Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số góc thay đổi được... Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện[r]
Trang 1Bài toán URLmax và URCmax khi tần số thay đổi
Bài toán này đã được rất nhiều các tác giả đã khảo sát từ rất lâu và đều theo một ý tưởng chung là dùng đạo hàm và khảo sát hàm số Có thể rất nhiều người đã tìm ra kết quả này trước (nhưng họ không công bố) Mới đây hai thầy Hứa Lâm Phong và Nguyễn Đình Yên đã làm lại theo kĩ thuật mới nên
nó trở nên đặc sắc hơn
Cách 1 : Của Hứa Lâm Phong (công bố vào lúc 17h29 ngày 23/12/2014)
[VL5K] Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuẩn có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện
có điện dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số góc thay đổi được Chỉnh đến giá trị 1 (rad/s) thì điện áp hai đầu UAN đạt cực đại Từ giá trị 1 đó giảm tần số góc đi 40 (rad/s) thì điện áp hai đầu UMB đạt cực đại và khi đó hệ công suất của mạch bằng 3
10 Giá trị của 1 gần với giá trị nào nhất sau đây ?
A 48 rad/s B 76 rad/s C 89 rad/s D 54 rad/s
Ta có A -[L] -M -[R] -N -[C] -B
Ta Có ULR = IZLR = U
Z ZLR =
U
Z
Z LR
Đặt M2 = Z
2
ZLR2
= R
2
+ (ZL - ZC)2
R2 + ZL2
= 1 + ZC
2
- 2ZLZC
R2 + ZL2
= 1 +
1 - 2LC 2
C 22 R 2 + C 2 L 24
Chỉnh « thêm « = R URmax CỘNG HƯỞNG R2 = 1
LC (quá quen rồi nhé !)
Khi đó M2 = 1 + 1 - 2LC
2
C 22 R 2 + C 2 L 24 Đặt f (X =
2
> 0) = 1 - 2LC
2
C 22 R 2 + C 2 L 24 f(X) =
1 - 2LCX
C2R2X + C2L2X 2
(lấy đạo hàm nhanh ^^) f ‘(X) = 2L
3
C3X 2 - 2L2C2X - C2R2 (C2R2X + C2L2X2)2
Trang 2Xét f ‘(X) = 0 2CL3X 2 - 2L2X - R2 = 0 X = LR 2 = 1
2LC
2
C
L
(1)
(Tương tự ta có chỉnh để RC URC_max Y = CR 2 = 1
C 2 R 2
1 + 2R
2
C
L - 1
(2)
Xét (1) nhân (2) X.Y = LR2 CR2 = 1
L2C2 = R
4
LR CR = R 2 Với kết quả tuyệt vời vừa rồi ta có thể chứng minh thêm một kết quả đẹp khác nữa
Xét tan2X =
ZL - ZC
2 = (LCX
2
- 1)2
R2C2X2 =
X2
R2 - 1
2
R2
L2.
X2
R4
và tan2Y =
Y2
R2 - 1
2
R2
L2
Y2
R4
Lập tỉ số tan
2
X
tan2Y
= Y
2
X2
X
Y
- 1
2
Y
X
- 1
2 =
Y2
X2
(X - Y)2
Y2
(Y - X)2
X2
= 1 tan X = tan Y cos X = cos Y
Từ (1) ta có : 2LC X 2 = 1 + 1 + 2R
2
C
L 1 + 2R
2
C
L = 2
X2
R2 - 1 > 0 ( X >
R
2)
2
C
L = 4
X 4
R
4 - 4X
2
R
2 + 1 (LC = 1
R
2) 2R
2
L2
1
R2
= 4X
4
R4
- 4X
2
R2
R
2
L 2 =
2 X 2 ( X 2 - R 2 )
R 2
(3) R
2
ZL2
= 2(X
2
- R2)
R2
tan 2LR = 1
2 .
R 2
X 2 - R 2 (Tự đồng bào phát triển công thức tiếp ha ^^)
Trở lại tan2X =
X2
R2
- 1
2
R2
L2.
X 2
R4
thay (3) vào ta được: tan 2 X = 1
2
( X 2 - R 2 ) R 2
X 4 =
1 2
( X - Y ) Y
X 2
Nếu đặt X = nY tan 2 X = 1
2
n - 1
n 2 theo đề bài ta có X
Y =
X
X - 40 = n = 3 X = 60 rad/s
chọn D
Lời bình : Hai kết quả mới đáng quan tâm nhất của Hứa Lâm Phong là :
1) Nhận ra dấu hiệu bản chất nằm ở đại lượng n = Y / X và biểu thức tan
2) Rút ra hai biểu thức đẹp X và Y
Trang 3Cách 2 : Của Nguyễn Đình Yên (công bố vào lúc 18h ngày 23/12/2014)
Bài toán thay đổi để URL max
2 2
2 2
2 2 L
2 2 2
1
C
C
R L
y
x Để URL max thì ymin y ' 0
Ta có
2
2L
0 0
với
2
2
2 2
2
3
2
3
.R
2L C
.R
2L C
Ta có bảng biến thiên
x x1 0 0 x2 0
y' 0
y
0
ymin
RL
U
URL max
0
U
Trang 4Biến đổi nghiệm
2
2
3
.R
2L C
2
2 2
2
2
.R
2L
* Nhân cả hai vế với 2
L ta được
2
2 2
2 L
R
Z
2
* Nhân cả hai vế với 2
C rồi nghịch đảo ta được
2 2 2
C
2
2 2
L 2.
C Z
R
Đặt
2
2 2
2 L 2 2 2 C
Y Z 2 L 2.
C Z Y
và
L C
C L
L Z 2.
C L 2.
và 2
Y 2L
Bài toán thay đổi để URL max
2 2
C
2
2 2
2L
L 1
C
1 R C
Xét hàm
y
x
với 2
x Để URC max thì ymin y ' 0
Ta có
2 2
2
2
2L
0
với
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
.R
L R
.R
L R
Trang 5
Ta có bảng biến thiên
x x1 0 0 x2 0
y' 0
y
0
y min
RC
U
URC max
U
0
Biến đổi nghiệm
2
2
2 2
.R
L R
2 2 2
2
2
L 2.
C
* Nhân cả hai vế với 2
L ta được
2 2 2
L
2
2 2
L 2.
C Z
R
* Nhân cả hai vế với 2
C rồi nghịch đảo ta được
2
2 2
2 C
R
Z
2
Đặt
2
2 2
2 C 2 2 2 L
Y Z 2 L 2.
C Z Y
và
C L
L C
L Z 2.
C L 2.
và 2
2 YC
(^-^)Công thức tính nhanh về góc Giả sử RL
RC
n
(^-^) Ta có RL
RC
Y L 2.
C
RL
L 2 C Y
2
+ Khi RL hay RL L
Z n Z
1 tan tan
2n
1 tan tan
2n
và tan 1 n 1
+ Khi RC hay RL C
Z n Z
1 tan tan
2n
1 tan tan
2n
và
1 n 1
tan
Ví dụ áp dụng Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở
thuần R và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện
trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không
đổi và mạch có tần số góc thay đổi được Chỉnh đến giá trị 1rad / s thì điện áp hai
đầu U AN đạt cực đại Từ giá trị 1 đó giảm tần số góc đi 40 rad / s thì điện áp hai đầu U MB
Trang 6đạt cực đại và khi đó hệ số công suất của mạch bằng 3
10 Biết rằng 1 nhỏ hơn 100 rad/s Giá trị của 1 gần với giá trị nào nhất sau đây
A 48 rad/s B 76 rad/s C 89 rad/s D 54 rad/s
Lời giải:
n
40
3
cos
10
nên
1
1
n 3 60 rad / s
2
Chọn đáp án D
(^-^)Công thức tính nhanh về góc Giả sử RL
RC
Y n L 2.
C
+ Khi RL hay RL L
Z n Z
1 tan tan
2n
1 tan tan
2n
và tan 1 n 1
+ Khi RC hay RL C
Z n Z
1 tan tan
2n
1 tan tan
2n
và
1 n 1
tan
+ Khi RL RL L
Z n
Z
L
Y Z 2
2
2.Z Z Z Z Z 2Z Z R
2Z 2Z Z Z R
L
.
L
tan tan
+ Khi RC RL C
Z n
Z
C
Y Z 2
2
2.Z Z Z Z Z 2Z Z R
2Z 2Z Z Z R
C
.
C
.
C
tan tan
Trang 7Ta có bảng chuẩn hóa
RC
RL n RC
+ Khi RL RL
1 tan tan
2n
n 2n 2
Vậy tan 1 n 1
1 tan tan
2n
+ Khi RC tan 1 n
n 2n 2
Vậy tan 1 n 1
RL
1 tan tan
2n
(^-^)Tìm biểu thức URL max và URC max theo RL
RC
n
2 2 L
1
Z 2Z Z 1
Theo bản chuẩn hóa ta có L
C
R n 2n 2
Ta có được
2
2
n
Lời bình: Ba kết quả mới đáng chú ý nhất của Nguyễn Đình Yên là
1) Dẫn ra biểu thức đẹp Y
2) Phát hiện ra bản chất để chuẩn hóa đúng số liệu
3) Dẫn ra được biểu thức U RLmax , U RCmax
Trang 8Cách 3:
(Phương pháp này cải tiến từ phương pháp của Nguyễn Đình Yên (đại lượng Y là viết tắt
từ chữ Yên) và ý tưởng của Hứa Lâm Phong (đại lượng p là viết tắt từ chữ Phong))
*Bài toán thay đổi để U RLmax
2 2
.
2
RL
C L C
2 2 L
U
Z 2Z Z 1
L
Z
C C L C Z
L
xZ ,
2
L a C
2
2 2
4 2 2
1 4
1
RL
L
U
C Z R Z
Xét hàm
2
0.
0
y
x R x x R x
Để URLmax thì ymin Ta khảo sát hàm số
Ta có
2
2
y
1
2
0 0
x a a aR
x a a aR
Ta có bảng biến thiên
x - x1 0 x2
+
y
+ 0
ymin
URL
URLmax
0 U
Vậy, URLmax khi và chỉ khi
2
2
C L
Z
C Z C Y
*Bài toán thay đổi để U RCmax
2
1 2 2
1
RC
L L C
L L C C
C
Z Z Z
R Z
C
L L
C C Z
C
xZ ,
2
L a C
Trang 92 2
4 2 2
1 4
1
RC
C
C Z R Z
Xét hàm
2
0.
0
y
x R x x R x
Ta có
2
2
y
1
2
0 0
x a a aR
x a a aR
Ta có bảng biến thiên
x - x1 0 x2 +
y
+ 0
ymin
URC
URCmax
0 U
Vậy, URCmax khi và chỉ khi
2
L C
Z
C Z C Y
Từ kết quả trên rút ra các định lý sau:
Định lý BHD3:
Khi thay đổi max
max
RL L
RC C
với
2
2
*Quan hệ về các tần số góc cực trị Giá trị U RLmax và U RCmax
Phối hợp với kết quả trước đây:
1
C
L
Z L
Z C
với
2
2
L R Z
C
2
2
2 2
1
1 2
RL RC R L C
RL
C
L
LC
Z
Trang 10+Khi = RL thì
2
1
2
L
L
C
Z Y
L
Z
C Y
Chuẩn hóa số liệu: Chọn ZC = 1
L
Z p
R p p
2 2
1
2
L RL
(Sau khi đã chuẩn hóa số liệu ta có thể tính được cos, sin, tan của các góc một cách đơn giản)
+Khi = RC thì
2
1
2
C
C
L
Z Y
L
Z
C Y
Chuẩn hóa số liệu: Chọn ZL = 1
C
Z p
R p p
2 2
1
2
C RC
(Sau khi đã chuẩn hóa số liệu ta có thể tính được cos, sin, tan của các góc một cách đơn giản)
Nhận xét:
1) max max
2
1
RL RC
U
p
2) Khi U RLmax thì u sớm pha hơn i là 0 ( = 0 > 0) Khi U RCmax thì u trễ pha hơn i là 0 (
= - 0 < 0) Với tan 0 1 1
2
p p
*Hai giá trị 1 và 2 điện áp U RL có cùng giá trị
2 2
.
2
RL
C L C
2 2 L
U
Z 2Z Z 1
L
Z
C C L C Z
2
L a C
2
2 2
4 2 2
1 4
1
RL
L
U
C Z R Z
Đặt z = -x + a x = a - z
1
2
RL
U
z
a aR
z
z z z ax ax ax
Trang 11
2
2
Thay
2
RC RC RL
R RL RC RC
p
*Hai giá trị 1 và 2 điện áp U RC có cùng giá trị
2
1 2 2
1
RC
L L C
L L C C
C
Z Z Z
R Z
C
L L
C C Z
2
L a C
2
1 4
1
RC
C
C C
C Z R Z
Đặt z = -x + a x = a - z
1
2
RC
U
z
a aR
z
z z z ax ax ax
2
2
RC
Thay
2
RL RC
RC RC RC
p
2
1 2p 1 2 R 1 2 R
Tóm lại: Khi thay đổi, gọi R , RL và RC lần lượt là giá trị tần số góc để U Rmax, U RLmax và U Rcmax 1) Nếu với hai giá trị 1 và 2 mà U RL có cùng giá trị thì
2
p
2) Nếu với hai giá trị 1 và 2 mà U RC có cùng giá trị thì
2
p
Với
2
1
2
RL RC
R C p
L