giáo trình cơ sở kỹ thuật điện bậc đại học

Hçnh hçnh hoüc chàõp näúi caïc vuìng nàng læåüng (âæåüc âàûc træng båíi caïc pháön tæí) cuía TBÂ chè roî sæû phán bäú caïc biãún doìng, aïp nhaïnh, chè roî nhæîng luáût, pheïp tênh trãn[r]

CHƯƠNG 1 MẠCH NĂNG LƯỢNG ( MẠCH KIRHOF )

Khi các quá trình chỉ phụ thuộc vào thời gian (mô hình hệ thống) còn gắn cả sự lưu thông (chảy, truyền đạt) giữa những bộ phận của hệ thống ta sẽ gọi là mô hình mạch, áp dụng các bước xây dựng mô hình toán học đã nêu ta xây dựng mô hình cho một thiết bị điện, vì ở đây có dòng chảy năng lượng - Ta có mô hình mạch năng lượng (mạch KF)

§1 Mô hình mạch năng lượng

1 Điều kiện mạch hóa :

Những điều kiện cần phải thỏa mãn để có thể mô tả quá trình bằng mô hình mạch (để quá trình chỉ phân bố theo thời gian - để quá trình chỉ mô tả bằng hệ phương trình chỉ phụ thuộc thời gian)

a Độ dài của bước sóng trường điện từ phải rất lớn so với kích thước TBĐ để có thể coi quá trình là tức thời,vận tốc truyền tương tác =∞

µε

bản để bỏ qua sự phân bố không gian của quá trình mà chỉ xét phân bố thời gian, nên quá trình có tính chất thế và có tính chất liên tục

b Độ dẫn điện ε và độ từ thẩm µ của môi trường rất nhỏ so với các vật dẫn ghép thành TBĐ Điều kiện này giúp bỏ qua dòng chảy rò qua môi trường giữa các vật dẫn, khẳng định tính liên tục của các dòng dẫn

c Chỉ quan tâm đến hữu hạn điểm trên vật

2 Nhóm đủ các hiện tượng cơ bản :

Các hiện tượng điện từ của TBĐ gồm rất nhiều vẻ như tiêu tán, tích phóng, tạo sóng, tạo xung, phát cơ năng, biến áp, khuếch đại, chỉnh lưu, tách sóng, về nguyên tắc là chưa biết hết Tuy vậy xét theo quan điểm năng lượng, qua thực tiễn có thể phân tích mọi quá trình trao đổi năng lượng thành nhóm đủ các hiện tượng cơ bản sau đây :

a Hiện tượng tiêu tán năng lượng ứng với vùng tiêu tán là vùng biến năng lượng điện từ thành các dạng năng lượng khác như : cơ, nhiệt năng (tức là vùng tiêu thụ mất năng lượng của TĐT)

b Hiện tượng phát ứng với vùng (nguồn) phát là vùng biến các dạng năng lượng khác thành năng lượng điện từ

c Hiện tượng tích phóng năng lượng điện trường ứng với vùng kho điện là vùng năng lượng điện từ tập trung vào vùng điện trường của một không gian như các bản cực tụ điện hoặc ngược lại đưa từ vùng đó trả lại nguồn TĐT

d Hiện tượng tích phóng năng lượng từ trường ứng với vùng kho từ là vùng năng lượng điện từ tích từ trường vào không gian như lân cận một cuộn dây có dòng điện, hoặc đưa trả từ vùng đó trở lại nguồn TĐT

3 Biến trạng thái đo quá trình :

a Biến trạng thái công suất P : Một cách tự nhiên có thể chọn công suất P làm biến trạng thái đo quá trình năng lượng điện từ Như vậy, nếu có n vùng năng lượng thì

có n biến trạng thái Pk(t), và với biến này trong hệ chỉ có một phương trình cân bằng là

làm rõ được bản chất riêng của từng vùng năng lượng, không mô tả được hành vi từng vùng năng lượng vì số phương trình bé hơn số biến

∑Pk(t)= 0

b Biến trạng thái dòng, áp i(t), u(t) : Từ điều kiện mạch hóa có thể dẫn ra biến áp u(t) là hiệu điện thế giữa hai điểm (thể hiện tính chất thế của mạch) và dòng i(t) chảy dọc suốt mỗi bộ phận của TBĐ (thể hiện tính liên tục)

- Cặp biến uk, ik trên mỗi bộ phận TBĐ nêu rõ ở lân cận của bộ phận ấy có một quá trình năng lượng điện từ mà ta đo công suất qua một cặp biến uk.ik = Pk

- Tùy theo bản chất vùng năng lượng mà có quan hệ uk(ik) khác nhau Quan hệ này gọi là phương trình trạng thái - nó nói lên hành vi riêng của vùng năng lượng

- Dùng các biến u(t), i(t) với những dạng phân bố thời gian khá rộng rãi (liên tục hoặc rời rạc, tiền định hoặc ngẫu nhiên ) có thể mã hóa những tin tức dùng vào mục đích điều khiển, đo lường, thông tin

Vậy có thể dùng biến dòng, áp để đo quá trình năng động lượng, truyền tin hoặc

mô tả hành vi của vùng năng lượng

§2 Những phần tử cơ bản của mạch KF

Sau khi có được các biến đo quá trình được biểu diễn bởi các hiện tượng cơ bản, để có được phương trình - mối quan hệ giữa các biến mô tả hiện tượng cơ bản thì phải biểu diễn hiện tượng cơ bản bằng các thông số đặc trưng Tương ứng với nhóm các hiện tượng cơ bản định nghĩa được nhóm các phần tử cơ bản

1 Phần tử tiêu tán - điện trở r (điện dẫn g) :

Quá trình điện từ trong TBĐ có hiện tượng cơ bản là tiêu tán năng lượng (Tức là biến năng lượng TĐT thành dạng năng lượng khác như cơ năng, nhiệt năng, hóa năng ) ta gọi đó là hiện tượng tiêu tán năng lượng

a Phương trình trạng thái : Khi chỉ thuần tiêu tán thì công suất tiếp nhận phải luôn luôn dương: pk = ukik > 0

Nghĩa là trong vùng này áp và dòng luôn cùng chiều, có thể viết phương trình trạng thái dưới dạng quan hệ hàm với hệ số dương giữa ur và ir : ur = r.ir hay ir = g.ur (1.1) quan hệ này là định luật Ôm đã biết

b Thông số điện trở : Ta có pr = urir = rir2 suy ra

2 R

r

R

u

pr

1

(1.3) gọi là điện dẫn với thứ nguyên là Simen S = [1/Ω] = [A/V]

c Các đường đặc trưng của phần tử r, g : Quan hệ u = ri là một phương trình đại số Tức là giữa u, i trên phần tử tiêu tán có một quan hệ hàm xác định, quan hệ u(i) biểu diễn bằng hình học gọi là đặc tính Vol-Ampe của phần tử tiêu tán tùy thuộc vào tính chất của r, g

Khi r = const, ta có điện trở tuyến tính Quan hệ u(i) là đường thẳng

Khi r = r(i) ⇒ ta có điện trở phi tuyến Lúc này quan hệ u(i) là đường cong

Kí hiệu điện trở trong sơ đồ như hình vẽ (h.1-1):

p

i

i0

u(i)r(i)

u, r

h.1-1

r u

u(i) r(i)

i

u, r

h.1-2 Đặc tính V-A Điện trở tuyến tính h 1-3 :Đặc tính V-A Điện trở phi tuyến

2 Phần tử kho điện - điện dung C :

a Phương trình trạng thái kho điện : Khi đặt áp u lên trên hai vật dẫn ngăn cách nhau bởi chân không hoặc điện môi đặt đối mặt nhau thì trong lân cận cặp vật dẫn sẽ xuất hiện một điện trường Trong những điều kiện thông thường điện tích q nạp lên các vật dẫn tùy thuộc điện áp u, tức là có quan hệ q(u, u' ) gần đúng ta lấy q(u) Cần xác định quan hệ giữa u(i) Ta có :

t

uu

qdt

)u(dqi

dung của cặp vật dẫn hoặc của kho điện, ký hiệu là :

u

q)u(C

,

dt

du

C

b Thông số điện dung C : Điện dung C là thông số đặc trưng cho kho điện, từ u

dWe = pdt = u.i.dt = u.C.(du/dt).dt = u.C.du = C.du2/2 → C = 2dWe/du2 Điện dung C bằng hai lần năng lượng điện trường khi du2 = 1V C đo dung tích nạp năng lượng của tụ, chỉ khả năng nạp năng lượng - thứ nguyên của C trong hệ SI là Fara (F)

F = [C]/[V]=[A.s]/[V]=[s]/[Ω] Ta ký hiệu tụ điện trên sơ đồ như hình vẽ (h.1-4) :

F = 106µF = 109nF = 1012pF

c Các đường đặc tính của phần tử C

Nếu C = const, ta có kho tuyến tính Khi C = C(u) ta có tụ phi

tuyến Ta thấy với các kho điện (và kể cả kho từ ) các biến u, i liên

quan nhau trong một phương trình trạng thái vi tích phân

h.1-4

uCi

1Z,idtC

1uhoặcu.yiydt

ở tụ điện xác định được quan hệ đặc trưng (hàm đặc tính) C(u) hay q(u) như hình vẽ:

h.1-5b : Tụ điện phi tuyếnh.1-5a :Tụ điện tuyến tính

C q

3 Phần tử kho từ - điện cảm L - hỗ cảm M :

a Phương trình trạng thái kho từ : Khi dây dẫn có dòng điện chạy qua thì sinh ra xung quanh nó một từ trường Từ trường xung quanh một dây dẫn phụ thuộc vào dòng điện qua nó và những dòng điện trong các dây dẫn khác nếu chúng có không gian gần nhau Tức là ψk(ik, il , ) Theo Len - Faraday : khi từ thông biến thiên sẽ xuất hiện suất điện động cảm ứng :

dt

diidt

dii

l

k k

(1.7) là điện cảm có thứ nguyên Henry (H)

L

ui

hoặcdt

diLu

K

KK K

Z = , toán tử tổng dẫn : = ∫.dt

L

1YĐiện cảm L nói lên khả năng nạp từ thông móc vòng lên cuộn dây ( L = ψ , khi i = 1A) nó đo dung tích nạp từ thông của kho từ Ngoài ra L còn đo dung tích nạp năng lượng của kho từ

2 L 2

L

di

dW.2L,2

di.Ldi Ldt dt

di.Ldt u

Ta ký hiệu điện cảm L trên sơ đồ như hình vẽ (h.1-6)

h.1-6

u

LiLưu ý nếu uK, iK chọn chiều dương như nhau thì L > 0

Có thể đặc trưng kho từ tự cảm bằng các đường cong đặc tính

L(i) hoặc ψ(i) Rõ ràng không tồn tại đặc tính u(i) trên cuộn

i(M

− M là hệ số của toán tử hỗ trở và phương trình trạng thái Nó quyết định tính chất tuyến tính hay phi tuyến của quan hệ Nó đo dung tích nạp từ thông lên kho từ cuộn dây k bởi dòng kích thích ở cuộn dây l Nó cũng có ý nghĩa về mặt năng lượng Khi môi trường tuyến tính thì MKL= MLK = M,

dt

diMu

,dt

diM

ML L

lượng nạp vào cả hai kho là :

)ii(d

dWM

)ii(d.M)diidii(Mdtiudti

u

dW

L K L

K K

L L K L

ML K

iMdt

iLu

u

KL KK K

∂+

∂

=

±

chiều quấn dây Nên để xác định dấu của ψKL cũng là dấu của M người ta quy định các nhà chế tạo phải đánh dấu các cực cùng tính, là các cực mà nếu các dòng điện cùng vào đó thì từ thông tự cảm và từ thông hỗ cảm cùng chiều nhau Ví dụ : Xét chiều của từ thông tự cảm và hỗ cảm của cuộn dây k với cuộn dây l như hình vẽ (h.1-8a,b)

dt

diMdt

diLu

k kl

dt

diMdt

diLu

k kl

kk

ψvới M < 0

Có thể xác định cực cùng tính của các cuộn dây bằng

một mạch thí nghiệm như hình vẽ (h.1-9) Ta đóng

vào cuộn dây l một nguồn pin để tạo dòng điện il

Trên cuộn dây k nối vào một Vônmét V để đo áp hỗ

cảm Nếu đo thấy áp Ua'b' > 0 thì a và a' (hoặc b và b')

là cực cùng tính Nếu Ua'b' < 0 thì a và b', b và a' là

cực cùng tính

h.1-9b'

a'b

12

LL

Điều này phù hợp với thực tế thường chế tạo những nguồn coi là hàm áp nhất

định như máy phát điện xoay chiều, máy phát sóng âm tần, cao tần, máy biến áp,

pin Cũng có thể chế tạo những nguồn coi là cung cấp ra một hàm dòng nhất định như

các máy biến dòng Vậy ta có hai loại nguồn : nguồn áp (nguồn Sđđ) và nguồn dòng

a Nguồn áp u(t), nguồn Sđđ e(t) :

Nguồn áp u(t) hay nguồn Sđđ e(t) là nguồn có đặc tính duy trì trên các cực một

hàm áp xác định theo thời gian, không phụ thuộc dòng chảy qua nó Về mặt vật lý Sđđ

chính là công của lực nguồn để làm dịch chuyển đơn vị điện tích dương ở trong nguồn

từ cực có thế thấp sang cực có thế cao (công này là do cơ năng của động cơ sơ cấp

quay máy phát điện tạo ra) Với định nghĩa nguồn áp như vậy ta có phương trình trạng

thái là : u(t) = - e(t) (1.13) Biểu diễn như hình (h.1-10)

e(t) Trong đó chiều của e(t) trong nguồn từ nơi có thế thấp đến nơi có

thế cao Ngược lại áp trên cực máy phát có chiều từ điểm điện thế

cao đến điểm có điện thế thấp

− Nếu nguồn e(t) phát ra dòng i(t) với chiều dương trùng

chiều dương Sđđ e(t) thì công suất tiếp nhận là p = u.i = -e.i, và

công suất phát ra là pf = -p (theo định luật bảo toàn) → pf = -p = -(-e.i) = e.i (1.14) từ

công thức này ta thấy e là thông số đo khả năng phát của nguồn, nó chính bằng công

suất phát ra khi nguồn cho ra dòng điện 1A

u(t) h.1-10

− Trên thực tế áp u(t) trên cực của nguồn phụ

thuộc dòng qua nguồn nên coi u = e với bất kỳ dòng nào

qua nguồn thì đó là nguồn lý tưởng Tức là thực tế nếu

phải kể thêm tiêu thụ khá nhỏ trong nguồn thì phương

trình trạng thái của nguồn là : u = e - r.i (1.15) Lúc này

biểu diễn nguồn bằng sơ đồ hình (h.1-11)

u(t) h.1-11Quan hệ u = e - r.i là đặc tính ngoài của máy phát điện như hình (h.1-12)

Các máy điện thường có tính thuận nghịch Khi i ngược chiều e thì nguồn sẽ thu năng

lượng điện từ để biến ra các dạng khác (cơ năng, nhiệt năng ) lúc này pf = -e.i (1.16)

nguồn thành một phần tử thu (động cơ điện) Vậy khi e, i cùng chiều thì nguồn sẽ là

máy phát điện

b Nguồn dòng j(t) : Nguồn dòng j(t) là nguồn có đặc tính là cho ra một hàm

dòng j(t) xác định không tùy thuộc áp trên các cực Từ đó

dẫn ra phương trình trạng thái của nguồn dòng là : i(t) = j(t)

(1.17) Nguồn dòng được biểu diễn như hình (h.1-13)

j(t) i(t)h.1-13

Trên thực tế i(t) phụ thuộc áp trên cực, cho nên định nghĩa nguồn dòng trên là lý tưởng

Ở đây chúng ta thấy không tồn tại đặc tính V-A riêng của nguồn dòng vì cùng j(t) đã cho có thể ứng với vô số áp trên cực

Từ phương trình trạng thái (1.17) thấy toán tử

dẫn của nguồn dòng y = 0 nên cách nối chính tắc của

nguồn dòng là nối thẳng vào các đỉnh của sơ đồ, việc

nối tiếp vào nguồn dòng một trở hữu hạn là vô nghĩa

Nếu kể đến tổn thất trong nguồn ta có thể đi từ

phương trình u = e - r.i → i = e/r - u/r → i = j - g.u

(1.18) với j = e/r, g = 1/r Từ đây có sơ đồ biểu diễn như hình (h.1-14)

i(t)

g j(t)

h.1-14

Với chiều dương u, j chọn như hình vẽ, ta sẽ có nguồn dòng phát ra công suất pf = -u.j Từ công thức này thấy rõ ý nghĩa của thông số j đo khả năng phát của nguồn dòng Nó chính bằng pf khi đặt dưới điện áp 1V

c Tính tương đương của hai loại nguồn : Từ hai sơ đồ nguồn áp (h.1-11) và

nguồn dòng (h.1-14) suy ra hai sơ đồ trên là tương đương nhau nếu j = e/r, g = 1/r nghĩa là khi cùng áp u (hay dòng i) thì dòng i (hay áp u) của hai sơ đồ là như nhau Từ đấy thấy cách biến đổi tương đương giữa hai nguồn áp, dòng

Rõ ràng tùy theo quan hệ giữa điện trở trong của nguồn năng lượng r và điện trở của phụ tải R mà mô tả nó bằng nguồn Sđđ hay nguồn dòng Khi điện trở trong r << R thì dùng nguồn áp, ngược lại khi trở trong r rất lớn thì dùng nguồn dòng

Dựa vào đặc điểm đó trong phòng thí nghiệm có thể tạo ra những nguồn áp với trở trong nhỏ Ngược lại muốn tạo nguồn dòng ta phải tạo nên được tổng trở trong rất lớn

§3 Các luật của mạch điện - Hệ phương trình của mạch

1 Luật KF 1 :

Khi TBĐ thỏa mãn điều kiện mạch hóa thì coi ở mỗi thời điểm t dòng dẫn i(t) có giá trị như nhau dọc theo vật dẫn, dòng điện chảy liên tục một cách tức thời dọc theo các vật dẫn Đây chính là cơ sở để dẫn ra định luật KF 1

a Định luật KF 1 : " Tổng đại số dòng dẫn vào (hoặc ra) một đỉnh triệt tiêu Biểu thức : ∑ik = 0

Khi có cả các nguồn dòng bơm vào đỉnh thì nguồn dòng đã biết nên ta để nó ở vế phải của phương trình

∑ik =∑jk (1.19)

b Ý nghĩa của định luật KF 1 : Luật KF1 có các ý nghĩa sau đây :

- Nó mô tả tính liên tục của dòng dẫn, nói cách khác nó là biểu thức định lượng của tính liên tục

- Nó định nghĩa phép cộng các biến dòng điện tại các đỉnh

- Nó xác định kết cấu đỉnh (nút) của graph mạch điện

c Số phương trình độc lập viết theo luật KF 1 :

Khi viết phương trình KF 1 cần lưu ý phương trình viết phải độc lập và số lượng phương trình phải viết đủ Ta xét số phương trình đủ viết theo luật KF 1 : nếu mạch điện có d đỉnh thì về nguyên tắc có thể viết được d phương trình KF1 cho d đỉnh, nhưng cần nhớ rằng trong một nhánh, dòng chảy từ đầu đến cuối nên dòng điện trong nhánh với đỉnh đầu là vào (dương) với đỉnh cuối là ra (âm), nên viết đủ d phương trình thì thừa 1 phương trình, tức là phương trình này có thể suy ra từ (d-1) phương trình đã viết, nên phương trình đó không độc lập Vì vậy số phương trình độc lập viết theo luật KF1 là : k1 = d -1 (nếu là graph đơn liên) hoặc k1 = d - l (nếu graph đa liên - với l là số liên) (1.20) Có thể thấy số phương trình độc lập theo luật KF1 chính bằng số cành trên cây của graph mạch điện

2 Định luật KF 2 :

Với điều kiện mạch hóa sẽ có sự phân bố thế dọc các vật dẫn trong TBĐ Vì vậy

đi theo một vòng trên TBĐ trở lại điểm xuất phát sẽ trở lại thế cũ với lượng tăng thế bằng 0 Từ đó có thể phát biểu luật KF2 như sau :

a Luật KF 2 : " Tổng đại số các sụt áp trên một vòng kín triệt tiêu"

∑uk =0,∑uk =∑ek (1.21)

b Ý nghĩa luật KF2 :

- Nó mô tả tính chất thế của quá trình năng lượng điện từ trong TBĐ

- Nó định nghĩa phép cộng các áp nhánh theo vòng kín

- Nó xác định kết cấu vòng của mạch điện

c Số phương trình độc lập viết theo KF2

Phương trình KF2 viết theo vòng, nên số phương trình độc lập ứng với số vòng độc lập Trong một mạch điện số vòng độc lập ứng với số bù cành, bằng k2 = m - d +1 (nếu graph đơn liên), k2 = m - d + l (nếu graph đa liên, l là số liên), trong đó m là số nhánh của mạch điện

Sở dĩ vậy vì mỗi bù cành ghép với cây sẽ tạo thành một vòng kín độc lập, nên số vòng độc lập chính bằng số bù cành Lưu ý vòng độc lập là vòng có ít nhất 1 nhánh mà các vòng khác không có, mỗi vòng độc lập có ít nhất một bù cành mà vòng khác không có (số vòng độc lập bằng số mắt lưới trên graph)

Từ điều kiện mạch hóa suy ra hai định luật cơ bản của mạch điện là định luật KF1 và KF2, hai định luật nói lên cấu trúc của mạch điện gồm nhánh, đỉnh, vòng với kết cấu khung của TBĐ, với những phép tính đại số các biến cùng loại i hoặc u Ta viết được m phương trình cho mạch Như đã biết mạch có m biến dòng và m biến áp, vậy còn thiếu m phương trình nữa mới đủ để giải ra các biến, m phương trình còn lại sẽ là

m phương trình định luật Ôm đã biết

3 Định luật Ôm :

Đây là định luật cho mối liên hệ giữa hai biến khác loại, nó chính là phương trình trạng thái, biễu diễn được hành vi riêng của từng vùng năng lượng Dạng biểu thức tổng quát : u = Z.i (1.23) Trong đó : Z là toán tử

Ví dụ :

Trên vùng tiêu tán ; u = R.i → Z= R,

Trên vùng từ trường :

dt

diL

dt

di

Hoặc i = Y.u (1.24) Trong đó Y là toán tử dẫn :

Vùng tiêu tán : i = g.u = u

dt

.d

4 Hệ phương trình biến nhánh của luật KF :

Với biến số là áp nhánh, dòng nhánh ta có các hệ phương trình mạch điện như sau :

a Hệ phương trình mạch khi kích thích là nguồn áp e(t)

Xét sơ đồ mạch điện có d đỉnh, m nhánh thụ động thì có 2m biến dòng, áp nhánh và kích thích là nguồn áp nối tiếp trong các nhánh, ta có hệ phương trình :

k

eu

0i

C

1dt

.d.LRZ

k k

k k

Toán tử hỗ trở thường là hỗ cảm có dạng :

dt

.dM

Zkl = kl Mỗi áp nhánh có quan hệ toán tử xác định với dòng nhánh nên có thể lấy biến là m dòng nhánh ta có hệ phương trình được viết lại dưới dạng :

kl k

k

k

ei

Zi

Z

0i

(1.25)

b Hệ phương trình mạch khi kích thích là nguồn dòng j(t)

Kích thích là những nguồn dòng j(t) ghép song song vào m nhánh thụ động có toán tử dẫn Y :

ji

k

k k

ju

Y

k

k k

k

(1.26)

c Hệ phương trình mạch khi kích thích hỗn hợp

Khi có cả nguồn Sđđ và nguồn dòng ta có hệ phương trình :

k k

eu

ji

Khi uk =Zk ik ±∑Zkl il ta có thể viết lại hệ phương trình dưới dạng biến dòng nhánh như sau :

kl k

k

k k

ei

Zi

Z

ji

(1.27) Khi i =k Yk.ukthì ta có thể viết lại hệ phương trình theo biến áp nhánh như sau :

k k

k

eu

ju

.Y

5 Các định lý về nguồn tương đương (định lý bù hay nguyên tắc bù) :

Từ hệ phương trình mạch ta thấy nó thực chất là hệ phương trình vi tích phân thường theo thời gian Theo lý thuyết phương trình vi phân, nó tồn tại một lời giải duy nhất thỏa mãn những điều kiện về giá trị đầu ở t0 của các ẩn Vì vậy có thể phát biểu :

a " Có thể thay tương đương một nhánh có dòng ik(t) đã biết bằng một nguồn dòng jk(t) = ik(t) bơm vào những cực của nhánh đó" Mô tả bằng hình (h.1-17)

ik

jk h.1-17

=R

ik

uk

b " Có thể thay tương đương một nhánh có áp uk(t) đã biết bằng một nguồn Sđđ

ek(t) = uk(t) duy trì điện áp đó trên các cực nhánh" Mô tả bằng hình (h.1-18)

ik

uk

Định lý về nguồn tương đương trong KTĐ còn được gọi là định lý bù Trong mạch điện nếu tách ra một nhánh có điện trở R, có dòng i thì ta chứng minh được bao giờ cũng có thể thay điện trở đó bằng một nguồn Sđđ có chiều ngược với chiều dòng điện và có trị số bằng điện áp trên cực điện trở đó : eR = uR = R.iR

§4 Graph KF (Graph năng lượng)

Hình hình học chắp nối các vùng năng lượng (được đặc trưng bởi các phần tử) của TBĐ chỉ rõ sự phân bố các biến dòng, áp nhánh, chỉ rõ những luật, phép tính trên biến để mô tả quy luật quá trình điện từ gọi là Graph KF - mà ta quen gọi là sơ đồ mạch điện Vậy sơ đồ mạch điện đồng nhất với hệ phương trình mạch điện Nó là biểu diễn hình học của mô hình mạch năng lượng

R i

u

i

u

=++

C1

)t(e'LiriRi

2 2

3

2 2

1

Ngược lại từ phương trình suy

ra lại sơ đồ mạch

Lưu ý : trong các điều kiện cụ thể cần phải lưu ý đến các tính chất và thông số của phần tử thực do các quá trình ký sinh gây ra Ví dụ ở tần số cao thì sự làm việc chịu ảnh hưởng của tốc độ biến thiên của ψ , của dòng dịch đối với điện trở tức là phải chú ý đến điện dung và điện cảm của điện trở lúc đó sơ đồ như hình (h.1-22) Với cuộn điện cảm khi đó phải lưu ý tới tổn thất năng lượng trong cuộn dây, trong lõi, ảnh hưởng của điện dung giữa các vòng dây Lúc đó sơ đồ như hình (h.1-23)

e(t)

i2

i3 CL

§5 Hệ phương trình Kirhof dạng ma trận

Mô hình mạch được mô tả bằng hệ phương trình hoặc bằng sơ đồ mạch, cấu trúc đó cũng có thể mô tả bằng những bảng số

1 Bảng số nhánh - đỉnh A :

Một graph định chiều hữu hạn, đơn liên được hoàn toàn xác định nếu chỉ rõ tập

d đỉnh đánh số, tập m nhánh định chiều đánh số và chỉ rõ mỗi nhánh định chiều nối liền cặp đỉnh nào

a Cách lập bảng số nhánh - đỉnh A như sau :

Lập một bảng chữ nhật có d cột đánh số mô tả các đỉnh, m hàng đánh số mô tả các nhánh Nếu một nhánh định chiều thứ k nối từ đỉnh p đến đỉnh q thì trên hàng k ta ghi số 1 vào ô thuộc cột p và ghi số -1 vào ô thuộc cột q (có thể quy ước ngược lại), còn các ô còn lại ghi số 0

Ví dụ : Lập bảng A cho mạch điện ở hình (h.1-25)

− Những số 1, -1 ở cột chỉ rõ những nhánh nào rời khỏi đỉnh hay đi vào đỉnh Tức là chỉ rõ có bao nhiêu dòng nhánh vào, ra đỉnh Vậy mỗi cột cho ta hệ số của phép tổng đại số các dòng nhánh tại một đỉnh, mỗi hàng cho thông tin về áp một nhánh liên quan đến thế của hai đỉnh nào, cột cho thông tin về luật KF1

c Ma trận A :

Để có thể biểu diễn các thông tin trên bằng các biểu thức ta coi bảng A là ma trận A

Ví dụ : Ma trận A của mạch điện trên là : [A]=

11

11

Ngoài ra còn định nghĩa các ma trận cột inh, unh, enh, ϕđ, jđ

ϕ

=ϕ

3 2 1 nh

3 2 1

uu

uu

,i

3 2

1 nh

2

1 đ

uu

uu

.1

1A

−ϕ

=ϕ

−ϕ

=ϕ+ϕ

−

3 2 1

2 2 1

1 2 1

uu

u là áp các nhánh

Ta có biểu thức áp nhánh dạng ma trận : [A].[ϕđ]=[unh] (1.30)

Vì thông tin cột nói lên hệ số luật KF1 cho nên để sử dụng phép nhân ma trận ta dùng

ma trận chuyển vị [At]

Ví dụ : [ ]At =⎢⎣⎡−11−11−11⎥⎦⎤

Chúng ta biết số phương trình độc lập viết theo luật KF1 là (d-1) nên bảng A (ma trận A) sẽ thừa một cột nếu dùng để biểu diễn luật KF1, nên thông thường bỏ đi một cột mốc chọn có thế bằng 0 Ta được bảng nhánh - đỉnh đủ Atk (k chỉ đỉnh chọn làm mốc) Ta cũng có ma trận chuyển vị đủ [ ]At còn [At] là ma trận thừa Thực hiện phép nhân ma trận [ ]Atk [ ]inh = biểu diễn định luật KF1 0

ii

i111i

3 2

1 nh

2 Bảng số nhánh - vòng C :

Ta cũng mô tả kết cấu graph bằng cách chỉ rõ tập m nhánh đánh số, định chiều, tập các vòng bù cành (bằng số bù cành) khép qua cây gồm những nhánh nào với chiều

ra sao

a Cách lập bảng số nhánh - vòng C :

Lập bảng chữ nhật có m hàng đánh số, có số cột chính bằng số bù cành (số vòng độc lập) Trên hàng ghi rõ nhánh tham gia vào vòng bù cành nào, với chiều nào (nếu tham gia vào vòng đó với chiều cùng chiều của vòng ghi số 1, nếu ngược lại ghi số -1) Nếu không tham gia vào vòng đó ghi số 0 ở ô giao điểm hàng - cột

Ví dụ : Lập bảng C cho sơ đồ mạch điện trên như hình (h.1-26)

− Cột chỉ rõ trong một vòng bù cành (vòng độc lập) có bao nhiêu dòng nhánh tham gia với chiều nào Rõ ràng cột là hệ số của định luật KF2

c Ma trận C :

Coi bảng số C là ma trận và sử dụng các phép tính trên ma trận ta sẽ biểu diễn bằng biểu thức 2 thông tin ở hàng và cột

Ví dụ : Ma trận C cho mạch điện trên là :

11

01C

v 3 2 1 nh

i

ii

i,ee

ee

Thực hiện phép nhân ma trận sẽ được : [ ] [ ]

1 v

ii

ii

i10

11

01i

2 1 2

1 1

ii

iii

ii

[ ] [ ][ ]inh = C iv

Để sử dụng phép nhân ma trận cho ra luật KF2 ta lập ma trận [C] chuyển vị [Ct]

011

−

=+

0uu0uu

u110

011u

C

3 2

2 1 3

2 1 nh

v nh t

e

ee

vớieu

;0i

Theo biến thế đỉnh : Từ [ ]Atk [ ]inh =0→[ ]Atk [ ][ ]Ynh unh =0mà [ ] [ ][ ]unh = A ϕđNên : [ ]Atk [ ][ ][ ]Ynh A ϕđ =0

[Znh] là ma trận vuông, nếu mạch có m nhánh thì nó có m hàng, m cột Thông số của nhánh nào sẽ nằm ở vị trí giao điểm giữa hàng và cột đó

Ví dụ : cho mạch điện như hình vẽ (h.1-27)

a Hãy viết hệ phương trình theo biến dòng, áp nhánh

− Giả thiết chiều dương các dòng điện và chiều dương các vòng độc lập (theo mắc lưới trên graph)

− Phương trình cho biến dòng nhánh :

Số đỉnh của graph là d=2 nên chỉ có 1

Hai phương trình KF2 với 2 vòng độc lập

theo chiều dương đã chọn :

1 1

dt

diLi

3 3 3 3 3 2

C

1iRdt

diLi

Thử cộng hai phương trình độc lập trên ta

sẽ thấy đó chính là phương trình cho vòng gồm nhánh 1 và 3 Rõ ràng vòng này là vòng không độc lập vì có các nhánh 1 và 3 là những nhánh đã có ở vòng 1 và vòng 2 Từ đây thấy rõ có thể tổ hợp phương trình độc lập để có được các phương trình không độc lập

−

=

−+

2 3 C 3 R 3 L 2

R

2 1 2 R 1 L 1

R

euuuu

eeuuu

Vì có 6 ẩn số nên cần có 6 phương trình, ta đã có 2 phương trình KF2 còn phải dẫn ra 4 phương trình KF1 nữa liên quan đến biến áp nhánh :

0dt

duCdtuL

1

;0dtuL

1R

u

;0dtuL

1R

u

;0R

uR

u

R

u

3 C 3 3

L 3 3

L 3 3

3

R

1 L 1 1

1 R 3

3 R 2

2 R 1

011C

,111A

10

11

01C

,11

1A

,ii

ii

,0e

ee

t t

3 2 1 nh 2 1 nh

Ddt.,Ddt

Thì với nhánh có trở và cảm ta có áp : i(R LD) uRL

dt

diL

Trong đó R + LD là toán tử trở

C

1idtC1

Nên tổng trở nhánh R1 - L1 là R1 + L1D , nhánh R3 - L3 - C3 là R3+ L3D +

3

1

C

D−

+

=

− 3

1 3

3 2

1 1 nh

C

DDLR00

0R0

00DLRZ

Ta có thể thấy ngay khi không có hỗ cảm, Znh là một ma trận vuông chỉ có giá trị ở đường chéo chính Cũng sẽ suy ra được khi các cuộn dây có quan hệ hỗ cảm với nhau thì phải thêm các toán tử hỗ trở MD

dt

d

M = với dấu tùy cực cùng tính và lúc này MD sẽ nằm ở cả hai ô giao nhau giữa hai nhánh có hỗ cảm Ví dụ như khi cuộn 1 và 3 có hỗ cảm với nhau theo cực cùng tính như hình vẽ sẽ có :

+

=

− 3

1 3

3 2

1 1 nh

C

DDLR0MD

0R0

MD0

DLRZ

Hệ phương trình dạng ma trận với biến dòng nhánh :

[ ]At [ ]inh =0;[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][unh = Znh inh ; Ct unh = Ct Znh inh = Ct enh]

Thay các ma trận vào phương trình ta có :

ii

i1

1

3 2

1

=+

3 2 2

2 2 1 1 1 3

2 1

3

1 3

3 2

1 1

i)C

DDLR(iR

iRi)DLR(i

ii

C

DDLR00

0R0

00DLR1

1 3

3 2 2

2 2 1 1 1 2

2 1 2

1 nh

C

DDLR(iR

iRi)DLR(e

ee0

e

e110

011

+

=

−+

=

−

− 3 3

1 3

3 2 2 2

2 2 1 1 1 2

1

i)C

DDLR(iRe

iRi)DLR(ee

Giống như các phương trình đã viết ở mục trên :

Ta sẽ thấy quan hệ giữa các ma trận Tôpô là : [At][C] = 0 (1.37)

§6 Mạch đối ngẫu

1 Graph đối ngẫu : Hai graph là đối ngẫu nếu ma trận [At] của graph này bằng

ma trận [Ct] của graph kia và ngược lại Tức là : [At1]=[Ct2], [Ct1]=[At2] (1.38)

Từ quan hệ đó thấy được hai Graph đối ngẫu có cùng số nhánh Ngoài ra các đỉnh của Graph này tương ứng với các vòng của graph kia và ngược lại

Để xây dựng một Graph đối ngẫu với một Graph cho trước ta tiến hành như sau :

− Đặt trong mỗi vòng của Graph ban đầu 1 đỉnh và cho 1 đỉnh ở ngoài Graph ban đầu

− Nối từng cặp đỉnh mới bằng các nhánh sao cho mỗi nhánh đó đều cắt nhánh của Graph ban đầu.Ví dụ : Lập Graph đối ngẫu như hình (h.1-28)

2 Phần tử đối ngẫu của sơ đồ - Sơ đồ đối ngẫu :

Các phần tử hai cực trong sơ đồ là đối ngẫu nếu như quan hệ u(i) của phần tử này là quan hệ i(u) của phần tử kia và ngược lại

a Nguồn Sđđ e(t) và nguồn dòng j(t) là đối ngẫu nhau nếu e(t) = j(t) (1.39) (Hiểu bằng nhau theo nghĩa số đo V, A)

b Với trở tuyến tính R thì phần tử đối ngẫu của nó là dẫn g = R (1.40) và ngược lại vì khi g = R thì phương trình u = Ri trùng với phương trình i = gu (Hiểu theo số đo, khái niệm trùng ở đây hiểu theo nghĩa thay u bằng i trong phương trình này sẽ được phương trình kia) Với trở phi tuyến R(i) thì đối ngẫu khi đường cong u(i) trùng đường cong i(u)

c Với dung, cảm tuyến tính ta thấy

dt

duCivàdt

diL

(1.41) (hiểu theo nghĩa số đo) thì điện cảm L và C là đối ngẫu nhau Với dung và cảm phi tuyến thì tính đối ngẫu là sự trùng nhau của cặp đặc tuyến ψ(i) và q(u)

d Sơ đồ đối ngẫu :

Hai sơ đồ có chứa các phần tử hai cực là đối ngẫu nhau nếu như chúng có các Graph đối ngẫu nhau và ứng với một phần tử của sơ đồ này có phần tử đối ngẫu trên sơ đồ kia

Từ đó thấy để xây dựng sơ đồ đối ngẫu với một sơ đồ cho trước, đầu tiên phải xây dựng phần tử đối ngẫu, sau đó thay thế mỗi phần tử của sơ đồ cho trước bởi phần tử đối ngẫu của nó Chú ý khi xây dựng Graph đối ngẫu của mỗi phần tử hai cực như e, j, r, L,

C xem như một nhánh riêng rẽ

Ví dụ : Lập sơ đồ đối ngẫu (h.1-29) và (h.1-30)

e Tính chất của hai sơ đồ đối ngẫu :

Hai sơ đồ đối ngẫu có tính chất là :

Phương trình KF1 của sơ đồ này trùng với phương trình KF2 của sơ đồ kia và ngược lại phương trình KF2 của sơ đồ này trùng với phương trình KF1 của sơ đồ kia

3 2 1

jii

0iii

−

=+

∫i dt r i r i 0C

1dt

diL

edt

diLir

4 4 3 3 3 2

2

1 2 2 1 1

Với sơ đồ dưới ta có :

++

−

=+

L

1dt

duC

jdt

duCug

4 4 3 3 3

3

2 2

1 2 2 1 1

−

4 4 3

3 2 1

euu

0uuu

Ta sẽ thấy nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình đối ngẫu khi thay các dòng bằng các áp và ngược lại

CHƯƠNG 2 MẠCH TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HÒA

Ở hai chương trước ta đã xây dựng mô hình toán học mà cụ thể là mô hình mạch để tính toán mạch và giải thích một số các hiện tượng trong thiết bị điện (TBĐ) Để đi vào tính toán các mạch điện cụ thể trước hết ta xétại mạch quan trọng và thường gặp là mạch tuyến tính hệ số hằng, ở chế độ cơ n là chế độ xác lập với dạng kích thích cơ bản nhất là kích thích điều hòa Kích thích điều hòa là kích thích cơ bản vì mọi kích thích chu kỳ không điều hòa đều có thể phân tích thành tổng các kích thích điều hòa có tần số và biên độ khác nhau Hơn nữa đa số các nguồn trên thực tế như máy phát điện, máy phát âm tần đều là nguồn phát điều hòa hoặc chu kỳ không điều hòa, mặt khác ứng với các kích thích điều hòa với các toán tử tuyến tính thì đáp ứng cũng sẽ là những điều hòa khiến cho việc tính toán khảo sát rất đơn giản

§1 Biến trạng thái điều hòa

Trong phần mô hình mạch năng lượng (mạch KF) ta đã chọn cặp biến trạng thái áp u(t) và dòng i(t) để đo quá trình năng lượng điện từ Từ biểu thức của biến trạng thái điều hòa i(t) = Imsin(ωt +ψi) hay u(t) = Umsin(ωt + ψu) rút ra các đặc trưng của biến điều hòa là :

1 Đặc trưng của biến điều hòa :

− Biên độ của hàm điều hòa (Im, Um) là giá trị cực đại của hàm, nó nói lên cường độ của quá trình

− Góc pha của hàm điều hòa (ωt + ψ) đo bằng Rađian là một góc xác định trạng thái (pha) của hàm điều hòa ở thời điểm t Ở đây ω là tần số góc (rađian/s) ,

T

2π

=

ω , T(ses) là chu kỳ của hàm điều hòa ω=2πf với f = 1/T là tần số : số dao động trong 1 ses ( tần số công nghiệp thông thường f = 50Hz ứng với T = 0,02s, ở một số nước khác (Mỹ) thì f = 60Hz, trong

vô tuyến điện f = 3.1010Hz)

Vậy cặp số đặc trưng của hàm điều hòa là biên độ - góc pha

Biểu diễn hàm chu kỳ trên đồ thị thời gian hình 2-1

0t

sinI

2tsin(

i

Im

ωtt

i

2 So sánh các biến điều hòa cùng tần số

Trong trường hợp chỉ so sánh các lượng có cùng tần số thì lúc đó chúng chỉ khác nhau về biên độ và góc pha đầu Vậy chúng được đặc trưng bởi cặp số biên độ - pha đầu (Im, ψi), (Um, ψu), (Em, ψe),

Ví dụ : i(t) = 1,5sin(ωt + 450) đặc trưng bởi (1,5;450)

u(t) = 220sin(ωt -300) đặc trưng bởi (220;-300)

e(t) = 220cos(ωt + π/5) đặc trưng bởi (220; π/5)

So sánh 2 lượng điều hòa cùng tần số là so sánh biên độ của chúng với nhau xem chúng gấp nhau bao nhiêu lần, so sánh góc pha của hàm này lớn hơn (sớm hơn) hay bé hơn (chậm hơn)

so với hàm kia bao nhiêu Ví dụ ta so sánh giữa hai hàm điều hòa cùng tần số u = Umcos(ωt +

ψu), i = Imcos(ωt + ψi) :

So sánh biên độ : lấy tỉ số Um/Im

So sánh góc pha : lấy hiệu (ωt + ψu) - (ωt + ψi) = ψu - ψi =ϕ

ϕ : là góc lệch pha giữa áp và dòng

ϕ = ψu - ψi > 0 ⇒ ψu > ψi ta nói điện áp sớm pha hơn dòng điện một góc ϕ Ngược lại

ϕ = ψu - ψi < 0 ⇒ ψu < ψi ta nói điện áp chậm pha thua dòng điện một góc ϕ ( Hay dòng điện sớm pha hơn điện áp một góc ϕ )

Khi ϕ = 0 ⇒ ψu = ψi ta nói áp và dòng cùng pha nhau

Khi ϕ = π ta nói áp, dòng ngược pha nhau

Khi ϕ = π/2 ta nói áp, dòng vuông pha nhau

§2 Trị hiệu dụng của hàm điều hòa

1 Trị hiệu dụng của hàm chu kỳ :

Với mạch KF ta quan tâm đến công suất, năng lượng nhưng các biến lại phụ thuộc thời gian nên chúng ta cần định nghĩa một giá trị trung bình theo nghĩa nào đó để giúp cho việc đo lường tính toán được thuận lợi Xét một dòng điện chu kỳ i(t) chảy qua một nhánh tiêu tán R trong thời gian một chu kỳ T

Công suất tiêu tán P(t) = u(t).i(t) = R.i2(t)

Năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ là : = ∫T = ∫ (2-1)

0

T 0

dt)t(iiRdt)t(PA

Với nhánh R đó nhưng cho chảy qua một dòng không đổi I trong thời gian T thì năng lượng tiêu tán là RI2T, nếu chọn giá trị I để RI2T = (2-2) thì dòng không đổi

I tương đương dòng i(t) về mặt tiêu thụ Ta gọi I là giá trị hiệu dụng của dòng chu kỳ Như vậy trị hiệu dụng là một thông số động lực học của dòng biến thiên Công thức tính trị hiệu dụng dòng chu kỳ :

∫

=T

0

dt)t(iiRA

1

2 Trị hiệu dụng của hàm điều hòa :

Khi biến là một hàm điều hòa, ví dụ i = Imsinωt thì giá trị hiệu dụng I

=ω

−

=ω

=

0

2 m T

0

2 2 m T

0

2

dt2

t2cos1IT

1tdtsinIT

1dt)t(iT

1

IT2

IT

1dt2

IT

1

2 m T

U

Vì quan hệ giản đơn giữa giá trị hiệu dụng và giá trị biên độ và xét đến ý nghĩa động lực học của trị hiệu dụng nên các dụng cụ đo lường hình sin đều được thiết kế để chỉ ra giá trị hiệu dụng U, I chứ không chỉ giá trị biên độ Cũng vì vậy trong kỹ thuật điện khi nói đến trị số dòng, áp hiểu là giá trị hiệu dụng Vì vậy biến điều hòa đặc trưng bởi cặp số hiệu dụng - pha đầu Ví dụ : (I, ψi), (U, ψu), (E, ψe)

§3 Biểu diễn các biến điều hòa bằng đồ thị vectơ

1 Đồ thị vectơ của hàm điều hòa :

Ta biết một vectơ được xác định trong mặt phẳng vectơ bởi cặp số môđun và góc giữa phương

của vectơ với trục hoành như hình (h.2-2) Vì vậy có thể lấy vectơ có môđun (đoạn thẳng) có độ lớn bằng trị hiệu dụng của hàm điều hòa làm với trục ngang một góc α = ψ là góc pha đầu của hàm điều hòa và cho vectơ này quay quanh gốc với vận tốc góc ω bằng tần số góc của hàm điều hòa thì vectơ đó mang đầy đủ tin tức về hàm điều hòa

Ví dụ : i = Imsin(ωt + ψi) có cặp đặc trưng (I, ψ) Ta lấy vectơ có độ dài 2 =I Im làm với trục ngang góc ψi và quay quanh gốc ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc ω như ( h.2-3) Vectơ quay Frenel

h.2-2

α

Hình chiếu của vectơ quay lên các trục sẽ biểu diễn các

hàm điều hòa cos, sin

(I,ωt + ψi) ↔ 2Isincos(ωt+ψi) (2-7)

2 Đồ thị vectơ của các biến điều hòa cùng tần số :

Khi này ta lấy vectơ có độ dài bằng giá trị hiệu dụng (của

hàm điều hòa) làm với trục ngang một góc ψ bằng góc pha ban đầu Vậy mỗi điểm cố định trên mặt phẳng vectơ ứng với một vectơ phẳng sẽ biểu diễn một hàm điều hòa với trị hiệu dụng từ 0 đến ∝ và góc pha ban đầu từ 0 đến 2π

- Biễu diễn gọn, rõ, nêu được giá trị hiệu dụng, góc pha và góc lệch pha các hàm điều hòa

- Có thể sử dụng các phép cộng trừ trên đồ thị vectơ để cộng trừ các hàm điều hòa cùng tần số Song vì ít phép tính như vậy chỉ dùng tính toán những bài toán rất đơn giản, còn chủ yếu nó dùng biểu diễn

Ví dụ : Biểu diễn trên đồ thị vectơ của dòng điện như hình (h.2-4)

),II,III),9.6,5(I,II

I

)30,4(I)30tsin(

4.2i

)60,3(I)60tsin(

3.2i

4 3 4 2 1 4 0 3

2 1 3

0 2

0 2

0 1 0

1

ϕ

−

=+

=

−

↔

−ω

=

↔+

Là số có 2 thành phần thực a, ảo jb ; = a + jb Trong đó a, b là những số thực Hai thành phần của số phức độc lập tuyến tính Có thể biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức gồm một trục thực +1 và một trục ảo j vuông góc với nhau (tọa độ Đề các) như hình vẽ (h.2-5) Vậy số phức xác định trong mặt phẳng phức khi biết phần thực a và phần ảo jb hoặc biết môđun V (khoảng cách từ gốc đến vị trí số phức) và argument ψ (góc hợp với trục thực) Từ đó ta rút ra quan hệ :

+

a

barctg

;b

=ψ+

jVcos

Vjb

0 ψ

=ψ

+

esin

V → dạng mũ viết gọn V• =V〈ψ (2-10)

Vậy số phức có thể biểu diễn ở dạng đại số hoặc dạng mũ Từ dạng mũ thấy rõ ngay môđun và argumen Số phức đặc biệt là một số phức có môđun V=1 và argumen bằng ψ →

Số phức là một số phức có môđun V=1 có phần thực bằng 0, chỉ có phần ảo b =1 Số phức này nằm trên trục ảo nên argumen bằng π/2,

là dạng đại số Dưới dạng mũ ta biểu diễn như sau :

ψ

•

eVψ+

Tương tự ta có :

21j)2sin(

j)2cos(

e21.21)j.(

jV

V• ∧ = − = 〈π 〈−π = jπ2 −j2π = →− =

Từ đây ta có :

2V

j

π+ϕ

jb

a

- Các phép tính cơ bản của số phức :

Đẳng thức của hai số phức :

2 1 2 1 2

1 2 1 2

1

2 2 2 1 1

1

vàVVhaybbvàaanếuV

V

jbaV

;jba

V

ϕ

=ϕ

.V

Ve

.V

e.V

V

V

V.Ve

.V.Ve

V.eVV

V

2 1 1 1

2 1 1

1

2 1 2

1 ) ( 2

1 j

2

j 1 2

1

2 1 2 1 ) ( 2 1 j

2 j 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

〈

=ψ

−+ψ

〈

=

ψ

−ψ

ψ

•

•

ψ + ψ ψ

ψ

•

•

Thực hiện phép nhân, chia dưới dạng mũ (góc)

2 Biểu diễn biến điều hòa bằng số phức :

Ta thấy số phức được xác định bởi hai yếu tố là môđun và argumen nên nếu lấy số phức có môđun bằng trị hiệu dụng của hàm điều hòa, còn argumen bằng góc pha đầu thì số phức ấy mang hai thông tin cơ bản của hàm điều hòa

i

tsinI2)

〈

=

↔ψ+ω

Đây là quan hệ dóng đôi, gốc ↔ ảnh trong hai không gian khác nhau

0 30 j 0

0

e.12030

120U)30tsin(

1202)

vi tích phân khá phức tạp mô tả mạch điện mà chỉ cần giải hệ phương trình đại số các ảnh phức

3 Biểu diễn phức đạo hàm của hàm điều hòa :

Ta biết đạo hàm của một hàm điều hòa cũng là một hàm điều hòa nên sẽ có ảnh phức tương ứng Cần xác định quan hệ giữa ảnh phức của hàm điều hòa với ảnh phức của đạo hàm hàm điều hòa đó

i

tsinI2)t(

•

=ψ

〈

=

↔ψ+ω

=

)112(I

je.I.e.e

.e

'I)2/t

sin(

I2)

i i

−ω

=ω

=ω

=

π+ψ

〈ω

=

↔π

+ψ+ωω

=

• ψ

π π

du

C

i

I.LjUdt

di

L

u

C C

L L

4 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa :

Tích phân của hàm điều hòa cũng là hàm điều hòa nên sẽ có ảnh phức tương ứng

Ta sẽ xác định quan hệ giữa ảnh phức của hàm điều hòa và ảnh phức của tích phân hàm điều hòa đó

i

tsinI2)

〈

=

↔ψ+ω

=

thì :

)122(I.j

1e

.I

je

.I

ee

.e

sin(

I

2idt

i i

2 / j 2 / j j

i i

−ω

=ω

−

=ω

=ω

=

π

−ψ

〈ω

=

↔

π

−ψ+ωω

=

• ψ

ψ π

− π

− ψ

•

•

∫

Vậy ảnh phức của tích phân hàm điều hòa bằng ảnh phức của hàm điều hòa đó chia cho

jω Ta thấy phép tích phân trong phân bố thời gian khi chuyển sang không gian phức nó sẽ là phép chia

Trong mạch điện thường gặp :

1I

udtL

1

i

I.jC

1U

idtC

1

u

L L

C C

Nhờ cách biểu diễn phức ta chuyển được hệ phương trình vi tích phân theo thời gian mô tả mạch sang hệ phương trình đại số với ảnh phức, nên việc phân tích, tính toán mạch điện sẽ được thực hiện rất thuận lợi Tuy nhiên việc làm như vậy là thuần túy toán học không làm rõ ý nghĩa vật lý của các quá trình Hơn nữa người ta không muốn phải viết hệ phương trình vi tích phân rồi mới phiên dịch ra phương trình đại số phức mà muốn dẫn ra một sơ đồ (trong KTĐ hay dùng sơ đồ) để từ đó viết ngay hệ phương trình đại số phức

Ví dụ : Viết hệ KF dưới dạng đại số phức cho mạch

điện hình vẽ (h.2-6)

Hệ phương trình KF dạng phân bố thời gian và

chuyển sang dạng phức :

−

−ω+

=ω++

=+

IRI

EILjR.IR.I

0III

0dt

diLRidtiC

1R

i

)t(edt

diLRiR

i

0ii

i

2 2

2 3 3 3

2 2

2 1

3 2 1

2 2

2 3 3

3

2 2

2 1

1

3 2

1

e(t) h.2-6

§5 Phản ứng của một nhánh đối với kích thích điều hòa

Trong phần đầu chương 2 chúng ta đã tìm hiểu các đặc trưng của biến trạng thái điều hòa cũng như tìm hiểu cách xác định trị hiệu dụng của một hàm điều hòa, cách biểu diễn hàm điều hòa bằng đồ thị vectơ và bằng số phức Những nghiên cứu trên tạo tiền đề cho việc xét phản ứng của một nhánh đối với kích thích điều hòa

Ở chế độ xác lập, trong mạch tuyến tính có kích thích điều hòa thì dòng, áp mỗi nhánh đều là hàm điều hòa cùng tần số

cos i

sin cos

tI.2u,t

I.2

Ta biết mỗi nhánh KF thụ động ứng với một toán tử Z hoặc Y đặc trưng hành vi hay phản ứng của nhánh : u = Z.i, i = Y.u

Khi các biến là điều hòa quan hệ toán tử rất đơn giản thể hiện ở hai mặt phản ứng :

1 Phản ứng môdul thể hiện ở tỉ số hiệu dụng của áp và dòng tương ứng (so sánh về độ lớn của trị hiệu dụng) :

U/I = z; I/U = y

z = U/I gọi là tổng trở hiệu dụng; y = I/U gọi là tổng dẫn hiệu dụng

2 Phản ứng góc pha, chỉ rõ góc lệch pha giữa áp và dòng : ϕ = ψu - ψi

Vậy cặp số phản ứng của một nhánh là (z,ϕ) hoặc (y,- ϕ), cặp số này cho phép tìm biến này khi biết biến kia Hơn nữa qua cặp quan hệ này cho biết hành vi của vùng năng lượng (tiêu tán hay tích phóng năng lượng)

Để thấy rõ cặp đặc trưng phản ứng của một nhánh (z,ϕ) hay (y,-ϕ) ta xét quan hệ của các biến phức như sau :

•

•

IvớiU

u(t) ↔ U• =U ψu ; i(t) ↔ I• =I ψi

Zz

I

UI

U

I

U

i u i

U

IU

I

U

I

ui i u

Y gọi là tổng dẫn phức nó bao hàm cặp phản ứng (y,-ϕ )

Vậy : Z = z ϕ, Y =y −ϕ là phản ứng của nhánh đối với kích thích điều hòa

Lưu ý :

z

1y,yz

1z

1Z

§6 Phản ứng của nhánh thuần trở

1 Phản ứng của nhánh R :

Từ phương trình trạng thái của nhánh ( định luật Ôm) : u = R.i biểu diễn phức quan hệ này rút ra cặp số phản ứng :

.0U0I.RUu,0II

i

tsinI.2.RiRutsinI

0I.RI

Ngược lại :

yR

1g,0g0R

1Y

Y0R

10I.R

0IZ

1UI

R

R

2 Quá trình năng lượng trong nhánh tiêu tán :

Vì trong vùng này u, i cùng pha (cùng chiều) nên công suất tiếp nhận PR = uR.iR = 2UR.IRsin2ωt ≥ 0 Năng lượng điện từ luôn đưa từ nguồn đến tải để tiêu tán thành nhiệt năng,

U

2

p

2 R

R

R R 2

2 2

−

=ω

=ω

=

Công suất tiêu tán trung bình trong một chu kỳ :

R R 2

T 0 2 T

P gọi là công suất tác dụng (công suất tiêu tán) Công suất chỉ

khả năng sinh công Thứ nguyên [V].[A] = [W] Qua đây ta thấy vai trò của trị hiệu dụng dùng để tính công suất trung bình

§7 Phản ứng của nhánh thuần cảm

1 Phản ứng của nhánh thuần cảm :

Từ phương trình trạng thái (Đinh luật Ôm) dưới dạng thời gian :

dt

diL

LjI

diLu

;II)tsin(

L

i L

i

πω

=

=ω

=

↔ψ+ω

L

u L L

.

L

.

zI

UI

UI

U

Cặp đặc trưng (ωL = zL; ϕ = π/2) được viết tổng hợp dưới dạng phức :ZL = ωL π/2 Vậy z〈 L =

xL = ωL , ψu - ψi = π/2

Tỉ số áp hiệu dụng trên điện cảm với dòng hiệu dụng qua điện cảm

bằng ωL = zL = xL gọi là điện kháng điện cảm, thứ nguyên [V]/[A] = [Ω],

xL phụ thuộc vào tần số, xL = ωL = 2πfL Áp trên cuộn cảm vượt trước

dòng qua cuộn cảm góc ϕ = π/2, ZL = jxL = jωL,biểu diễn L trên sơ đồ

Y2/L

1U

I

L L

L L

L

.

=π

−

=

=π

−ω

=

trong đó :

bL là điện dẫn phản kháng cảm Cặp đặc trưng (bL, -π/2)

2 Quá trình năng lượng của kho từ :

h.2-10a : Đồ thị thời gian u(t), i(t), p(t) h.2-10b : Đồ thị vectơ áp dòng qua cuộn cảm

π -

+

UL

IL π/2 = ϕ

t2sinIUt2sinxItcos.sin

x

I

2

tsin)2/tsin(

LI2tsinI2)

2/tsin(

LI2)t(i)

2 L L

2

L

2 L L

L L

L

ω

=ω

=ωω

=

=ωπ

+ωω

=ωπ

+ωω

=

=

Như vậy công suất dao động với tần số 2ω Công suất trung bình trong một chu kỳ :

0tdt2sinIUT

1dt)t(pT

1

P

T 0

T 0 L L

kỳ ta cũng thấy điều này) Vậy cuộn cảm thuần túy không tiêu thụ công suất (không tiêu tán) mà ở đây chỉ có sự dao động, tích phóng công suất giữa nguồn TĐT và từ trường quanh cuộn cảm

Biên độ dao động của công suất bằng ULIL ta kí hiệu là QL= ULIL có thứ nguyên [Var] gọi là công suất phản kháng QL= I2

L.XL đo cường độ của quá trình khác hẳn về bản chất công suất tác dụng P = I2.R (để chỉ về tiêu tán) Từ đây thấy XL = QL khi IL = 1A, nên XL có ý nghĩa về mặt năng lượng, XL càng lớn chỉ rõ khả năng trao đổi năng lượng từ trường càng lớn Rõ ràng R và XL khác hẳn nhau vềì bản chất; QL cũng được tính qua giá trị hiệu dụng UL, IL

§8 Phản ứng của nhánh thuần dung

1 Phản ứng của nhánh thuần dung C

Từ phương trình trạng thái của nhánh dưới dạng thời gian : = ∫idt

C

1)t(

Cj

1I

.Cj

II

IU)t(uI

C

C

C C C

C C

ω

−

=

=ω

=ω

C C

i u C C i

C

u C C

.

C

I

UI

UI

=

bC = ωC : điện dẫn phản kháng dung Cặp phản ứng là (bC, π/2)

2 Quá trình năng lượng của kho điện

Công suất của nhánh thuần dung :

pC(t) = uC(t).iC(t) = 2ICxCsin(ωt −π/2) 2ICsinωt =−2IC2xCcosω sinωt

t2sinIUt2sinx

1dt)t(pT

1

P

T 0

T 0 C C

Như vậy mạch thuần dung không có sự tiêu thụ công suất mà chỉ có dao động trao đổi, tích phóng giữa TĐT với điện trường kho điện Khả năng dao động trao đổi tích phóng bằng chính biên độ của dao động công suất UcIc = Qc (2-41) gọi là công suất phản kháng Thứ nguyên là [VAr], Qc = UcIc = Ic2xc (2-42), Qc cũng được tính qua giá trị hiệu dụng của Uc, Ic Từ Qc = Ic2xc thấy xc = Qc khi Ic = 1A nên xc có ý nghĩa về mặt năng lượng, xc càng lớn khả năng trao đổi năng lượng điện từ càng lớn

fC2

1C

1

xc

π

=ω

= vậy xc tỉ lệ nghịch với tần số Ở đây ta cũng nhận thấy rằng công suất dao động trên L và C luôn trái dấu với nhau

h.2-12a : Đồ thị thời gian u(t), i(t), p(t) h.2-12b : Đồ thị vectơ áp dòng qua tụ điện C

u, i, p

t

ωt 0

π +

+

UC

IC -π/2 = ϕ

§9 Phản ứng của nhánh R-L-C đối với kích thích điều hòa

1 Phản ứng của nhánh R-L-C : Dưới tác dụng của kích thích điều hòa ở chế độ xác lập, áp , dòng trong nhánh nối tiếp R-L-C đều biến thiên điều hòa Ta có quan hệ thời gian : u(t) =

uR + uL + uC

1u,dt

diLu,R

dạng phức :

)]

xx(jR.[

I)jxjxR

.(

I

)C

jLjR.(

I)Cj

1.LjR.(

IICj

1I.LjR.I

U

C L

C L

.

.

.

.

−+

=

−+

=

ω

−ω+

=ω+ω+

=ω+ω+

=

Biểu thức vectơ :U=UR +UL +UC Đồ thị vectơ như hình vẽ x =xL −xC(Ω) gọi là điện

kháng (trong đó xL và xC luôn ngược dấu) Lập tỉ số : R jx Z

= gọi là tổng trở phức

(Ω) Tổng trở phức Z= R + jx nói rõ R và x đặc trưng cho hai vùng phản ứng khác nhau về bản chất nên phải được tổng hợp trong một quan hệ độc lập tuyến tính Trong đó cần lưu ý xLvà xC ngược dấu nhau để tạo nên điện kháng x, ngoài dạng đại số có thể viết Z dưới dạng mũ :

R

xarctg,

zzee

u i

u i

u

.

.

xRz,R

xarctg,

zI

UZz

I

UI

Như vậy cặp phản ứng là z và ϕ , z là tổng trở hiệu dụng

Tỉ số của áp hiệu dụng trên mạch R-L-C với dòng hiệu dụng bằng tổng trở hiệu dụng z được tính theo các vùng năng lượng hợp thành theo công thức z= R2 +x2 thứ nguyên [Ω] góc lệch pha giữa áp trên mạch R-L-C với dòng qua nó là ϕ = arctg(x/R) tùy thuộc vào x, R

− Khi xL > xC → x > 0 → ϕ > 0 : áp vượt trước dòng góc ϕ, ta nói mạch có tính cảm

− Khi xL < xC → x < 0 → ϕ < 0 : áp chậm sau dòng góc ϕ, ta nói mạch có tính dung

− Khi xL = xC → x = 0 → ϕ = 0 : áp, dòng trùng pha nhau tựa như mạch điện trở vì điện cảm và điện dung vừa bù hết cho nhau

z

1z

1Z

1U

I

.

.

=ϕ

−

=ϕ

−

=ϕ

=

gọi là tổng dẫn hiệu dụng

Dạng đại số Y = ycos(-ϕ) + j.ysin(-ϕ) = y.cosϕ - y.sinϕ = g -j.b trong đó :

1z

/1.sinb

sin

y

2

2 : điện dẫn phản kháng

Qua công thức ta thấy cặp phản ứng (z, ϕ) và (y, -ϕ) phụ thuộc vào tần số, z(ω), y(ω), ϕ(ω), ta nói rằng phản ứng của nhánh R-L-C có tính lựa chọn đối với tần số Các quan hệ trên gọi là những đặc tính tần số Sơ đồ biểu diễn tổng trở phức Z = R +jx hoặc tổng dẫn Y = 1/Z=

lại là x, gọi là tam giác tổng trở hình (h.2-14) Tam giác tổng trở giúp xác

định z, ϕ khi biết R, x và ngược lại

R

xarctg,

xR

R = z.cosϕ , x = z.sinϕ

z

xxR

xsin

,z

RxR

Rcos

2 2 2

+

=ϕ

=+

=

ϕ

2 2 2 2

2 2

2 2 2

xz

xz

x.xR

1sin

z

1b,xR

Rz

Rz

R.xR

1cos

=ϕ

=+

=

=+

t2sinIUt2sinIUtsin.R.I

2

p

pppi)

uuu(ui

p

C C L

L 2

2

C L R C

L R

=

=++

=+

+

=

=

t2sin)QQ()t2cos1(R

I

§10 Các loại công suất trong mạch điện

Cần đưa ra một số khái niệm về công suất để đo những quá trình năng lượng khác nhau về bản chất trong mạch điện

1 Công suất tác dụng P :

Công suất tiêu tán trung bình trong 1 chu kỳ gọi là công suất tác dụng Theo nghĩa là nó có hiệu lực biến năng lượng điện từ thành các dạng năng lượng khác và sinh công

ϕ

=ϕ

=ϕ

Công thức này tiện dụng hơn vì R của tải thường khó biết mà cosϕ và z đo được dễ dàng nhờ đo U, I Công suất tác dụng P có thứ nguyên W, KW, MW

(ψ −ψ )= → →

=ϕ

của hai vectơ áp và dòng trên nhánh

2 Công suất phản kháng Q :

Biên độ dao động công suất của kho từ, kho điện QL =I2xL,QC =−I2xC, nói chung gọi là công suất phản kháng Nó đo cường độ quá trình dao động năng lượng Thứ nguyên của công suất phản kháng là VAr (hoặc kVAr) Cũng vì x không được biết trước nên thường dùng công thức

=

=x.I zsin I U.Isin

Khi mạch có tính cảm : sinϕ > 0, Q> 0, mạch có tính dung sinϕ < 0, Q< 0

3 Công suất biểu kiến S :

Từ công suất P = UIcosϕ ta thấy P tối đa bằng UI khi cosϕ =1, ta gọi UI = S (2-54) là công suất biểu kiến có thứ nguyên VA (KVA)

S là công suất để chỉ khả năng của thiết bị điện Ví dụ : máy biến áp có S = 100KVA, máy phát điện có S = 30KVA Máy biến áp có S = 100KVA tức là khả năng MBA phát ra được công suất tác dụng tối đa là Pmax =100 KW nếu cosϕ = 1, còn nếu cosϕ < 1 thì P < Pmax

=100KW mặc dầu MBA có S =100KVA

4 Quan hệ giữa các công suất P, Q, S :

Từ : P = UIcosϕ = Scosϕ và Q =Uisinϕ = Ssinϕ (2-55) ta được

2 2

Q

P

S= + ϕ = arctg (Q/P), chúng liên hệ với nhau trong một tam

giác vuông gọi là tam giác công suất (h.2-15) Qua tam giác công suất có

thể xác định được 2 trong 4 đại lượng P,Q,S,ϕ nếu biết hai đại lượng còn

lại Cũng thấy được P và Q là 2 quá trình khác nhau về bản chất nên không

thể cộng thẳng chúng với nhau mà phải lấy theo tổng bình phương (tương

tự như R và x cũng không thể cộng trực tiếp với nhau mà phải qua tổng

QP

− ψ ψ

− ψ

( j

.

.

i u i

uS

~

liên hệ với phản ứng Z, Y: S~= U.Iej ϕ =zI.Iej ϕ =I2z〈ϕ=I2.Z (2-58)

∧ ϕ

z

1Uez

U.UIe.US

(2-59)

6 Cân bằng công suất trong mạch điện :

Mạch điện xét phải thỏa mãn luật bảo toàn năng lượng nên phải có cân bằng công suất tác dụng phát và tiêu tán trong toàn mạch : ∑Pfat =∑Pthu (2-60)

- Theo định lý Langevin có sự cân bằng công suất phản kháng các nguồn phát với công suất phản kháng thu trên các phần tử : ∑Qfat =∑Qthu (2-61)

thu

- Nhưng nghiệm đúng định lý : " Tổng đại số công suất biểu kiến phát và thu của một hệ thống cân bằng nhau"

2

QP

PS

PxR

Rz

Rcos

+

=

=+

P

Pt , U xác định với một tải, từ đây thấy nếu cosϕ càng nhỏ → dòng I càng lớn gây mất mát năng lượng Jun và tụt áp đường dây càng lớn Ngoài ra I càng lớn thì đòi hỏi tiết diện dây phải lớn làm tăng khối lượng dây dẫn → kém kinh tế

Mặt khác khi cosϕ thấp máy phát phải cấp ra một dòng điện I lớn mà vẫn không phát ra được nhiều công suất tác dụng, đường dây phải truyền tải một dòng lớn mà công suất truyền tải không lớn

Từ P = Scosϕ thấy rằng cosϕ càng lớn thì công suất tác dụng P càng gần S và ngược lại cosϕ càng nhỏ thì P càng nhỏ so với S nên việc sử dụng thiết bị kém hiệu quả

Như vậy cosϕ thấp có hại về kinh tế, kỹ thuật nên khi tính toán, thiết kế, chọn lựa, lắp đặt thiết bị điện phải bảo đảm cosϕ trong khoảng giá trị cho phép nếu không đạt thì phải tìm mọi biện pháp nâng cao hệ số cosϕ của mỗi TBĐ, mỗi phân xưởng và mỗi nhà máy

2 Nâng cao hệ số cosϕ :

Có nhiều biện pháp nâng cao cosϕ như phát máy bù v.v ở đây ta xét phương pháp đơn giản nhất là ghép song song với tải cảm (thường sử dụng các tải cảm như động cơ điện, MBA, các cuộn cảm ) những tụ điện gọi là tụ bù

Ta biết :

2 2

xR

Rcos

+

=

ϕ là sự phối hợp giữa R và x nên để cosϕ tăng tức là làm cho

ϕ giảm Tùy vào tính chất của tải (có tính dung hay tính cảm) để tìm cách làm cho cosϕ giảm Khi tải có tính cảm, áp vượt trước nên để ϕ giảm ta nối song song với tải một tụ điện có dòng qua nó vượt trước áp nên dòng tổng sẽ lệch pha so với áp chung một góc nhỏ hơn

Rõ ràng ϕ2 < ϕ1 nên cosϕ2 > cosϕ1 Chứng minh được biểu thức liên hệ giữa giá trị C cần để nâng từ cosϕ1 lên cosϕ2 cho phụ tải có công suất P điện áp định mức U

§12 Sơ đồ phức, hệ phương trình Kirhof dạng phức :

1 Sơ đồ phức : Người kỹ sư quen dùng sơ đồ mô tả quá trình và muốn qua sơ đồ viết hệ phương trình để giải chứ không muốn đại số hóa hệ phương trình Người ta đại số hóa ngay trên sơ đồ mạch bằng cách thay R, L, C trong sơ đồ bằng các cặp đặc trưng qua số phức biểu diễn các phần tử đó như : R, jωL, j/ωC như đã nói ở phần phản ứng Vì M cũng như L về mặt vật lý nên thay M bằng jωM = jxM. Các nguồn kích thích cũng được biểu diễn phức

Ví dụ : Lập sơ đồ phức cho mạch điện như hình (h.2-18)

k

k k

.

EI

Z

jI

.

k k

k

EU

jU

−ω

−

=ω++

=ω++

=

−

−

0)LjR(IIC

1jR

I

E)LjR(IRIILjRIR

I

0II

I

2 2 3 3

3

.

2

2 1 1 2 2

2 1

1

.

3 2

1

.

§13 Đặc tính tần số của nhánh R-L-C :

1 Đặc tính tần của các phần tử L, C :

ω 1/Cω

2 Đặc tính tần của nhánh R-L-C : xem hình (h.2-21) và (h.2-22)

ω

−ω

( )

RC

1LarctgR

xarctg)

(

C

1LR

1)

(z

1)(y

;C

1LR

z

2 2

2 2

=ω

=ω

• 0

0

R

x y(ω)

π/2

ω0

§14 Hiện tượng cộng hưởng trong mạch điện :

1 Cộng hưởng áp : Khi trong mạch nối tiếp R-L-C có tần số của nguồn ω bằng tần số dao động riêng của mạch

I.R<< UL = UC = I.xL = I.xC dẫn tới áp đặt vào thường có trị số khá

nhỏ U = UR << UL = UC so với điện áp lấy ở cuộn dây UL hoăc ở tụ

điện UC Hiện tượng cộng hưởng áp có thể được sử dụng để khuếch

đại áp khi cần, như mạch rađio Hiện tượng cộng hưởng xuất hiện

khi hoặc thay đổi tần số nguồn hoặc thay đổi L hoặc C để đạt quan hệ :

UL

UC

UR= UIh.2-23

x = xL - xC (2-69)

0

0 không phụ thuộc tần số, ký hiệu ρ gọi là tổng trở

RRI

IU

UU

UL = C = ρ = ρ = (2-70) gọi là hệ số phẩm chất của vòng dao động L - C

Nếu như khi cộng hưởng có dòng i =Imsin(ω0t+ψ1),uC = UCmsin(ω0t+ψ1 −π/2)

thì tổng năng lượng của từ trường và điện truờng liên qua đến cảm và dung là WM + WE =

2

)t(cosCU2

)t(sinLI2

Cu

2

+ψ+ω

LIW

Wnên2

CU2

)CU(L2

Cm

2 Cm

2 m E

M

2 Cm

2 Cm 0

2

(2.72) Tức là tổng năng lượng không phụ thuộc vào thời gian, nên sự giảm (hay tăng) của áp trên dung và sự giảm năng lượng của điện trường sẽ làm tăng (hay giảm) dòng năng lượng của từ trường và ngược lại Năng lượng mạch nhận từ nguồn sau một chu kỳ T là :

C

2 L 2 2

2 m 2

xIxI0xIQ,2

TRIRTI

PT

năng lượng với bên ngoài mà trao đổi nội tại với nhau vừa hết

Lập tỉ số :

π

=π

ω

=ωπ

L22.R

L2RT

L2TRI

2.LIW

W

0

2 m

2 m E

)C

1L(R

Uz

U)

(

ω

−ω+

=

=

ω

ωh.2-24

L

)C

1L(R

LULI

)(

U

ω

−ω+

ω

=ω

=ω

C

1.)C

1L(R

UC

ω

−ω+

=ω

L

R2

−

ω

=

1Q22

R2

−ω

−ω

=

Ta thấy ωL> ω0 và ωC< ω0 ngoài ra ωLωC = ω02 (2.77)

Lập quan hệ I/I0 ta có :

2 0

0 2

0 2

0

0

2 0 2

2

Q1

I

R

L1

R

U

)C

1L

(

R

UI

ω+

=ω

−ω+

0

0 0

0

0

))(

(ωω

ω+ωω

−ω

=ω

ω

∆ω

≈ω

Q1

12

1I

ω

∆+

Q

12

2

12

0 2

ω

∆+

(2.82)

Thấy rằng các tần số biên ω1, ω2 phải thỏa mãn quan hệ ω1.ω2 = ω20 (2.83)

Trong kỹ thuật VTĐ, kỹ thuật lọc, tách sóng thường dùng vòng L-C có tiêu tán nhỏ với Q cỡ 100, khi có yêu cầu cao thì Q ≥ 1000 Với ω0 và L, C đã cho muốn tăng Q thì phải giảm r của cuộn dây và tụ điện Làm việc với vòng r-L-C ở lân cận ω0 phải lưu ý hệ số phẩm chất Q và tính trước cho cuộn dây và tụ điện chịu nổi điện áp Q.U

Tổng dẫn của mạch lúc này : Y= YR +YL +YC =g−jb =y〈−ϕ

Khi cộng hưởng dòng : b = 0 → phần ảo của tổng dẫn phức Y bằng 0, chỉ còn lại phần thực g

= y = 1/R và vì b = 0 nên ϕ = 0 nên áp và dòng cùng pha nhau

Quan hệ dòng, áp :

[g j(b b )] U.YU

CjL

1jR

1UUYUYUYII

I

I

C L

.

C

L

R C

L

+

=+

+

=

vì bL = bC nên b = 0 vậy R

C

L

R

IIII

Đồ thị vectơ dòng, áp lúc này như hình vẽ (h.2-26)

Nếu bL = bC >> g thì IL = IC >> IR = I

3 Cộng hưởng trong mạch phức tạp :

Mạch điện có chứa một số nhánh trên đó có điện

cảm và điện dung nếu xác định tổng trở Z = R + jx mà

có phương trình x = 0 (2.85) hoặc tổng dẫn Y = g - jb

mà có phương trình b = 0 (2.86) Trong đó x là điện kháng đầu vào, b là điện dẫn phản kháng đầu vào Nếu phương trình (2.85) và (2.86) có nghiệm thực thì trong mạch xuất hiện các loại cộng hưởng

)C

1L(

j

R

Z

1 1

1

1 =ω

=

0C

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH MẠCH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HÒA

Ta đã biết khi mạch điện là mạch tuyến tính hệ số hằng ở chế độ xác lập với kích thích điều hòa thì mô hình của nó chính là hệ phương trình KF 1, 2 dạng đại số phức Cần phải nêu những phương pháp để giải hệ đại số đó cho ra những đáp ứng của mạch điện Vì mạch KF có đặc điểm là có thể đo trạng thái ở những yếu tố kết cấu khác nhau : ở nhánh, ở đỉnh, ở vòng Vì vậy có hệ phương trình tương ứng với các biến nhánh, biến đỉnh, biến vòng nên có các phương pháp giải cho từng biến

Chú ý vì các định luật KF dạng phức giống hệt cho trường hợp mạch thuần trở hoặc mạch có dòng không đổi Chỉ có khác là khi đó các biến trạng thái và các toán tử đều là số thực U, I, E, R, g Vì vậy những phương pháp sẽ nêu cũng dùng cho mạch có dòng không đổi hoặc thuần trở

Biến nhánh - phương pháp dòng (áp) nhánh

Mạch có m nhánh, d đỉnh nên nếu lấy biến là dòng (áp) nhánh thì số ẩn số dòng (áp) nhánh là m, vậy cần viết m phương trình theo biến là dòng (áp) nhánh theo các định luật KF1, KF2 Ta viết được (d-1) phương trình KF1 theo dòng (áp) nhánh dạng :

∑

Viết được (m-d+1) phương trình KF2 theo dòng (áp) nhánh dạng :

L L

.

k k

k

EU

jU

t

nh

t

ECIZ

C

0I

3

.

=+

−

2 2 1 1

.

EZIZ