Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm véctơ trong không gian, quan hệ vuông góc | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng  Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vec[r]

CHỦ ĐỀ 2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

3.Tích vô hướng của hai vectơ:

 Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB u AC v , 

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phân tích vectơ Áp dụng công thức

tính tích vô hướng.

 Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số).

 Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C.   , M là trung điểm của BB Đặt CA a 

AM  a c b

C

12

AM   b c a

Hướng dẫn :

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng,

đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng

 Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng

Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng

hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

Bài 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của asong song hoặc trùng với đường thẳng d.

2 Góc giữa hai đường thẳng:

 Cho // 'a a , // ' b b và ' a , ' b cùng đi qua một điểm Khi đó:  a b, a b', '

Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A A C  BD B BB BD C A B DC D BCA D Hướng dẫn

Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB BD

Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa: d ( )  d a,  a ( )

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

( ), ( )

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với

đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó Mặt phẳng trung trực củađoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạnthẳng

 

 

 //

 Nếu d vuông góc với   thì góc giữa d và   là 900

 Nếu d không vuông góc với   thì góc giữa d và   là thì góc giữa d và

Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu đường thẳng d   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong  

B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong () thì d  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  

thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong  

Bài 4 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

B A

C

H

 Giả sử ( ) ( ) d    Từ điểm I d , dựng

, ( ), ( )

 Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng   và   là  thì

0 0

0 ;90

  

2 Diện tích hình chiếu của một đa giác:

Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong   và S’ là diện tích của đa giác

ℋ’ là hình chiếu vuông góc của đa giác ℋ lên    Khi đó S'S.cos với  làgóc giữa hai mặt phẳng   và  

a a

giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

D Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là

góc SCB.

và ABC là góc giữa hai đường thẳng SH và AH, là góc SHA

D Sai do cách xác định như câu C.

BÀI TẬP NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v sin

D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   0

thì B là trung điểm của AC.

D Cho d( ) và ' ( )d   Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông góc với nhauthì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau

AM   a c b

   

12

   

.

không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tâm O Gọi I là tâm hình

phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và ABCD ?

A  18 35'0 B   15 62 ' 0 C  37 45'0 D  63 72'0

mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD và mặt phẳng SAC?

A  24 5'0 B  34 15'0 C  73 12'0 D  62 8'0

giác vuông tại A , ABC 600, , AB a Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và

A  76 24'0 B  44 12 '0 C  63 15'0 D  73 53'0

góc 450, SA vuông góc với đáy Tính góc giữa (SAB) và (SCD ?)

A  35 15'0 B  75 09'0 C  67 19 '0 D  38 55'0

vuông góc với mặt phẳng đáy và SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tínhgóc giữa SBC và SCD

Câu 24. Cho .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a SA , vuông

góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450 và hợp với SAB

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

  ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong  

B Nếu đường thẳng d   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì

 

D Nếu d  và đường thẳng a//  thì ad

O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ?

góc với đường thẳng  cho trước?

A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song

đường chéo của nó là:

A SABC . B AH BC C AH AC D AH SC.

Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng  P Gọi H là hình

chiếu của A lên  P M, N là các điểm thay đổi trong  P Mệnh đề nào sau

đây là mệnh đề sai?

A Nếu AM AN thì HM HN. B Nếu AM  AN thì HM HN

C Nếu AM  AN thì HM HN D Nếu HM HN thì AM  AN

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A Ba mặt phẳng ABC ;ABD ;ACD đôi một vuông góC.

B Tam giác BCD vuông

C Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD

D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Tích vô hướng của hai vectơ AB

và A C' ' có giá trị bằng:

A a2 B a 2 C a2 2 D

222

AC và BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ

trong không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức OG k OA OB OC OD        



qua các vectơ , ,a b c

  

Chọn đáp án đúng :

tại B và (SAB) ( ABC).

Hỏi m bằng bao nhiêu để góc giữa AB' và BC' bằng 600 ?

A m  2. B m 1 C m  3. D m  5.

a, SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông gócvới mặt phẳng đáy Tính góc giữa SC và AD ?

nhật,SAABCD, gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB

và SD Chọn mệnh đề đúng :

A SCAEF B SC ADE C SCABF D SCAEC

chiếu vuông góc của S lên ABC Khi đó khẳng định nào đúng?

A H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

C H là trọng tâm tam giác ABC

D H là trực tâm tam giác ABC

nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng  

đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SBcắt các đường SB, SC lần lượttại M , N

1

12

5 Thiết diện cắt hình chóp S ABCD. bởi mặt phẳng   là hình bình hành

Có bao nhiêu nhận định sai?

a Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau

a Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau.

A

13



1

2

a Gọi E là trung điểm cạnh SC Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng



1

2

phẳng đáy BC3a, BC P , A P 0 Gọi A là hình chiếu vuông góc của

A lên  P Tam giác A BC vuông tại A Gọi  là góc giữa  P và ABC.

Chọn khẳng định đúng.

A  300 B  600 C  450 D

23

cos 

thẳng đi qua B, C và vuông góc ABC  P là mặt phẳng đi qua A và hợp

với ABC một góc bằng 60o

 P cắt d B, d C tại D và E

62

a

AD 

, AE a 3.Đặt  DAE Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A  30o B

2sin

6

 

C

6sin

2

 

D  60o

ABD cùng vuông góc với mặt phẳng BCD Gọi BE và DF là hai đường

cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD, bảy điểm A, B

, C, D, E, F, K không trùng nhau Khẳng định nào sau đây là khẳng định

sai?

A ABE  DFK B ADC  DFK

C ABC  DFK D ABE  ADC

vuông ABCD, AB a , SO2a Gọi  P là mặt phẳng qua AB và vuông góc

với mặt phẳng SCD Thiết diện của  P và hình chóp S ABCD. là hình gì?

C Hình thang cân D Hình bình hành.

là trung điểm đoạn CD Gọi  là góc giữa AC và BM Chọn khẳng định

đúng?

A 30o

3cos

4

 

C

1cos

3

 

3cos

6

 

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

C

D

C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v sin

D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   0

Hướng dẫn giải

Ta có:  4IG IC  ' 2IC' IC  CB C B  ' 'C A' '

(Theo tính chất tích vôhướng của hai vectơ)

Câu 5 Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc.

thì B là trung điểm của AC

D Cho d( ) và ' ( )d   Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông góc với nhauthì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau

   

.

C

12

   

Hướng dẫn giải

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì

Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D

không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, khi đó SA SC SB SD   2SO

    

Vậy

 

Câu 14. Cho tứ diện ABCD Gọi M và P lần lượt là trung điểm của

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tâm O Gọi I là tâm hình

Do I là tâm hình bình hành ABCD nên

4OI OA OB OC OD     

142

        

14

Câu 17. Cho .S ABC có

SAC và SAB cùng vuông góc với

đáy, ABC đều cạnh a , SA2a Tính góc  giữa SB và ( SAC ?)

Lấy H là trung điểm AC Dễ chứng minh . BH SAC suy ra H là hình chiếu

vuông góc của B lên SAC

Câu 18. Cho SAB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt

phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và ABCD

mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD và mặt phẳng SAC

Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là

góc SCA nên SCA  60 0

S

D H

A

S

D

C B

A

Câu 20. Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC  2a, đáy là tam

giác vuông tại A , ABC 600, , AB a Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và

Câu 21. Cho S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy

góc 450, SA vuông góc với đáy Tính góc giữa (SAB) và (SCD ?)

Dễ chứng minh d SAD nên góc

giữa SAB và (SCD là DSA )

D A

Câu 22. Cho chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh ,a SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tínhgóc giữa SBC và SCD

A  74 12'0 B  42 34'0

C  300 D  600

Hướng dẫn giải

Dễ chứng minh được góc giữa SCD và

đáy là SDA  450 nên SA a

Lấy ,M N là trung điểm , SB SD Dễ

chứng minh AN SCD,AM SBC

suy ra góc giữa SBC

và SCD

là gócgiữa AN AM,

Câu 24. Cho .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a SA , vuông

góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450 và hợp với SAB

B

C N

Xét SAB có tanSBA  2 nên  54 44'0

Câu 25. Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh

bằng nhau nên H là tâm đường tròn

ngoại tiếp của đáy, tức H là tâm đáy.

Lấy I là trung điểm BC nên góc giữa

sau đây là khẳng định sai ?

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

  ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong  

B Nếu đường thẳng d   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì

 

D Nếu d  và đường thẳng a//  thì ad

Hướng dẫn giải:

 Đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên

mặt phẳng   nên đáp án này sai

 Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì lúc đó nó vuông gócvới mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng   nên nó vuông góc với hai

đường thẳng thì hiển nhiên đúng

 đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt

phẳng () thì nó sẽ vuông góc với mặt phẳng   và do đó d vuông với mọi

đường thẳng nằm trong ( ) là hiển nhiên đúng

 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d song song hoặc trùng

với giá của véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) do đó nếu đường thẳng

 

//

thì a d là đúng.

Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng  và điểm O Qua

O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ?

Hướng dẫn giải

Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng .

Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông

góc với đường thẳng  cho trước?

Hướng dẫn giải:

Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc

với một đường thẳng cho trước

Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?

A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba

thì song song

Hướng dẫn giải:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì

song song nếu hai đường thẳng này đồng phẳng Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau trong không gian

Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên

Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài

đường chéo của nó là:

Hướng dẫn giải:

Độ dài đường chéo của hình hộp là 32 42 52  50 5 2

Vậy đáp án đúng là 5 2

Câu 31. Cho hình chóp .S ABCD có SAABCvà ABC vuông ở

Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng  P Gọi H là hình

chiếu của A lên  P M, N là các điểm thay đổi trong  P Mệnh đề nào sau

Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên AM AN,  và hình chiếu

sai là “Nếu AM  AN thì HM HN ”

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC.

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A Ba mặt phẳng ABC ;ABD ;ACD đôi một vuông góC.

B Tam giác BCD vuông

C Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD

D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

Do đó H là trực tâm của tam giác BCD

 Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên

Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc

 Vậy tam giác BCD vuông là sai.

Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của

nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a.

Tích vô hướng của hai vectơ AB

và A C' ' có giá trị bằng:

222

Câu 38. Cho tứ diện ABCD, gọi M N, là trung điểm của các cạnh

AC và BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ

trong không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức OG k OA OB OC OD        

OG OA OB OC OD

       

Vậy

14

Câu 40. Cho chóp S ABC. có SAB đều cạnh ,aABC vuông cân

tại B và (SAB) ( ABC).

Tính góc giữa SC và (ABC ?)

A.  39 12'0 B  46 73'0 C  35 45'0 D  52 67 '0

Hướng dẫn giải