Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán?. Câu 37.A[r]

y y

yx

cos

y x

x x

2





2





O

2

1



CHỦ ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

§ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ



 Từ đồ thị hình 1 và hình 2 bên dưới, hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số ycosx trên đoạn

3

;

2 2

   



  và của hàm số yx trên khoảng (    ?; )

Định nghĩa

 Hàm số yf x( ) được gọi là đồng biến trên miền D x x1 , 2 D

và x1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

 Hàm số yf x( ) được gọi là nghịch biến trên miền D x x1 , 2 D

và x1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

Định lý

Giả sử yf x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; ),a b thì:

 Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b  hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng ( ; ) a b

Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b  hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b

 Nếu ( )f x đồng biến trên khoảng ( ; ) a b  f x ( ) 0,   x ( ; ).a b

Nếu ( )f x nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b  f x ( ) 0,   x ( ; ).a b

Khoảng ( ; )a b được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

 Lưu ý:

+ Nếu ( ) 0, f x   x ( ; )a b thì ( )f x không đổi trên ( ; ) a b

+ Nếu thay đổi khoảng ( ; )a b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết

hàm số xác định và liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM







1 1

x y

x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

B.Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1  1;

;1

  và 1;  

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và 1;  

Câu 2. Cho hàm số y x33x2 3x Khẳng định nào sau đây là khẳng định2

đúng?

A.Hàm số luôn nghịch biến trên 

B.Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;  

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;.

(Hình 1)

( H ì

n

h 2 )

D Hàm số luôn đồng biến trên 

(I):   ; 2

; (II):  2;0

; (III): 0; 2

; Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A Chỉ (I) B (I) và (II) C (II) và (III) D. (I) và (III)

4 2

x y

x





A Hàm số luôn nghịch biến trên 

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 2; 

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 2 và2; 

A h x( )x4 4x2 4 B g x( )x33x210x 1

C.

( )

f x  x  x  x

D k x( )x310x cos2x

2 3 5 1

y

x



A (  ; 4)và (2; ) B 4; 2

C   ; 1 và 1;  D 4; 1  và 1; 2

3 2

3

x

y  x  x

nghịch biến trên khoảng nào?

A (5;) B 2;3 C  ;1 D. 1;5

3

5

y x  x  x 

đồng biến trên khoảng nào?

A ( ;0) B.  C (0;2) D (2; )













0

a b c

  





sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

B. Hàm số đồng biến trên 

C Hàm số đồng biến trên 9; 5 

D Hàm số đồng biến trên khoảng 5;  

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2.

B Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0 ; 2;3  .

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 ; 2;3  

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3.

2

x

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A



;

12 12

C



A Hàm số luôn đồng biến trên 

B Hàm số đồng biến trên 4 k ;





;





C Hàm số nghịch biến trên

;





;





D Hàm số luôn nghịch biến trên 

3 2

1

3

y x  x  x

;

1 (II) :

1

x y x





3

(IV) :y x 4x sinx; (V) :y x 4x2 2

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?

3 2

(I) :y x 3x  3x ;1 (II) :ysinx 2x;

3

(III) :y x  ;2

2 (IV) :

1

x y

x





 Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

C (I), (II) và (IV) D (II), (III).

(I) Hàm số y(x1)3 nghịch biến trên 

x

x

 đồng biến trên tập xác định của nó

x y

x



 đồng biến trên  Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Câu 17. Cho hàm số y x 1x 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

1 1;

2

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; 1)

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; 1)và

1

; 2



D Hàm số nghịch biến trên khoảng

1 1;

2

1

; 2



đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2và đồng biến trên khoảng 2; 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 2và nghịch biến trên khoảng 2; 2

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 và đồng biến trên khoảng 1; 2 

 

khẳng định đúng?

A Hàm số luôn giảm trên 2 2;

 

B Hàm số luôn tăng trên 2 2;

 

C. Hàm số không đổi trên

;

2 2

 

D Hàm số luôn giảm trên

 

2;0









2 1

x m y

x



 giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

A m   3 B m  3 C m  1 D. m  1

nghịch biến trên ?

1

3

y x  mx  m x m 

A  3 m1 B m 1 C  3 m1 D m3;m 1

2 ( 1) 2 1

y

x m



A m 1 B. m 1 C m 1 D m 1

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

yf x  x m x luôn đồng biến trên  ?

A. m  1 B

3 2

m 

1 2

m 

luôn nghịch biến trên ?

A.

2 4

3

B m  2 C

3 1

m m









biến trên ?

y x  m x  m x m

3 2

3

x

y mx  mx m luôn đồng biến trên  ?

A  5m . B 0m . C.  1m . D  6m .

(m 3)x 2

y

x m



biến trên các khoảng xác định của nó?

A  1m . B  2m . C m0. D. Không có m







4

mx y

x m giảm

trên khoảng  ;1?

A   2 m 2. B   2 m 1. C.   2 m 1. D   2 m 2.

 3 6 2  1

A m0. B 12m . C m0. D. 12m .

4 2( 1) 2 2

y x  m x m đồng biến trên khoảng (1;3) ?

A m   5; 2 B m    ; 2 C m 2,  D m     ; 5

1 3 1 22  3 4

nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

A. m 1;m9. B  1m . C 9m . D m 1;m9.







tan

x y

x m

đồng biến trên khoảng



0; 

4 ?

A  1 m 2. B. m 0;1m2 C 2m . D m0.

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

3

2

3

mx

yf x   mx  x m 

giảm trên nửa khoảng [1; ?)

A

14

; 15

  

14

; 15

  

14 2;

15

14

; 15





4 (2 3) 2

y x  m x m nghịch biến trên khoảng 1; 2 là  ;

p q

 

  , trong đó

phân số

p

q tối giản và q  Hỏi tổng 0 p q là?

x mx m y

x m



2

2x (1 m x) 1 m y

x m



3

2

x

yf x     x  x   

luôn giảm trên  ?

A 12 k 4 k k,

và   2

B

5

,

và   2

C. 4 k k,



và   2

D

5

,



và   2

yf x  x a x b x

luôn tăng trên ?

A

1 1

1

a b  B a2b2 3 C. a2b2 4 D

2

3

a b 

A 27 m 5 B m   hoặc 5 m 27

C m  27 hoặc m  5 D 5 m27

2 x  1 x m có nghiệm thực?

A m 2 B. m 2 C m 3 D m 3

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

A 1m3 B. 3 m 5 C  5m 3 D  3 m3

phương trình: x2 3x  cũng là nghiệm của bất phương trình2 0

 

A m  1 B

4 7

m 

4 7

m 

D m  1

log x log x 1 2m1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3 3 ?

A 1 m 3 B. 0m 2 C 0m 3 D 1 m 2

A

7 2

m 

3 2

m 

9 2

m 

D m  

2 4

3 x1m x 1 2 x 1có hai nghiệm thực?

A

1

1

1 1

4

m

1 2

3

m

1 0

3

m

2

(1 2 )(3 x  x)m2x  5x 3 nghiệm đúng với mọi

1

;3 2

x   

A m 1 B m 0 C m 1 D. m 0

3 1 x 3 x  2 (1x)(3 x)m

nghiệm đúng với mọi x  [ 1;3]?

2 2

3 x 6 x 18 3 x x m  m nghiệm đúng1   x  3,6?

C 0m 2 D m  hoặc m 21 

  2

A m  3 B. m  1 C 1 m 4 D m  0

3

3

1

x mx

x

nghiệm đúng  x 1 ?

A.

2 3

m 

2 3

m 

3 2

m 

Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình

cos sin cos

2 x3 xm.3 x có nghiệm?

A. m  4 B m  8 C m  12 D m  16

Hỏi tổng a b có giá trị là bao nhiêu?

a b Hỏi hiệu b a;   có giá trị là bao nhiêu?

A ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

2



x

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1)và (1;)

TXĐ: D Ta có

TXĐ: D y'4x38x4 (2x  x2) Giải

0 ' 0

2

x y

x





  





Trên các khoảng   ; 2

và 0; 2

, ' 0y  nên hàm số đồng biến.

10

( 4 2 )

x

Ta có: f x'( )4x44x21(2x21)2    0, x

TXĐ: D\ 1

2 2

'

y

x



4

x

x





 '

y

không xác định khi x  Bảng biến thiên:1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1  và 1; 2

TXĐ: D 

5

x

x







Trên khoảng1;5 , ' 0 y  nên hàm số nghịch biến

TXĐ: D  y' 3 x412x312x2 3 (x x2  2)2 0 ,   x

2

2







TXĐ: D  Do y' 3 x26x 9 3( x1)(x3) nên hàm số không đồng biến

trên 

HSXĐ:3x2 x3  0 x3

suy ra D (  ;3]

2

2 3

'

2 3

x x y

x x





 ,    x  ;3

Giải

0 ' 0

2

x y

x





 'y không xác định khi

0 3

x x









Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến ( ;0)và (2;3) Hàm số đồng biến (0;2)

TXĐ: D 

1

2

y   x

Giải

7 2

12













 ,k  

Vì x0;nên có 2 giá trị

7 12

x 

và

11 12

x 

thỏa mãn điều kiện

Bảng biến thiên:

––

02||0||00

Hàm số đồng biến

7 0;

12



11

; 12





TXĐ: D; y  1 sin 2x   0 x suy ra hàm số luôn đồng biến trên 

2





x

2

4

4





x

x

(IV):

2

(I):y' (  x33x2 3x1) '3x26x 33(x1)20,   x ;

(II): ' (siny  x 2 )' cosx  x 2 0,   x ;

3

3





x

(I) y   (x1)33(x1)2    0, x





(III)

2

1



x

x y

1

0,



x



 



x khi x y

x khi x ;

1 0

2

||00||

||0

TXĐ: D   ; 2 Ta có  

2



x

Giải y  0 2 x  1 x1; 'y không xác định khi x 2

Bảng biến thiên:

 

Ta có:

cos 2 cos sin 2 sin

cos





x

 

Tập xác định: D \ 1 Ta có  2

1 1



 



m y x

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định  y0,  x 1 m1

Tập xác định: D  Ta có y x2 2mx2m 3 Để hàm số nghịch biến trên

 thì

0 0,

0







 



hn

m

 





Tập xác định: D\ m Ta có

2

 



y

x m

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó



 y   x D x  mx m  m   x D

1 0( )

1

1 0

hn

m m





 



Tập xác định: D  Ta có y  1 msinx

Hàm số đồng biến trên   y' 0,  x  msinx  1, x 

Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x    Vậy hàm số luôn đồng biến trên  Trường hợp 2: m  ta có 0

Trường hợp 3: m 0 ta có

Vậy m 1

Tập xác định: D  Ta có: ' y  m 3 (2 m1)sinx

12 0||65

Hàm số nghịch biến trên   y' 0,  x  (2m1)sinx 3 m x, 

Trường hợp 1:

1 2

m 

ta có 0 

7

2,x

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên



Trường hợp 2:

1 2

m  

ta có

3 m 2m 1 m 4

     

Trường hợp 3:

1 2

m  

ta có:

2

3

Vậy

2 4;

3

 

 

m

1

x

x m





 Phương trình ( ) 0f x  có nghiệm kép khi m  , suy ra hàm số luôn đồng0

biến trên 

Trường hợp m  , phương trình ( ) 00 f x  có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài toán)

Tập xác định: D  Ta có y x22mx m

1 0 ( )

0









Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên  là m 1

Tập xác định: D\m Ta có  

2

2

 



y

x m

Yêu cầu đề bài y0, x D m23m   2 0 2m 1

Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng 2; 1 

Tập xác định D\m Ta có  

2 2

4



 



m y

 ;1  

2 4 0

1







m

m  2m1

Cách 1:Tập xác định: D  Ta có y 3x212x m

Hàm số đồng biến trên  y0,  x

3 0 ( )

12

hn

m m







 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0;    y0 có hai nghiệm

1, 2

x x thỏa x1x2 (*)0

 Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x  suy ra 0 m  Nghiệm còn lại0 của y 0 là x 4(không thỏa (*))

 Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x x thỏa 1, 2

1 2

0

0



 







P

4 0( ) 0 3

m vl m







Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0;    m12x 3x2 g x( ), x (0; )

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên 0; 

g

0

12

–∞

Tập xác định D  Ta có y' 4 x3 4(m1)x

Hàm số đồng biến trên (1;3)  y' 0,  x (1;3) g x( )x2 1 m x, (1;3)

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (1;3)

g

2

10

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: mmin ( )g x  m 2

Tập xác định: D  Ta có y x2 mx2m

Ta không xét trường hợp y    0, x vì a  1 0

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3  y0 có 2 nghiệm x x 1, 2

thỏa

2

1 2

3

9

x x

m







+) Điều kiện tan xm Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên

0; 4







 là

mÏ 0;1 

+)

y'  2  m

cos2x(tan x m)2

+) Ta thấy:

1 cos2x(tan x m)2 0x 0;

4







;mÏ 0;1 

+) Để hs đồng biến trên

0; 4







 

y'  0 mÏ(0;1)







  m 2  0 m0;m1







hoặc 1m2

Tập xác định D R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

14 ( )

14



Dễ dàng có được ( )g x là hàm tăng  x 1; , suy ra  1

14

15



14 min ( )

15



Tập xác định D  Ta có y 4x32(2m 3)x

Hàm số nghịch biến trên (1;2)

2 3

2



Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (1;2) ( ) 2 0 g x  x  x0

Bảng biến thiên

2

11

2

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận:

5 min ( )

2

m g x  m

Vậy p q    5 2 7

Tập xác định D\ m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ( ) 0,g x   x D

Điều kiện tương đương là

2 ( )

1

2 0

2

g x

m

m







Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Tập xác định D\ m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên (1; khi và chỉ khi ( ) 0,) g x    và x 1 m 1 (1)

Vì g2(m1)2  0, m nên (1) g x( ) 0 có hai nghiệm thỏa x1x2  1

Điều kiện tương đương là

2

3 2 2 0, 2 1

2

m S

m







Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:  2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

1

Kết luận:

5

,

và   2

Tập xác định D R Ta có: y  2 acosx b sinx

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 a2b2 y 2 a2b 2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

3 2

(1) m x  3x  9xf x( ) Bảng biến thiên của ( )f x trên 

Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m  27 hoặc m 5

Đặt t x1,t Phương trình thành: 0 2t t 2 1 m mt22 1t

Xét hàm số f t( )t22 1,t t0; ( )f t 2t2

Bảng biến thiên của  f t :

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2.

Đặt tf x( ) x2 4x Ta có 5 2

2 ( )



x

f x

x x ( ) 0f x   x2 Xét x  ta có bảng biến thiên0

Khi đó phương trình đã cho trở thành m t 2 t 5 t2 t 5 m  (1).0

Nếu phương trình (1) có nghiệm t t thì 1 2, t1t2  (1) có nhiều nhất 1 1

nghiệm t 1.

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương

trình (1) có đúng 1 nghiệm t 1; 5

Đặt g t( )t2 t 5 Ta đi tìm m để

3005

0 1 02

0 2 01

phương trình ( )g t  có đúng 1 nghiệm m t 1; 5

Ta có

 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra 3 m 5 là các giá trị cần tìm

Bất phương trình x2 3x 2 0   1 x 2

Bất phương trình mx2m1x m   1 0

2

2

2

1

x

x x

 

 

2 ( )

1

x

f x

x x

 



  với 1 x 2 Có

2

4x 1

 

x

x x

Yêu cầu bài toán  mmax ( )[1;2] f x 4

7

m

Đặt t log23x Điều kiện: 1 t 1

Phương trình thành: t2 t 2m 2 0 (*) Khi

3

x   t

2

t t

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có : 0m2

Điều kiện:

1 2

x 

Phương trình x2mx2 2 x13x24x 1 mx (*)

Vì x  không là nghiệm nên (*) 0

2

3x 4x 1

m

x

Xét

2

f x

x



Ta có

2 2

2

x

x



Bảng biến thiên

2 02