Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình mũ | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.[r]

CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình mũ cơ bản a x b a 0, a 1

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

f x g x

f x g x







3 Đặt ẩn phụ

 

 

 

0

0

g x

f t



Ta thường gặp các dạng:

●

2

m a n a p

● m a. f x  n b. f x  p , trong đó 0 a b  1 Đặt t a f x , t , suy ra 0

  1

f x

b

t



m a n a b p b  Chia hai vế cho b 2 f x  và đặt

 

0

f x

a

t b

 

4 Logarit hóa

● Phương trình

 

 

log

f x

a



  



hoặc

b a  b b  f x b a g x

5 Giải bằng phương pháp đồ thị

o

Giải phương trình: a x f x  0a 1  

0a và 1 yf x  Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số y a x 0a và 1 yf x 

 Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ

thị

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

trên a b thì số nghiệm của phương trình ;  f x   trên k a b không nhiều hơn;  một và f u  f v  u v , u v, a b; 

đồng biến trênthì:

nghịch biến trênthì:

o Tính chất 2 Nếu hàm số yf x 

liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn

hơn một

trên D thì bất phương trình f u   f v  u v hoac  u v , u v D, 

7 Sử dụng đánh giá

o Giải phương trình f x  g x 

o Nếu ta đánh giá được

 

 

f x m

g x m









 

f x m

f x g x

g x m







8 Bất phương trình mũ

mũ

1

f x g x

a

f x g x

a

f x g x

 





 







   

   

   

f x g x

f x g x

f x g x













a a  a M N 

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số

+ Đặt ẩn phụ

+ Sử dụng tính đơn điệu:

 

 

y f x

y f x











B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1 Cho phương trình 3x24x5  tổng lập phương các nghiệm thực của phương 9

trình là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

3

x

 Suy ra 133328 Chọn đáp án A

Câu 2 Cho phương trình : 3x 3x8 92x 1 , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

;

S    

C

;

S   

Hướng dẫn giải

2

2

5

2

x x

x







 Vậy S 2;5

Câu 3 Phương trình

9

x x

   

  có bao nhiêu nghiệm âm?

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

2

x

Đặt

1 3

x

t   

2

t

t





● Với t  , ta được 1

1

3

x

x

 

 

1

3

x

x

 

 

Vậy phương trình có một nghiệm âm

Câu 4 Số nghiệm của phương trình

3

x

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

1

1

3

x x



 

 

2

x

x

 

Đặt t  , 3x t 0 Phương trình trở thành

3

t

t t

t





● Với t  , ta được 3 11 x   x 0

● Với t 3, ta được 3x  3 x 1

Câu 5 Cho phương trình : 2

x 1 3

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

2

2

3

7

3

x

x











 











Nghiệm của phương trình là :

7

;3 3

S   

Vì

7

3

Chọn đáp án A

Câu 6 Phương trình 8 2 8 2  51

2x.5x 0,001 10 x



có tổng các nghiệm là:

Hướng dẫn giải

2.58x2 10 10 3 5 5  x 108 x2 102 5  x 8 x2 2 5x x 1;x 6

Câu 7 Phương trình 9x 5.3x  có nghiệm là: 6 0

A.x1,xlog 23 B x1,xlog 23 C x1,xlog 32 D x1,x log 23

Hướng dẫn giải

Đặt t  (3x t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

3

x t

t t





Câu 8 Cho phương trình 4.4x 9.2x1  Gọi 8 0 x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2

trên Khi đó, tích x x bằng :1 2

Hướng dẫn giải

Đặt t  (2x t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

1 2

2

1 2

x t













 Vậy x x 1 2 1.2 Chọn đáp án A2

Câu 9 Cho phương trình 4x 41x  Khẳng định nào sau đây sai?3

B Phương trình có một nghiệm.

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x 3.4x 4 0

Hướng dẫn giải

Đặt t  (4x t  ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 0

1( )

t







 Chọn đáp án A

Câu 10 Cho phương trình 9x2 x110.3x2 x 2  Tổng tất cả các nghiệm của 1 0.

phương trình là:

A.2 B 2 C 1 D 0.

Hướng dẫn giải

Đặt t3x2 x 1 (t  ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 0

2

2

1 2

1

2

1

0 3

1

x x

x x

x t

x

x t

x

 

 





















Câu 11 Nghiệm của phương trình 2x2x1 3x3x1 là:

3 log 4

x 

2 log 3

x 

Hướng dẫn giải

3 2

x

Câu 12 Nghiệm của phương trình 22x 3.2x232 0 là:

A.

2;3

x  B.x 4;8 C. x 2;8 D.x 3; 4

Hướng dẫn giải

3

x

x

x x





Câu 13 Nghiệm của phương trình 6.4x13.6x6.9x  là:0

A.

1; 1

2 3

;

3 2

x   

  C. x   1;0 D.x 0;1

Hướng dẫn giải

2

x x

  



  







  



1 1

x x







Câu 14 Nghiệm của phương trình 12.3x3.15x 5x120 là:

Hướng dẫn giải

1

 3x1 5  xlog 5 13 

Câu 15 Phương trình 9x 5.3x  có tổng các nghiệm là:6 0

2 log

3 log

Hướng dẫn giải

9x 5.3x 6 0

 1  32 x 5.3x 6 0  3x 2 5.3x 6 0 1' 

Đặt t   Khi đó: 3x 0

 

3

t t









Với t 2 3x  2 xlog 23

Với t 3 3x  3 xlog 3 13 

Suy ra 1 log 2 log 3 log 2 log 6 3  3  3  3

Câu 16 Cho phương trình 21 2 x15.2x 8 0 , khẳng định nào sau dây đúng?

C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

1 2

 2 2.22x 15.2x 8 0 2 2 x 2 15.2x 8 0 2' 

Đặt t 2x  Khi đó: 0

 

2

1 2

8













x

t    x  x

Câu 17 Phương trình 5x251x 6 có tích các nghiệm là :

A

5

log

2

5

log

2

5

5log

2

Hướng dẫn giải

 

1

5x25x 6 1

 

x

Đặt t   5x 0

Khi đó:

 

 

 

2

5

2

2

t

























Với t 5 5x 5 x 1

Với

5

x

t      x   

Suy ra:



Câu 18 Phương trình 7 4 3  x 2 3x 6

có nghiệm là:

A.x log2 32





B x log 32 C x log 22  3

D x  1

Hướng dẫn giải

Đặt t  2 3x

2

2

3( )

t









Câu 19 Tập nghiệm của bất phương trình

1 32 2

x



A.

x     B.x    ;5 C. x     5;  D.x 5; 

Hướng dẫn giải

1

32 2

x



5

Câu 20 Cho hàm số  

2

2 3x x

f x  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. f x  1 xln 4 sin x ln 3 0 2  B f x  1 2x2sin log 3 0x 2 

C f x   1 xlog 2 sin3  2 x 0 D f x   1 2x2log 3 02 

Hướng dẫn giải

  1 ln 2 3 2x sin 2x ln1 ln 4 sin x ln 3 02

Chọn đáp án A

Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình 2x2x13x3x1

A.

2; 

x   B.x 2;  C.x    ; 2 D. 2; 

Hướng dẫn giải

2x2x 3x3x

4

3

x

Câu 22 Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

1 3 9

x

 



 

A

2

x x

 



 B x   2 C 1 x 0 D 1   x 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x 1

2

x

1

x

x x

x x

 

2

x x

 





Câu 23 Tập nghiệm của bất phương trình 16x 4x 6 0 là

Hướng dẫn giải

Đặt t  (4x t  ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 0

2

4

Câu 24 Tập nghiệm của bất phương trình

3 3

x

1 log 2

x

x





Hướng dẫn giải

3

1

log 2

x

x x





Câu 25 Tập nghiệm của bất phương trình 11 x6 11x là:

Hướng dẫn giải

6

2

0

6 0

0

6

x

x x

x

x









 





 

 



Câu 26 Tập nghiệm của bất phương trình 1

A. 1 x1. B x 1. C x 1. D 1x2.

Hướng dẫn giải

Đặt t  (3x t  ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 0

3 1 0

t



  

Câu 27 Cho bất phương trình

2 1 2x 1



    , tập nghiệm của bất phương trình

Hướng dẫn giải

2 1 2x 1

x x

Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình 4x 3.2x  là:2 0

A.

x      B. x    ;1  2;.

C

0;1 

Hướng dẫn giải

x

x





1 0

x x







Câu 29 Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x172 là:

A. x 2; B.x 2;. C.x    ; 2  D.x    ; 2 

Hướng dẫn giải

3 2x x 72 2.6x 72 x 2

Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình 3 1 22 1 122 0

x

A.

0; 

x   B.x 1;. C.x    ;0  D. x    ;1 

Hướng dẫn giải

x

x x

2

4 1 3

x

Câu 31 Tập nghiệm của bất phương trình

2

1







0;log 3

x  

0;log 3

x  

Hướng dẫn giải

2

1









3

3 1 2

x x





3

3 1 2

x x





3 3

3 1 2

x x





3

2

x

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình

1

3

x



A

1

3

1

3

1

3

 

1

3

Hướng dẫn giải

Vì

2

1

3

x

x



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

1 0;

3

Câu 33 Tập nghiệm của bất phương trình 2x4.5x 4 10 x là:

A

0 2

x x









Hướng dẫn giải

    2x10x4.5x 4 0  2 1 5x  x 4 1 5  x 0 1 5 x 2x 40

0

x

x x



Câu 34 Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  21 x 1 là:

Hướng dẫn giải

1

   1 Điều kiện: 0x 

2

x x

Đặt t2 Do x x 0 t1

x

t













VẬN DỤNG Câu 35 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x23x2 4x26x5 42x23x7 1

A.

 5; 1;1;2 

x    B.x    5; 1;1;3  C.x    5; 1;1; 2   D. x 5; 1;1;2  

Hướng dẫn giải

2 3 2 2 6 5 2 2 3 7

4x  x 4x  x 4 x x 1

   4x23x2 4x26x5 4x23x2.4x26x5 1

2 3 2 2 6 5 2 6 5

4x x 1 4x x 1 4x  x 0

2

2

x x

x x

 



2 2

 







Câu 36 Phương trình  3 2 x 3 2 x 10x

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

?

Hướng dẫn giải

 3 2 x 3 2 x  10x

1

Xét hàm số

f x      

Ta có: f  2  1

Câu 37 Phương trình 32x2 3x x1 4.3x 5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không

âm ?

Hướng dẫn giải

2

3 x2 3x x1  4.3x 5 0  32x12 3x x1  4.3x4  0

3x 1 3  x 1 2x 4 3  x 1 0

Xét hàm số f x 3x2x 5 , ta có :f  1  0

 

đồng biến trên ¡

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1

Câu 38 Phương trình 2x3 3x25x6 có hai nghiệm x x trong đó 1, 2 x1x2 , hãy chọn

phát biểu đúng?

Hướng dẫn giải

3  log 2x log 3x x

2

2

3

2

log 3

x

x







Câu 39 Cho phương trình 7 4 3  x 2 3x 6

Khẳng định nào sau đây là đúng?

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng 6

Hướng dẫn giải

7 4 3  x 2 3x6  8

2 2

Đặt t  2 3x 0

Khi đó:

 

3

t t









Chọn đáp án A

Câu 40 Phương trình 33 3 x33 3 x34x34x103có tổng các nghiệm là ?

Hướng dẫn giải

3 x3 x3x3 x 10  7

Đặt

Côsi

3

3

x x

Đặt y   Khi đó: 3x 0

 

 

 

2

3

1 10

3

3









Với y 3 3x  3 x1

Với

x

y    x

Câu 41 Phương trình 9sin2x9cos2x  có họ nghiệm là ?6

πkπ kπkπ

x  k¢

B 2 2 ,  .

πkπ kπkπ

x  k¢

πkπ kπkπ

x  k¢

D 3 2 ,  .

πkπ kπkπ

x  k¢

Hướng dẫn giải

2 2

2

cos

9

9

x



2

cos

t

Câu 42 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 3 x 2 3x m

vô nghiệm?

A.m 2 B m 2 C.m 2 D m 2

Câu 43 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 3 x 2 3x m

có hai nghiệm phân biệt?

A m 2 B m 2 C.m 2 D m 2

Hướng dẫn giải câu 8 & 9

Nhận xét: 2 3 2   3 1 2 3 x 2 3x 1

t

1

f t t

t

  xác định và liên tục trên0, 

2

f t



Cho f t'     0 t 1 Bảng biến thiên:



 

'

f t

 0 

 

f t





2 Dựa vào bảng biến thiên:

+ Nếu m 2 thì phương trình  1' vô nghiệm pt 1 vô nghiệm

Câu 8 chọn đáp án A

+ Nếu m 2 thì phương trình  1' có đúng một nghiệmt 1 pt 1 có đúng một nghiệm t2 3x 1 x0

+ Nếu m 2thì phương trình  1' có hai nghiệm phân biệt pt 1 có hai nghiệm phân biệt

Câu 9 chọn đáp án A

Câu 44 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 3

đó, tổng hai nghiệm bằng?

Hướng dẫn giải

2 4 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

t  t

, phương trình trên tương đương với

8t t  4t  4 1t t  6 1 0t    t 3 10 (vì t 2) Từ đó suy ra

1

log

2

log

2

x

x x











Câu 45 Với giá trị của tham số m thì phương trình m1 16 x 2 2 m 3 4 x6m  5 0

có hai nghiệm trái dấu?

3 1

2

m

5 1

6

m

Hướng dẫn giải

 

2

f t

m t  m t m  14444444444444244444444444443

 * Yêu cầu bài toán   * có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 0t1 1 t2

Câu 46 Cho bất phương trình: 1

5x 1 5 5 x

A.

 1;0 1; 

S     B S   1;01;

C

 ;0 

Hướng dẫn giải

1

6 1 5

0 (1)

5 1 5 5 5.5 1 5 5

x



Đặt t  5x, BPT

6 1

5 1 5

t



6 1 ( )

5 1 5

t

f t





Lập bảng xét dấu

6 1 ( )

5 1 5

t

f t





1

x x

t

x x t













Vậy tập nghiệm của BPT là S   1;01; 

Câu 47 Bất phương trình 25x22x19x22x134.15x22x có tập nghiệm là:

A.S    ;1 30; 21 3;

C.

2; 

Hướng dẫn giải

x x x

 





 



Câu 48 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x m.2x1 2m 0

nghiệm x x thoả mãn 1, 2 x1x2  ?3

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

4x m.2x 2m 0 2x 2 2m x 2m 0 *

Phương trình  *

0

m

m







Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2 2x1 x2 2m 2x x1 2 2m

Do đó x1x2  3 23 2m m 4

Câu 49 Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2sin2x3cos2xm.3sin2x có

nghiệm?

A m 4. B.m 4. C.m 1. D.m 1.

Hướng dẫn giải

sin sin

3

m

Xét hàm số

3

y     

Ta có: 0 sin 2x nên 11   y 4

Câu 50 Cho bất phương trình:9xm1 3 xm0 1  Tìm tất cả các giá trị của

A.

3 2

m 

B.

3 2

m  

C. m  3 2 2. D. m  3 2 2.

Hướng dẫn giải

Đặt t 3x

Vì x 1 t Bất phương trình đã cho thành: 3 t2m1  t m  nghiệm đúng0

3

t

 

2

1

t t

m t



Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên 3;

3 3 2

Yêu cầu bài toán tương đương