Bài 5. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

3. Kiến thức khoảng cách từ 1 điểm đến đến một mặt phẳng. Thu gọn bài toán tinh các yêu tố trong hình hộp xiên sang tinh các yếu tố trong hình tứ diện. Hay ta có bài toán mới đơn giản hơ[r]

Câu 1 [1H3-5.1-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau bằng

A. Độ dài đoạn thẳng nối một điểm thuộc đường thẳng này với một điểm của đường thẳng kia

B. Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

C. Khoảng cách từ một điểm của đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Câu 2. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là

A. Đường thẳng bất kì vuông góc với cả hai đường thẳng đó

B Đường thẳng bất kì cắt cả hai đường thẳng đó

C Đường thẳng bất kì cắt đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D Đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng đó

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hai mặt phẳng là song song khi và chỉ khi có đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và songsong với mặt phẳng kia

B Hai mặt phẳng là song song khi và chỉ khi chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ banào đó

C Hai mặt phẳng là song song khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ banào đó

D Hai mặt phẳng là song song khi và chỉ khi có hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳngnày và cùng song song với mặt phẳng kia

Câu 4 [1H3-5.2-1] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Cho hình chóp S ABC. có

a

h 

32

a

h 

27

a

h 

37

Gọi M là trung điểm của BC Kẻ AH SM H SM  

a AM

Câu 5 [1H3-5.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh 2a , tâm O , SO a  Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SCD bằng

A

22

a

55

a

63

Câu 6 [1H3-5.2-2] (Văn Giang Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B , AB a 5 Góc giữa cạnh A B và mặt đáy là 60 Tính khoảng cách từ

Lời giải

Tác giả:Đặng Tiền Giang; Fb: tiengiang dang

Chọn A.

Góc giữa cạnh A B  và mặt đáy là A BA bằng 60 Suy ra AA AB.tan 60o a 15

Kẻ AH vuông góc với A B  ta chứng minh được AH là khoảng cách từ điểm A đến mặt

Câu 7 [1H3-5.2-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Cho hình lập phương ABCD MNPQ cạnh.

bằng a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng CNQ

A

2 33

a

32

a

34

a

22

Câu 8 [1H3-5.2-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình

lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng ' ' ' ' 1 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

Lời giải

Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng

Chọn C

Cách 1: Sử dụng tính chất tứ diện vuông đỉnh A

Gọi Hlà trực tâm của tam giác A BD' , ta có AH A BD' 

a

B

6.6

a

C

3.3

a

D

6.2

a

Lời giải

FB: dacphienkhao

Chọn A

S

C

Từ giả thiết tính được AB a 2; CA CB a  Suy ra tam giác ABC vuông cân tại C

Gọi H là trung điểm của cạnh AB thì

;

33

4

ABC SBC

2

1 cos 60 cos 60 cos 90 2cos 60 cos 60 cos 90

34

SA a SB b SC c ASC  CSB  ASB 

Câu 10 [1H3-5.3-1] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AD BC Biết khoảng cách,

từ M đến mặt phẳng SBD

bằng

67

a Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng SBD

a

47

a

67

a

Lời giải

Tác giả: Giang văn thảo ; Fb: Văn Thảo

Chọn D

O N

Câu 11 [1H3-5.3-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Cho hình chópS ABCD. có đáy là hình vuông cạnh bằng a

, tâm O, cạnh bên SAvuông góc với đáy, vàSA a Khoảng cách từ O và SCD

bằng

A.

23

a

26

a

24

a

23

a

Lời giải

Tác giả:PhanThanhLộc; Fb:PhanThanhLộc Giáo viên phản biện: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn

S

D H

Trong tam giácSADvuôngtạiAcóAH SDnên áp dụng hệ thức lượng ta có:

2 2 2 2 2 2

2

a AH

a

23

BH BI BB BA BC BB a a  a  a

a BH

Câu 13 [1H3-5.3-2] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A và D , SD vuông góc với mặt đáy ABCD

,AD2 ,a SD a 2 Tính khoảng

cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SAB

A

a

2a

a 3.2

a

.2

3

a DH

Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SAB

là

23

a

Câu 14 [1H3-5.3-2] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác

vuông tại A , AB a , AC a 3; SA vuông góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng SBC bằng

A

2 37

a

37

a

319

a

2 319

, kẻ AH BC, mà BC SA BCSAH  BCSH

.Trong SAH, kẻ AK SH, mà SH BC  AK SBC

hay d A SBC ;   AK

Vì ABC vuông tại A nên BC  AB2AC2 2a

Mặt khác có AH là đường cao nên

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và , , H là hình chiếu của O lên

Câu 15 [1H3-5.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy

bằng a và chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt

bên theo a.

A

2 53

a

d 

32

a

d 

52

a

d 

23

a

d 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Chọn D

H O

D S

Dễ thấy CDSOH SCD  SOH

nên kẻ OK vuông góc với SH tại K thì

4

a a

Câu 16 [1H3-5.3-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho hình chóp

tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB.

A.

34

a

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch; Fb:Hoạch Nguyễn

Phản biện: Hoài Lệ; Fb: Hoài Lệ

Chọn A

H D

C

O

B

A S

Gọi H là trung điểm của AB  OH AB

Do S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SOABCD và SAB cân tại S

   Góc giữa SAB

và ABCD

chính là góc giữa SH và OH hay SHO  60o

Ta có, ABSOH SAB  SOH

Câu 17 [1H3-5.3-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật

với AC2 ,a BC a SA SB SC ,   Gọi M là trung điểm SC Khoảng cách từ M đến mặt

phẳng SBD bằng:

A a B.

34

a

52

Do SA SB SC  nên hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD

là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , O là trung điểm AC

Câu 18 [1H3-5.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng A BC'  bằng 6a Khoảng cách từ trung điểm M cạnh B C' ' đến mặt phẳng

cắt đoạn AM tại trung điểm O của AM

Câu 19 [1H3-5.3-2] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy

là tam giác vuông cân tại ,A AB a Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC là)

trung điểm M của cạnh AB Biết ' A M a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

Tác giả: Phan Lê Thanh Quang; Fb: Pike Man

3

a

d A A BC 

Câu 20 [1H3-5.3-2] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy là ' ' ' '

hình vuông, tam giác 'A AC vuông cân, ' A C  Tính khoảng cách từ điểm 2 A đến mặt phẳng

Phản biện: Trần Mạnh Trung ; Fb: Trung Tran

Chọn C

2

B C

 ' '

CB A ABB  CBAH

'

AH A B (cách dựng)

Vậy AH (BCD') hay AH là khoảng cách từ A đến mp BCD '

Trong tam giác vuông

a

157

a

213

a

153

C B

A S

K

M D

Mặt khác tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a nên BCD là tam giác đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của CD , suy ra BM CD

SK

,

SA a ,

32

a AH

Câu 22 [1H3-5.3-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hình chóp S ABC có mặt bên SAB là tam giác

đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d từ A đến mặt

phẳng SBC, biết BC a 3 ,AC2a.

A d a 3 B

62

a

d 

22

a

d 

32

Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều nên SH AB Mặt khác SAB nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ABC  SH BC  1

.Trong mặt phẳng SAB

kẻ HK SB K SB(  ) Xét tam giác ABC ta có

Câu 23 [1H3-5.3-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với đáy

và đáy ABCD là hình chữ nhật Biết AB4a, AD3a, SB5a Tính khoảng cách từ điểm

C đến mặt phẳng (SBD)

A

4112

a

12 4141

a

6112

a

12 6161

O A

Câu 24 [1H3-5.3-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình chóp S ABC

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA a  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng:

A

22

a

37

a

217

a

155

a a

Câu 25 [1H3-5.3-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy

bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt

bên theo a.

A.

5.2

a d

B.

3.2

a d

C.

2 5.3

 a d

D.

2.3

a d

Câu 26 [1H3-5.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hình chóp .S ABC có đáy

ABC là tam giác vuông tại B biết BC a 3, AB a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S

trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp S ABC bằng

3 66

a

d 

2 6611

a

d 

C

3010

a

d 

6611

C S

Ta có công thức tính thể tích hình chóp S ABC :

3

Gọi M là trung điểm AB Vì tam giác SAB cân tại S nên:

Suy ra  ;   ; 

2 662

Câu 27 [1H3-5.3-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC a 3,

AB a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và

biết thể tích khối chóp S ABC bằng

3 66

a

d 

2 6611

a

d 

C

3010

a

d 

6611

C S

Ta có công thức tính thể tích hình chóp S ABC :

3

Gọi M là trung điểm AB Vì tam giác SAB cân tại S nên:

a 3

M H

113

24

H SAB

a a

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , I là trung điểm của AB , H là hình chiếu của G lên

Câu 29 [1H3-5.3-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi cạnh

a ,  BAD   , 60 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt

phẳng SCD bằng

A.

153

a

157

a

213

a

217

a

Lời giải

Chọn D.

Gọi E là hình chiếu của A lên CD , F là hình chiếu của A lên SE

Do BAD   nên  60 ADE   Vì thế 60

3sin 60

Câu 30 [1H3-5.3-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD

là trung điểm H của AB Biết diện tích tam giác SAB bằng a Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng 2 SBD

A

233

 a d

2 3333

d

C 3

a d

3316

a d

Câu 31 [1H3-5.3-3] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho hình chóp

SABC có tam giác SAB và tam giác ABC là các tam giác đều cạnh a Mặt phẳng SAB

vuông góc với đáy Khoảng cách từ B đến SAC

là

A

155

a

32

a

104

 đều, SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra SH AB

SAB  ABC  SH ABC

22

a

25

a

5 303

ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC  60  ABC,

ACD là các tam giác đều cạnh a Xét SAC vuông tại A có: SA SC2 AC2  4a2 a2 a 3

Cách 2: Tính khoảng cách thông qua tính thể tích.

ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC  60  ABC,

ACD là các tam giác đều cạnh a Xét SAC vuông tại A có: SA SC2 AC2  4a2 a2 a 3

.3



34

a



Xét SAC và SAD có: ADAC a  , SA chung, SAC SAD  90

Do đó SAC SAD SC SD  SCD cân tại S

Gọi H là trung điểm CD  SH CD

Xét SHC vuông ở H: SH  SC2 CH2

2 244

a a

.2



2 154

a a



155

Câu 33 [1H3-5.3-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hình chóp

SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 1cm, AC= 3 cm Tam giác SAB SAC,

lần lượt vuông tại B và C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có thể tích bằng

3

5 5cm6



Tính khoảng cách từ C tới SAB.

A.

5cm

5cm

3cm

3cm

2 .

Lời giải

Tác giả: Bùi Bài Binh; Fb: Bui Bai

Chọn D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABHC.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABHC là trung điểm I của SA

Câu 34 [1H3-5.3-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A và D , SAABCD

Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45 , E là trung điểm của SD , AB2 , a AD DC a  Tính khoảng cách từ B đến ACE

A

2.3

a

B

4.3

a

3.4

 AB là hình chiếu của SB lên mặt đáy.

Suy ra SB ABCD,   SB AB,  SBA 45

Tam giác SAB vuông cân tại A nên SA AB 2a

 Gọi H là trung điểm của cạnh AD thì EH ABCD

và

12

EH  SA a

 Trong mặt phẳng ABCD , vẽ HI AC tại I , khi đó: ACEHI

.Suy ra ACE  EHI

theo giao tuyến EI

Do đó kẻ HK EI tại K thì HK EAC

Câu 35 [1H3-5.3-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a.

a

B

157

a

C

213

a

D

153

a AH

Câu 36 [1H3-5.3-3] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình

thang vuông tại A và B , AB BC a  , AD2a , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

bằng

A.

63

a

55

a

66

a

2 55

a a a

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, khi đó ta có

0;0;0

A , B0; ; 0a , S0; 0;a, D a2 ; 0; 0, C a a ; ; 0

Ta có SD 2 ;0;a a SC ; a a a; ; 

, do đó SD SC  ,   a a2; ;22 a2Suy ra phương trình mặt phẳng SCD

là: x y 2z 2a0

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD là  ,   6

66

Câu 37 [1H3-5.3-3] (Nguyễn Khuyến) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A

và D , AD DC a  , AB2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên SBC

tạo với đáymột góc 60o Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBCbằng

A

66

a

62

a

64

a

63

 a AH

Câu 38 [1H3-5.3-3] (Sở Điện Biên) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O

Biết SA2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

SBC bằng

A.

55

a

2 55

a

4 55

a

3 55

a

Lời giải Chọn A

a 2a

Câu 39 [1H3-5.3-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại A , (SAC)ABC

Xét tam giác SAH , ta có SH SA sin 30 a 3 và AH  SA2 SH2 3a

Xét tam giác ABC , ta có AC BC2 AB2 4a và HCAC HA a 

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BC và F là hình chiếu vuông góc của H lên SE

a

4646

a

3 4646

a

3 4623

a

Lời giải Chọn D

nên kẻ DH D M  DH AID

Suy ra d D AID ;    DH

a DH

23

a DH

Câu 41 [1H3-5.3-3] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình thoi cạnh a , BAD60 , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B

đến mặt phẳng SCD bằng:

A

217

a

157

a

3 213

a

153

Do AB CD// nên AB//SCD Suy ra d B SCD ,   d A SCD ,  

.Trong ABCD gọi E là trung điểm AB

Do ABD là tam giác đều cạnh a nên

3 ,

2

a

DEAB DE

.Mặt khác AB CD// nên DECD

Trên tia đối của tia DClấy F sao cho AEDF

Do AEDF là hình bình hành nên ED AF// Suy ra: AFCD

Gọi H là hình chiếu của A lên SF

7 3

2

a a

AH

a a

Câu 42 [1H3-5.3-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hình chóp .S ABCD , đáy là hình bình

hành có diện tích bằng 3a , tam giác SAB đều có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng2

vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD

bằng

A

53

a

155

a

52

a

33

I K

Gọi H là trung điểm AB Do tam giác SAB đều nên SH AB

a HK

Câu 43 [1H3-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh

bằng a Tồn tại một điểm M nằm bên trong hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình

chóp một khoảng bằng h Tính h

A

 6 212

a

 6 24

a

 6 26

Suy ra M cách đều 5 mặt của hình chóp S ABCD.

- Xét tam giác vuông SOA có

2

a SO

SIO

a OI

2 2

 

- Xét tam giác vuông MOI có h MO OI x  .

Câu 44 [1H3-5.3-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh

bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt

phẳng SCD

A

69

a

63

a

2 69

a

64

Gọi M là trung điểm CD, O là tâm hình vuông ABCD Khi đó SO là đường cao hình chóp

tứ giác đều S ABCD. và

22

a OH

Câu 45 [1H3-5.3-3] (Hùng Vương Bình Phước) Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình chữ nhật,

a

B

3344

a

6611

a

3311

E C

I H

Chọn hệ trục tọa độ Oxyzthỏa mãn O A còn D B S, , theo thứ tự thuộc các tia Ox Oy Oz, ,

Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

Câu 46 [1H3-5.3-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có

tất cả các cạnh bằng a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B   và BC.

37

a

217

a

22

Chọn C

a

a a

D' H

K

Dựng hình thoi A B D C   , suy ra C D //A B  nên A B //BC D 

.Khi đó: d A B BC  ,  d A B BC D  ,    d B BC D ,   

Câu 47 [1H3-5.3-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho tam giác đều ABC

có cạnh bằng 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC a Dựng đoạn thẳng SH vuông góc vớimặt phẳng ABC với SH 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng

A

37

a

3 217

a

217