Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:.. A..[r]
Trang 1ñ o n
ñ h
ñ o n
ñ h
1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:
2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:
Trang 2c Công thức tính diện tích tam giác:
d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
A
NK
M
A
NM
2 2
/ /
AMN ABC
Trang 35 Diện tích đa giác:
a Diện tích tam giác vuông:
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích
2 cạnh góc vuông
b Diện tích tam giác đều:
Diện tích tam giác đều:
34
Chiều cao tam giác đều:
32
=.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
e Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc:
Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc nhau bằng ½ tích hai
đường chéo
Hình thoi có hai đường chéo vuông
góc nhau tại trung điểm của mỗi
đường
b CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :
a
h
2 3 4 3 2
ABC
a S a h
D
ìïï =ïïï
Þ í
ïï =ïï ïî
C D
Þ íï
= =ïïî
Trang 4( )
( )( )
üï
üïïï Þýï
Ì ïïþ
P
P (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)
Q Q
P
PP
3 Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí
Î Ç ïïï
ïïïïþ
P PP
(Hệ quả trang 57, SKG HH11)
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( ) b chứa a
và cắt ( )a theo giao tuyến b thì b song song với a.
( ) ( )
( ),
( )
a
b b
üï
Ì ïï Þýï
b a
ü
ýï
Trang 54 Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:
Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy
( )
{
( )( )}
^ Ì ïïï
ïï
Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt
phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia
Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường
thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia
üïïï Þ ^ý
ï
^ ïïþ
P
Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
^ ïïïï
ïïï
Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ
đường thẳng nào nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyếnđều vuông góc với mặt phẳng kiA
^ ïïïï
ïïï
Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng
song song thì phải vuông góc với đường kia
Trang 6Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó
üï
Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )P
Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’
c HÌNH CHÓP ĐỀU
1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa
giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhâ ̣ n xe ́ t :
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân
bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng
nhau
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các
góc bằng nhau
2 Hai hình chóp đều thường gặp:
a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
S ABC Khi đó:
ĐáyABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Chiều cao: SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO· =SBO· =SCO·
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO
Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có
Trang 7B
b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD
ĐáyABCD là hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Chiều cao: SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO· =SBO· =SCO· =SDO·
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO
d THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1.Thể tích khối chóp:
1 .3
:
B Diện tích mặt đáy.
:h Chiều cao của khối chóp.
2.Thể tích khối lăng trụ: V =B h.
:
B Diện tích mặt đáy.
:h Chiều cao của khối chóp.
Lưu y ́ : Lăng trụ đứng có chiều cao
cũng là cạnh bên
3.Thể tích hình hộp chữ nhật:
Þ Thể tích khối lập phương: V =a3
4 Tỉ số thể tích:
’
CA
Trang 8Câu 1. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên
2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC. tăng lên bao nhiêulần?
Câu 3. Cho khối đa diện đều p q , chỉ số p là;
A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.
C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều p q , chỉ số q là ;
A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.
C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
A
3 212
a
B
3 24
a
36
a
C
3 26
a
33
a
Câu 7. Cho hình chópS ABC. có SAABC, đáyABC là tam giác đều Tính thể tích
khối chóp S ABC. biết AB a , SA a
A
3 312
a
3 34
a
33
a
C
36
Trang 9A
312
324
324
a
B
323
a
C
33
a
D
3 26
a
B
3 23
a
C
3 32
a
D
3 33
a
Câu 13. Cho hình chópS ABC. có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết SAB là
tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính thể
tích khối chóp S ABC. biết AB a , AC a 3
A
3 612
a
B
3 64
a
C
3 26
a
D
34
a
Câu 14. Cho hình chópS ABCD. có đáyABCD là hình thoi Mặt bên SAB là tam
giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD
Tính thể tích khối chóp S ABCD. biết BD a , AC a 3
3 34
a
C
3 312
a
D
33
a
Câu 15. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của
S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC Tính thể tích khối chóp
S ABC biết AB a , AC a 3, SB a 2
A
3 66
a
B
3 32
a
C
3 36
a
D
3 62
a
Câu 16. Cho hình chópS ABCD. có đáyABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu của
S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AD Tính thể tích khối chóp
S ABCD biết
32
a
32
a
D
332
Hình chiếu của Slên ABCD là trung điểm H của AB Thể tích khối chóp là
A
3 23
a
B
323
a
C a3 12 D
33
a
Trang 10Câu 18. Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB2a , góc ·BAD bằng 120 Hình chiếu0
vuông góc của S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI 2
a
.Khi đó thể tích khối chóp S ABCD là
A
3 29
a
B
3 39
a
C
3 23
a
D
3 33
O A B C
O ABC
V V
a
B
3 33
a
C
3 23
a
D
3 22
a
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD A B C D có ABCD là hình chữ nhật, ' ' ' ' ' A A A B A D ' '
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' biết AB a , AD a 3, AA' 2 a
a
B
332
a
C a3 3 D 3a3 3
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình thoi Hình chiếu của 'A lên
ABCD là trọng tâm của tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ
' ' '
ABCA B C biết AB a , ·ABC 1200, AA'a
Trang 11A a3 2 B
3 26
a
C
3 23
a
D
3 22
a
Câu 26. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tính tỉ số
' ' ' ' '
ABB C ABCA B C
a
B
3 34
a
C
3 36
a
D
312
a
Câu 28. Lăng trụ tam giácABC A B C. có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng 300 Hình chiếu A lên ABC là trung điểm I của BC
Thể tích khối lăng trụ là
A
3 36
a
B
3 32
a
C
3 312
a
D
3 38
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có chiều cao bằngh, góc giữa hai mặt
phẳng (SAB và () ABCD bằng Tính thể tích của khối chóp ) S ABCD theo h
và
A
3 2
43tan
h
3 2
83tan
h
3 2
3
8 tan
h
Trang 12Câu 34. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB
vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 Tính thểtích khối chóp S ABCD
A
3
3 34
a
V
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
BC a , mặt phẳng A BC' tạo với đáy một góc 30 và tam giác 'A BC có
diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
3 38
a
3
3 34
a
3
3 38
a
3
3 32
a
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ' ' '
Hình chiếu vuông góc của 'A trên ABC là trung điểm của AB Mặt phẳng
AA C C' ' tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích V của khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C
A
3316
a
V
338
a
V
334
a
V
332
a
V
Câu 37. Cho hình chóp đều S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC
bằng 60 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 0
3
2 7
a
Thể tíchcủa khối chóp S ABC theo a bằng
A
3 312
a
3 318
a
3 316
a
3 324
a
Câu 38. Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AC2 3a,
2
BD a, hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng
ABCD Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB bằng 43
a
Tínhthể tích của khối chóp S ABCD theo a
A
3 316
a
3 318
a
3 33
a
3 312
a
Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. , O là giao điểm của AC và BD Biết
mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a
Tính thể tích khối chóp S ABCD. theo a
A 2a3 3 B 4a3 3 C 6a3 3 D 8a3 3
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có SAABCD ABCD là hình thang
vuông tại A và B biết AB2a AD3BC3a Tính thể tích khối chóp
S ABCD theo a biết góc giữa SCD và ABCD bằng 0
60
Trang 13A 2 6a 3 B 6 6a 3 C 2 3a 3 D.6 3a 3
Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có SAABCD, ABCD là hình thang
vuông tại A và B biết AB2a.AD3BC3a Tính thể tích khối chóp S ABCD.
theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD bằng)
3 6
4 a
A 6 6a 3 B 2 6a 3 C 2 3a 3 D.6 3a 3
Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc giữa đường thẳng BB'
và ABC bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC Hình chiếu60
vuông góc của điểm 'B lên ABC trùng với trọng tâm của ABC Thể tíchcủa khối tứ diện A ABC'. theo a bằng
A
313108
a
37106
a
315108
a
39208
a
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứngABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a ' ' '
Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng 6' a
.Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
3
3 28
a
3
3 228
a
3
3 24
a
3
3 216
a
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S ABC. có M là trung điểm của SB,N là điểm
trên cạnh SC sao cho NS 2NC Kí hiệu V V lần lượt là thể tích của các khối1, 2chóp A BMNC. và S AMN. Tính tỉ số
1 2
V
V
A
1 2
23
V
1 2
12
V
1 22
V
1 23
V
Câu 45. ho NS 2NC , P là điểm trên cạnh SAsao cho PA2PS Kí hiệu V V lần1, 2
lượt là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC Tính tỉ số
1 2
V
V
A
1 2
19
V
1 2
34
V
1 2
23
V
1 2
13
V
Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai
mặt phẳng (SAB và () ABCD bằng 45 , ,) M N và P lần lượt là trung điểm các
cạnh SA SB và AB Tính thể tích , V của khối tứ diện DMNP
A
36
a
V
B
34
a
V
C
312
a
V
D
32
a
V
Câu 47. Cho lăng trụ ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC2a
; cạnh bên AA 2a Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC)
là trung điểm cạnh AC Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C.
Trang 14A
312
33
a
V
323
a
V
Câu 48. Cho tứ diện ABCDcó các cạnh AB AC và AD đôi một vuông góc với,
nhau Gọi G G G và 1, 2, 3 G lần lượt là trọng tâm các mặt 4 ABC ABD ACD và BCD, , Biết AB6 ,a AC9a, AD12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G G G G 1 2 3 4
A 4a3 B.a 3 C 108a 3 D.36a 3
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11m, BC AD20m, BDAC21m Tính
thể tích khối tứ diện ABCD
A 360m3 B 720m3 C 770m3 D 340m3
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là vuông; mặt bên ( SAB là tam)
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng ( SCD bằng)
3 77
323
332
a
V
Câu 51. Cho tứ diện S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao
cho MA2SM , SN 2NB, ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC Kíhiệu (H và 1) (H là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện SABC bởi2)mặt phẳng ( ) , trong đó, (H chứa điểm 1) S, (H chứa điểm A ; 2) V và 1 V lần2lượt là thể tích của (H và 1) (H Tính tỉ số 2)
1 2
Câu 52. Cho hình chóp S ABC. có chân đường cao nằm trong tam giác ABC; các
mặt phẳng (SAB , () SAC và () SBC cùng tạo với mặt phẳng () ABC các góc)bằng nhau Biết AB , 25 BC , 17 AC 26; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 Tính thể tích V của khối chóp S ABC
Trang 15NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC. tăng lên bao nhiêulần?
1
2
Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần
Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối
12 mặt đều, khối 20 mặt đều
A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện.
C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện.
A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện.
C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh.
A
3 212
a
B
3 24
a
36
a
Hướng dẫn giải:
Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a
Gọi H là hình chiếu của A lên
BCD
Ta có:
33
BCD
a
3 212
ABCD
a V
a
C
3 26
a
33
a
Hướng dẫn giải:
BA
Trang 16Gọi H là hình chiếu của S lên
ABCD
Ta có:
22
26
S ABCD
a V
khối chóp S ABC. biết AB a , SA a
A
3 312
a
3 34
a
33
a
Hướng dẫn giải:
2 34
ABC
a
3
312
S ABC
a V
a
Hướng dẫn giải:
a
C
36
H
A
B
CS
B C
Trang 173
1
2
324
324
3 cm D 24cm 3
Hướng dẫn giải:
2
3
1
2
a
B
323
a
C
33
a
D
3 26
a
Hướng dẫn giải:
0
2
3
.tan 45
2 2
a
B
3 23
a
C
3 32
a
D
3 33
a
Hướng dẫn giải:
3
3
.cos 45
A
A
B
CS
B
Trang 18Câu 13. Cho hình chópS ABC. có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết SAB là
tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính thể
tích khối chóp S ABC. biết AB a , AC a 3
A
3 612
a
B
3 64
a
C
3 26
a
D
34
a
Hướng dẫn giải:
a SH
giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD
Tính thể tích khối chóp S ABCD. biết BD a , AC a 3
3 34
a
C
3 312
a
D
33
a
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và
Ta có: SAB cân SH AB SH ABCD (vì SAB ABC)
3
S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC Tính thể tích khối chóp
Trang 19A
3 66
a
B
3 32
a
C
3 36
a
D
3 62
S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AD Tính thể tích khối chóp
S ABCD biết
32
a
32
a
D
332
a
Hướng dẫn giải:
1
Hình chiếu của Slên ABCD là trung điểm H của AB Thể tích khối chóp là
A
3 23
a
B
323
a
C a3 12 D
33
a
Hướng dẫn giải:
Trang 20Câu 18. Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB2a , góc ·BAD bằng 120 Hình chiếu0
vuông góc của S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI 2
a
.Khi đó thể tích khối chóp S ABCD là
A
3 29
a
B
3 39
a
C
3 23
a
D
3 33
a
Hướng dẫn giải:
3
O A B C
O ABC
V V
B
A
C
DS
M
Trang 21Ta có:
’ ’
a
B
3 33
a
C
3 23
a
D
3 22
a
Hướng dẫn giải:
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D biết AB a ' ' ' ' , AD a 3, AA' 2 a