Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A thuộc đường thẳng d.. Bài 17.[r]
Trang 140 BÀI TOÁN HÌNH HỌC Oxy ở K2pi
ĐỀ BÀI Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, biết đỉnh B(3; 4)và phương trình cạnh AC
là x−y+2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D, với điểm A có hoành độ bé hơn 3
Bài 2. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC biết đường phân giác trong góc A, trung tuyến kẻ từ
B, đường cao kẻ từ C lần lượt là d1 : x−3y+1=0, d2 : 3x+y+3=0, d3 : x+y+3 =0
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn(C) : (x+2)2+ (y−3)2=9, có phương trình đường thẳng BD : 4x−y+6 =0 Các cạnh AB, AD lần lượt tiếp xúc với(C)tại E(−2; 6)và F
−22
5 ;
6 5
Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABCD
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn(C) : (x+2)2+ (y−3)2 = 9, có đỉnh A(−8, 6) và phương trình đường thẳng BD : 4x−y+6 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tứ giác ABCD
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45
2 , đáy lớn CD nằm trên đường thẳng x−3y−3=0 Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I(2; 3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A(2; 2) Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC có phương trình x+y−6 = 0 và điểm D(2; 4) nằm trên đường cao
kẻ từ đỉnh B Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB < CD), biết các đỉnh A(0; 2) và D(−2;−2) Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD thuộc đường thẳng
d : x+y−4 =0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết[AID =45o
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A(−3; 1)và C thuộc đường thẳng d : x−2y−5=0 Điểm E là giao điểm thứ hai của DC và đường tròn tâm B bán kính BD (E khác D) Hình chiếu vuông góc của D xuống BE là điểm N(6;−2) Tìm tọa độ điểm B và C
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nhọn có M(1;−2), N(−2; 2)và P(1; 2), lần lượt chân đường cao kẻ từ 3 đỉnh Tìm tọa độ 3 đỉnh trên
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I
−1
2;
9 2
, các đỉnh A, B lần lượt thuộc các đường thẳng d1 : 3x+4y−8 = 0; d2 : 3x+4y−1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông
Bài 11. Cho hình vuông ABCD M là trung điểm của BC, phương trình đường thẳng DM :
x−y−2=0, điểm C(3;−3)và điểm A thuộc d : 3x+y−2 =0 Xác định toạ độ A, B, D
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn T : (x−4)2+y2 =40 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn(T)tại hai điểm A, B sao cho AB =4BO
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0;−2)và đường thẳng d : x−y+2 =0 Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho đường cao AH và đường trung tuyến ON của tam giác OAM có
độ dài bằng nhau
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Biết A(−1; 4), B(1;−4)và đường thẳng BC đi qua điểm M(2; 1
2) Tìm tọa độ đỉnh C.
Trang 2Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), trực tâm H(3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(−2; 0) Xác định điểm B, C biết hoành độ của C dương
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−4)2+ (y+3)2 = 4 và đường thẳng d : x+y−1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A thuộc đường thẳng d
Bài 17. Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M 11
2 ;
1 2
và đường thẳng AN có phương trình : 2x−y−3 = 0 Gọi P là giao điểm của AN với đường chéo BD Tìm tọa độ điểm P
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC cân tại A, có 2AB = √
5BC H(3; 3)là hình chiếu của A lên BC Phương trình đường thẳng AC : x−3y+2=0 Tìm tọa độ điểm B
Bài 19. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(1; 0), B(−2; 4), C(−1; 4), D(3; 5) và đường thẳng
d : 3x−y−5=0 Tìm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6 Đường chéo
AC có phương trình x+2y−9 = 0, đường thẳng AB đi qua điểm M(5; 5), đường thẳng AD đi qua điểm N(5; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết A có tung độ lớn hơn 3
2 và B có hoành độ lớn hơn 3
Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2+y2+2x−4y−20 = 0 và điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt(C)theo dây cung MN sao cho độ dài: a) MN lớn nhất
b) MN nhỏ nhất
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip(E) : x
2
16 +
y2
9 = 1 và đường thẳng ∆ : 3x+4y−
12 =0 cắt(E)tại hai điểm A và B Tìm điểm C∈ (E)sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AD, sao cho S∆AEF = 1
6 và S∆CEF =
5
12 Xác định tọa độ điểm F, biết điểm E
−1;1
3
và phương trình đường thẳng CF : y+2x=0
Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi E, F lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AD, sao cho S∆AEF = 1
6 và tan
[ ECB = 1
3 Xác định tọa độ điểm F, biết điểm E
−1; 1
3
, phương trình đường thẳng CF : y+2x=0 và điểm C có hoành độ không âm
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1,−1)và hai đường thẳng d1: x−y−1=0 và d2: 2x+y−5=0 Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên Viết phương trình đường thẳng
dđi qua M, cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC có BC =3AB
Bài 26. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : √3x+y =0 và d2 : √3x−y =0 Gọi(C)là đường tròn tiếp xúc với d1tại A và cắt d2tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình đường tròn (C), biết diện tích tam giác ABC bằng
√ 3
2 và điểm A có hoành độ dương
Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn(C1) : x2+y2 = 64 và A(3; 4) Đườn tròn (C2) có tâm I2, tiếp xúc (C1) và đi qua trung điểm I2A Viết phương trình đường tròn (C2) sao cho bán kính của đường tròn này nhỏ nhất
Trang 3Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Đỉnh B thuộc đường thẳng
d1 : 2x−y+2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x−y−5 = 0 Gọi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC, biết M 9
5;
2 5
, K(9; 2)lần lượt là trung điểm của AH và CD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4
Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho4ABCnội tiếp đường tròn(C)có tâm I ∈ (d) : x−y−
3 =0 Biết rằng trực tâm H(3; 2); trọng tâm G(4;5
3) Chân đường cao hạ từ B; C lần lượt là E(5; 3)
và Fsao cho EF=2√2 ;SAEIF =5 Tìm tọa độ các đỉnh của4ABC
Bài 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là I(−2;−2), K(0, 1) Đường thẳng AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D(1, 2)(
Dkhác A) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A(0; 2) Gọi D là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Điểm
M 3
2;−
5
2
là trung điểm của CH Xác định toạ độ B và C
Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(−1;−2), tâm đường tròn nội tiếp K thuộc đường thẳng 2x+y−5 = 0 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC là(x−3)2+ (y−4)2 =5 Tính diện tích tam giác ABC
Bài 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AD, AB lấy 2 điểm E
và F sao cho AE = AF.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tìm tọa độ điểm C, biết C thuộc đường thẳng d : x−2y+1=0 và tọa độ F(2; 0), H(1;−1)
Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 3); B(5; 2);(8; 6) Tìm điểm D ∈ (d) :
x−y+3 sao cho hình vuông MNPQ có các cạnh MN; NP; PQ; QM lần lượt đi qua các điểm A; BC; D sao cho SMNPQ đạt giá trị lớn nhất
Bài 35. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi các điểm E(6; 4); F 38
7 ;
32 7
lần lượt thuộc cạnh BC sao cho 2CE =3BE và 5FB=2FC Tìm tọa điểm G
Bài 36. DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Bài 37. DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Bài 38. DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Bài 39. DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Bài 40. DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Trang 4LỜI GIẢI
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, biết đỉnh B(3; 4) và phương trình cạnh AC là
x−y+2 =0 Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D, với điểm A có hoành độ bé hơn 3
Lời giải(hungchng)
B I
D C
A
Đường thẳng qua B vuông góc AC : x−y+2=0 có phương trình
(x−3) + (y−4) =0 ⇐⇒ x+y−7=0 Gọi I là tâm hình vuông ABCD ta có tọa độ I là nghiệm của hệ
(
x−y+2 =0
x+y−7 =0 =⇒ I
5
2;
9 2
I là trung điểm BD nên D(2; 5)
A, C là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn tâm I bán kính IB =
√ 2 2 nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ
x−y+2=0
x−5 2
2 +
y−9 2
2
= 1 2
⇐⇒
x=2
y =4 hay
x=3
y=5
Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC biết đường phân giác trong góc A, trung tuyến kẻ từ B, đường cao kẻ từ C lần lượt là d1: x−3y+1 =0, d2 : 3x+y+3 =0, d3 : x+y+3=0
Lời giải(Lưỡi Cưa)
d 1 : x − 3y = − 1
d2: 3x + y = −3
d3: x + y = − 3
C
A M
C0
B
Trang 5Tham số điểm C thuộc đường cao d3: C(c;−c−3).
Tham số điểm A thuộc đường phân giác trong d1: A(3a−1; a)
Khi đó, trung điểm của AC là: M c+3a−1
a−c−3 2
M thuộc trung tuyến d2nên
3c+3a−1
a−c−3
2 +3=0 ⇐⇒ c+5a=0 ⇐⇒ c = −5a Gọi C0là điểm đối xứng của C qua d1thì C0thuộc đường thẳng AB
Tọa độ C0 là nghiệm của hệ
( 3(x−c) + (y+c+3) =0
x+c−3(y−c−3) +2 =0 Tìm được C0 c
5−2;
7c
5 +3
tức là C0(−a−2;−7a+3)nên−−→AC0 = (−4a−1;−8a+3)
Do AC0⊥d3ta có điều kiện−−→AC0.−→u3 =0 với−→u3 = (1;−1)là VTCP của d3
điều kiện thành 1(−4a−1) −1(−8a+3) = 0 ⇐⇒ a =1 Thế thì c = −5 Coi như xong!
ĐS: C(−5; 2), A(2; 1), B
−1
2;−
3 2
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) : (x+ 2)2+ (y−3)2 = 9, có phương trình đường thẳng BD : 4x−y+6 = 0 Các cạnh AB, AD lần lượt tiếp xúc với(C)tại E(−2; 6)và F
−22
5 ;
6 5
Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABCD Lời giải(hungchng)
I
A
B
D
C E
F
G
H
Đường tròn(C)có tâm I(−2; 3) và bán kính r= 3 nên dễ thấy đường thẳng AB tiếp xúc (C)tại E(−2; 6)có phương trình y =6 sẽ cắt đường thẳng BD : 4x−y+6 =0 tại B(0; 6)
Đường thẳng AI là trung trưc của EF có phương trình
−22
5 +2
(x+2) + 6
5−6
(y−3) = 0 ⇐⇒ x+2y−4=0 tọa độ A là nghiệm của hệ
(
y =6
x+2y−4 =0 ⇐⇒
(
x= −8
y =6 =⇒ A(−8; 6)
Trang 6Phương trình tiếp tuyến AF là 6
5 −6 (x+8) − −
22
5 +8 (y−6) = 0 ⇐⇒ 4x+3y+14=0 Nên tọa độ D là nghiệm của hệ
( 4x−y+6=0 4x+3y+14 =0 ⇐⇒
(
x = −2
y= −2 =⇒ D(−2;−2) Tiếp tuyến thứ hai của (C) qua D tiếp xúc tại H nên H và F đối xúng qua DI do đó tọa độ H
là nghiệm của hệ
(−2+2)
x+22 5
+ (3+2)
y−6 5
=0 1
2
x−22 5
= −2
⇐⇒
x= 2 5
y = 6 5 nên phương
trình tiếp tuyến DH là 6
5 +2
(x+2) − 2
5 +2
(y+2) = 0 ⇐⇒ 4x−3y+2 =0 Đường thẳng BI có phương trình(6−3)(x+2) − (0+2)(y−3) =0 ⇐⇒ 3x−2y+12=0 Tiếp tuyến thứ hai của (C) qua B tiếp xúc tại G nên G và E đối xúng qua BI do đó tọa độ G là nghiệm của hệ
(0+2)(x+2) + (6−3)(y−6) = 0
31
2(x−2) −2
1
2(y+6) +12=0
⇐⇒
x= 10 13
y= 54 13 nên phương trình tiếp
tuyến BG là 54
13 −6
(x−0) − 10
13 −0
(y−6) =0 ⇐⇒ 12x+5y−30 =0
Do đó tọa độ C là nghiệm của hệ
( 12x+5y−30 =0 4x−3y+2 =0 ⇐⇒
x= 10 7
y= 18 7
=⇒ C 10
7 ;
18 7
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) : (x+ 2)2+ (y−3)2 = 9, có đỉnh A(−8, 6)và phương trình đường thẳng BD : 4x−y+6 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tứ giác ABCD
Lời giải(hungchng)
I
A
B
D
C E
F
G
H
Đường tròn(C)có tâm I(−2; 3)và bán kính r = 3 nên dễ thấy đường thẳng y = 6 đi qua A và tiếp xúc(C)tại E(−2; 6)sẽ cắt đường thẳng BD : 4x−y+6=0 (giả sử) tại B(0; 6)
Đường thẳng AI có phương trình(6−3)(x+2) − (−8+2)(y−3) = 0 ⇐⇒ x+2y−4=0
Trang 7Tiếp tuyến thứ hai của (C) qua A tiếp xúc tại F nên F và E đối xúng qua AI do đó tọa độ F là nghiệm của hệ
(−8+2)(x+2) + (6−3)(y−6) =0 1
2(x−2) +2
1
2(y+6) −4=0
⇐⇒
x = −22
5
y= 6 5
nên phương trình
tiếp tuyến AF là 6
5−6
(x+8) −
−22
5 +8
(y−6) = 0 ⇐⇒ 4x+3y+14 =0 Nên tọa độ D là nghiệm của hệ
( 4x−y+6=0 4x+3y+14 =0 ⇐⇒
(
x = −2
y= −2 =⇒ D(−2;−2) Tiếp tuyến thứ hai của (C) qua D tiếp xúc tại H nên H và F đối xúng qua DI do đó tọa độ H
là nghiệm của hệ
(−2+2)
x+22 5
+ (3+2)
y−6 5
=0 1
2
x−22 5
= −2
⇐⇒
x= 2 5
y = 6 5 nên phương
trình tiếp tuyến DH là 6
5 +2
(x+2) − 2
5 +2
(y+2) = 0 ⇐⇒ 4x−3y+2 =0 Đường thẳng BI có phương trình(6−3)(x+2) − (0+2)(y−3) =0 ⇐⇒ 3x−2y+12=0 Tiếp tuyến thứ hai của (C) qua B tiếp xúc tại G nên G và E đối xúng qua BI do đó tọa độ G là nghiệm của hệ
(0+2)(x+2) + (6−3)(y−6) = 0
31
2(x−2) −2
1
2(y+6) +12=0
⇐⇒
x= 10 13
y= 54 13 nên phương trình tiếp
tuyến BG là 54
13 −6
(x−0) − 10
13 −0
(y−6) =0 ⇐⇒ 12x+5y−30 =0
Do đó tọa độ C là nghiệm của hệ
( 12x+5y−30 =0 4x−3y+2 =0 ⇐⇒
x= 10 7
y= 18 7
=⇒ C 10
7 ;
18 7
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45
2 , đáy lớn CD nằm trên đường thẳng x−3y−3 = 0 Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I(2; 3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương
Lời giải(Mai Tuấn Long)
Gọi M; N lần lượt là trung điểm của CD và AB
Ta có: AC ⊥BD⇒∆CDI; ∆ABI là các tam giác vuông cân tại I
⇒ I N =N A =NB; I M= MC =MD I M=d(I; CD) =√10 ⇒CD =2√10
Đường thẳng MN ⊥CD ⇒ MNcó PT:3x+y−9 =0
(
x−3y−3 =0
3x+y−9 =0 ⇔
(
x =3
y=0 ⇒ M(3; 0)
⇒C; D thuộc đường tròn tâm M bán kính R =√
10 có PT:(x−3)2+y2 =10 (
x−3y−3 =0
(x−3)2+y2 =10 ⇔
(
x =6
y=1 hay
(
x=0
y= −1 ⇒C(6; 1); D(0;−1) Đặt IN =a,(a >0) ⇒ MN =a+√
10; AB =2a
SABCD = 45
2 ⇔ (a+
√ 10)2= 45
2 ⇔a=
√ 10 2 ID
IB =
I M
I N =2 ⇒
−→
DI =2−→IB ⇒ B(3; 5) ⇒ −BC→= (3;−4)
Trang 8Lời giải(hungchng)
x y
x − 3y − 3 = 0
I
K
C
D
B
A
H
Đường thẳng qua I vuông góc CD : x−3y−3 =0 có phương trình
3(x−2) + (y−3) =0 ⇐⇒ 3x+y−9 =0 Gọi K là trung điểm CD ta có tọa độ K là nghiệm của hệ
(
x−3y−3 =0 3x+y−9 =0 =⇒ K(3; 0)
Mà KI = KC = KD nên A, C là giao điểm của đường thẳng CD và đường tròn tâm K bán kính
KI =√
10 Do đó tọa độ của chúng là nghiệm của hệ
(
x−3y−3 =0 (x−3)2+ (y2 =10 =⇒ C(6; 1), D(0;−1)do C có hoành độ dương.
Gọi H là trung điểm AB ta có
45
2 = SABCD =
1
2(AB+CD)HK = (I H+IK)HK =
I H+√
102
=⇒ I H=
√ 10
2 mà
ID
IB =
IK
I H =2⇒
−→
DI =2−→IB ⇒B(3; 5) ⇒ −BC→= (3;−4) Vậy đường thẳng BC có phương trình: 4(x−3) +3(y−5) = 0 ⇐⇒ 4x+3y−27 =0
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A(2; 2) Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC có phương trình x+y−6=0 và điểm D(2; 4)nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
Lời giải(tutuhtoi)
d : x+y−6 =0 Gọi AE là đường cao hạ từ A xuống cạnh BC
Ta có AE⊥dnên phương trình AE : x−y=0 Gọi I =d∩ AE, ta có tọa độ I(3; 3)
Ta nhận thấy I là trung điểm của AE nên tọa độ E(4; 4)
Đường thẳng BC đi qua E và song song với d nên phương trình BC là: x+y−8 =0
Gọi B(t; 8−t) Do E là trung điểm BC nên ta có tọa độ C(8−t; t)
−→
BD= (2−t; t−4); −→AC = (6−t; t−2) Do AC⊥BD ⇒−→AC.−→BD=0⇔t=2 hoặc t =5
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB < CD), biết các đỉnh A(0; 2) và D(−2;−2) Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD thuộc đường thẳng
d : x+y−4=0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết [AID=45o
Lời giải(Phạm Kim Chung)
Trang 9Thực ra mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề tìm tọa độ điểm I.
[ AID=450 ⇒
−→
I A.−ID→
−→
I A
−→ ID
=
√ 2 2
⇒2
m
2−3m+6
=√ 2
q (m2−2m+2) (m2−4m+20) ⇒ m=2
m=4 Sau khi tìm được điểm I, ta viết phương trình các đường thẳng I A, ID ,đồng thời tính được I A, ID
và để ý là :−I A→= −I A
IC
−→
IC = −I A
ID
−→
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A(−3; 1) và C thuộc đường thẳng d : x−2y−5 = 0 Điểm E là giao điểm thứ hai của DC và đường tròn tâm B bán kính
BD(E khác D) Hình chiếu vuông góc của D xuống BE là điểm N(6;−2) Tìm tọa độ điểm B
và C
Lời giải(Monkey D.Luffy)
Nút thắt của bài toán là chứng minh được ANC[ =90o
Vì ABCD nằm trên đường tròn đường kính BD Mặt khác DNB[ = 90onên N cũng thuộc đường tròn đường kính BD Đường tròn này cũng có đường kính AC Suy raANC[ =90ohay AN ⊥ NC
Ta có:−→AN= (9;−3) Vì C ∈ (d) ⇒C(2t+5; t) ⇒−→NC= (2t−1; t+2)
Ta có: AN ⊥NC ⇒−→AN.−→NC=0⇔9(2t−1) −3(t+2) =0 ⇔t=1⇒C(7; 1)
Toạ độ tâm I của hình chữ nhật ABCD là trung điểm của AC⇒ I(2; 1)
Đường tròn tâm I bán kính R = AC
2 = 5 ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có phương trình là: (C) : (x−2)2+ (y−1)2 =25
Trong tam giác vuông ANC và DNE ta có:
AC2 = AN2+NC2 = AN2+CD2 = AN2+AB2 ⇔ AB=√
10 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
(x−2)2+ (y−1)2 =25
(x+3)2+ (y−1)2 =10
x= −2; y = −2
x = −2; y=4 ⇒
B(−2;−2) B(−2; 4) Phương trình đường thẳng AC có dạng: y−1 =0
Vì B và N cùng phía với đường thẳng AC nên B(−2;−2)
Lời giải(Huynh)
Gọi F đối xứng với E qua B Theo bài ra ta luôn có BCkAD (1)
Trang 10Trong tam giác EDF có EB
EF =
EC
ED =⇒ BCkFD (2).
Theo tiên đề Euclide,(1); (2)suy ra AD ≡FD ⇒ A, D, F thẳng hàng
Mà theo Thales trong tam giác FDE có EC
ED =
BC
FD =
AD
FD =
1 2 suy ra A là trung điểm của FD suy ra ACkEF Đặt AB =x ; AD =y
∆FDN : AN =AD =y
∆ADC : AC =
q
x2+y2
∆DNE : NC= DC =x
=⇒ AC2 =AN2+NC2 =⇒ AN⊥NC Phương trình NC là :3x−y−20 =0
Tọa độ điểm C thỏa
3x−y−20 =0
x−2y−5 =0 ⇐⇒
x=7
y =1 =⇒ C(7; 1) =⇒ I(2; 1).
Phương trình EF là : y+2=0 Tham số hóa B(b;−2) Ta có−→AB= (b+3;−3);−BC→ = (b−7;−3) Suy ra−→AB.−BC→=0 ⇐⇒ b2−4b−12 =0 ⇐⇒ b= −2
b =6 (Trùng điểm N) =⇒ B(−2;−2).
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nhọn có M(1;−2), N(−2; 2) và P(1; 2), lần lượt chân đường cao kẻ từ 3 đỉnh Tìm tọa độ 3 đỉnh trên
Lời giải(tutuhtoi)
Gọi các đường cao là AM, BN, CP Và H là trực tâm tam giác ABC Ta sẽ chứng minh kết quả sau:
BNlà phân giác của góc\MNP
Thật vậy: Ta có tứ giác ANHP nội tiếp đường tròn nênHNP[ = [H AP
Tứ giác NHMC nội tiếp đường tròn nên HN M\ = \HCM Và HN M\ = [H AP (cùng phụ với góc [
ABC)
Do đóHN M\ = [HNPnên BN là phân giác của góc\MNP
Tương tự ta cũng chứng minh được: AM là phân giác của góc \N MP, CP là phân giác của góc
\
NPM
Sử dụng kết quả trên ta đi giải quyết bài toán như sau:
- Viết phương trình 2 đờng phân giác trong: BN là phân giác trong của góc \MNP, AM là phân giác trong của góc\N MP
- Tìm tọa độ H là giao của BN và AM
- Viết phương trình cạnh BC (BC đi qua M và có VTPT là−−→HM)
Tương tự viết phương trình cạnh AC, BC Sau đó tìm tọa độ ba đỉnh tam giác
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I
−1
2;
9 2
, các đỉnh A, B lần lượt thuộc các đường thẳng d1 : 3x+4y−8 =0; d2: 3x+4y−1=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Lời giải(Lưỡi Cưa)
Bài này sử dụng tính chất: tam giác AIB vuông cân tại I
(−→
I A.−→IB =0
I A2 = IB2 Tham số hóa các điểm A thuộc d1và B thuộc d2: A
t;8−3t 4
, B
k;1−3k 4
...
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A(−3; 1) C thuộc đường thẳng d : x−2y−5 = Điểm E giao điểm thứ hai DC đường trịn tâm B bán kính
BD(E khác D) Hình chiếu... ra−→AB.−BC→=0 ⇐⇒ b2−4b? ?12 =0 ⇐⇒ b= −2
b =6 (Trùng điểm N) =⇒ B(−2;−2).
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nhọn có M(1;−2),...
Tương tự viết phương trình cạnh AC, BC Sau tìm tọa độ ba đỉnh tam giác
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD có tâm I
−1
2;
9