứng minh được rằng nếu

thì các hệ số a0, an, bn là các hệ số Fourier của hàm f ( ) x

Các hệ số a0, an, bn được tính theo công thức (3.2) được gọi là các hệ số Fourier của hàm f ( ) x , còn chuỗi lượng giác với các hệ số này được gọi là chuỗi

Fourier của hàm f( )x Ta còn chú ý rằng trong các công thức( )3.2 có tích phân của hàm tuần hoàn có chu kỳ là 2π Vì vậy đoạn tích phân [−π;π ] có thể thay được bằng đoạn bất kỳ có độ dài 2π Và ngoài công thức ( )3.2 ta còn có công thức

1 c

c

dx x f

( )

0 1

m n nxdx

2

1sin

sin

sin2

1

π π

m n

x m n m

n

x m n

π π

nxdx nx

b nx a

a n

π

π π

π π

nxdx nx

b nxdx nx

a nxdx

2

1

π −

= ∫ ( )3.6

Các công thức ( ) ( ) ( )3.4 , 3.5 , 3.6 được biết với tên gọi là công thức Fourier, các hệ số được tính từ các công thức đó gọi là các hệ số Fourier của chuỗi hàm cho bởi ( )3.3

Euler-Nếu hàm f x( ) được khai triển dưới dạng

Tổng riêng của chuỗi này là:

0 1

kt kx kt kx f t dt

π π

k t x f t dt

π π

12sincos

21

u n ku

n k

12sin

u

u n u

D n

+

= có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế

phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet Dễ thấy rằng nhân Dirichlet

là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π và

1 ∫ ( ) =1

−

du u

D n

π π

π

3.2 Sự hội tụ và các tính chất

3.2.1 Sự hội tụ

Nhắc lại điều kiện Dirichlet

Cho f là hàm số thực (hoặc phức), xác định trên ( )a, b các điều kiện sau là điều kiện Dirichlet

i) Tồn tại f( )a+ , f( )b− và f có biến phân bị chặn trên đoạn

[ ]a,b ( ta xem như f xác định trên [ ]a,b với các giá trị tại biên là f( )a+ và f( )b− )

ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [ ]a, b sao cho khi bỏ đi các lân

cận bé tùy ý thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [ ]a, b ; hơn nữa f ∈L1( )R

Định lý : Cho f ∈L1[−π,π ] , nếu f thỏa điều kiện Dirichlet trong

(−π,π ) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f( )x tại các điểm x∈(−π,π ) mà tại

tại x=±π nếu f ( ) − π+ và f ( ) π− tồn tại

3.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

a) Dấu “=” có thể thay thế được bằng dấu gần bằng " ≈ " có nghĩa là tương đương với, bởi vì chuỗi vế bên phải thì chưa chắc sẽ hội tụ thành hàm f ( ) x đối với mọi giá trị của x Chỉ khi nào hàm f ( ) x thỏa điều kiện Dirichlet thì mới xảy ra dấu bằng Một cách khác, người ta có thể xác định hàm F ( ) x là mở rộng của hàm f ( ) x

bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ Như vậy, F ( ) x là mở rộng tuần hoàn của hàm

( ) x

f , l ≤ x ≤ l có tính chất F ( x + 2 l ) ( ) = F x ngược lại hàm f ( ) x đối với mọi x

không phải là hàm tuần hoàn

b) Hàm f ( ) x gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a0,an,bn

được tính cụ thể Do đó một số hàm không có biểu diễn chuỗi Fourier tương ứng

Chẳng hạn như ta có các hàm

2

1,1

x

x không có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier

tương ứng trong khoảng ( −l, l) Bởi vì các hàm này không bị chặn ( giới nội ) trong khoảng ( −l, l)

c) Hàm f( )x được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm x0 nếu:

ε

ε ε

0 0 0

x f

Nếu hàm f ( ) x và f ' ( ) x là liên tục từng khúc trong khoảng ( − l, l ) thì biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier tương ứng của hàm f ( ) x thỏa mãn các điều kiện:

- Hội tụ về hàm f ( ) x tại điểm mà hàm f ( ) x là liên tục

- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f( )x nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ …

- Tại điểm x0 có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi lượng

giác Fourier tương ứng của hàm f( )x hội tụ về [ ( ) ( )0− + 0+ ]

2

1

x f x

S

1

N, nó biểu diễn tổng của N số hạng đầu tiên Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm SN( ) x

khi biểu diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị Hàm f ( ) x bất kỳ có một điểm bước nhảy gián đoạn thì hàm SN( ) x có đồ thị tại lân cận tại bước nhảy gián đoạn là hàm dao động Hiệu ứng này được gọi là Gibb Hiệu ứng Gibb luôn có mặt khi người ta biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại cho dù tăng giá trị N rất lớn

b

a

arctan

dao động thứ n, số hạng thứ n : C nsin(nx+ϕn) được gọi là dao động thứ n Dao động điều hòa thứ nhất (n=1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản

3.3 Khai triển Fourier tương ứng của hàm số f x( ) và một số ví dụ

3.3.1 Hàm số tuần hoàn có chu kỳ là 2l

Hàm tuần hoàn với chu kỳ là 2π là một trường hợp đặc biệt của hàm số

( )

f x tuần hoàn có chu kỳ là 2l, l >0 Giả sử chúng ta cần tìm chuỗi Fourier tương

ứng của F x( ) trên đoạn [ ]−l l, Ta sẽ dùng phép biến đổi x

t l

π π

f l ntdt t

F

π

π π

cos

1cos

F

π

π π

sin

1sin

f l a

2 0

, 0

π

π

x x

f

x x

f x

F x

π π

3.3.3 Hàm số f x ( ) là hàm số lẻ ( chuỗi Fourier sin )

Nếu f ( ) x là hàm lẻ tuần hoàn với chu kỳ là 2 π thì f x ( ) cos nx là hàm

lẻ và f x ( ) sin nx là hàm chẵn, do đó các hệ số Fourier thỏa mãn:

2

n

nx nsds

s f x

x n ds

l

s n s f x

π

π

3.3.4 Hàm số f x( ) là hàm số chẵn ( chuỗi Fourier côsin )

Nếu f( )x là hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ 2π thì f x( )cosnx là hàm chẵn và f x( )sinnx là hàm lẻ, do đó các hệ số Fourier thỏa mãn:

cos cos

2 1

n

nx nsds

s f ds

s f x

f

π π

π π

Nếu f ( ) x là hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ 2l thì ( ) x

l

n x

2

l

n x

f l

coscos

21

n

l l

l

x n ds

l

s n s

f l

ds s f l x

3.3.5 Khai triển chuỗi Fourier trên ( ) a,b

Giả sử f ( ) x là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng ( ) a,b Ta đổi trục tọa độ mới

Ý nghĩa của phép biến đổi này là chúng ta định nghĩa

tọa độ mới x là khoảng cách về bên phải của gốc O’ là trung điểm của đoạn ( ) a,b

Đơn vị chiều dài bây giờ là

b a x a b

b a x a b f x

2cos

b a x a b n b

b a x a b n a

a x

a

dx x f a b

a0 2

2

2cos2

f a b

a

b a n

f a b

b

b a n

π

3.3.6 Trên khoảng ( )0 l

Giả sử f( )x là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng ( )0 l Khi đó ta có thể mở rộng f( )x thành hàm chẵn hoặc hàm lẻ tuần

hoàn với chu kỳ 2l Nếu mở rộng thành hàm chẵn thì các hệ số Fourier được tính

tương tự theo công thức (3.10) và nếu mở rộng thành hàm lẻ thì các hệ số Fourier được tính tương tự theo công thức ( )3.11

3.3.7 Các ví dụ khai triển thành chuỗi Fourier

Ví dụ 1 Tìm chuỗi Fourier của hàm số f( )x = x với −π ≤ x≤π

1

2cos

2

cos

2cos

2sin

n

n n

nxdx n

nx x

n nxdx x

b

π

π π

π

π π

2sinsin

Ví dụ 2 Tìm chuỗi Fourier của hàm số f( )x = x với 0≤ x≤2π

π π

π

π π

22

1

0

2 2

2 0

π

π π

π

nxdx n

nx x

n

nxdx x

an

[ ]

n

nxdx n

nx x

n

nxdx x

bn

2 cos

1 cos

2 0

2

0

−

= +

π

π π

2 sin sin

Ví dụ 3: Tìm chuỗi Fourier của hàm số ( ) 2

x x

f = với −π ≤ x≤π

Ta có

3

23

22

0

3 0

2 2

0

π π

π π

π π

x dx

2 0

2 0

2 2

4 1 cos

4

sin 4 cos

4 sin

2

cos

2 cos

1

n n

n

n

nx n

nx x

n

nx x

nxdx x

nxdx x

π

π π

π π

π

π π

π

0sin

−

=

−+

2coscos

43cos

41

f = với 0≤ x≤2π

Ta có

3

83

0

2

0

π π

π

π π

2 0 2

2 0

2

0

2 2

0

2

4sin

2cos

2

sin2

sin1

cos1

n

nx n

nx x

n

nxdx x

n n

nx x

nxdx x

π π

π

π π

π π

π

0 2

2 0 2

2 0

2

0

2 2

0

2

4sin

2sin

24

cos2

cos1

sin1

n

nxdx n

nx x

n n

nxdx x

n n

nx x

nxdx x

b n

−

=

−+

π π

π

π π

π

π π

4

nx n

=

2

sin4

cos4

nx π

π

(3.16d)

Tại x = 0 , 2 π thì chuỗi hội tụ về 2π2

Ví dụ 5 Tìm chuỗi Fourier sin của hàm số f( )x =1 với 0≤ x≤π

Ta sẽ thác triển f( )x thành hàm lẻ trên đoạn [−π,π]

nx n

nxdx

0 0

Vậy với 0≤ x≤π thì ta có được

3sinsin

π π

π

π π

π π

0 0

22

xdx dx

x dx

2cos

2sin

2sin

2

cos

2cos

2cos

1

2

2 0

2 0

0

0 0

n

n n

n

nx nxdx

n n

nx x

nxdx x

nxdx x

nxdx x

a

π

π π

π π

π

π π

π

π π

π

π π

2

π π

3 cos cos

4

2

2 2

x x

x

π

π

( 3 16 f )

Từ những ví dụ trên ta có thể đưa ra các giá trị của tổng của một số chuỗi lượng

giác quan trọng như là:

Từ (3.16b) với 0< x<2π ta nhận được ngay chuỗi

từ đây suy ra tính hội tụ đều của chuỗi, tức là tính liên tục của nó đối với tất cả các

x Vì vậy đẳng thức trên dúng với mọi 0≤ x≤2π chứ không chỉ với 0< x<2π

1

2 2

n

nx n

2

12

0

x n

x n

n

π

= +

2 2

2

sin

1

x n

12

12

sin

2

dx x n x

n nxdx

1cos

1

x n n

x n

( ) ( ) ( )

1 1 2 1

1 1 1

1 1 1

n

n n

n

π π

Với n ≠1

Với n =1 thì ta có

02

sin

1cos

sin

2

0 0

112

x

π π

4cos3

2cos4

f = trên đoạn [−2;2]

Vì hàm số ( ) 2

x x

f = là hàm chẵn nên b n =0 (n=1,2, )

3

83

2

0

3 2

0 2 2

x

a

( ) 2 2

2 0 2 2

cos2

1

π

π π

n

dx x n x

dx x n x

=

1 22

2

2cos116

Ví dụ 9: Tìm khai triển Fourier của hàm số ( )

2

2

x x x

2

20

2

2 2

x

x x

x

x x

0

2 2

12

sin22

12

sin2

1

dx x n x

x dx

x n x

x dx

x n x F

2

π π

Từ đây suy ra rằng b n =0nếu n chẵn và

3 3

112

x n

n

x

Ví dụ 10: Áp dụng khai triển Fourier để tìm tổng của chuỗi số

Cho f( )x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và ( ) 2

x x

f = trên đoạn [−π;π ] Hãy viết khai triển Fourier và tính tổng của các chuỗi số sau

a ∑∞

= 1 2

1 )

n n c

Tương tự các ví dụ trên ta có được

14

n

x nx

=

=

1 2

1 2

2

14

3

14

30

0

n

n n

n

n n

14

n

n

n n

n

n n

3.4 Dạng cực của chuỗi Fourier

Từ công thức ( )3.3 nếu ta đặt

2

0 0

a

A = ; An = an2 + bn2 ( 3 17 )

và góc ϕn, 0≤ϕn ≤2π xác định bởi

2 2cos

n n

n n

n n

b a

a A

n n

n n

n n

b a

b A

n

n nx A

=

cos

1

0 ( 3 18 )

Công thức ( ) 3 3 được gọi là chuỗi Fourier dạng cầu phương Công thức

( 3 18 ) được gọi là chuỗi Fourier dạng cực của f( )x

Hàm f( )x tuần hoàn với chu kỳ 2l thì có khai triển dạng cực là:

l

x n a

3.5 Dạng phức của chuỗi Fourier

Sử dụng công thức Euler e iϕ =cos ϕ +isin ϕ và thay vào ( ) 3 3 ta được:

+

=

1 0

1

0 1

0

2 2

2

a

2 2

2 sin

cos 2

n

inx n n inx n n n

inx inx

n

inx inx

n n

n n

e ib a e

ib a

i

e e

b e

e a

a nx b

nx a

a

c = ;

2

n n n

ib a

;

2

n n n n

ib a c

Và ta lưu ý rằng cosnx±isinnx=e±inx do đó

2

1sin

cos2

12

( )(x nx i nx)dx f( )x e dx f

ib a

cos2

12

f

π π

l c

π2

Nếu kí hiệu

0 0

ne c x

1

2 1

2 0

f

f

x f in

3.6 Làm cho chuỗi Fourier hội tụ tốt hơn

Trong các ứng dụng thường hay gặp các chuỗi lượng giác có các hệ số giảm nhanh Trong trường hợp này chỉ cần một số số hạng đầu của chuỗi là có thể xác định được rất chính xác tổng của nó, bởi vì, với sự tiến tới không đủ nhanh của các hệ số, tổng của các số hạng sau của chuỗi là rất nhỏ Khi đó các hệ số càng giảm nhanh thì chúng ta chỉ cần càng ít số hạng của chuỗi để xấp xỉ tổng của nó với độ chính xác cần thiết

Ta thường phải thực hiện phép tính vi phân các chuỗi lượng giác có các hệ

số giảm nhanh Ta có định lý sau:

Định lý: Giả sử cho trước chuỗi lượng giác

Nếu đối với các hệ số a n và b ncác hệ thức sau đây đúng

M a

n m n ≤ ; n m b n ≤M (m≥2;M =const) thì tổng của chuỗi

Điều vừa nói trên sẽ dẫn đến bài toán như sau:

Cho chuỗi lượng giác ( ta ký hiệu tổng của nó là f ( ) x ) :

=

+ +

n

n

x x

Với yêu cầu phải có các hệ số giảm dần đủ nhanh

Nếu bài toán được giải quyết, thì các phép toán đối vói f ( ) x có thể thay thế bằng các phép toán với hàm ϕ ( ) x đã biết và với chuỗi có các hệ thức giảm nhanh

Tính giải được của bài toán này trong các trường hợp thực tế được quan tâm suy ra từ lý luận sau đây

Giả sử trên [ − π ; π ] (hay là trên [ 0 ; − π ]) cho trước bởi một hàm f ( ) x khả vi một số lần Phép thác triển hàm này ra toàn trục Ox một cách tuần hoàn theo chu

kỳ là 2 π có thể dẫn đến một hàm gián đoạn ( hay là một hàm có các đạo hàm gián đoạn ), điều này dẫn đến sự giảm chậm của các hệ số Fourier Để ý rằng khi trừ hàm

các giá trị của một số đạo hàm bằng nhau ở hai đầu mút đó Nhưng khi đó cả thảy hàm này và các đạo hàm của nó sẽ được thác triển liên tục trên toàn trục Ox

Như vậy bài toán của ta không phải là không giải được Nhưng trong bài toán này cho trước một chuỗi chứ không phải là một hàm Do đó dạng của hàm

( )x

ϕ phải cần được lập ra xuất phát từ chuỗi đó

Khi bài toán vừa lập ra được giải, ta nói rằng ta đã làm tốt hơn tính hội tụ của

Ta sẽ chỉ ra hai cách làm các chuỗi hội tụ tốt hơn

a.) Cách thứ nhất dựa vào tính chất sau: hiệu của hai giá trị vô cùng bé

tương đương là một vô cùng bé cấp cao hơn hai vô cùng bé ban đầu

Ví dụ: Làm chuỗi sau hội tụ tốt hơn

1

n

n

nx n

n x

4 4

n

khi n→∞ ) Khi đó ta có

n n n n

sin1

n

n n

n

n n

nx n

nx x

n

2

sin1

n

n n

nx x

x

f

Trong chuỗi cuối cùng, rõ ràng

(M const)

M n

cos1

1

n

nx n

n

n n x

1

1

4 2

+

−

n n

n

nx n

nx x

12

2 6

x n

nxn

Từ đây suy ra

1

cos 12

2 6

3

1 4

2 2

≤

≤ +

− +

−

=

x n

nx x

x x

f

Ta có

( ) n (n a)

a n

a n

a n a n n

a n

a n

a n

−

=

3 3

2 2 2

3 2

2

11

11

sinsin

sinsin

n n

n

nx a

n

nx a

n

nx a

n

nx x

nxn

dx x n

1 3

x x

x n

nx n

−+

2 3

2 0

sin2

312

2sin2ln

x

a n n

nx a

x x

x

a dx

x a

x x

+

+++

=

n

x S x

S x

+

+++

=

Φ

n

x D x

D x D

Bổ đề: Nhân Fejer Φn( )x có những tính chất sau:

- Nhân Fejer Φn( )x là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ là 2π

- Φn( )x ≥0, ∀x

Định lý : (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [ − π , π ] và f( ) ( )−π = f π

thì tổng Fejer Φn( )x hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n →∞

Định nghĩa: Đa thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng

Định lý (Weierstrass I): Nếu hàm f liên tục trên đoạn [ − π , π ] và f ( ) ( ) − π = f π

thì với mỗi ε > 0, tồn tại đa thức lượng giác T ( ) x sao cho

3.8 Tính đầy đủ của các hệ số Fourier

Định lý: Cho f là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [ − π , π ] Nếu Sn( ) x

x S

x

x T

n

n

2 2

min

Trong đó minimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác Tn( ) x có bậc không quá n

Nếu a0,a1,b1, ,a n,b n, là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây:

a

n

n n

2 1

2 2

vẽ các vạch phổ một phía là các đoạn thẳng ứng với mỗi giá trị biên độ tại A n tại

Khi đó dãy ( ) τn n=1,2, hội tụ đều về f trên R

3.9 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier

Cho hàm số f( )x liên tục trên đoạn [−π,π ] với f( ) ( )−π = f π và có khai triển Fourier tương ứng là

a x

f

Nếu hàm f( )x khả vi từng khúc trên đoạn [−π,π ] thì chuỗi Fourier của f '( )x

bằng chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier tương ứng của hàm f( )x , nghĩa là

1

sincos

~'

n

n

n nx na nx nb

ε

Định lý: Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (k-1) và khả vi từng khúc ở cấp k

(k ≥1) , ngoài ra i( ) π i( ) π

f

f − = , với i =1,2, ,k −1 Khi đó chuỗi Fourier của

f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [−π,π ], và ngoài ra

( )− ( ); ≤ k−n12

n

n f x

S

x

Trong đó ηn là dãy số hội tụ đến 0 và S n( )x;f là tổng riêng Fourier bậc n của hàm f

Nhận xét: Định lý trên cho ta thấy được rằng hàm càng trơn ( có đạo hàm bậc càng

cao ) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ ( đến hàm đó ) càng nhanh, và do đó việc xấp

xỉ nó bởi đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó

Định lý: Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [−π,π ] có khai triển Fourier là

=

=+

+

=

1 0

10 0

0 0

cos1sin

2

sincos

2

n

n n

n

t

n n

t

t

nt n

b nt n

a t

a

nx b

nx a

dx a dx

x

f

Và chuỗi ở vế phải hội tụ đều

Nhận xét Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2l ( tùy ý) được

quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nhờ phép biến đổi

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER VÀO GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

u x

u

t c u t

x X t T a

=+

4 0''

3 0

''

2

t T a

t

T

x X

,

00

,

000

0,

0

T T

x X

x

u

c X t

T c X

t

c

u

X t

T X

t

u

t