Câu 42: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox ( O là vị trí cân bằng của chúng ), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau... [r]
Trang 1DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Câu 1 Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động là : x1
= A1 cos(ω1t + φ) cm, x2 = A2 cos( ω2t + φ) cm ( với A1 < A2 , ω1< ω2 và 0< < /2) Tại thời điểm ban đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a Tại thời điểm t = Δt hai điểm sáng cách nhau là 2a, đồng thời chúng vuông pha Đến thời điểm t = 2Δt thì điểm sáng 1 trở lại vị trí đầu tiên và khi
đó hai điểm sáng cách nhau 3 Tỉ số ω1/ω2 bằng:
Giả sử ban đầu, A1 (véctơ màu đỏ) và A2 (véctơ màu xanh) (t = 0) biểu diễn như hình vẽ Chọn a = 1 (cm) cho đơn giản Ta có: x1 = A2cos - A1cos =
(A2 – A1)cos = a 3= 3(cm) (1)
Do sau t = 2t điểm sáng 1 quay về vị trí ban đầu lần 1 nên (tại
t = 2t và tại t = 0) hai thời điểm đối xứng nhau qua trục Ox
Suy ra tại t = t, điểm sáng 1 ở vị trí biên âm và do 2 chất điểm
vuông pha nên điểm sáng 2 ở vị trí cân bằng Suy ra: x2 = A1 = 2a =
2 (cm) (2)
Tại t = 2t thì điểm sáng 2 có (t = 2t và t = 0) hai thời điểm
đối xứng nhau qua trục Oy (hình vẽ)
Suy ra: x3 = A2cos + A1cos = (A2 + A1)cos = 3a 3 = 3
3 (cm) (3)
Từ (1), (2) và (3)
1 2
0
Từ đó suy ra: t =
t =
2, 5
C2 : Vì sau thời gian 2t chất điểm 1 về lại vị trí ban
đầu nên xảy ra 2 trường hợp sau:
TH 1: Sau thời gian 2t Vector quay A 1 về vị trí ban đầu.
Khi đó tại thời điểm t A1 quay được nửa vòng mà ở thời điểm t A2 vuông góc với A1 nên nó quay được ¼ vòng Vậy ko có đáp án hoặc tính toán góc phi để loại
TH 2: Sau thời gian 2t Vector quay A 1 đến vị trí đối xứng với vị trí ban đầu qua trục ox.
Khi đó ta có giản đồ vector quay như sau:
Từ giản đồ ta có:
từ trên giải được
Do đó sau thời gian t quay được góc
1500 còn quay được góc 600
vậy
Trang 2Câu 2: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng
trung bình cộng của hai biên độ thành phần; có góc lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là
900 Góc lệch pha của hai dao động thành phần đó là
Ta có: A1 + A2 = 2A, dựa vào giản đồ:
A
2
Từ đó A2 = 5A/4 cos = A/A2 = 36,90 độ lệch
pha của 2 dao động là: 900 + 36,90 = 126,90
Câu 3: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là
(rad s/ )
Tổng biên độ dao động của hai vật là 10 cm Trong quá trình dao động vật một có biên
độ A1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc
v2 ( cm/s ) Biếtx v1 2x v2.1 9(cm s2/ ) Giá trị của có thể là:
A 0,1 rad/s B 0,4 rad/s C 0,2 rad/s D 0,3 rad/s
9
x v x v 9 x A x x A x 9
x A x x A x
Ta có: x A1 22 x22 x A2 12x12 [x12( A12x ) ].[x12 2 22( A22x ) ]22 2
(BĐT Bunhiacopxki)
Biến đổi:
2
(A A )
x A x x A x A A
4
(BĐT cosi)
Từ đó suy ra:
0,36
4
(rad/s) chọn B
Câu 4: Một vật thực hiện một dao động điêu hòa x = Acos(2πt + φ) là kết quả tổng hợp của hai dao
động điều hòa cùng phương có phương trình dao động x1 = 12cos(2πt + φ1) cm và x2 = A2cos(2πt +
φ2) cm Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x2 = 0 thìx6 3 cm
.Giá trị của A có thể là :
Ta có: x = x1 + x2
Tại thời điểm t1: x2 = x – x1 = 1 (cm) và x1 = A1/2
Trên vòng tròn có 2 vị trí có li độ x1 = -6, chọn 1 vị trí cố định
Tại thời điểm t2 : x1 = x – x2 = 6 3 (cm) =
1
A 3 2 Trên vòng vòng có 2 vị trí có li độ x1 = 6 3 (chọn 1 vị trí để
giải, nếu có đáp án thì chọn, không có giải trường hợp còn lại là
đúng)
Cung màu đỏ biểu diễn véctơ quay của A1 từ t1 đến t2 là 1500
Từ đó suy ra véctơ quay của A2 cũng quay 1500 từ t1 đến t2 như hình vẽ
Trang 3Dễ dàng suy ra A2 = 2 (cm), tại thời điểm t1, A1 và A2 lệch nhau 600 (độ lệch pha không đổi theo thời gian)
Suy ra : A A12 A222A A cos601 2 0 172 13,11 (cm).
Câu 5: Khi đưa một vật lên một hành tinh, vật ấy chỉ chịu một lực hấp dẫn bằng 0,25 lực hấp dẫn
mà nó chịu trên trái đất Giả sử một đồng hồ quả lắc chạy rất chính xác trên bề mặt Trái đất được đưa lên hành tinh đó Khi kim phút của đồng hồ này quay được một vòng thì thời gian trong thực tế là:
Giải: Do P’ = 0,25P nên g’ = 0,25g
Trên bề mặt rái đất: T = 2π; Trên hành tinh: T’ = 2π = 2π = 2T
Do đó khi T’ = 1h thì T = 0,5h Đáp án A
Câu 6: Một ô tô nặng 1000 kg chở 4 người, mỗi người nặng 60 kg đi qua con đường đất gồ ghề, với
những nếp gấp (chỗ gồ ghề) cách đều nhau 4,5m Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi tốc độ của nó
là 16,2 km/h Bây giờ ô tô dừng lại và 4 người ra khỏi xe Lấy g = 10m/s2, 2 = 10 Thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo của nó một đoạn là
Giải: vận tốc v = 16,2 km/h = 4,5 m/ s
Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi chu kỳ dao động của lò xo T = = = 1 s
T = 2π Độ cứng của lò xo k = = = 49,6.103 N/m
Khi 4 người xuống xe thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo một đoạn
l = = = 0,048m = 4,8 cm Đáp án A
Câu 7: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là(rad s/ ) Tổng biên độ dao động của hai vật là 10 cm Trong quá trình dao động vật một có biên độ A1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2 ( cm/s ) Biếtx v1 2x v2.1 9(cm2/ )s .
Giá trị của có thể là:
A 0,1 rad/s B 0,4 rad/s C 0,2 rad/s D 0,3 rad/s
9
x v x v 9 x A x x A x 9
x A x x A x
Ta có: x A1 22 x22 x A2 12x12 [x12( A12x ) ].[x12 2 22( A22x ) ]22 2
(BĐT Bunhiacopxki)
Biến đổi:
2
(A A )
x A x x A x A A
4
(BĐT cosi)
Từ đó suy ra:
0,36
4
(rad/s) chọn B
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với phương trình x =Acos( t + ) Lấy 2 10 Vị trí mà vận tốc tức thời bằng vận tốc trung bình của vật trong một chu kì có tọa độ là :
Trang 4A1 A3
A2 A12 A23
300 600
A
15 5
A
x
B
2 3
A
x
C
2 2
A
x
D
3 5
A
x
Giải : x =Acos( t + ) => v = - ω A sin (ωt + φ)
Trong 1 chu kỳ thì vtb = 4A/T= 2Aω /π
Thay v = vtb vào phương trình độc lập với thời gian => x2 = A2 – v2/ ω2 = 3A2/5 => x =
3 5
A
x
=> D và A
Câu 9: Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình dao
động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2) Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
Giải: nT mT n. m. n m n min t min T s
Câu 10: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai
đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8
cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M
và động năng của N là
A
4
3
9
16
9
Giải:
Khoảng cách 2 vật: d x1x2 A cos( t ) dMax A A12 A22
Suy ra x1 x2 vuông pha
Khi tại M có động năng bằng thế năng :
2
1 1
2 2
A 2
Do N,M dao động vuông pha:
2 N
Do đó:
2
2
W A 16
Câu 11: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 =
A1cos(ωt + φ1); x2 = A2cos(ωt + φ2) và x3 = A3cos(ωt + φ3) Biết A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π Gọi x12 = x1 + x2 là dao động tổng hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3 là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ Giá trị của A2 là:
A A2 ≈ 3,17 cm B A2 ≈ 6,15 cm C A2 ≈ 4,87 cm D A2 ≈ 8,25 cm
Theo đồ thị có x23=4cos(t+/2) cm=x2+x3 vì x12 sau cực đại âm sau x23 T/6 nên nó chậm pha hơn
/3
=>x12=8cos(t+/6) cm=x2+x1
Trang 5= 0,6 X2 X1
X
-X2
y X2
Cách 1: A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π ó x1=-1,5x3
1,5x23=6cos(t+/2)=1,5x2+1,5x3
x12=8cos(t+/6) cm=
6cos(t+/2)+ 8cos(t+/6)= 1,5x2+1,5x3 +x2+x1=1,5x2+x2=2,5x2=2Ö37cos(t+55,3/180)cm
óA2=4,866
Cách 2: x12- x23=x1-x3=8cos(t+/6) - 4cos(t+/2) = 4cos(t)
vì A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π nên φ1=0 (đồng pha với φ1-3)
A3=cm
Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và
song song với trục Ox có phương trình lần lượt làx1 A1cos( t 1) và x2 A2cos( t 2) Gỉa sử
1 2
x x x và y x 1 x2 Biết biên độ dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y Độ lệch
pha cực đại giữa x1và x2 gần với giá trị nào nhất sau đây:
Giải: Đặt = 2 - 1 Gọi biên độ của y là A; khi đó biên độ của x là 2A
Vẽ giãn đồ véc tơ biễu diễn x1, x2, x và y
Ta có: 4A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos (1)
A2 = A1 + A2 - 2A1A2cos (2)
Lấy (1) + (2): 5A2 =2( A1 + A2) (*)
(1) - (2): 3A2 = 4A1A2cos (**)
Từ (*) và (**) cos = = 0,3( X + ) với X = >0
Độ lệch pha giữa x1 và x2 có giá trị cực đại khi cos có giá trị cực tiểu
cos = 0,3( X + ) có giá trị cực tiểu khi X = 1 tức khi A1 = A2
- cosmax = 0,6 - max = 53,13 0 Chọn đáp án B
Câu 13: Cho hai chất điểm dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động
tương ứng là : x1 A cos( t+ ); x1 1 2 A cos( t+ ).2 2 Biết rằng 2 2
4x 9x 25. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x1 2cm, vận tốc bằng 9 m/s thì vận tốc của chất điểm thứ hai có độ lớn bằng:
Giải:
2 2
4 2 9x 25 x 1cm lấy đạo hàm 2 2
1 1
2
Câu 14: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với
trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động
Trang 6của hai vật lần lượt là 1 4 4
3 cos
x t cm
và 2 4 2 4
12 cos
Tính từ t = 0, hai vật cách nhau 2 cm lần thứ 2013 tại thời điểm:
A 2013
B 2013
C 2013
D 2013
Giải:
Bấm máy tính để xác định ptdd khoảng cách:
2 1
d x x 4cos 4 t 6 cm
+
t 0
0
x 2cm
Khi t 0
laàn 2013
Trong một chu kỳ thì vật có k/c d=2cm 4 lần(hiển thị trên hình) Kết quả:
2013 1 2012 1 T
t t t t 503T 4503T
Câu 15: Một chất điểm dao động điều hoà không ma sát dọc theo trục Ox Biết rằng trong quá trình
khảo sát chất điểm chưa đổi chiều chuyển động Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn s thì động năng của chất điểm là 13,95 mJ Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn 12,60 mJ Nếu chất điểm đi thêm một đoạn s nữa thì động năng của nó khi đó là:
A 11,25 mJ B 8,95 mJ C 10,35 mJ D 6,68 mJ
Giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng:
Từ đó suy ra:
Câu 16: Dụng cụ đo khối lượng trong một con tàu vũ trụ có cấu tạo gồm một chiếc ghế có khối
lượng m được gắn vào đầu của một chiếc lò xo có độ cứng k = 480 N/m Để đo khối lượng của nhà
du hành thì nhà du hành phải ngồi vào ghế rồi cho chiếc ghế dao động Người ta đo được chu kì dao động của ghế khi không có người là T0 = 1 s còn khi có nhà du hành là T = 2,5 s Khối lượng nhà du hành là
Giải:
- Nhận xét: Chiếc ghế có cấu tạo giống như một con lắc lò xo treo thẳng đứng, ghế ở phía trên, lò
xo ở phía dưới Gọi khối lượng của ghế là m (kg), của người là m0 (kg)
- Khi chưa có người ngồi vào ghế: (1)
2
2
2
2
đ
đ3 đ1 đ1 đ 2
2
3
T
k
Trang 7- Khi có người ngồi vào ghế: (2).
- Từ (1) và (2), ta có:
Câu 17: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là
vị trí cần bằng của cả hai chất điểm) Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5 πt +π/2)cm và y =4cos(5πt – π/6)cm Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = cm và đang đi theo chiều
âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
Giải : Chọn D
t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm
y = , vy >0, chất điểm y đi từ ra biên
* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí hết thời
gian T/6
* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ ra
biên dương rồi về lại đúng
* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
Khoảng cách giữa 2 vật là cm
Câu 18: Hai điểm sáng M và N dao động điều hòa trên trục Ox (gốc O là vị trí cân bằng của chúng)
với phương trình lần lượt là x1=5cos(4 t+/2)cm; x2 =10cos(4t + /3) cm Khoảng cách cực đại giữa hai điểm sáng là
A 5 cm B 8,5cm C 5cm D 15,7cm
Giải : Chọn C
Câu 19: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình dao
động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + 1) và x2 = Acos(4πt + 2) Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
A 4s B 3s C 2s D 1s
Giải: Chu kì dao động của 2 vật: T1 = 1
2
=
3
2 = 3
2 (s); T2 = 2
2
=
4
2 = 2
1 (s) Khoảng thời gian để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
0
2 m m 2,5
T
k
2 0
0
63 ( 10)
m m
m
k m
k
3
3
x
2 3
y
2 3
y
2 2
3 2 3 15
1 2
+ Chó ý víi bµi to¸n t×m kho¶ng c¸ch hay thêi gian gÆp nhau th× ta tÝnh hoÆc + Quay l¹i bµi to¸n: 5cos 4 max x 5
Trang 8IV
x
A
A/2
M4
2
30
3 2
∆
1
A
A
2
A
10cm
/3 /6
/6 φ
α
O
t = n1T1 = n2T2 với n1; n2 nguyên dương => 3
2
n1 = 2
1
n2 => n1 = 3n; n2 = 4n
Do đó t = 3nT1 = 4nT2 = 2n (s) n = 0 ứng với t = 0
Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là t = 2 (s) (n = 1)
Đáp án C
Câu 20 : Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đường thẳng mà trên đó có 7 điểm
M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7 xung quanhvị trí cân bằng O trùng M4 Cho biết trong quá trình dao
động cứ 0,05s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1,M2,M3, O(M4), M5,M6,M7 và tốc độ của nó lúc đi qua các điểm M2 là 20π cm/s Biên độ A bằng?
Cách : Dùng vòng tròn lượng giác :
Theo đề suy ra góc quay ứng 0,05s là 300 hay /6
Mà chu kỳ T ứng 2 Hay T= 0,05 2/ /6 =0,6s
=>
Biên độ:
Câu 21: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa
và , phương trình dao động tổng hợp của vật là cos( )
3
x A t
Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2 bằng bao nhiêu?
A 10 cm B 20cm C 20 / cm D 10/ cm
Giải 1:
Mà ta có
=>Amax = Để A = Amax/2 = 10 thi
Giải 2: Ta có:
3
/ 0,6 6 Rad s
T
2 2
2
3 (20 ) 36
4 (20 ) 3
12
A
1
110cos t
2
cos 2 2
t A
x
6 sin
sin sin
6 sin
1 1
2 1 max
20 3 cos
1
A
3 10 6
sin
2 1
A
A
Trang 9A
Phương trình trên luôn có nghiệm nên:
Khi A=10(cm) từ (*) suy ra:
Giải 3:
* Định lý hàm số sin trong tam giác
Amax = 20cm khi α = 900
* Khi A=Amax/2 =10 cm Dùng định lý hàm số cos trong
Câu 22: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt) Tỉ số giữa tốc độ trung bình và
vận tốc trung bình khi vật đi được sau thời gian 3T/4 đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A 1/3 B 3 C 2 D 1/2
Giải:
Vận tốc trung bình:
2 1 tb
2 1
x x
v =
t t
,Δx = x2x1 là độ dời Vận tốc trung bình trong một chu kỳ luôn bằng không
Tốc độ trung bình luôn khác 0: tb 2 1
S
v =
t t trong đó S là quãng đường vật đi được từ t
1 đến t2
Tốc độ trung bình:
tocdo
3T
4 (1); chu kỳ đầu vật đi từ x1 = + A (t1 = 0) đến x2 = 0 (t2 = ) (VTCB theo chiều dương)
Vận tốc trung bình:
2 1 van toc tb
2 1
3T
4
(2) Từ (1) và (2) suy ra kết quả bằng 3.
Câu 23: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ: x = 4cos(8πt –2π/3) cm Thời gian vật
đi được quãng đường S = (2 + 2 2) cm kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A 1/12 B 5/66 C 1/45 D 5/96
Giải:
Vật xuất phát từ M đến N thì đi được quãng đường S = 2 + 2 2 Thời
gian:
Câu 24: Một chất điểm dao động đh trên trục Ox.Tốc độ trung bình của chất điểm tương ứng với
khoảng thời gian thế năng không vượt quá 3 lần động năng trong 1 nửa chu kì là 300√3 (cm/s)Tốc
độ cực đại của dao động là:
A.400 cm/s B.200 cm/s C.2 m/s D.4 m/s
Giải:
2
A 10 3 cm
1
OA A
10
.sin
sin
6
1
OA A
Trang 10Thế năng không vượt quá 3 lần động năng:
w
w 3w w
3
3 2
t
T d d
T d T
k A x
Góc quay AOB=
2 3
,thời gian quay: t
Quãng đường trong một nửa chu kì ứng chất điểm quay từ A đến B là: 3A
Tốc độ trung bình:
ax 3
300 3 2
3
m tb
v
S A A
v
t
Suy ra vmax=2π (m/s)
Câu 25: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì là T = 2s Biết khoảng thời gian
ngắn nhất để vật đi từ x1 = 1,8cm theo chiều dương đến x2 = theo chiều âm là 1/6 s Biên độ của dao động là:
A A= cm B A = cm C A = cm D.A = cm Giải:
gọi pha dao động khi vật có ly độ x2 là ta có
(sd giải PT bằng máy tính)
Câu 26: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là A = 4cm, khi vật đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của vật là 40cm/s Tại thời điểm t1 vật có vận tốc v1 = 10 cm/s và gia tốc có giá trị âm Trước đó π/60 s vận tốc của vật có giá trị:
Giải:
pha ban đầu của vận tốc (trên trục O v) là
trước đó tức là lúc đó pha của vận tốc là
vận tốc lúc này là