Programming the integration of CAD and CAE package by using extened isogeometric analysis for crack propagation problems in the metal

Đề tài có thể chứng minh được những ưu điểm của phân tích đẳng hình học trong việc mô hình và tính toán số nếu so với phương pháp truyền thống thông dụng là phương pháp phần tử hữu hạn..

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG 3

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 4

Tóm tắt 6

Abstract 7

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 8

Chương 2 TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC B-SPLINE VÀ NURBS 11

2.1 Khái niệm Knot vector 11

2.2 Hàm dạng B-Spline 11

2.3 Đường cong B-Spline 14

2.4 Mặt cong B-Spline 15

2.5 Làm mịn hình học B-Spline 16

2.5.1 Tăng số phần tử 16

2.5.2 Tăng bậc xấp xỉ 17

2.5.3 Tăng tính liên tục giữa các phần tử 18

2.6 Hình học Non Uniform Rational B-Spline – NURBS 19

2.7 Đạo hàm của hàm dạng NURBS 20

2.8 Bài toán nhiều patch (Multiple patches) 21

2.9 Hàm dạng NURBS tích hợp vào phương pháp phần tử hữu hạn 22

Chương 3 TÍCH HỢP HÀM NURBS VÀO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG ĐÊ MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN VẾT NỨT 24

3.1 Các phương trình chủ đạo 24

3.2 Phương pháp đẳng hình học mở rộng (XIGA) dựa trên ý tưởng phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) 25

3.3 Phương pháp level set 27

3.3.1 Phương pháp level set đối với lỗ rỗng 27

3.3.2 Phương pháp level set đối với vết nứt 28

3.4 Tích phân số 31

3.5 Kỹ thuật shifting 32

3.6 Phần tử blending 33

3.7 Mối quan hệ ứng suất biến dạng 34

3.8 Ma trận độ cứng của phần tử 35

3.9 Các biểu thức đạo hàm của hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt 36

3.10 Mô hình tăng trưởng của vết nứt 37

3.10.1 Tiêu chuẩn ứng suất vành cực đại 37

3.10.2 Tiêu chuẩn ứng suất trung bình 39

3.11 Tính toán tích phân tương tác bằng phương pháp số 40

3.11.1 Trạng thái 1 40

3.11.2 Trạng thái 2 41

Chương 4 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN 43

4.1 Mô hình lỗ rỗng trong tấm vật liệu đẳng hướng ( được làm giàu theo XFEM) 43

4.2 Mô hình vết nứt thẳng trong tấm chữ nhật (được làm giàu theo XIGA) 44

4.3 Mô hình lan truyền vết nứt trong tấm chữ nhật ( được làm giàu theo XIGA) 47

4.4 Mô hình lan truyền vết nứt trong tấm phẳng chữ L ( được làm giàu theo XIGA) 48

4.5 Mô hình tấm phẳng chữ nhật chứa hai vết nứt (được làm giàu theo XFEM) 50

4.6 Mô hình tấm phẳng chữ nhật chứa 6 vết nứt (được làm giàu theo XFEM) 50

Chương 5 KẾT LUẬN 52

References 53

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 4 So sánh kết quả chuyển vị uy và hệ số tập trung ứng suất (SCF) giữa XFEM và FEM 44 Bảng 5 Kết quả hệ số tính toán được từ hàm NURBS bậc nhất, bậc hai, bậc ba dựa trên XFEM 46 Bảng 6 Sự thay đổi của kết quả hệ số cường độ ứng suất theo kích thước lưới mô hình 46

Bảng 7 So sánh hệ số cường độ ứng suất KI Pa mtại bước thứ 13 51

Hình 6 Đường cong B-Spline bậc 2 ứng với knot vector Ξ0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5 14

Hình 7 Mạng lưới điều khiển và lưới của mặt cong B-Spline bậc 2 15

Hình 8 Số lượng điểm điều khiển, hàm cơ sở và phần tử thay đổi khi chèn knot 17

Hình 9 Số lượng điểm điều khiển, hàm cơ sở và phần tử thay đổi khi nâng bậc 18

Hình 20 Biểu diễn sự phân bố giá trị của hàm level set qua phổ màu 30

Hình 21 Phần tử có vết nứt cắt qua và phần tử chứa dỉnh vết nứt 30

Hình 25 Chia nhỏ phần tử thành những tam giác con trong trường hợp mô phỏng vết nứt 32

Hình 26 Chia nhỏ phần tử thành những tam giác con trong trường hợp mô phỏng lỗ rỗng 32

Hình 28 Các quy ước tại đỉnh vết nứt Miền A được bao quanh bởi các biên , C+, C- và C0 Vector pháp tuyến đơn vị mj = nj trên C+, C- và C0; và mj = -nj trên  39

Hình 29 Các phần tử được lựa chọn quanh đỉnh vết nứt để tính tích phân tương tác 39

Hình 33 So sánh kết quả chuyển vị theo phương đứng uy giữa FEM và XFEM 43

Hình 35 So sánh kết quả chuyển vị theo phương đứng uy giữa FEM và XFEM 44

Hình 36 Tấm chữ nhật với vết nứt cạnh chịu tải trọng tiếp tuyến 45

Hình 38 Trường ứng suất khi sử dụng lưới phần tử với kích thước 5x11 và hàm NURBS bậc 2 47 Hình 39 Trường ứng suất khi sử dụng lưới phần tử với kích thước 31x61 và hàm NURBS bậc 2

47

Hình 40 Tấm chữ nhật chứa vết nứt nằm ngang chịu tải trọng tiếp tuyến 48

Hình 43 Dạng đường đi vết nứt trong tấm L khi sử dụng NURBS bậc 2 49

Hình 44 Đường đi của vết nứt khi sử dụng số lượng phần tử khác nhau với hàm NURBS bậc 2 49

Tóm tắt

Mục tiêu chính của đề tài là hợp nhất giữa mô hình và mô phỏng của bài toán lan truyền vết nứt trong kim loại bằng phân tích đẳng hình học Ý tưởng chính là dùng các hàm cơ sở tỉ số B-Spline không đồng nhất – non uniform rational B-Splines (NURBS) cho cả việc mô hình hình học lẫn đưa vào lời giải phân tích số Đề tài nghiên cứu đến sự lan truyền vết nứt trong kết cấu có vật liệu đẳng hướng như là kim loại Dạng bài toán được xét đến là bài lan truyền vết nứt trong tấm chữ nhật Kết quả số thu được đem so sánh với lời giải giải tích và một vài công bố khác và cho kết quả tốt và phù hợp Đề tài có thể chứng minh được những ưu điểm của phân tích đẳng hình học trong việc mô hình và tính toán số nếu so với phương pháp truyền thống thông dụng là phương pháp phần tử hữu hạn Vì thế, phân tích đẳng hình học là một công cụ hữu hiệu dùng để tính toán số trong tương lai, đặc biệt là bài toán lan truyền vết nứt trong kim loại

Abstract

This research orientation is simulating the crack propagation in steel structures with isogometry analysis (IGA) In this method, CAD model is integrated into the CAE model by using non uniform rational B-Splines (NURBS) function Crack propagation in isotroptic linear elastic material will be presented The numerical example is a rectangular plate assumed to be plane strain condition with an edge crack under uniform shear loading The obtained results are investigated and compared with analytical method and reference solutions Very good agreements on the solutions are found It is showed that isogometry analysis is better than standard finite element method in modeling and simulating Consequently, isogometry analysis is an effective numerical method in future, especially when solving the crack propagation problems

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính ảnh hưởng rất lớn đến mọi lĩnh vực trong khoa học kỹ thuật và đời sống Trong cơ học tính tốn, việc mơ phỏng các bài tốn cơ học phức tạp nhờ phương pháp tính tốn số hiện đại và máy tính cũng khơng phải là trường hợp ngoại lệ Việc mơ hình phương pháp số trở nên khơng thể thiếu được khi mơ tả ứng xử của vật thể cĩ chứa biên bất liên tục như lỗ rỗng, vết nứt Vấn đề xác định sự phân bố ứng suất và biến dạng trong vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và các ràng buộc chuyển vị là vơ cùng cần thiết Trong thực tế, việc áp dụng phương pháp giải tích để tính tốn chính xác ứng suất và biến dạng của bài tốn nứt là rất giới hạn nên thơng thường khĩ cĩ thể thực hiện được do dạng hình học thật sự của vết nứt rất phức tạp, do sự tập trung ứng suất, do tồn tại biến dạng dẻo cục bộ, … tại đỉnh vết nứt Chính vì thế, rất nhiều phương pháp số được phát triển để giải quyết bài tốn cơ học phá hủy như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần

tử hữu hạn mở rộng (XFEM) phương pháp phần tử biên (BEM), phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phần tử biên cĩ hiệu chỉnh (SBFEM), phương pháp khơng lưới (Meshfree Methods), v.v…

Trong các phương pháp nĩi trên, sự ra đời của XFEM bắt nguồn từ bài tốn chia lưới hữu hạn cực tiểu cho sự phát triển vết nứt Những khuyết tật như vết nứt, lỗ rỗng trong vật thể được xem là các biên bất liên tục Trong XFEM, miền bao quanh biên bất liên tục được mơ hình bởi phần tử hữu hạn mà khơng địi hỏi phải chia lưới tương thích bám theo hình dạng của lỗ rỗng hay vết nứt Lưới phần tử hữu hạn độc lập với hình học của biên bất liên tục So với phương pháp FEM truyền thống, sự phức tạp của lưới tại đỉnh vết nứt hay quanh lỗ rỗng được giảm đáng kể Dạng hình học của vết nứt và lỗ rỗng sẽ được đặc trưng bởi các phần tử

bị vết nứt hay lỗ rỗng cắt qua và đỉnh vết nứt sẽ được đặc trưng bởi phần tử chứa đỉnh vết nứt Các phần tử cắt qua sẽ được phát hiện bằng cách sử dụng các “hàm khoảng cách xét dấu” (signed distance function), cịn các hàm “làm giàu” (enrichment function) mơ tả đỉnh vết nứt

sẽ được xây dựng dựa trên các biểu thức trường chuyển vị lân cận đỉnh vết nứt

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng được phát triển dựa trên cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn đơn vị - Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM) [1] Nỗ lực ban đầu của việc phát triển XFEM cĩ thể được kể đến từ năm 1999 khi Belytschko và Black (1999) [2] giới thiệu một phương pháp FEM chia lưới cực tiểu (minimal remeshing) áp dụng cho bài tốn phát triển của vết nứt Các hàm mở rộng khơng liên tục được thêm vào trong quá trình xấp xỉ phần tử hữu hạn để kể đến sự cĩ mặt của các biên bất liên tục Phương pháp này cho phép tính chất vật lý của các biên bất liên tục như khuyết tật, lỗ rỗng, vết nứt được mơ tả bởi các phần tử làm giàu Sau đĩ, Moës và đồng nghiệp (1999) [3] đã cải thiện phương pháp này và đặt tên cho nĩ là phương pháp phần tử hữa hạn mở rộng (XFEM) Năm 1999, Dolbow (1999) [4] áp dụng phương pháp XFEM để giải quyết bài tốn cơ học phá hủy đối với tấm Phương pháp định mức – Level Set Method (LSM) được sử dụng trong XFEM để xác định vị trí của biên bất liên tục như lỗ rỗng, đường nứt, đỉnh vết nứt cũng như mơ phỏng lộ trình phát triển của vết nứt Stolarska (2001) [5] đã trình bày sự liên quan giữa LSM và XFEM mơ phỏng sự phát triển vết nứt Moës (2002) [6] đã áp dụng LSM để cập nhật sự phát triển mặt nứt trong khơng gian ba chiều Sukumar (2003) [7] đã mơ phỏng sự phát triển mặt nứt dẻo trong khơng gian ba chiều phẳng kết hợp cả hai phương pháp XFEM và phương pháp dịch chuyển nhanh – Fast Marching Method Vấn đề liên quan đến phần tử hỗn hợp (blending element) trong XFEM được trình bày bởi Chessa (2003) [8] và việc thiết lập cơng thức cho các phần tử bậc cao để mơ tả vết nứt cong trình bày bởi Stazi (2003) [9]

Trong thời gian gần đây, Phân tích Đẳng hình học – Isogeometric Analysis (IGA) được phát triển thành cơng bởi nhĩm nghiên cứu gồm GS Thomas Hughes và các cộng sự tại Viện CES (Institute for Computational Engineering and Sciences) [10, 11], đại học Texas (The University of Texas) tại Austin (Mỹ) Phương pháp phân tích này dựa trên hàm NURBS được

dùng rộng rãi trong công nghệ mô hình hóa hình học máy tính (CAD) Ý tưởng chính của phương pháp này là sử dụng hàm cơ sở NURBS để xây dựng hình học CAD cho mô hình tính toán, khái niệm này tương tự như trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Điểm khác biệt

là trong FEM thông thường sử dụng hàm dạng Lagrange trong khi IGA sử dụng hàm dạng NURBS để xấp xỉ miền bài toán Chính việc sử dụng hàm dạng NURBS để xấp xỉ bài toán

mở ra một bước đột phá trong IGA là việc tích hợp giữa mô hình hình học và mô phỏng bài toán Tức nghĩa là IGA sử dụng trực tiếp mô hình hình học NURBS để phân tích bài toán mà không thông qua bước chia lưới (meshing) như trong FEM Điều này giúp cho IGA khắc

được sai số hình học trong quá trình xấp xỉ hình học do FEM liên tục C 0 còn IGA có thể liên

tục đến C p-1 làm cho biên của hình học trong IGA trơn trên biên cong (Hình 1)

(a) Mô hình lưới trong FEM

(b) Mô hình lưới trong IGA

Hình 1 Mô hình biên cong so sánh giữa FEM và IGA

Một ưu điểm nổi bật khác của IGA là bậc xấp xỉ của bài toán là tùy ý và việc làm mịn lưới (refinement) cũng rất dễ dàng bằng cách thêm knot vào mô hình và hình học NURBS sẽ

tự phát sinh thêm điểm điều khiển hình học tương ứng

Hiện nay, việc sử dụng FEM cho bài toán bất liên tục chẳng hạn như mô phỏng ứng xử của vật thể có tồn tại khuyết tật là lỗ rỗng, vết nứt hoặc hiện tượng lan truyền vết nứt được thực hiện rất rộng rãi bằng cách thêm hàm làm giàu (XFEM) tại vùng bất liên tục để mô tả tính chất vật lý dưới dạng toán học Với ý tưởng tương tự là sử dụng hàm làm giàu trong FEM, nhóm nghiên cứu cũng áp dụng hàm làm giàu cho phân tích đẳng hình học nhằm tận dụng tối đa những ưu điểm của IGA so với FEM Phương pháp này có một tên gọi tương tự như XFEM là phân tích đẳng hình học mở rộng (XIGA) Có một số bài báo đã chứng minh việc xấp xỉ mô hình bất liên tục bằng NURBS tốt hơn FEM thông thường [12, 13]

Bằng cách dựa trên ý tưởng phần tử làm giàu trong XFEM, phương pháp IGA có thể giải quyết các bài toán lan truyền vết nứt với kết quả chính xác và sự hội tụ cao mà không cần phải chia lưới tương thích Vì vậy, khối lượng tính toán được giảm đi rất nhiều nhưng kết quả của bài toán vẫn được bảo đảm Sự kết hợp giữa XFEM và IGA mở ra một hướng tiếp cận hiện đại trong lĩnh vực tính toán cơ học phá hủy, đó là phân tích đẳng hình học mở rộng – Extended Isogeometric Analysis (XIGA) XIGA thừa hưởng những điểm mạnh của XFEM và IGA, có đầy đủ khả năng giải quyết các bài toán lan truyền vết nứt phức tạp mà không cần phải chia lưới lại Mặt khác, dạng hình học phức tạp của vật thể có thể được mô hình với số

lượng phần tử không cần nhiều Thêm vào đó, sự hiệu chỉnh bậc xấp xỉ trong IGA cũng rất dễ dàng Điều này rất có ý nghĩa về mặt kinh tế vì thời gian tính toán sẽ được giảm đi tối đa.

Chương 2 TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC B-SPLINE VÀ

NURBS

Ở chương 2 sẽ trình bày về khái niệm cơ bản của hình học B-Spline và hình học NURBS cũng như việc sử dụng NURBS trong phân tích đẳng hình học – Isogeometric Analysis (IGA)

2.1 Khái niệm Knot vector

Một knot vector được định nghĩa theo một thứ tự tăng dần theo hệ trục tọa độ bên trong không tham số và được viết dưới dạng Ξ 1 , 2 , ,n p 1 với i là knot thứ i, n là số lượng

hàm dạng, p là bậc của đa thức Knot vector chia không gian tham số ra thành nhiều khoảng được gọi là knot span Các knot có thể có cùng giá trị như là  i i1 Các knot trùng nhau gọi

là những giá trị chập Một knot vector nếu có giá trị đầu tiên và giá trị cuối cùng trong knot vector có số lần chập là p1 thì sẽ được gọi là một knot vector mở Một tính chất quan trọng của knot vector mở là hàm dạng được dùng trong phép nội suy ở hai đầu giá trị của không gian tham số Một knot vector đều khi các knot được phân bố giá trị đều Ngược lại, thì được gọi là knot vector không đều Một ví dụ của một hàm đa thức bậc 2 (p2) và

1 ( )0

Xét hàm cơ sở B-Spline bậc 2 (p2) và knot vector mở không đều

Hình 4 Hàm cơ sở bậc 2 của hàm cơ sở B-Spline

Tính liên tục giữa các knot được biểu diễn qua Hình 5 Do knot vector sử dụng là mở nên tại knot đầu và knot cuối sẽ liên tục 1

C Tại knot  4 chập hai lần nên tại đó liên tục C 0

Còn tại tất cả các knot còn lại đều liên tục 1

C

Hình 5 Hàm cơ sở B-Spline bậc 2

Với đa thức bậc p và knot vector Ξ cho trước, công thức tính đạo hàm của hàm cơ sở thứ

i được tính như sau:

Đường cong B-Spline

Đường cong B-Spline được định nghĩa một cách toán học bằng công thức tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở B-Spline (chi tiết xem tại Piegl và Tiller [14], Hughes và cộng sự [10] và Cottrell và cộng sự [11]) Các hệ số giá trị vector được gắn với các hàm cơ sở là tập hợp các điểm được gọi là các điểm điều khiển Những điểm này có ý nghĩa tương tự như là các tọa độ nút trong Phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, các điểm điều khiển này về tổng quát không nằm trên đường cong Một đa giác được tạo ra bởi những điểm này có tên gọi là đa giác điều khiển

Cho n là số lượng của hàm cơ sở N i p, ( ) tương ứng với knot vector Ξ 1 , 2 , ,n p 1

và một tập các điểm điều khiển { },Bi i1, 2, ,n, đường cong B-Spline được định nghĩa như sau:

Hình 6 Đường cong B-Spline bậc 2 ứng với knot vector Ξ0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5

Một ví dụ được trình bày trong Hình 6 được xây dựng từ hàm cở sở được định nghĩa ở Hình 5 Đường cong B-Spline được vẽ màu xanh lá, đa giác điều khiển được vẽ bằng nét đứt màu xanh dương và các điểm điều khiển được vẽ màu đỏ Các tọa độ của các điểm điều khiển được cho trong Bảng 1 Đường cong có điểm điều khiển đầu và cuối nằm ngay trên đường cong, thông thường đường cong được tạo từ knot vector mở Có một điều cần lưu ý là điểm điều khiển thứ 6 cũng nằm ngay trên đường cong Như đã trình bày trước đây, việc này xảy ra

là do tại knot  4 chập với số lượng bằng với bậc của đa thức Đường cong sẽ liên tục 1

C tại

tất cả các điểm ngoại trừ tại vị trí knot lặp lại là  4 sẽ liên tục C Trong đường cong B-0

Spline có sự phân biệt các điểm điều khiển trong Hình 6a và các điểm knot trong Hình 6b Các điểm knot được ánh xạ vào không gian vật lý và chia đường cong ra thành nhiều phần tử

Bảng 1 Các điểm điều khiển của đường cong B-Spline bậc hai.

Xét một ví dụ về mặt B-Spline bậc hai ( p q 2) từ các knot vector Ξ0,0,0,0.5,1,1,1

và Η0,0,0,1,1,1 với các điểm điều khiển được cho ở Bảng 2, kết quả của mạng lưới các điều khiển và lưới được thể hiện ở Lưới thể hiện hai phần tử sẽ được sử dụng trong quá trình tính toán

Hình 7 Mạng lưới điều khiển và lưới của mặt cong B-Spline bậc 2

Bảng 2 Các điểm điều khiển của mặt B-Spline bậc hai.

và bậc của hàm cơ sở mà ta còn có thể điều khiển sự liên tục giữa các phần tử Có ba loại làm mịn trong B-Spline là làm mịn h, làm mịn p, và làm mịn k Trong đó, làm mịn h và làm mịn p tương tự như việc làm mịn trong FEM, trong khi làm mịn k thì không thực hiện được

2.1.1 Tăng số phần tử

Việc chèn knot vào bên trong knot vector của hình học B-Spline là một cách để ta có thể tăng số lượng hàm cơ sở Việc làm mịn này không hề làm thay đổi hình học của đường cong của như mặt cong mà chúng được xây dựng Xét một knot vector Ξ 1 , 2 , ,n p 1 và B

chứa tất cả các điểm điều khiển Khi ta thêm vào với số lượng m knot, một knot vector mới

được tào ra có dạng Ξ  1  1 , 2 , ,n m p  1 n p 1 và Ξ Ξ Khi đó hàm cơ sở mới sẽ có số lượng n m hàm cơ sở được tính theo công thức (2.1) và (2.2) được tính từ knot vector mới Ξ

Số lượng các điểm điều khiển mới sau khi chèn knot vào là n m điểm điều khiển được tính bằng mối quan hệ sau:

(2.9)

Nếu knot đã tồn tại có thể lập lại giá trị đó trong knot vector bằng cách chèn knot, từ đó tăng tính chập tại knot đó dẫn đến tính liên tục của hàm cơ sở sẽ giảm Tuy nhiên, ý nghĩa của việc chèn knot vào đường cong là ta có thể chia một phần tử thành hai phần tử mới Vì thế điều này có thể được so sánh với việc làm mịn h trong FEM

Hình 8 Số lượng điểm điều khiển, hàm cơ sở và phần tử thay đổi khi chèn knot

Xét đường cong B-Spline được trình bày theo Hình 8 Đường cong có knot vector

Hình 9 Số lượng điểm điều khiển, hàm cơ sở và phần tử thay đổi khi nâng bậc

2.1.3 Tăng tính liên tục giữa các phần tử

Tăng sự liên tục là cách thức cuối cùng để làm tăng mật độ hàm cơ sở của đường cong Dạng làm mịn này không thực hiện được trong FEM Mục đích chính là vừa muốn nâng bậc đa thức, vừa muốn tăng tính liên tục giữa các phần tử Nó kết hợp việc nâng bậc và chèn knot vào bằng cách thêm knot vào hàm cơ sở bậc cao, vừa tạo ra thêm phần tử, vừa đảm bảo tính liên tục giữa các phần tử Ta xét một ví dụ về việc làm mịn k bằng cách knot vector ban đầu

0, 0, 0.5, 1, 1



Ξ của đường cong có hai phần tử Hình 10 mô tả sự khác nhau giữa việc nâng bậc và làm mịn k Đường cong ban đầu liên tục 0

C thì sau khi nâng bậc cũng sẽ liên tục C , 0

còn khi ta làm mịn k thì sự liên tục giữa hai phần tử sẽ liên tục p1

Động lực chính để ta chuyển từ hình học Spline sang hình học NURBS là đường cong Spline không thể mô tả chính xác các đường conic như là đường tròn và đường ê-líp, nhưng với hình học NURBS thì có thể Để xây dựng hàm cơ sở NURBS thì cũng dựa trên hàm cơ sở B-Spline Thực ra hình học NURBS là hình chiếu của đường cong B-Spline lên mặt phẳng chiếu

B-Và việc chiếu này thể hiện qua trọng số w của điểm điều khiển i

Hàm NURBS đơn biến được cho như sau:

   

 

,

, 1

với N i p, là hàm cơ sở B-Spline và w trọng số thứ i i

Cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline, đường cong NURBS được tính bằng cách tổ hợp tuyến tính các hàm cơ sở NURBS với các điểm điều khiển đính kèm như sau:

   

1

n p

i R

     

   

, ,

Hình 11 So sánh giữa đương cong B-Spline và NURBS

Hình 11 so sánh đường cong B-Spline (đường màu nâu) và đường cong NURBS (đường màu xanh) trong việc vẽ chính xác đường tròn Để vẽ chính xác đường tròn thì bậc đa thức, knot vector và tọa độ các điểm điều khiển trong cả hai trường hợp đường B-Spline và đường NURBS là như nhau, chỉ khác ở chỗ trọng số của đường cong NURBS được nêu ra trong Bảng

Đạo hàm của hàm dạng NURBS

Hàm trọng số được định nghĩa như sau:

(w2 1 / 2)

2

3

j p

i k

d R

Bài toán nhiều patch (Multiple patches)

Trong nhiều trường hợp thực tế, việc mô tả miền bài toán không những cần một hình học NURBS mà ta phải dung nhiều hình ghép lại với nhau (multiple patches) Để thuận tiện cho việc xây dựng bài toán có nhiều vật liệu khác nhau thì người ta cũng dùng nhiều hình học ghep lại để mô tả, mỗi vật liệu là một hình Đối với hình học phức tạp thì việc chia thành nhiều hình nhỏ hơn cũng là điều nên làm để việc mô hình hình học đơn giản hơn

Những hình học này phải tương thích lẫn nhau, nghĩa là lưới thô, ánh xạ và tham số hóa phải có sự liên kết trên các mặt của hình học phải được định nghĩa [11] Mỗi điểm điều khiển trên các mặt hình học phải có sự kết nối một một với một điểm điều khiển khác trên mặt liên kết Mối liên kết này cũng phải được đảm bảo trong quá trình làm mịn

Hình 12 biểu diễn sự khác nhau giữa hai mô hình lưới, một là mô hình một hình học (single-patch) (Hình 12a), một là mô hình nhiều hình học ghép lại (multi-patch) (Hình 12b)

Mô hình nhiều hình học được tạo từ các ba hình được chia ra bởi đường màu đỏ bên trái

(a) Single-patch (b) Multi-patch

Hình 12 Sự khác biệt giữa lưới single-patch và multi-patch

Hàm dạng NURBS tích hợp vào phương pháp phần tử hữu hạn

Công thức của FEM lẫn IGA đều sử dụng khái niệm đẳng tham số Khái niệm đẳng tham

số được sử dụng cùng một tập các hàm cơ sở cho việc mô hình hình học lẫn xấp xỉ biến Tuy nhiên, chúng chỉ khác nhau là ở mỗi phương pháp số sử dụng một loại khác nhau

Từ phương pháp FEM, lưới phần tử được tạo ra qua quy trình chia lưới hình học để xấp xỉ hình học của mô hình bài toán Một lưới sẽ bao gồm tọa độ nút và dữ liệu liên kết phần tử Ngược lại, dữ liệu đầu vào của IGA là mô hình CAD được tạo từ hình học NURBS và có thể sử dụng trực tiếp đưa vào bước phân tích tính toán Dữ liệu đầu vào đưa vào IGA thông thường là knot vector, tập các điểm điều khiển và bậc của hàm cơ sở Miền vật lý được ký hiệu  và miền tham số được ký hiệu ˆ được biểu diễn ở Hình 13

Công thức ánh xạ từ miền tham số ˆ sang miền vật lý  được cho như sau:

với u là giá trị của biến chuyển vị của điểm điều khiển i B i

Tích phân trên miền hình học (miền vật lý ) được chia thành nhiều tích phân trên tất cả các phần tử vật lý e Những tích phân này sẽ được chuyển sang phần tử tham số ˆe thông qua việc ánh xạ hình học (hình ) Về mặt toán học, ta có thể tính tích phân của một hàm số hai biến ( , )f x y như sau:

1

ˆ = , d = , d

n

e e

n

e e

Hình 13 Tích phân số trong phân tích đẳng hình học

Việc chuyển đổi từ không gian vật lý sang không gian tham số trong miền

 i, i1   j, j1   được tính bằng công thức sau:

Chương 3 TÍCH HỢP HÀM NURBS VÀO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG ĐÊ MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN VẾT NỨT

Trong chương này, nhóm tác giả sẽ trình bày về việc vận dụng ý tưởng làm giàu trong XFEM

để tích hợp hàm NURBS vào trong FEM, nhằm thiết lập công thức làm giàu trong XIGA cho bài toán vết nứt

3.1 Các phương trình chủ đạo

Xét một miền  được bao quanh bởi biên  như trong Hình 14

Hình 14 Vật thể chịu sự tác dụng của tải trọng

Trong Hình 14, vật thể bị bao bởi biên  chịu sự ràng buộc của chuyển vị tại biên u và chịu sự tác dụng của áp lực tại biên t sao cho u U t =  Bề mặt vết nứt c được xem như

là không có tải trọng tác dụng Các phương trình cân bằng và các điều kiện biên được thể hiện như sau

Trong đó,  là tensor ứng suất Cauchy, n la vector pháp tuyến đơn vị, còn b, t lần lượt

là lực thể tích và áp lực tác dụng lên bề mặt và u là chuyển vị tại các nút

Trong cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được cho như sau

T

Dạng yếu của phương trình cân bằng, dựa trên mối quan hệ ứng suất biến dạng được cho như sau

Trong đó, (x) là các hàm làm giàu Thành phần làm giàu được thêm vào độc lập so với

các thành phần chuẩn trước đó và như thế ta có thể xem đây là sự làm giàu “ngoại lai” Không gian xấp xỉ chuẩn không bị thay đổi khi thêm vào thành phần làm giàu “ngoại lai” Tuy nhiên, hệ phương trình sẽ có nhiều ẩn hơn khi thêm các thành phần làm giàu vào Ý tưởng này có sự khác biệt so với việc làm giàu “nội tại”, trong đó các hàm dạng chuẩn sẽ được biến đổi thành các hàm dạng đặc biệt để có thể mô tả được tính chất vật lý của các biên bất liên tục và số ẩn của hệ phương trình vẫn được giữ nguyên nếu như sử dụng sự làm giàu

“nội tại”

Thông thường, các hàm dạng N và N* giống nhau nhưng trong trường hợp tổng quát, N

và N* có thể khác nhau miễn là N* phải thỏa mãn tính chất phân chia đơn vị Trong nghiên cứu này, N* được chọn giống như N để tiện lợi cho việc ứng dụng

Ưu điểm của việc sử dụng các hàm làm giàu khi xấp xỉ phần tử hữu hạn là vết nứt có thể độc lập với lưới phần tử hữu hạn Sự lan truyền vết nứt có thể được mô phỏng một cách dễ dàng mà không cần phải thực hiện việc chia lưới lại Ta sẽ sử dụng hai loại hàm làm giàu để

mô tả vết nứt Hàm Heaviside, thường được lựa chọn là hàm xét dấu sẽ mô tả sự bất liên tục

về mặt hình học do vết nứt gây ra và bốn hàm làm giàu – thường được gọi là hàm “branch” (mô tả chi tiết bởi Moes et at (1999) [3] và Fries và Belytschko (2010) [15])sẽ mô tả sự tập trung ứng suất tại đỉnh vết nứt

Dạng tổng quát của XFEM để mô tả vết nứt được cho như sau

với uh(x) là hàm xấp xỉ của trường chuyển vị; N là hàm dạng được tính tại các control point;

u, b, c lần lượt la các nhóm bậc tự do chưa biết ứng với các nhóm nút I, J và K I là tổng số nút của mô hình đang xét trong khi J là các nút được làm giàu bởi hàm xét dấu S(x)

  1 khi    , 0

t S

với (x,t) là hàm levet set

Nhóm nút K được làm giàu bởi các hàm làm giàu quanh đỉnh vết nứt (Hình 15), thường được gọi là hàm “branch” trong các tài liệu và có dạng như sau

trong đó (r,) là các tọa độ trong hệ tọa độ cực tại đỉnh vết nứt

Trong phương pháp đẳng hình học mở rộng dựa trên ý tưởng của XFEM, các hàm NURBS được sử đụng như là các hàm dạng và các bậc tự do chưa biết sẽ đi kèm với các control point thay vì là các nút như đối với XFEM Chính vì vậy, các nhóm nút I, J, K sẽ đi kèm với các control point tương ứng

Trong trường hợp hai hay nhiều vết nứt xuất hiện trong vật thể, mỗi đỉnh vết nứt đều cần phải có các hàm làm giàu tương ứng với chính nó Ví dụ vết nứt trong Hình 16 có hai đỉnh

Vì vậy, cần hai nhóm hàm làm giàu, một cho đỉnh vết nứt 1 và một cho đỉnh vết nứt 2

Hình 15 Các hàm branch làm giàu tại đỉnh vết nứt

Hình 16 Vết nứt tùy ý bên trong lưới vật thể 3.3 Phương pháp level set

Phương pháp level set thường được sử dụng để phát hiện các bề mặt bất liên tục như lỗ rỗng hay vết nứt Ý tưởng của phương pháp này là tính toán khoảng cách xét dấu từ một điểm

x bất kỳ đến bề mặt c của biên bất liên tục được đề xuất bởi Stolarska và cộng sự (2001) [5], Ventura và cộng sự (2002, 2003) [16, 17] Khoảng cách từ một điểm x đến bề mặt biên bất liên tục được tính như sau

trong đó x là hình chiếu vuông góc từ x lên bề mặt c hay còn được gọi là khoảng cách gần

nhất từ x đến c Do vậy, hàm khoảng cách xét dấu (x) được định nghĩa như sau

với n là vector pháp tuyến đơn vị vuông góc với c tại x

3.3.1 Phương pháp level set đối với lỗ rỗng

Lỗ rỗng có thể được xem như là một biên bất liên tục Những ứng xử cơ học của lỗ rỗng

sẽ được đặc trưng bởi các hàm làm giàu thông qua sự phát hiện các phần tử bất liên tục nhờ level set

Để tính toán hàm level set pháp tuyến , ta xét một biên hình học Γ mô tả sự tồn tại của

lỗ rỗng trong vật thể Tại một điểm x bất kỳ, ta có thể tìm được điểm xΓ trên biên lỗ rỗng sao cho khoảng cách ||x – xΓ|| là nhỏ nhất Hàm khoảng cách xét dấu  trong trường hợp này có dạng như sau

 x minx x x

Do vậy, biên hình học của lỗ rỗng sẽ được phát hiện bởi hàm level set  Trong toàn bộ vật thể,  < 0 tại bất kỳ vị trí nào trong miền bao quanh bởi  and  > 0 tại bất kỳ vị trí nào bên ngoài miền

Hình 17 Hàm khoảng cách xét dấu cho lỗ rỗng