Lý thuyết về chuỗi fourier và ứng dụng vào giải một số phương trình đạo hàm riêng

Lý do ch ọn đề tàiLý thuy ết về chuỗi Fourier đóng vai trò quan tr ọng trong giải tích toán học.Chuỗi Fourier của một hàm tu ần hoàn bi ểu diễn hàm đó d ưới dạng tổng của các hàm tuần ho

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

GI ẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

MSSV: 1070020Lớp: Sư phạm toán 01 K33

LỜI CẢM TẠ

Qua bốn năm dưới mái trường đại học, em xin chân thành c ảm

ơn các thầy cô trong khoa S ư Phạm trường Đại học Cần Thơ đã t

ận tình chỉ dạy hướng dẫn cho em giúp em được trang bị những

kiến thức quý báu trong suốt những năm học đại học Đặc biệt là th

ầy Phạm Gia Khánhđã tr ực tiếp, tận tình hướng dẫn em hoàn thành

luận văn tốt nghiệp này

Mặc dù có nh ững cố gắng trong quá trình nghiênứcu và vi ết

luận văn nhưng do kiến thức toán ủca bản thân còn h ạn chế, với lại

khuôn kh ổ và th ời gian nghiên ứcu không nhi ều nên luận văn khó

tránh khỏi những sai sót Kính mong quý th ầy cô và các bạn góp ý

cho em để luận văn hoàn thi ện hơn

Kính chúc quý thầy cô luôn d ồi dào s ức khỏe và công tác tốt!

Em xin chân thành c ảm ơn!

SVTH: Nguyễn Duy Linh

NHẬN XÉT C ỦA GIÁO VIÊN H ƯỚNG DẪN

ĐÔI NÉT V Ề JOSEPH FOURIER

Jean Baptiste Joseph Fourier sinh ngày 21-03-1768 t ại Auxerre, cách 100dặm về phía nam của Paris Ông là m ột nhà toán học và v ật lý h ọc người Pháp.Danh tiếng của ông được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier và nh ững ứngdụng trong nhiệt học Sau đó bi ến đổi Fourier cũng được đặt tênđể tưởng nhớ tớinhững đóng góp c ủa ông Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trìnhtruyền nhiệt các công trình đầu tiên ủca ông được công b ố vào n ăm 1807 và 1811,

cuốn Théorie analytique de la chaleurcủa ông được công b ố vào n ăm 1822 Theo

quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của Fourier có ph ần không chính th

ức liên quanđến sự không hoàn ch ỉnh trong khái niệm hàm s ố và tích phân vào đầuthế kỉ XIX Sau đó, Dirichlet và Riemann đã di ễn đạt lại các công trình của Fouriermột cách chính xácơhn và hoàn ch ỉnh hơn

Sinh ra trong một gia đình thợ may ở Auxerre (Pháp) và sớm trở nên mồ côi.

Ông tr ở nên yêu thích toánọchtại trường học của quân đội ông được gửi vào nhà thờ ởAuxerre Ở đó, Fourier được dạy dỗ bởi các tu ĩs dòng Benedict trong tu vi ện St Mark.Sau đó Fourier nh ận làm tr ợ giảng môn toán trong quân đội, nhưng không đủ tư cáchvào hội đồng khoa học vì nơi đó ch ỉ dành cho nh ững người trong gia đình danh giá.Trong một kì thăng nhiệm, Fourier đã th ể hiện sự vượt trội của mình và được bổ nhiệmvào École Normale Supérieure n ăm 1795, ngay sau đó là m ột vị

trí tại Trường Bách khoa Paris École( Polytechnique ).

Trong những năm cuối đời ông s ống ở Paris, nơi mà ông đã t ừng là th ư ký

của Académie des Sciences.Ông m ất vào 16-05-1830

Trang - iii SVTH: Nguyễn Duy Linh

1 Lý do ch ọn đề tài

Lý thuy ết về chuỗi Fourier đóng vai trò quan tr ọng trong giải tích toán học.Chuỗi Fourier của một hàm tu ần hoàn bi ểu diễn hàm đó d ưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có d ạng

vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Và v ới sự giúp đỡ, định hướng, hướng dẫn tậntình của giáo viênướhng dẫn em đã ch ọn đề tài:

“ Lý thuy ết về chuỗi Fourier và ứng dụng vào gi ải một số

phương trình đạo hàm riêng”

2 Mục đích nghiên ứcu

Đề tài nh ằm giải quyết một số các phương trình vi phân đạo hàmriêng tuyến tính Thay đổi các giá ị trại biên và ban đầu trong một phươngtrình cụ thể

3 Phương pháp nghiênứ uc

Suy luận, tổng hợp, hệ thống các kiến thức

4 Đối tượng và ph ạm vi nghiên ứcu

Các khái ệnim, tính chất và ứng dụng của chuỗi FourierLuận văn gồm 2 chương

Chương 1: Bao gồm một số kiến thức bổ trợ, một số định lý, định nghĩa, một

số tính chất cơ bản của chuỗi Fourier

Chương 2: Ứng dụng của chuỗi Fourier Áp d ụng những kiến thức ở trong

chương 1 để nghiên ứcu nghiệm của một số phương trình vi phân đạo hàm riêngthông qua ph ương trình truyền sóng trên dây và thanh, ph ương trình truyền nhiệt…

Mục lục

Chương 1 Lý thuy ết về chuỗi Fourier 1

1 Chuỗi lượng giác 1

2 Hàm tu ần hoàn và hàm điều hòa 1

2.1 Hàm tu ần hoàn 1

2.2 Hàm điều hòa 1

3 Chuỗi Fourier 2

3.1 Các hệ số Fourier 3

3.1.1 Hệ số a0 3

3.1.2 Hệ số a n 3

3.1.3 Hệ số b n 4

3.2 Sự hội tụ và các tính chất 6

3.2.1 Sự hội tụ 6

3.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 7

3.3 Khai triển Fourier tương ứng của một hàm s ố và m ột số ví dụ 8

3.3.1 Hàm s ố tuần hoàn có chu k ỳ 2l 8

3.3.2 Trênđoạn [0;p] 9

3.3.3 Hàm s ố f(x) là hàm l ẻ (chuỗi Fourier sin) 10

3.3.4 Hàm s ố f(x) là hàm ch ẵn (chuỗi Fourier cosin) 11

3.3.5 Khai triển chuỗi Fourier trên(a; b) 11

3.3.6 Trên khoảng (0;l) 13

3.3.7 Các ví dụ khai triển thành chu ỗi Fourier 13

3.4 Dạng cực của chuỗi Fourier 22

3.5 Dạng phức của chuỗi Fourier 22

3.6 Làm cho chu ỗi Fourier hội tụ tốt hơn 23

3.7 Các trung bình ộcng của các ổtng riêng và của nhân Dirichlet 27

3.8 Tính đầy đủ của các hệ số Fourier 28

3.9 Đạo hàm, tích phân và tính h ội tụ của chuỗi Fourier 29 Chương 2: Ứng dụng của chuỗi Fourier vào gi ải một số phương trình vi phân đạo hàm riêng 32

1 Phương trình truyền sóng 32

Trang - v SVTH: Nguyễn Duy Linh

1.1 Bài toán 1 32

1.2 Bài toán 2 47

1.3 Bài toán 3 46

1.4 Bài toán 4 50

2 Phương trình truyền nhiệt 52

2.1 Bài toán 1 52

2.2 Bài toán 2 58

2.3 Bài toán 3 62

2.4 Bài toán 4 65

Bảng phụ lục 68

Kết luận 70

Danh mục tài li ệu tham khảo 71

CHƯƠNG I: LÝ THUY ẾT VỀ CHUỖI FOURIER

1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa : Chuỗi hàm l ượng giác là chuỗi hàm có d ạng

tụ đều trênR và có t ổng S ( x ) là hàm tu ần hoàn v ới chu kỳ là 2p

Định nghĩa: Hàm s ố f ( x ) được gọi là đơn điệu từng khúc trên[ a,b ] nếu có

thể chia đoạn đó b ởi một số hữu hạn điểm chia a = x0 , x1, , xk= b tạo thành cáckhoảng ( a, x1 ), ( x1, x2 ),…, ( xk-1,b ) sao cho trên mỗi khoảng đó hàm f ( x ) đơnđiệu

Cho hàm s ố f (x) xácđịnh trênR Khi đó f (x) được gọi là tu ần hoàn v ới chu

kỳ là T , nếu $ T >0 nhỏ nhất sao cho f (x + T ) = f (x)

2.2 Hàm điều hòa

Một hàm tu ần hoàn đơn giản đồng thời rất

tuần hoàn y=Asin(wx+j) với A,w,j là các

quan trọng trong ứng dụng là hàm hằng số Người ta gọi hàm này là

Trang - 1 SVTH: Nguyễn Duy Linh

hàm điều hòa có biên độ A , tần số w và pha ban đầu là j Hàm điều hòa này có

chu kỳ T=2

w p

Đồ thị của hàm điều hòa b ất kỳ y = Asin(wx + j ) nhận được từ đồ thị

hàm sin thông th ường bằng phép cođều ( hay giãn đều ) theo phương các trục tọa

độ và phép trượt theo trục Ox

3 CHUỖI FOURIER

Định nghĩa: Cho hàm s ố f ( x )là một hàm khả tích trênđoạn[ -p ,p]và

tuần hoàn v ới chu kỳ là 2p , khi đó chu ỗi hàm l ượng giác sau:

được gọi là chu ỗi Fourier của hàm f ( x ) Các hệsốa0 , a n, b n được gọi là h ệ số

Fourier Và m ối quan hệ này được ký hi ệu:

là nó ch ỉ mối liên hệ giữa (3.1) và (3.2) Dấu bằng chỉ xảy ra khi hàm s ố

mãn điều kiện Dirichlet

Có th ể chứng minh được rằng nếu

f ( x ) = a0 + ∑¥( an cos nx + bn sin nx ) (3.3)

2 n =1

thì các hệ số a0, an , bn là các hệsốFourier của hàm f ( x )

f (x)thỏa

Trang - 2 SVTH: Nguyễn Duy Linh

Fourier của hàm f ( x ) Ta còn chú ý rằng trong các công thức(3.2)có tích phân

của hàm tu ần hoàn có chu k ỳ là 2p Vì vậyđoạn tích phân [ - p ;p]có th ểthayđược bằng đoạn bất kỳ có độ dài 2p Và ngoài công th ức( 3.2 ) ta còn có công th ức

Tương tự ta nhân hai v ế của (3.3)với sinmx ( sinmx¹0 , m = 1,2, ) rồi

lấy tích phân hai v ế trênđoạn [ -p,p] ta được

Euler-Nếu hàm f ( x )được khai triển dưới dạng

+ ∑ ( a n cos nx + b n sin nx)được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x )

2

Tổng riêng ủca chuỗi này là:

trong đó D n(u)= 2 có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế

u

sin 2phải của biểu thức trên có tên ọgi là tích phân Dirichlet D ễ thấy rằng nhân

Dirichlet là m ột hàm ch ẵn, liên ụtc, tuần hoàn v ới chu kỳ 2p và

Nhắc lại điều kiện Dirichlet

Cho f là hàm s ố thực (hoặc phức), xácđịnh trên(a,b) cácđiều kiệnsau là điều kiện Dirichlet

i) Tồn tại f ( a +), f ( b-)và f có bi ến phân

b ị chặn trênđoạn

[ a,b ]( ta xem như f xácđịnh trên[ a,b ]với các giáị trạibiên là f

(a+) và f(b-) )

ii) Có h ữu hạn điểm thuộc đoạn [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân

cận bé tùy ý thì f có bi ến phân b ị chặn trên các phần còn l ại

của đoạn [a,b]; hơn nữa

Định lý : Cho fÎL1[-p,p] , nếu (-

p ,p )thì chuỗi Fourier của f sẽhội tụvề

f thỏa điều kiện Dirichlet trong

f ( x )tại cácđiểm x Î(-p,p )mà tại

3.2.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

a) Dấu “=” có th ể thay thế được bằng dấu gần bằng "»" có ngh ĩa là t ươngđương với, bởi vì chuỗi vế bên phải thì chưa chắc sẽ hội tụ thành hàm f ( x ) đối vớimọi giá trị của x Chỉ khi nào hàm f ( x ) thỏa điều kiện Dirichlet thì mới xảy ra dấubằng Một cách khác, người ta có th ể xácđịnh hàm F ( x ) là m ở rộng của hàm f

( x ) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ Như vậy, F ( x ) là m ở rộng tuần hoàn c ủahàm f ( x ), l £ x £ l có tính ch ất F ( x + 2l ) = F ( x )ngược lại hàm f ( x )đối vớimọi x không ph ải là hàm tu ần hoàn

b) Hàm f(x) gọi là có m ột biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a0,a n,b n

được tính cụ thể Do đó m ột số hàm không có bi ểu diễn chuỗi Fourier tương ứng

1 1Chẳng hạn như ta có các hàm x x2 không có bi ểu diễn chuỗi lượng giác Fouriertương ứng trong khoảng ( -l,l) Bởi vì các hàm này không b ị chặn ( giới nội )

- Hội tụ về hàm f ( x )tạiđiểm mà hàm f ( x )là liên tục

Trang - 7 SVTH: Nguyễn Duy Linh

f Î L1

(R)

- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn c ủa hàm f(x) nếu x ở ngoài kho ảngFourier đầy đủ …

- Tại điểm x0 có b ước nhảy giánđoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi lượnggiác Fourier ươtng ứng của hàm f ( x )hội tụ về1

[ f ( x0-) + f ( x0+ ) ] là giá trịtrung 2

bình của giới hạn trái và phải của bước nhảy giánđoạn

N, nó bi ểu diễn tổng của N số hạng đầu tiên Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm S N (x)

khi biểu diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị Hàm f (x) bất kỳ có m ột điểm bước nhảygiánđoạn thì hàm S N(x) có đồ thị tại lân c ận tại bước nhảy giánđoạn là hàm daođộng Hiệu ứng này được gọi là Gibb Hi ệu ứng Gibb luôn có m ặt khi người tabiểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này v ẫn tồn tại cho dù tăng giá trị N rất lớn

Trang - 8 SVTH: Nguyễn Duy Linh

ứng của F(x) trênđoạn [-l ,l] Ta sẽ dùng phép biến đổi t=p x

và xét hàm s ố

l

F ( t ) = f ( x ) =

f tl

Để khai triển Fourier của hàm s ố f ( x )trênđoạn[ 0,p ] thì khiđó ta sẽthác triển hàm f ( x ) thành F(x) trênđoạn [ - p ,p ] sao cho trênđoạn [ 0,p ] thì

Trang - 9 SVTH: Nguyễn Duy Linh

F ( x ) º f ( x ) Khi đó khai triển Fourier của hàm s ốf ( x )trênđoạn[0,p ]chính là

F ( x )trênđoạn [ - p ,p ] Thông thường chúng ta thác triển f ( x )theo cách sau:

Nếu f ( x ) là hàm l ẻ tuần hoàn v ới chu kỳ là 2p thì f ( x ) cos nx là

hàm lẻ và f ( x ) sin nx là hàm ch ẵn, do đó các hệ số Fourier thỏa mãn:

= p 2

∫0 f ( x )sin nxdx

3.3.4 Hàm s ố f ( x )là hàm s ố chẵn ( chuỗi Fourier côsin )

Nếu f ( x )là hàm ch ẵn tuần hoàn với chu kỳ2p thì f ( x )cos nx là

hàm ch ẵn và f ( x )sin nx là hàm lẻ, do đó các hệsốFourier thỏa mãn:

3.3.5 Khai triển chuỗi Fourier trên( a,b )

Giả sử f ( x ) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trongkhoảng ( a,b ) Ta đổi trục tọa độ mới

Đơn vị chiều dài bây gi ờ là b - a

(đơn vị đo chiều dài c ủa tọa độ cũ là 1 ) Ta suy

2 b 2p a + b

3.3.6 Trên khoảng (0 ,l)

Giả sử f(x) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng

(0 ,l) Khi đó ta có th ể mở rộng f(x) thành hàm ch ẵn hoặc hàm l ẻ tuần

hoàn v ới chu kỳ 2l Nếu mở rộng thành hàm ch ẵn thì các hệ số Fourier được tính

tương tự theo công th ức (3.10) và n ếu mở rộng thành hàm l ẻ thì các hệ số Fourierđược tính tương tự theo công th ức (3.11)

3.3.7 Các ví dụ khai triển thành chu ỗi Fourier

Vậy với 0 £ x £ 2p thì ta có được

f ( x )hội tụ vềchính nó

Do đó v ới -p£x£p ta có được

Tại x = 0,2p thì chuỗi hội tụ về 2p2

p

Vậy với 0£x£p thì ta có được

cos x + cos3x + cos5x + ( 3.16 f )

p 52

Từ những ví dụ trên ta có thể đưa ra các giáịtrcủa tổng của một số chuỗi lượnggiác quan trọng như là:

Từ (3.16b) với 0<x<2p ta nhận được ngay chuỗi

từ đây suy ra tính h ội tụ đều của chuỗi, tức là tính liên tục của nó đối với tất cả các x

Vì vậyđẳng thức trên dúngớvi mọi 0 £ x £ 2pchứkhông ch ỉvới 0 < x < 2p.Từ

(3.16a) với - p <x< p ta tìm được

3 p 2n = 1 n2 2

Ví dụ 9: Tìm khai triển Fourier của hàm s ố f ( x ) = x - x 2

Ví dụ 10: Áp d ụng khai triển Fourier để tìm tổng của chuỗi số

Cho f(x) là hàm s ố tuần hoàn v ới chu kỳ 2p và f ( x ) = x2 trênđoạn [-p;p].Hãy vi ết khai triển Fourier và tính t ổng của các chuỗi số sau

3.4 Dạng cực của chuỗi Fourier

Công th ức (3.3) được gọi là chu ỗi Fourier dạng cầu phương Công th

ức (3.18) được gọi là chu ỗi Fourier dạng cực của

Hàm tuần hoàn v ới chu kỳ 2l thì có khai tri ển dạng cực là:

3.5 Dạng phức của chuỗi Fourier

Sử dụng công th ức Euler e ij=cosj+isinj và thay vào ( 3.3 )ta được:

a

in x

Và ta l ưu ý r ằng cosnx± sinnx =e±inx do đó

-2 f0

3.6 Làm cho chu ỗi Fourier hội tụ tốt hơn

Trong cácứng dụng thường hay gặp các chuỗi lượng giác có các ệh số giảmnhanh Trong trường hợp này ch ỉ cần một số số hạng đầu của chuỗi là có th ểxácđịnh được rất chính xác ổtng của nó, b ởi vì, với sự tiến tới không đủ nhanh củacác hệ số, tổng của các ốs hạng sau của chuỗi là r ất nhỏ Khi đó các hệ số càng gi

ảm nhanh thì chúng ta chỉ cần càng ít s ố hạng của chuỗi để xấp xỉ tổng của nó v ới

độ chính xác cần thiết

Ta thường phải thực hiện phép tính vi phân các chuỗi lượng giác có các ệh

số giảm nhanh Ta có định lý sau:

Định lý : Giả sử cho trước chuỗi lượng giác

a0 + ∑¥( an cos nx + bn sin nx )

2 n =1

Nếu đối với các hệ số a n và bn các hệthức sauđây đúng

nm an £ M ; nmbn £ M ( m ³ 2; M = const )thì tổng của chuỗi

Điều vừa nói trên sẽ dẫn đến bài toán như sau:

Cho chuỗi lượng giác ( ta ký hiệu tổng của nó là f ( x )) :

f ( x ) = a0 + ∑¥( an cos nx + bn sin nx )

2 n =1

Yêu ầcu tách ừt chuỗi này ra chu ỗi khác có tổng là

hạn ), đồng thời chuỗi còn l ại, tức là chu ỗi có liên hệ với

j( x ) đã bi ết ( ở dạnghữu f ( x ) và j( x ) bởi hệthức:

f ( x ) = j ( x ) + ∑¥( an cos nx + bn sin nx )

Với yêu ầcu phải có các hệ số giảm dần đủ nhanh

Nếu bài toán được giải quyết, thì các phép toánđối vói f ( x ) có th ể thay thế bằng các phép toánớivhàm j ( x ) đã bi ết và v ới chuỗi có các hệ thức giảm nhanh

Tính giải được của bài toán này trong các trường hợp thực tế được quan tâm suy ra từ lý lu ận sau đây

Giả sử trên[ - p ;p ] (hay là trên [ 0;-p ]) cho trước bởi một hàm f ( x ) khả vi một số lần Phép thác triển hàm này ra toàn tr ục Ox một cách tuần hoàn theo chu kỳ

là 2p có th ể dẫn đến một hàm gián đoạn ( hay là m ột hàm có các đạo hàm gián đoạn ), điều này d ẫn đến sự giảm chậm của các hệ số Fourier Để ý r ằng khi trừ hàm f ( x )đi một hàm tuyến tính thích hợp ta có thể biến đổi nó thành hàm có các giá trịbằng nhau ở hai đầu mút của đoạn, và do đó nó là hàm thác tri ển liên ụtc trên toàn

Ox , tức là biến thành hàm có các h ệsốFourier giảm nhanh hơn các hệ sốFouriercảuhàm thác triển ban đầu Nếu như trừ f ( x ) đi một đa thức thích hợp thì có th ể thu được hàm không ch ỉ có các giá ịtrbằng nhau ở hai đầu mút của đoạn mà còn có

Trang - 24 SVTH: Nguyễn Duy Linh