Nghiên cứu, áp dụng, cải thiện bộ lọc mật độ xác suất giả thuyết trong bài toán theo dấu mục tiêu

Lọc đa mục tiêu bao gồm việc kết hợp giữa phát hiện và ước lượng của số lượng mục tiêu không được biết, thay đổi theo thời gian và trạng thái động của mỗi mục tiêu, khi được biết một chu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-Đỗ Ngọc Tuấn

Nghiên cứu, áp dụng, cải thiện bộ lọc mật độ xác suất

giả thuyết trong bài toán theo dấu mục tiêu

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Vũ Tuyết Trinh

Hà Nội – Năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi – Đỗ Ngọc Tuấn – xin cam đoan

• Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ này là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Tuyết Trinh

• Các kết quả nêu trong Luận văn tốt nghiệp là trung thực, không phải là sao chép toàn văn của bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 01 năm 2017

Tác giả LVTN

Đỗ Ngọc Tuấn

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Cô giáo – Tiến sĩ Vũ Tuyết Trinh – Phó trưởng bộ môn Hệ thống thông tin, Viện Công nghệ thông tin và Truyền thông, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Cô đã tận tình hướng dẫn và cho tôi những lời khuyên quý báu trong quá trình thực hiện luận văn này

Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Viện Công nghệ thông tin

và truyền thông, Viện đào tạo sau đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Trung tâm Hệ thống chỉ huy và điều khiển, Viện Nghiên cứu và Phát triển Viettel, Tập đoàn Viễn thông Quân đội, đã giúp đỡ, tạo điều kiện công tác và học tập cho tôi trong quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới những người thân trong gia đình, bạn

bè đã động viên và giúp đỡ để tôi hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, ngày 04 tháng 01 năm 2017

Tác giả LVTN

Đỗ Ngọc Tuấn

GIỚI THIỆU

Vấn đề lọc đa mục tiêu là một mở rộng cơ bản và logic của bài toán lọc đơn mục tiêu Lọc đa mục tiêu bao gồm việc kết hợp giữa phát hiện và ước lượng của số lượng mục tiêu không được biết, thay đổi theo thời gian và trạng thái động của mỗi mục tiêu, khi được biết một chuỗi các quan sát Vấn đề này thực sự là một thử thách bởi

vì với một tập các quan sát cho trước, không có thông tin về quan sát nào là của mục tiêu, và quan sát nào là do nhiễu Lọc đa mục tiêu đặt ra một thử thách kĩ thuật thực

sự khó nhưng đem lại nhiều ứng dụng to lớn trong cả quân sự và kinh tế

Gần đây, một hướng nghiên cứu mới cho bài toán lọc đa mục tiêu dựa trên lý thuyết về tập ngẫu nhiên hữu hạn [1], được đưa ra ban đầu bởi M Mahler Một tập ngẫu nhiên hữu hạn là một tập hợp các biến ngẫu nghiên có giá trị hữu hạn Trong phạm vi bài toán theo dấu đa mục tiêu, người ta mô hình tập các mục tiêu và các quan sát là tập ngẫu nhiên hữu hạn Sau đó xây dựng các công thức cho bài toán lọc đa mục tiêu bằng cách sử dụng mô hình tập ngẫu nhiên cho phép phát triển để xây dựng các lời giải cho các trường hợp khác nhau Khác với các phương pháp cổ điển, kiến trúc tập ngẫu nhiên hữu hạn đã hoàn toàn bỏ qua việc gán quan sát và mục tiêu, chỉ tập trung vào ước lượng số lượng mục tiêu và trạng thái của chúng

Mở đầu, luận văn hệ thống hóa các lý thuyết về tập ngẫu nhiên hữu hạn, mô hình toán học chặc chẽ và cài đặt được trong thực tế của một thuật toán mới cho bài toán lọc đa mục tiêu, dựa trên xấp xỉ mô ment mật độ hậu nghiệm của tập hợp ngẫu nhiên hữu hạn trạng thái Tiếp theo, luận văn phát triển một thuật toán cho phép định danh, duy trì và quản lý các mục tiêu; quản lý việc gán quan sát và mục tiêu, mà các nghiên cứu trước không thực hiện được Luận văn cũng phát triển một thuật toán cho trường hợp nhiều nguồn dữ liệu để theo dấu đa mục tiêu Hiệu quả của các thuật toán được giới thiệu trong các kịch bản thực tế, cho thấy kết quả tốt hơn với các hướng lọc đa mục tiêu truyền thống và các nghiên cứu trước đó

Keywords: target tracking, random finite set, probabilistic hypothesis density

Danh mục hình, biểu đồ

Hình 1 Hệ thống theo dấu đa mục tiêu 12

Hình 2 Lưu đồ thực hiện thuật toán theo dấu đa mục tiêu 14

Hình 3 Mô hình biến đổi trạng thái đơn mục tiêu 16

Hình 4 Lưu đồ thực hiện thuật toán quản lý nhãn mục tiêu 33

Hình 5 Quá trình sinh và quản lý nhãn mục tiêu 34

Hình 6 Ví dụ xây dựng cây mục tiêu 36

Hình 7 Trường hợp hai cảm biến giúp mở rộng khu vực quan sát 38

Hình 8 Đơn và đa cảm biến cho các quan sát phương vị 39

Hình 9 Đa cảm biến chỉ đo góc phương vị của nhiễu và mục tiêu 40

Hình 10 Lưu đồ thuật toán xử lý dữ liệu đa nguồn 41

Hình 11 Mục tiêu thật Vị trí bắt đầu o, kết thúc ∆ 45

Hình 12 Kết quả theo dấu mục tiêu bộ lọc GM-PHD 46

Hình 13 Giá trị ước lượng trạng thái các mục tiêu trong hệ tọa độ Oxy theo thời gian 47

Hình 14 So sánh ước lượng số mục tiêu và số mục tiêu thật 47

Hình 15 Sai số OSPA của bộ lọc GM-PHD 48

Hình 16 Kết quả theo dấu mục tiêu bộ lọc GM-CPHD 49

Hình 17 Giá trị ước lượng trạng thái các mục tiêu trong hệ tọa độ Oxy theo thời gian 50

Hình 18 So sánh ước lượng số lượng mục tiêu của hai bộ lọc GM-PHD và GM-CPHD 51

Hình 19 So sánh sai số OSPA của hai bộ lọc GM-PHD và GM-CPHD 51

Hình 20 So sánh độ tin cậy ước lượng số lượng của bộ lọc PHD và CPHD 52

Hình 21 Kết quả theo dấu mục tiêu có quản lý nhãn quỹ đạo L-CPHD 53

Hình 22 Kết quả ước lượng số lượng mục tiêu của bộ lọc L-CPHD 54

Hình 23 Ước lượng L-CPHD và giá trị thật của mục tiêu trong hai trục x, y 54

Hình 24 Sai số OSPA của bộ lọc L-CPHD 55

Hình 25 Mục tiêu thật Vị trí bắt đầu o, kết thúc ∆ 56

Hình 26 Kết quả theo dấu mục tiêu của bộ lọc MS-PHD 57

Hình 27 So sánh kết quả ước lượng bộ lọc MS-PHD và PHD theo x,y 58

Hình 28 So sánh kết quả ước lượng số lượng mục tiêu của bộ lọc MSPHD và PHD 59

Hình 29 So sánh sai số OSPA của hai bộ lọc MSPHD và PHD 60

Danh mục các từ viết tắt

CPHD Cardinalized Probability Hypothesis Density

PDA Probabilistic Data Association

JPDA Joint Probabilistic Data Association

GM-PHD Gausian Mixture Probability Hypothesis Density

GM-CPHD Gausian Mixture Cardinalized Probability Hypothesis Density MS-PHD Multiple Source Probability Hypothesis Density

LGM-CPHD Label Cardinalized Probability Hypothesis Density

Danh mục các kí hiệu toán học

𝑃 probability distribution Hàm phân phối xác suất

𝜋 probability density Hàm mật độ xác suất

𝜌 cardinality distribution Hàm phân phối số lượng

| | cardinality of a set Số phần tử của một tập hợp

〈 , 〉

inner product between two continuous functions or two discrete sequences

Tích trong giữa hai hàm liên tục hoặc hai chuỗi rời rạc

ℝ𝑛 n dimensional Euclidean space Không gian Euclidean n – chiều

ℕ non-negative integers Tập số nguyên không âm

𝑥𝑘 vector-valued state at time 𝑘 Vector giá trị ở thời điểm 𝑘

𝑧𝑘 vector-valued measurement vector at

𝐾𝑠 unit of volume for 𝒳 Đơn vị thể tích không gian trạng thái

𝐾𝑜 unit of volume for 𝒵 Đơn vị thể tích không gian quan sát

𝑋𝑘 finite-set-valued state at time k Tập hữu hạn trạng thái ở thời điểm 𝑘

𝑍𝑘 finite-set-valued observation at time

ℱ(𝑋) set of all finite subsets of the state

observation space gian quan sát

𝑥̂𝑘 estimate of vector-valued state at time

k

Vector trạng thái ước lượng ở thời điểm 𝑘

𝑋̂𝑘 estimate of finite-set-valued state at

𝑑̅𝑘(𝑐) optimal subpattern assignment

metric of order 𝑝 with cutoff 𝑐

Metric gán tối ưu bậc 𝑝 với hệ số cắt

𝑐

𝒲 observation window (subset of

𝑇𝑘|𝑘−1 random finite set of surviving and

transitioned objects to time 𝑘

Tập hữu hạn các mục tiêu tiếp tục tồn tại tới thời điểm 𝑘

Γ𝑘 random finite set of spontaneous

spontaneous births at time k

Phân phối số lượng mục tiêu xuất hiện mới ở thời điểm 𝑘

Θ𝑘 random finite set of object

𝐾𝑘 random finite set of clutter at time 𝑘 Tập hữu hạn các nhiễu ở thời điểm 𝑘

𝜅𝑘 intensity of clutter at time 𝑘 Cường độ nhiễu ở thời điểm 𝑘

𝜌𝐾,𝑘 cardinality distribution of clutter at

time 𝑘

Phân phối số lượng nhiễu ở thời điểm

𝑘

𝑝𝑆,𝑘 probability of survival at time 𝑘 Xác suất tiếp tục tồn tại ở thời điểm 𝑘

𝑝𝐷,𝑘 probability of detection at time 𝑘 Xác suất phát hiện ở thời điểm 𝑘

𝑓𝑘|𝑘−1 transition density from time 𝑘 − 1 to Hàm chuyển đổi trạng thái từ thời

time 𝑘 điểm 𝑘 − 1 tới 𝑘

𝑔𝑘, 𝜂𝑘 measurement likelihood at time 𝑘 Hàm likelihood ở thời điểm 𝑘

𝜋𝑘|𝑘−1 predicted density to time 𝑘 Mật độ tiên nghiệm ở thời điểm 𝑘

𝜋𝑘 posterior density at time 𝑘 Mật độ hậu nghiệm ở thời điểm 𝑘

𝑣𝑘|𝑘−1 predicted intensity to time 𝑘 Cường độ tiên nghiệm ở thời điểm 𝑘

𝑣𝑘 posterior intensity at time 𝑘 Cường độ hậu nghiệm ở thời điểm 𝑘

𝜌𝑘|𝑘−1 predicted cardinality distribution to

CHƯƠNG 3 MỞ RỘNG CHO BÀI TOÁN THEO DẤU ĐA MỤC TIÊU 32

CHƯƠNG I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Giới thiệu bài toán theo dấu đa mục tiêu

Từ những năm 1961, cơ quan NASA đã phát triển chương trình Apolo, với kết quả là con người lần đầu tiên đặt chân lên mặt trăng vào ngày 20/07/1969 Một trong những thành phần quan trọng của máy tính dẫn đường trên tàu Apolo là bộ phận tính toán ước lượng quỹ đạo của tàu vũ trụ, cho phép cất cánh, bay vào không gian và hạ cánh trên mặt trăng Trái tim của chương trình máy tính dẫn đường đó là thuật toán ước lượng trạng thái đệ quy được biết tới dưới tên bộ lọc Kalman Filter [2], thuật toán

mà cho đến nay vẫn được sử dụng để ước lượng trực tuyến trạng thái của một hệ thống từ một chuỗi các quan sát theo thời gian có nhiễu; thuộc các lĩnh vực từ kinh

tế học cho tới kĩ thuật y sinh và đặc biệt là trong bài toán theo dấu mục tiêu quân sự

Bộ lọc dựa trên hai thông tin đầu vào là vector trạng thái chứa các đặc điểm chuyển động của mục tiêu được quan sát và vector quan sát nhận được từ các cảm biến đo cũng bị ảnh hưởng bởi nhiễu Bộ lọc Kalman kết hợp hai thông tin trên cùng với một

mô hình hóa hệ thống phù hợp để ước lượng được trạng thái của mục tiêu

Các nhà nghiên cứu thường chia các phương pháp theo dấu mục tiêu thành hai loại: theo dấu đơn mục tiêu và theo dấu đa mục tiêu Bài toán theo dấu đơn mục tiêu chỉ quan tâm tới một mục tiêu cụ thể duy nhất mà không quan tâm tới sự tồn tại và tương quan với các mục tiêu khác Đầu vào của bài toán là mô hình thay đổi trạng thái và mô hình quan sát mục tiêu cùng các quan sát Đầu ra của bài toán là trạng thái của mục tiêu Các phương pháp thực hiện đều sử dụng một bộ lọc phù hợp (ví dụ bộ lọc Kalman) để ước lượng trạng thái mục tiêu

Bài toán theo dấu đa mục tiêu có hai nhiệm vụ: ước lượng số lượng mục tiêu và trạng thái của từng mục tiêu Các phương pháp truyền thống được sử dụng trong theo dấu đa mục tiêu đều dựa trên ý tưởng giả thuyết gán giữa các quan sát và các mục tiêu Phương pháp này còn được gọi là phương pháp gán dữ liệu Bayesian Các thuật toán lọc truyền thống tiêu biểu đang được sử dụng phổ biến hiện tại trên thế giới là Global Nearest Neighbor (GNN), Joint Probabilistic Data Association (JPDA), Multiple Hypothesis Tracking (MHT) [4] Mỗi thuật toán có các ưu điểm, hạn chế

riêng Việc lựa chọn thuật toán nào, là tùy vào từng trường hợp cụ thể: môi trường sử dụng có nhiều nhiễu hay không, sức mạnh tính toán của các máy tính ra sao, độ chính xác của ước lượng Tuy nhiên, các phương pháp trên đều có những hạn chế chung:

mô hình toán học không tuân theo chính xác lý thuyết xác suất Bayesian, số lượng giả thuyết gán tăng cấp số nhân theo số lượng mục tiêu và số quan sát Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu mà tiên phong là R.Mahler đã phát triển bài toán theo dấu đa mục tiêu bằng cách xem xét các trạng thái mục tiêu và các quan sát là tập ngẫu nhiên hữu hạn – Random Finite Set (RFS) [5] và các bộ lọc Bayesian cho biến ngẫu nhiên tập hợp

Bài toán theo dấu đa mục tiêu dựa trên tập ngẫu nhiên hữu hạn có đầu vào là các quan sát thu được từ cảm biến được mô hình là tập ngẫu nhiên hữu hạn, kết hợp với các bộ lọc Bayesian cho đầu ra là tập trạng thái các mục tiêu Từ đây khi nói đến bài toán theo dấu mục tiêu tức là bài toán theo dấu đa mục tiêu trừ những trường hợp cụ thể được trình bày rõ

1.2 Cấu trúc hệ thống theo dấu đa mục tiêu

Hệ thống theo dấu đa mục tiêu thông thường bao gồm bốn phần chính:

- Khối tương quan dữ liệu (Data Association/Correlation): Nhiệm vụ của khối này

là ánh xạ (tương quan) giữa các điểm quan sát mới thu nhận được với các mục tiêu đang có của hệ thống

- Khối Cập nhật/Khởi tạo/Xóa mục tiêu: Khối thực hiện cập nhật các quan sát vào các mục tiêu hiện có, khởi tạo mục tiêu cho các quan sát mới và xóa bỏ các mục tiêu đã lâu không được cập nhật

- Khối dự đoán mục tiêu: Khối thực hiện dự đoán ngoại suy mục tiêu tại thời điểm hiện tại tới các thời điểm tiếp theo

- Khối cửa sổ tìm kiếm: Hỗ trợ khối tương quan dữ liệu trong lọc bỏ các tương quan quan sát – mục tiêu không hợp lý

Khối tương quan

dữ liệu

Hệ thống bám quỹ đạo đa mục tiêu

Điểm dấu

Quỹ đạo

Hệ thống cấp trên

Hình 1 Hệ thống theo dấu đa mục tiêu

Bốn khối cơ bản của thuật toán thực hiện 2 nhiệm vụ chính, đó là quản lý mục tiêu (dự đoán, cập nhật, khởi tạo, xóa mục tiêu) và tương quan quan sát – mục tiêu Trong quản lý mục tiêu, phần khó khăn nhất chính là ước lượng số lượng mục tiêu và cập nhật quan sát cho các mục tiêu đã có, đó là nhiệm vụ của thuật toán lọc và khởi tạo mục tiêu như: bộ lọc Kalman Filter, Extended Kalman Filter, Particle Filter Phần tương quan quan sát – mục tiêu sẽ do các thuật toán tương quan đảm nhiệm như: Probabilistic Data Association, Multiple Hypothesis Tracking,…

Các phương pháp theo dấu đa mục tiêu truyền thống tồn tại những khuyết điểm không thể giải quyết đã được đề cấp trong [3], [5] Do đó, bài toán có thể tiếp cận dựa trên một lý thuyết mới đó là tập ngẫu nhiên hữu hạn Tuy nhiên khi nghiên cứu, sử dụng hai bộ lọc Mật độ xác suất giả thuyết: Probability Hypothesis Density (PHD) [6], Cardinalized Probability Hypothesis Density (CPHD) [7] và phân tích cụ thể các

ưu, nhược điểm của từng bộ lọc thông qua các kết quả thực nghiệm, tác giả nhận thấy hai bộ lọc vẫn tồn tại một số vấn đề chưa giải quyết được đó là:

- Hai bộ lọc PHD, CPHD đều bỏ qua bước gán quan sát – mục tiêu, kết quả trạng thái thu được tại mỗi thời điểm của bộ lọc là không có thứ tự, không có mối liên

hệ với trạng thái thu được ở các thời điểm trước đó nên không biết được quỹ đạo của mục tiêu, không lưu giữ được các thông tin phụ trợ khác Mặt khác thông tin quỹ đạo mục tiêu là một thông tin quan trọng, có nhiều ý nghĩa đối với nhiều bài toán như đánh giá hiểm họa, dẫn đường

- Hai bộ lọc PHD, CPHD đều đang được tập trung nghiên cứu trong trường hợp

chỉ có một nguồn dữ liệu mà không quan tâm đến trường hợp có nhiều nguồn dữ

liệu Mà trong thực tế, các cảm biến thường được thiết kế, bố trí dạng mạng lưới

hỗ trợ nhau giúp mở rộng khu vực quan sát và nâng cao độ chính xác

1.3 Mục tiêu và cách tiếp cận của luận văn

1.3.1 Mục tiêu của luận văn

Luận văn ngoài việc phân tích, đánh giá chất lượng của hai bộ lọc PHD, CPHD

đồng thời cũng đề xuất hai mở rộng đóng góp đó là:

1) Phát triển một thuật toán gán nhãn giúp phân biệt các mục tiêu khác nhau, duy trì

được định danh, lịch sử mục tiêu và các thông tin phụ trợ khác nếu có

2) Phát triển một thuật toán cho phép xử lý hợp nhất dữ liệu đa nguồn, cho phép kết

hợp dữ liệu từ nhiều nguồn khác nhau nhằm đạt được độ chính xác cao hơn hoặc

với bài toán chỉ có thể theo dấu được mục tiêu khi có nhiều nguồn

1.3.2 Cách tiếp cận của luận văn

Hình 2 thể hiện cách tiếp cận của luận văn cho phép giải quyết bài toán theo dấu

đa mục tiêu dựa trên hai thuật toán PHD và CPHD Các phần hình chữ nhật là trung

tâm của luận văn

Thuật toán xử lý đệ quy theo từng thời điểm quan sát của cảm biến Giả sử tại

bước xử lý ở thời điểm 𝑘, dữ liệu đầu vào của hệ thống là trạng thái đa mục tiêu

𝑋𝑘−1 có được ở thời điểm 𝑘 − 1, cùng nhiễu hệ thống, được đưa vào bộ ước lượng

tiên nghiệm trạng thái đa mục tiêu và các phân phối đặc trưng của các bộ lọc (bộ lọc

PHD sử dụng phân phối cường độ, bộ lọc CPHD sử dụng cả phân phối cường độ và

phân phối số lượng mục tiêu) Đầu ra của bộ ước lượng tiên nghiệm là trạng thái tiên

nghiệm đa mục tiêu 𝑋𝑘|𝑘−1 cùng ước lượng tiên nghiệm phân phối đặc trưng của bộ

lọc Thông tin trên kết hợp với mô hình nhiễu đo lường và tập hợp các quan sát 𝑍𝑘 từ

cảm biến đưa vào trong bộ ước lượng hậu nghiệm trạng thái mục tiêu và phân phối

đặc trưng Đầu ra của bộ ước lượng hậu nghiệm là trạng thái hậu nghiệm đa mục tiêu

𝑋𝑘|𝑘 và ước lượng hậu nghiệm phân phối đặc trưng Kết quả đầu ra ở trên được sử

dụng để đưa vào bộ quản lý nhãn mục tiêu, nhằm duy trì định danh phân biệt cho

từng mục tiêu và cuối cùng kết quả trở thành đầu vào cho bước xử lý tiếp theo

Hình 2 Lưu đồ thực hiện thuật toán theo dấu đa mục tiêu

1.4 Phạm vi của luận văn

Luận văn đưa ra các đánh giá, thực nghiệm, mở rộng với giả thuyết các mục tiêu chuyển đổi trạng thái theo mô hình tuyến tính Gaussian, hàm đo lường tuyến tính theo trạng thái mục tiêu, nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường là nhiễu Gaussian trắng, độc lập với nhau

Trong mở rộng thứ nhất, thuật toán gán nhãn mục tiêu tập trung giải quyết trường hợp các mục tiêu chuyển động cắt nhau, không xét trường hợp chuyển động song song và sát nhau do có thể dẫn đến cảm biến không phát hiện được đủ quan sát của mỗi mục tiêu dẫn đến lỗi gán nhầm nhãn

Trong mở rộng thứ hai, thuật toán xử lý đa nguồn giả sử các cảm biến đều có cùng độ chính xác hoặc không khác biệt lớn, có xác suất phát hiện giảm dần theo khoảng cách tới mục tiêu, không xét trường hợp có đồng thời cảm biến độ chính xác cao và cảm biến độ chính xác thấp gây ảnh hưởng đến độ chính xác ước lượng

1.5 Cấu trúc luận văn

Để giúp người đọc có được cái nhìn từ khái quát đến chi tiết công việc cũng như kết quả của đề tài, phần tiếp theo của luận văn sẽ được trình bày như sau:

- Chương 2: Cơ sở lý thuyết Giới thiệu tóm tắt về mô hình hệ thống đơn, đa mục tiêu; giới thiệu bài toán lọc và ước lượng trạng thái đa mục tiêu cùng với hai bộ lọc PHD, CPHD

- Chương 3: Mở rộng cho bài toán theo dấu đa mục tiêu Chương này đưa ra hai

mở rộng cho bài toán định danh mục tiêu và xử lý dữ liệu đa nguồn

- Chương 4: Kết quả thực nghiệm và đánh giá Chương này trình bày các kết quả đạt được trong thử nghiệm thuật toán lọc PHD, CPHD và hai mở rộng; đồng thời đánh giá định lượng các kết quả thu được

- Chương 5: Kết luận và hướng phát triển Chương này cung cấp một tổng kết về những kết quả thu được, phác hoạ các hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này giới thiệu về cơ sở lý thuyết được sử dụng để phát triển các bộ lọc đơn và đa mục tiêu theo phương pháp Bayes Phần 2.1 trình bày về mô hình hệ thống đơn mục tiêu Phần 2.2 trình bày mô hình hệ thống đa mục tiêu Phần 2.3 trình bày bài toán tổng quát lọc đa mục tiêu Phần 2.4 và 2.5 giới thiệu hai bộ lọc PHD, CPHD Phần 2.6 so sánh và đánh giá các phương pháp, lựa chọn mô hình hệ thống và bộ lọc

2.1 Mô hình hệ thống đơn mục tiêu

Đối với hệ thống theo dấu đơn mục tiêu, trạng thái mục tiêu là một vector có chứa các thông tin như tọa độ, vận tốc,… Tuy nhiên, chúng ta không thể có được trạng thái của mục tiêu trực tiếp mà chỉ có thể sử dụng cảm biến để thu được các quan sát Thông qua các quan sát để tính được trạng thái mục tiêu Như trong hình 3 bên dưới, trạng thái mục tiêu 𝑥 tại mọi thời điểm đều chỉ quan sát được thông qua vector quan sát 𝑧

Hình 3 Mô hình biến đổi trạng thái đơn mục tiêu

Trạng thái mục tiêu ở một thời điểm không chỉ phụ thuộc vào các kết quả đo được tại thời điểm đó mà còn phụ thuộc vào trạng thái mục tiêu tại các thời điểm trước đó Như vậy, hệ thống cần được biểu diễn mối quan hệ giữa trạng thái ở các thời điểm với nhau và giữa quan sát – trạng thái thông qua hệ phương trình được gọi là

mô hình biểu diễn của hệ thống

Mô hình hay được sử dụng nhất trong thực tế là mô hình trạng thái bậc I, trong

đó trạng thái mục tiêu tại một thời điểm, chỉ phụ thuộc vào trạng thái mục tiêu tại thời

điểm ngay trước đó Mô hình trạng thái bậc I được biểu diễn bởi một hệ phương trình

vi phân bậc 2 như sau:

𝑥𝑘 = 𝑡𝑘(𝑥𝑘−1, 𝑢𝑘−1, 𝑣𝑘−1) (2.1)

Trong đó, biến 𝑥𝑘 là vector chứa các thông tin trạng thái của mục tiêu tại thời điểm 𝑘, ví dụ đối với một máy bay trạng thái bao gồm các thông tin về tọa độ, vận tốc, gia tốc; 𝑢𝑘 là vector điều khiển hệ thống; 𝑣𝑘 là vector nhiễu hệ thống Hàm 𝑡𝑘thể hiện tương quan giữa trạng thái mục tiêu của hai thời điểm liên tiếp nhau, được gọi là hàm chuyển trạng thái Mục tiêu được quan sát bởi cảm biến cho vector giá trị

đo 𝑧𝑘, giá trị của 𝑧𝑘 phụ thuộc vào nhiễu đo lường 𝑤𝑘 và hàm đo ℎ𝑘

Trạng thái 𝑥𝑘 không chỉ phụ thuộc vào trạng thái trước 𝑥𝑘−1 mà còn phụ thuộc vào vector điều khiển hệ thống 𝑢𝑘−1và nhiễu hệ thống 𝑣𝑘−1 (nhiễu hệ thống là sai số

mô hình hệ thống) Vector đo 𝑧𝑘 phụ thuộc vào trạng thái 𝑥𝑘 và nhiễu đo 𝑣𝑘 (nhiễu

do sai số đo từ cảm biến)

Tùy theo hàm 𝑡, ℎ ta có thể chia mô hình hệ thống ra làm 2 loại là mô hình hệ thống tuyến tính và mô hình hệ thống phi tuyến Hệ thống tuyến tính là hệ thống mà hai hàm 𝑡, ℎ đều tuyến tính Hệ thống phi tuyến là hệ thống mà ít nhất một trong hai hàm 𝑡, ℎ là phi tuyến

Các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình trên đều là các

bộ lọc theo hướng đệ quy Bayesian Các bước thực hiện lần lượt như sau:

- Ước lượng mật độ tiên nghiệm trạng thái mục tiêu 𝜋𝑘|𝑘−1:

𝜋𝑘|𝑘−1(𝑥𝑘|𝑧1:𝑘−1) = ∫ 𝑓𝑘|𝑘−1(𝑥𝑘|𝑥𝑘−1)𝜋𝑘−1|𝑘−1(𝑥𝑘−1|𝑧1:𝑘−1) 𝑑𝑥𝑘−1 (2.3)

- Ước lương mật độ hậu nghiệm trạng thái mục tiêu 𝜋𝑘:

𝜋𝑘(𝑥𝑘|𝑧1:𝑘) = 𝑔𝑘(𝑧𝑘|𝑥𝑘)𝜋𝑘|𝑘−1(𝑥𝑘|𝑧1:𝑘−1)

∫ 𝑔𝑘(𝑧𝑘|𝑥) 𝜋𝑘|𝑘−1(𝑥|𝑧1:𝑘−1)𝑑𝑥 (2.4)

Ở đây, hàm 𝑓𝑘|𝑘−1(𝑥𝑘|𝑥𝑘−1) là hàm mật độ xác suất chuyển đổi trạng thái, hàm

𝑔𝑘(𝑧𝑘|𝑥𝑘) là hàm mật độ xác suất thể hiện likelihood – độ tin cậy của quan sát 𝑧𝑘 là thu được từ trạng thái 𝑥𝑘

Một số bộ lọc tiêu biểu để giải quyết hai công thức (2.3) và (2.4) trên như Kalman Filter [2], Extended Kalman Filter [9], Uncented Kalman Filter [8], Particle Filter [10]

2.2 Mô hình hệ thống đa mục tiêu

Tương tự như đối với bài toán theo dấu đơn mục tiêu, đầu tiên cần xây dựng hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ theo thời gian của trạng thái đa mục tiêu Tuy nhiên, hệ phương trình này không thể thiết lập được nếu chỉ dựa trên lý thuyết trạng thái là vector

Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu đã dựa trên lý thuyết về quá trình chuỗi và tập ngẫu nhiên hữu hạn [3], để xây dựng nên cơ sở toán học chặt chẽ như: xác suất của một tập hợp, độ đo, tích phân, đạo hàm trên tập hợp Tập ngẫu nhiên hữu hạn cũng được trình bày trong [11] Đồng thời, các nhà nghiên cứu cũng đã cho thấy có thể sử dụng những lý thuyết trên hoàn toàn phù hợp để xây dựng hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ cho bài toán theo dấu đa mục tiêu

Trong hệ thống đa mục tiêu, số lượng các mục tiêu biến đổi theo thời gian do sự xuất hiện hoặc biến mất các mục tiêu Số lượng các quan sát không nhất thiết phải bằng số mục tiêu do một số các quan sát là từ mục tiêu và số còn lại là quan sát giả Hơn nữa chúng ta cũng không biết chính xác quan sát nào là từ mục tiêu, quan sát nào là từ nhiễu

Giả sử ở thời điểm 𝑘, có 𝑁(𝑘) trạng thái mục tiêu 𝑥𝑘,1, … , 𝑥𝑘,𝑁(𝑘), mỗi phần tử lấy giá trị trong không gian trạng thái 𝒳 ⊆ ℝ𝑛 𝑥 và 𝑀(𝑘) quan sát 𝑧𝑘,1, … , 𝑧𝑘,𝑀(𝑘), mỗi phần tử lấy giá trị trong không gian quan sát 𝒵 ⊆ ℤ𝑛𝑧 Vì số lượng các trạng thái

và quan sát là thay đổi và thứ tự của chúng không quan trọng nên về mặt toán học có thể biểu diễn chúng dưới hai tập RFS

𝑋𝑘 = {𝑥𝑘,1, … , 𝑥𝑘,𝑁(𝑘)} ⊂ 𝒳

𝑍𝑘 = {𝑧𝑘,1, … , 𝑧𝑘,𝑀(𝑘)} ⊂ 𝒵 Tập hữu hạn 𝑋𝑘 được gọi là trạng thái đa mục tiêu và ℱ(𝒳) là không gian trạng thái

đa mục tiêu, tương tự tập 𝑍𝑘 là quan sát đa mục tiêu và ℱ(𝒵) là không gian quan sát

đa mục tiêu Với ℱ( ) là tập hợp của tất cả các tập con hữu hạn

2.2.1 Mô hình trạng thái đa mục tiêu

Giả sử ở thời điểm 𝑘 − 1 ta đang có trạng thái đa mục tiêu 𝑋𝑘−1 với mỗi mục tiêu

𝑥𝑘−1 ∈ 𝑋𝑘−1 thì hoặc tiếp tục tồn tại ở thời điểm 𝑘 với xác suất 𝑝𝑆,𝑘−1(𝑥𝑘−1) và có trạng thái 𝑥𝑘 ở trạng thái 𝑘 hoặc bị xóa với xác suất 1 − 𝑝𝑆,𝑘−1(𝑥𝑘−1) và lấy giá trị

là tập rỗng ∅ Do đó cho trạng thái mục tiêu 𝑥𝑘−1 ∈ 𝑋𝑘−1 ở thời điểm 𝑘 − 1 thì ở thời điểm 𝑘 tính chất của nó được mô hình bởi một tập RFS Bernoulli [11]

𝑆𝑘|𝑘−1(𝑥𝑘−1) với 𝑟 = 𝑝𝑆,𝑘−1(𝑥𝑘−1) và 𝑝( ) = 𝑓𝑘| 𝑘−1( |𝑥𝑘−1) Tính chất tồn tại hoặc biến mất của các mục tiêu từ thời điểm 𝑘 − 1 tới thời điểm 𝑘 được mô hình bởi tập RFS

2.2.2 Mô hình quan sát đa mục tiêu

Trong phần này trình bày về mô hình quan sát đa mục tiêu dựa trên lý thuyết RFS Cho một mục tiêu 𝑥𝑘 ∈ 𝑋𝑘 ở thời điểm 𝑘, hoặc được phát hiện với xác suất 𝑝𝐷,𝑘(𝑥𝑘)

và sinh ra một quan sát 𝑧𝑘với likelihood 𝑔𝑘(𝑧𝑘|𝑥𝑘), hoặc không được phát hiện với xác suất 1 − 𝑝𝐷,𝑘(𝑥𝑘) và cho một giá trị ∅, tức là mỗi trạng thái 𝑥𝑘 ∈ 𝑋𝑘 sinh một tập RFS Bernoulli 𝐷𝑘(𝑥𝑘) với 𝑟 = 𝑝𝐷,𝑘(𝑥𝑘) và 𝑝( ) = 𝑔𝑘( |𝑥𝑘) Việc phát hiện và

sinh quan sát của tất cả các mục tiêu ở thời điểm 𝑘 được mô hình bởi tập RFS

Tương tự với trường hợp đơn mục tiêu, likelihood đa mục tiêu giữa tập các quan sát

và các mục tiêu được cho bởi:

2.3 Lọc và ước lượng đa mục tiêu

Phần này đưa ra một công thức Bayesian của lọc và ước lượng đa mục tiêu dựa trên lý thuyết RFS

2.3.1 Lọc Bayes đa mục tiêu

Mục đích của lọc đa mục tiêu là kết hợp giữa ước lượng số lượng các mục tiêu

và trạng thái của chúng từ các quan sát Bằng việc mô hình trạng thái đa mục tiêu và các quan sát là các tập RFS, vấn đề lọc đa mục tiêu có thể được đặt ra như là vấn đề lọc Bayes với không gian trạng thái ℱ(𝒳) và không gian quan sát ℱ(𝒵) Theo hướng này, tất cả các thông tin về trạng thái đa mục tiêu thời điểm 𝑘 chứa trong mật độ xác suất của trạng thái đa mục tiêu thời điểm 𝑘 phụ thuộc vào tất cả các quan sát thu được tới thời điểm 𝑘 tức là mật độ hậu nghiệm tại 𝑘

Theo như định nghĩa khái niệm của mật độ và tích phân trong không gian trạng thái và không gian quan sát, công thức đệ quy Bayes đa mục tiêu được chỉ ra như sau Gọi 𝜋𝑘|𝑘−1( |𝑍𝑘) và 𝜋𝑘( |𝑍1:𝑘) là mật độ tiên nghiệm và mật độ hậu nghiệm tại thời điểm 𝑘 Tiếp theo, đệ quy Bayes đa mục tiêu được cho thông qua hai bước: dự đoán

tiên nghiệm Bayes và cập nhật hậu nghiệm Bayes như trong [11]:

Từ công thức tính mật độ đa mục tiêu thấy tồn tại tích phân tập hợp nên việc tính toán đệ quy Bayes đa mục tiêu là khó thực hiện được Do đó cần đơn giản hóa bằng các điều kiện ràng buộc khác nhằm thu được các công thức tính toán đơn giản hơn trong thực tế

2.4.2 Ước lượng trạng thái đa mục tiêu

Sau khi đã ước lượng mật độ hậu nghiệm thì tiếp theo cần ước lượng trạng thái các mục tiêu Các phương pháp ước lượng truyền thống EAP và MAP cho bài toán biến ngẫu nhiên vector đã được chứng minh là không phù hợp với bài toán đa mục tiêu trong [11] Do đó một số các giải pháp cho ước lượng trạng thái đa mục tiêu đã được đưa ra Gọi 𝑋𝑘 là trạng thái đa mục tiêu, 𝜋𝑘( |𝑍1:𝑘) là mật độ hậu nghiệm,

𝜌𝑘( |𝑍1:𝑘) là phân phối số lượng hậu nghiệm và 𝑣𝑘( |𝑍1:𝑘) là hàm cường độ hậu nghiệm

Ước lượng cận biên – Ước lượng Marginal Multi-object (MaM) được định

nghĩa là ước lượng hai bước Đầu tiên, số lượng mục tiêu được ước lượng bằng ước lượng MAP trên phân phối số lượng hậu nghiệm

Ước lượng kết hợp đa mục tiêu – Ước lượng Joint Multi-object (JoM) được định

2.4 Giới thiệu bộ lọc PHD

2.4.1 Bộ lọc PHD tổng quát

Bộ lọc PHD là một xấp xỉ được phát triển để loại bỏ các khó khăn trong tính toán

bộ lọc Bayes đa mục tiêu Thay vì lan truyền mật độ hậu nghiệm theo thời gian, bộ lọc PHD lan truyền cường độ hậu nghiệm, một moment thống kê bậc một của trạng thái hậu nghiệm Cách làm này làm tương tự như bộ lọc 𝛼-filter [12], lan truyền moment bậc một (kì vọng) của trạng thái một mục tiêu

Cho một RFS 𝑋 trên 𝒳 với phân phối xác suất 𝑃, moment bậc một của nó là một hàm không âm 𝑣 trên 𝑋 sao cho với mỗi vùng 𝑆 ⊆ 𝑋

A.2: Quan sát nhiễu phân phối Poisson và độc lập với các quan sát từ mục tiêu A.3: Ước lượng dự đoán tiên nghiệm tập RFS chi phối bởi 𝑝𝑘|𝑘−1 là phân phối Poisson

Hai giả thuyết A.1 và A.2 là chuẩn trong mọi ứng dụng theo dấu đa mục tiêu Riêng giải thuyết A.3 là xấp xỉ hợp lý trong các ứng dụng khi mà tương tác giữa các mục tiêu là không đáng kể

Gọi 𝑣𝑘|𝑘−1 và 𝑣𝑘 là cường độ liên kết với mật độ tiên nghiệm 𝑝𝑘|k−1 và hậu nghiệm 𝑝𝑘 đa mục tiêu Theo [13] thì các cường độ biến đổi như sau

2.4.2 Bộ lọc PHD cho mô hình tuyến tính Gaussian

Trong phần này trình bày một lớp mô hình đa mục tiêu cụ thể đã được giới thiệu trong [13], ở đây là mô hình đa mục tiêu tuyến tính Gaussian; từ các công thức đệ quy trong (2.18), (2.19) thu được các công thức đơn giản hơn

2.4.2.1 Mô hình đa mục tiêu tuyến tính Gaussian

Lời giản cụ thể cho bộ lọc PHD ở đây ngoài các điều kiện A.1-A.3 còn là mô hình đa mục tiêu tuyến tính và các điều kiện sau:

A.4: Mỗi mục tiêu biến đổi theo một mô hình tuyến tính Gaussian và mô hình đo

ma trận hệ số nhiễu quan sát

A.5: Xác suất phát hiện và xác suất tiếp tục tồn tại là độc lập với trạng thái mục tiêu

A.6: Cường độ của quá trình xuất hiện và mở rộng RFS cũng là tổng các thành phần

Gaussian theo công thức

𝒩(𝑥; 𝐹𝛽,𝑘−1(𝑗) 𝜁 + 𝑑𝛽,𝑘−1(𝑗) , 𝑄𝛽,𝑘−1(𝑗) ) (2.25)

Ở đây 𝐽𝛾,𝑘, 𝑤𝛾,𝑘(𝑖), 𝑚𝛾,𝑘(𝑖), 𝑃𝛾,𝑘(𝑖) với 𝑖 = 1, … , 𝐽𝛾,𝑘 là các tham số mô hình được xác định từ hình dạng của hàm cường độ xuất hiện mục tiêu mới 𝐽𝛽,𝑘, 𝑤𝛽,𝑘(𝑖), 𝐹𝛽,𝑘−1(𝑗) , 𝑑𝛽,𝑘−1(𝑗) , 𝑄𝛽,𝑘−1(𝑗)với 𝑗 = 1, … , 𝐽𝛽,𝑘 định nghĩa của cường độ mở rộng mục tiêu với trạng thái cũ là 𝜁

2.4.2.2 Đệ quy bộ lọc PHD cho mô hình tuyến tính Gaussian

Với mô hình đa mục tiêu tuyến tính Gaussian, hai định lý sau sẽ đưa ra một lời giải cụ thể cho đệ quy PHD Chính xác hơn, các định lý cho thấy làm thế nào các thành phần Gaussian của mật độ hậu nghiệm được lan truyền theo thời gian

Định lý 2.1 Giả sử thỏa mãn các điều kiện A.4-A.6 và cường độ hậu nghiệm ở thời

điểm 𝑘 − 1 là gồm các thành phần Gaussian theo công thức

𝑣𝑆,𝑘|𝑘−1(𝑥) = 𝑝𝑆,𝑘 ∑ 𝑤𝑘−1(𝑗) 𝒩(𝑥; 𝑚𝑆,𝑘|𝑘−1(𝑗) , 𝑃𝑆,𝑘|𝑘−1(𝑗) )

𝐽𝑘−1𝑗=1

(2.28)

𝑣𝛽,𝑘|𝑘−1(𝑥) = ∑ ∑ 𝑤𝑘−1(𝑗) 𝑤𝛽,𝑘(𝑙)𝒩(𝑥; 𝑚𝛽,𝑘|𝑘−1(𝑗,𝑙) , 𝑃𝛽,𝑘|𝑘−1(𝑗,𝑙) )

𝐽 𝛽,𝑘−1

𝑙=1

𝐽𝑘−1𝑗=1

(2.30) Khi đó cường độ hậu nghiệm ở thời điểm 𝑘 cũng là hỗn hợp Gaussian được cho bởi

(2.32)

Với 𝑚𝑘|𝑘(𝑗)(𝑧), 𝑃𝑘|𝑘(𝑗) thu được thông qua bước cập nhật của bộ lọc Kalman

Định lý 2.1 và 2.2 được chứng minh trong [13] Từ Định lý 2.1 và 2.2 suy ra, nếu cường độ ban đầu 𝑣0 là hỗn hợp các thành phần Gaussian thì mọi cường độ tiên nghiệm, hậu nghiệm sau cũng sẽ là hỗn hợp các thành phần Gaussian Định lý 2.1 và 2.2 tương ứng chính là bước dự đoán và cập nhật của bộ lọc PHD cho trường hợp mô hình đa mục tiêu tuyến tính Gaussian

Từ việc xem cường độ tiên nghiệm và cường độ hậu nghiệm của bộ lọc PHD là hỗn hợp các thành phần Gaussian, từ đây ta sẽ gọi bộ lọc PHD theo hướng này là GM-PHD (Gaussian Mixture PHD)

2.4.2.3 Các vấn đề trong cài đặt PHD

Bộ lọc GM-PHD tương tự với bộ lọc Gaussian Sum Filter [14] ở điểm cả hai đều lan truyền các thành phần Gaussian theo thời gian Giống như bộ lọc Gaussian Sum Filter, bộ lọc GM-PHD cũng có một số vấn đề tính toán do số lượng các thành phần

Gaussian tăng theo thời gian Chi tiết hơn, ở thời điểm 𝑘 số lượng các thành phần Gaussian để biểu diễn 𝑣𝑘 là

(𝐽𝑘−1(1 + 𝐽𝛽,𝑘) + 𝐽𝛾,𝑘)(1 + |𝑍𝑘|) = 𝒪(𝐽𝑘−1|𝑍𝑘) (2.33) Với 𝐽𝑘−1 là số lượng các thành phần Gaussian của 𝑣𝑘−1 Điều đó nói rằng, số lượng các thành phần Gaussian tăng không có giới hạn

Một thủ tục cắt đơn giản được sử dụng để giảm số lượng các thành phần Gaussian lan truyền tới bước tiếp theo bằng cách loại bỏ các thành phần Gaussian có trọng số nhỏ hơn một ngưỡng hoặc chỉ giữ lại một số các thành phần có trọng số cao nhất Ngoài ra, một số các thành phần Gaussian gần nhau cũng được ghép lại thành một thành phần Gaussian duy nhất trình bày như trong [13]

2.5 Giới thiệu bộ lọc CPHD

Bộ lọc PHD lan truyền moment hậu nghiệm bậc một chứ không phải là mật độ xác suất hậu nghiệm của trạng thái đa mục tiêu Điểm tốt của bộ lọc PHD đó là chỉ thực hiện tính toán trên không gian trạng thái đơn mục tiêu và tránh việc gán quan sát-mục tiêu

Tuy nhiên, tồn tại một giới hạn lớn của bộ lọc PHD đó là thiếu thông tin moment bậc cao hơn một mà sẽ ảnh hướng tới độ chính xác ước lượng số mục tiêu trong trường hợp nhiều nhiễu Bộ lọc PHD chỉ lan truyền thông tin số lượng với một tham

số và xấp xỉ các phân phối số lượng không biết khác bởi phân phối Poisson Vì kì vọng và phương sai của phân phối Poisson là bằng nhau, khi số lượng mục tiêu tăng lên cao thì ước lượng số lượng dựa trên bộ lọc PHD có phương sai lớn Hơn nữa, ước lượng số lượng mục tiêu bằng mật độ hậu nghiệm bị sai số lớn trong trường hợp tỉ số SNR thấp vì lượng quan sát nhiễu lớn

Trong [7], R Mahler loại bỏ giả thuyết phân phối số lượng đối tượng là Poisson

và mở rộng bộ lọc PHD thành bộ lọc CPHD Bộ lọc mới lan truyền cả hàm phân phối cường độ hậu nghiệm và số lượng hậu nghiệm Do đó bộ lọc CPHD có được các điểm tốt của bộ lọc PHD và nâng cao độ chính xác trong ước lượng số lượng

Phần này trình bày một lời giải cho tính toán đệ quy bộ lọc CPHD dưới mô hình Gaussian Dựa trên phân tích các thành phần Gaussian, bộ lọc CPHD cho ước lượng

số lượng mục tiêu trong nhiễu chính xác hơn Bộ lọc CPHD không chỉ không cần thực hiện gán quan sát và mục tiêu như trong các phương pháp truyền thống, mà độ phức tạp cũng chỉ bậc bốn so với độ phức tạp đa thức như thông thường Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng bộ lọc CPHD nâng cao độ chính xác cho ước lượng số lượng cũng như ước lượng trạng thái các mục tiêu so với bộ lọc PHD

Lời giải cụ thể cho bộ lọc CPHD là mở rộng từ bộ lọc PHD Mặc dù cả hai cài đặt lan truyền các thành phần Gaussian theo thời gian, nhưng có hai điểm khác biệt chính Đầu tiên, công thức lan truyền cường độ trong bộ lọc CPHD là phức tạp hơn nhiều Thứ hai, bộ lọc CPHD lan truyền phân phối số lượng hậu nghiệm cùng với cường độ hậu nghiệm Nếu phân phối số lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm là Poison, thì cài đặt của bộ lọc CPHD trở thành cài đặt của GM-PHD trong [13]

2.5.1 Bộ lọc CPHD tổng quát

2.5.1.1 Mô hình hệ thống đa mục tiêu

Bộ lọc CPHD sử dụng các điều kiện và phương pháp tương tự như với bộ lọc PHD, nhưng không dựa trên xấp xỉ RFS Poisson, bộ lọc CPHD dựa trên xấp xỉ IID Cluster RFS [1] Bộ lọc CPHD cần một số giả thuyết sau thỏa mãn:

- Mỗi mục tiêu tiếp tục tồn tại và sinh quan sát độc lập với nhau

- Tập mục tiêu mới sinh là tập RFS IID Cluster và độc lập với tập mục tiêu tồn tại

- Tập nhiễu RFS là tập RFS IID Cluster và độc lập với tập RFS các quan sát thu được từ mục tiêu

Các giả thuyết trên là tương tự với bộ lọc PHD, ngoại trừ mô hình tập RFS được sử dụng Dựa trên mô hình hệ thống đa mục tiêu và các giả thuyết, một lời giải cụ thể cho bộ lọc CPHD được đưa ra và chứng minh trong [15]

2.5.1.2 Đệ quy bộ lọc CPHD tổng quát

Kí hiệu 𝐶𝑗𝑙 = 𝑙!

𝑗!(𝑙−𝑗)! và 𝑃𝑗𝑛 = 𝑛!

(𝑛−𝑗)! là các tổ hợp chập và chỉnh hợp chập tương ứng, 〈 | 〉là tích trong định nghĩa giữa hai hàm giá trị thực

〈𝛼, 𝛽〉 = ∫ 𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)𝑑𝑥 hoặc giữa hai chuỗi số thực

〈𝛼, 𝛽〉 = ∑ 𝛼(𝑙)𝛽(𝑙)

∞

𝑙=0

Đặt 𝑣𝑘|𝑘−1 và 𝜌𝑘|𝑘−1 là phân phối cường độ và số lượng của trạng thái tiên

nghiệm đa mục tiêu, 𝑣𝑘 và 𝜌𝑘 là phân phối cường độ và số lượng của trạng thái hậu

nghiệm đa mục tiêu Định lý sau sẽ chỉ rõ phân phối cường độ và số lượng hậu nghiệm

được lan truyền theo thời gian

Định lý 2.3 Nếu ở thời điểm 𝑘 − 1, cường độ hậu nghiệm 𝑣𝑘−1 và phân phối số lượng

hậu nghiệm 𝜌𝑘|𝑘−1 được cho, khi đó phân phối tiên nghiệm số lượng 𝜌𝑘|𝑘−1 và cường

độ 𝑣𝑘|𝑘−1 được cho bởi

𝜌𝑘|𝑘−1(𝑛) = ∑ 𝜌Γ,𝑘(𝑛 − 𝑗)Π𝑘|𝑘−1[𝑣𝑘−1, 𝜌𝑘−1](𝑗)

𝑛 𝑗=0

(2.34)

𝑣𝑘|𝑘−1(𝑥) = ∫ 𝑝𝑆,𝑘(𝜁)𝑓𝑘|𝑘−1(𝑥|𝜁)𝑣𝑘−1(𝜁)𝑑𝜁 + 𝛾𝑘(𝑥) (2.35) với

Π𝑘|𝑘−1[𝑣, 𝑝](𝑗) = ∑ 𝐶𝑗𝑙〈𝑝𝑆,𝑘, 𝑣〉𝑗〈1 − 𝑝𝑆,𝑘, 𝑣〉𝑙−𝑗

∞ 𝑙=𝑗

(2.36)

Định lý 2.4 Nếu ở thời điểm 𝑘, cường độ tiên nghiệm 𝑣𝑘|𝑘−1 và số lượng tiên nghiệm

𝜌𝑘|𝑘−1 được cho như trên, khi đó phân phối số lượng hậu nghiệm 𝜌𝑘 và cường độ hậu

nghiệm 𝑣𝑘 được cho bởi

𝑗=0

𝑒𝑗(Ξ𝑘(𝑣, 𝑍))(2.39)

là không liên kết với nhau trong khi trong phân phối cường độ và số lượng hậu nghiệm thì kết hợp với nhau Tuy nhiên, cường độ hậu nghiệm trong CPHD là tương tự với trong PHD theo nghĩa cả hai đều có thành phần thể hiện không phát hiện được mục tiêu và |𝑍𝑘| thành phần phát hiện được Phân phối số lượng hậu nghiệm bao gồm cả

số lượng nhiễu, các quan sát đúng, cường độ tiên nghiệm và phân phối số lượng tiên nghiệm Trong công thức (2.38), Định lý 2.4 có thành phần Υ𝑘0[𝑣𝑘|𝑘−1; 𝑍𝑘](𝑛) là likelihood của tập quan sát đa mục tiêu 𝑍𝑘 nếu có 𝑛 mục tiêu, và

〈Υ𝑘0[𝑣𝑘|𝑘−1; 𝑍𝑘], 𝜌𝑘|𝑘−1〉 là hằng số chuẩn hóa

2.5.2 Bộ lọc CPHD cho mô hình tuyến tính Gaussian

2.5.2.1 Mô hình hệ thống đa mục tiêu tuyến tính

Mô hình hệ thống đa mục tiêu tuyến tính của bộ lọc CPHD cũng chính là mô hình được trình bày với bộ lọc PHD trong Phần 2.4.2.1

2.5.2.2 Đệ quy bộ lọc CPHD tuyến tính Gaussian

Với mô hình đa mục tiêu tuyến tính Gaussian, hai định lý sau trình bày lời giải

cụ thể cho thấy các phân phối cường độ hậu nghiệm và số lượng hậu nghiệm lan truyền theo thời gian đã được trình bày trong [15]

Định lý 2.5 Nếu ở thời điểm 𝑘 − 1, phân phối cường độ hậu nghiêm 𝑣𝑘−1 và số lượng hậu nghiệm 𝜌𝑘−1 đã có, và 𝑣𝑘−1 là gồm các thành phần Gaussian như sau

𝑣𝑘−1(𝑥) = ∑ 𝜔𝑘−1(𝑖) 𝒩(𝑥; 𝑚𝑘−1(𝑖) , 𝑃𝑘−1(𝑖) )

𝐽𝑘−1𝑖=1

(2.42) thì 𝑣𝑘|𝑘−1 cũng gồm các thành phần Gaussian và ước lượng tiên nghiệm GM-CPHD

theo công thức sau

𝜌𝑘|𝑘−1(𝑛) = ∑ 𝜌Γ,𝑘(𝑛 − 𝑗) ∑ 𝐶𝑗𝑙𝑝𝑘−1(𝑙)𝑝𝑆,𝑘𝑗 (1 − 𝑝𝑆,𝑘)𝑙−𝑗

∞ 𝑙=𝑗

𝑛 𝑗=1

Với 𝑚𝑆,𝑘|𝑘−1(𝑗) , 𝑃𝑆,𝑘|𝑘−1(𝑗) là ước lượng dự đoán theo bộ lọc Kalman

Định lý 3.6 Nếu ở thời điểm 𝑘, phân phối cường độ tiên nghiệm 𝑣𝑘|𝑘−1 và số lượng

tiên nghiệm 𝜌𝑘|𝑘−1 đã có và cường độ tiên nghiệm 𝑣𝑘|𝑘−1 gồm các thành phần

Gaussian theo công thức

𝑣𝑘|𝑘−1(𝑥) = ∑ 𝜔𝑘−1(𝑖)

𝐽𝑘|𝑘−1

𝑖=1

𝒩 (𝑥; 𝑚𝑘|𝑘−1(𝑗) , 𝑃𝑘|𝑘−1(𝑗) ) (2.46)Thì 𝑣𝑘 cũng gồm các thành phần Gaussian và cập nhật theo công thức

(2.48)với

2.5 và 2.6 nếu phân phối cường độ và số lượng ban đầu 𝑣0, 𝜌0 là các thành phần

Gaussian thì mọi cường độ tiên nghiệm 𝑣𝑘|𝑘−1 và cường độ hậu nghiệm 𝑣𝑘 cũng bao

gồm các thành phần Gaussian

Tương tự như với bộ lọc PHD, các giới hạn về tính toán, vấn đề gia tăng nhanh

số lượng thành phần Gaussian, bộ ước lượng được dùng để ước lượng trạng thái đa

mục tiêu và các phương pháp xử lý cũng tương tự nên không cần đề cập lại

2.6 Đánh giá bộ lọc PHD và CPHD

Hai bộ lọc GM-CPHD và GM-PHD là các lời giải cụ thể cho phương pháp đệ

quy của bộ lọc CPHD và PHD tương ứng trong trường hợp mô hình chuyển đổi trạng

thái và mô hình đo là tuyến tính Gaussian Tuy nhiên còn tồn tại một số vấn đề đặt ra

mà hai bộ lọc này chưa giả quyết được như đã được nêu trong Phần 1.3, tiếp cận của

luận văn Xin được nhắc lại như sau:

- Hai bộ lọc chưa đưa ra được phương pháp quản lý nhãn mục tiêu, giúp phân biệt

các mục tiêu với nhau, duy trì được các thông tin phụ trợ khác nếu có

- Hai bộ lọc chưa đưa ra được lời giải cho trường hợp hệ thống sử dụng nhiều cảm

biến, một mục tiêu có thể thu được các quan sát khác nhau từ các cảm biến khác

nhau

Đây chính là hai đóng góp của luận văn nhằm hoàn thiện các bộ lọc PHD, CPHD