Chuyên đề hình không gian Oxyz luyện thi THPT quốc gia | Lớp 12, Vật lý - Ôn Luyện

Phương trình của mặt phẳng đi qua hình chiếu của M trên các trục tọa độ là:.. A.A[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN LÝ THUYẾT TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: A x ; y ;z , B x ; y ; z A A A  B B B

17 Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy;K(0;0;z) Oz  

18 Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0)Oxy ; N(0; y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz

20 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  AB,AC 

21 Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD

1

   

22 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D': VABCD.A ' B'C ' D '  AB, AD AA '  

2 CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.

 A,B,C là ba đỉnh tam giác AB, AC  không cùng phương hay AB, AC   0

không có điểm chung.

 d R : mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu (S) tại H.

- Điểm H được gọi là tiếp điểm

- Mặt phẳng   được gọi là tiếp diện.

 d R : mặt phẳng   cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn.

Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng  ) :

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u d n.

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ()

Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u d n.

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ()

 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t

 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

2 CÁC DẠNG TOÁN

Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Biết trước tâm I a;b;c  và bán kính R:

Phương trình:     2  2 2 2

S I;R : x a  y b  z c RNếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R IA

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng   :

 Tâm I là trung điểm AB

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2y2z22ax 2by 2cz d 0     2 .

 Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2)

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

 Viết phương trình mặt cầu

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I   : Ax By Cz D 0    :

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2y2z22ax 2by 2cz d 0     2 .

 Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2)

 I a;b;c     Aa Bb Cc D 0   

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

 Viết phương trình mặt cầu

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A

Tiếp diện ( ) của mc(S) tại A: () qua A, vectơ pháp tuyến n IA 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến của mp : n 0  là véctơ pháp tuyến của     n   .

2 Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng   : hai vectơ không cùng phương a, b  là cặp vectơ chỉphương của mặt phẳng   a, b  có giá cùng song song với   .

3 Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n

Chú ý: Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.

6 Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.

7 Chùm mặt phẳng:

Giả sử       ' d trong đó: ( ) : Ax By Cz D 0     và ( ') : A 'x B' y C'z D' 0     .

Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2n2 0 : m Ax By Cz D     n A 'x B' y C'z D'     0.

8 Vị trí tương đối của hai mp   và  ' :

n n

    ( , )

2 CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:

 Cặp vectơ chỉ phương: AB, AC 

 Mặt phẳng   đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến n  AB, AC .

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB  .

Dạng 3: Mặt phẳng (  ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB  hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳngd

Dạng 4: Mp  qua M và song song (  ): Ax + By + Cz + D = 0

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n  n A;B;C

Dạng 5: Mp(  ) chứa (d) và song song (d / )

 Lấy điểm M x ; y ;z0 0 0 0   d

 Xác định vectơ chỉ phương u ;u d d '

của đường thẳng  d và đường thẳng  d ' .

 Mặt phẳng   đi qua M0 và có vectơ pháp tuyến n  u ,u d d '.

Dạng 6 Mp(  ) qua M, N và vuông góc  :

 Tính MN

 Tính n  MN, n 

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n

Dạng 7 Mp(  ) chứa (d) và đi qua M

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc M0) và có vectơ pháp tuyến n.

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n 0  được gọi là vectơ pháp tuyến của mp   nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp

  , viết tắt là n    .

Nếu u (x ; y ;z ), v (x ; y ;z ) 1 1 1  2 2 2 là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúngsong song (hoặc nằm trên) mp   (u, v  còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp  ) thì:

2 Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0    với A2B2C2 0

Vectơ pháp tuyến: n A;B;C

4 Trường hợp đặc biệt Cho mp   : Ax By Cz D 0    Khi đó:

* D 0    đi qua gốc tọa độ.

* C 0;D 0     song song với trục Oz; C 0;D 0     chứa trục Oz.

* B C 0;D 0      song song với mp(Oyz); B C D 0      chính là mp(Oyz)

(Các trường hợp khác suy ra tương tự)

5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

 Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0

6 Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k AB, AC    với k là số thực khác 0.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z0 0 0 0 Và Vuông Góc Với

Đường Thẳng   Cho Trước.

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là vectơ chỉ phương của đường thẳng   .

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z0 0 0 0 Và Song Song Với Hai

Đường Thẳng    1 , 2 Chéo Nhau Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u1

của đường thẳng  1 và vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng  2 .

 Tính u ,u 1 2

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , u   1 2 với k là số thực khác 0.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua Đường Thẳng  1 Và Song Song Với

Đường Thẳng  2 Cho Trước.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Chứa Hai Đường Thẳng    1 , 2 Song Song.

 Chọn điểm M x ; y ;z1 1 1 1   1 và M x ; y ;z2 2 2 2   2 .

 Tìm vectơ chỉ phương u1

của đường thẳng  1 hoặc vectơ chỉ phương u2

của đường thẳng  2

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z0 0 0 0 Và Vuông Góc Với Hai

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k n , n   1 2 với k là số thực khác 0.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Chứa Hai Đường Thẳng    1 , 2 Cắt Nhau.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Bài Toán 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua Đường Thẳng  1 Và Vuông Góc Với

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng   .

Dạng4: Hình chiếu của điểm M

1 H là hình chiếu của M trên mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (): ta có a d n

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

2 H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có n ad

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

Dạng 5: Điểm đối xứng

1.Điểm M / đối xứng với M qua mp

 Tìm hình chiếu H của M trên mp () (dạng 4.1)

 H là trung điểm của MM/

2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:

 Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2)

 H là trung điểm của MM/

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương ua;b;c có :

- Phương trình tham số của d:

o 0 0

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương ua;b;c và đường thẳng d ' đi qua

+ d và d’ chéo nhau [u, u '].M M  0 0' 0

3 Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương ua;b;c và mặt phẳng

  : Ax By Cz D 0    có vectơ pháp tuyến n A;B;C Khi đó:

4 Góc giữa hai đường thẳng.

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ua;b;c và đường thẳng d ' có vectơ chỉ phương

5 Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ua;b;c và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến

7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M x ; y ; z0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương uvà đường thẳng'

 đi qua M ' x ' ; y ' ; z '0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương u '.

+ Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và song song với '.

- Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng   .

- d( , ') d(M ' ,( ))   0  .

+ Cách 2: Sử dụng công thức:

'

0 0

u, u ' M Md( , ')

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u:

 Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc

 Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u AB  .

 Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương

 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương củađường thẳng

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (  )

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u   .

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(  )

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u n   .

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  :

 Xác định A là giao điểm của d và   .

 Lấy điểm M, M A trên d Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với   .

 Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với   .

 Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH.

Đặc biệt: Nếu d song song   thì đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua H và song song d.

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ):

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  u , u d 1 d 2

Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của  d1

và  d2

:

 Chuyển phương trình đường thẳng    d , d1 2 về dạng tham số và xác định u , u 1 2

lần lượt là vectơchỉ phương của    d , d1 2

 Lấy A, B lần lượt thuộc    d , d1 2 (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).

 Giả sử AB là đường vuông góc chung Khi đó:

 1

2

AB.u 0

*AB.u 0

 Viết phương trình đường vuông góc chung

Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = (  )  (  )

với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)

Câu 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0 Gọi

C là điểm trên (P) để tam giác ABC đều khi đó tọa độ điểm C là:

Câu 6: Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x - 3y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + y

- 3z + 1 = 0 và song song với trục Ox là

A ABCD là hình thoi B ABCD là hình chữ nhật

C ABCD là hình bình hành D ABCD là hình vuông

Câu 9: Cho mặt phẳng (P) x-2y-3z+14=0 Tìm tọa độ M’ đối xứng với M(1;-1;1) qua (P).

Câu 11: Cho 2 đường thẳng 

t y

t x

d

43

32

21:

t y

t x

d

87

65

43:

A và đường thẳng AB là hai đường thẳng chéo nhau B A, B và cùng nằm trong một mặt phẳng

C Tam giác MAB cân tại M với M(2;1;0) D A và B cùng thuộc đường thẳng 

Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,

cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết

A(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3) B C Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.

+ 3z – 4 = 0 sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 26

Câu 17: Cho hai đường thẳng (d1):

A ( 1) ( 2)d  d

B ( 1) ( 2)d  d C ( 1) / /( 2)d d

D (d1) và (d2) chéo nhau Câu 18: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu   2  2 2

(S) : x 1  y 3  z 2 49 tại điểm M(7; -1; 5)

có phương trình là:

A 6x+2y+3z-55=0 B 6x+2y+3z+55=0 C 3x+y+z-22=0 D 3x+y+z+22=0

Câu 19: Trong không gian 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 11 = 0 Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 1)

và tiếp xúc với (P) tại H tọa độ tiếp điểm H là

Câu 21: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0 Phương trình

chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua

điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất là

 Viết phương trình mặt cầu (S) có

tâm I và cắt tại hai điểm A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0 và

Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt

và vuông góc với đường thẳng d là:

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;-2;3),C(1;1;1).

Phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) là

23

Câu 31: Cho mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z - 1 = 0 và đường thẳng d :

 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng

∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 34: Trong không gian oxyz cho hai điểm A(5,3,-4) và điểm B(1,3,4) Tìm tọa độ điểmC(Ox )y sao

cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 8 5 Chọn câu trả lời đúng nhất

A C(-3-7,0) và C(-3,-1,0) B C(3,7,0) và C(3,-1,0)

C C(3,7,0) và C(3,1,0) D C(-3,-7,0) và C(3,-1,0)

Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; 1; 2) Phương trình của mặt phẳng đi qua hình

chiếu của M trên các trục tọa độ là:

A 3x + y + 2z = 0 B 2x + 6y + 3z – 6 =0

C -3x – y – 2z =0 D -2x – 6y – 3z – 6 =0

Câu 36: Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác

ABC nhận điểm G(1; 2; 1) làm trọng tâm?

A (x 4)2(y 1)2 (z 6)2 12 B (x 4)2(y 1)2(z 6)2 9

C (x4)2(y1)2 (z 6)2 18 D (x 4)2(y 1)2(z 6)2 16

Câu 38: Trong hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng   đi qua điểm M(2;-1;4) và chắn trên nửa trục dương Oz

gấp đôi đoạn chắn trên nửa trục Ox, Oy có phương trình là:

 Đường thẳng d đi qua điểm M, cắt

và vuông góc với  có vec tơ chỉ phương

Câu 43: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y2z 3 0 Viết

phương trình (P) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3

A ( ) :P y z 0

B ( ) :P y2z0 C ( ) :P y2z0

D ( ) :P y3z0Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;1) Mặt phẳng (P) qua H ,cắt các trục tọa

độ tại A,B,C và H là trực tâm của tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P) là:

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2y z  4 0và mặt cầu (S): x2 +

y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi là

Câu 47: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3; –2), (–3;7; –18)B và mặt phẳng (P):

2 –x y z  1 0 GọiM a b c ; ;  là điểm trên (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất Giá trị của a b c  là