nghiên cứu khoa học giảng dạy và học tập

Với các ñiều kiện trên, nếu gọi X là BNN chỉ số lần xuất hiện A trong một khoảng chiều dài w thì người ta chứng minh ñược rằng X tuân theo kuật phân phối Poisson với tha[r]

1.2 Định lý Cho hai BNN X và Y ñộc lập Nếu X ~ B(n;p) và Y ~

B(m;p) thì BNN Z = X + Y tuân theo luật phân phối B(n + m; p)

Ngoài ra, Mod(X) = [(n + 1)p] (do 1.6.2)

Mô hình Trong quá trình B(n;p), nếu X là biến ngẫu nhiên chỉ số thành

công thì X ~ B(n; p)

1.4 Thí dụ Một công nhân quản lý 12 máy dệt Các máy dệt hoạt ñộng

ñộc lập nhau, và xác suất ñể mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân (viết tắt là CCN) là 0,3

(1) Tính xác suất ñể, trong ca làm việc, có

(a) 4 máy CCN

(b) từ 3 ñến 7 máy CCN

(2) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN?

(3) Trong ca làm việc, tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng

Giải

Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc thì X ~ B(12; 0,3)

12 12

P(X =k) =C (0, 3) (0, 7)k k −k , k ∈ {0,1,2,…,12}

(1.a) Xác suất phải tính:

12P(X =4) =C (0, 3) (0, 7) = 0,2311 (1.b) Xác suất phải tính:

Chú ý Giả sử X ~ B (n; p) Khi số phép thử n khá lớn, việc tính các xác

suất P(X = k) gặp nhiều khó khăn Ngoài ra, trong thực tế, chúng ta thường phải tính xác suất của biến cố {α ≤ X ≤ β}:

P(α ≤ X ≤ β) = Pn(α) + Pn(α + 1) + + Pn(β) Tổng trên gồm nhiều số hạng và việc tính trực tiếp tổng ñó quả là khó thực hiện Do ñó, người ta ñã tìm cách tính gần ñúng các xác suất trên khi số phép thử n khá lớn Chúng ta tìm hiểu cách tính gần ñúng phân phối nhị thức thông

qua các ñịnh lý mang tên các nhà toán học Siméon D Poisson (1781 - 1840), Abraham DeMoivre (1667 - 1745) và Pierre S Laplace (1749 - 1827):

1.5 Định lý ( De Moivre −−−− Laplace ñịa phương )

npq npq

1.6 Định lý ( De Moivre −−−− Laplace tích phân )

Giả sử X ~ B(n, p) Đặt q = 1 − p, khi ñó với mọi số thực a và b (a < b):

2

2 2

b

x np npq npq

npq npq

Phép chứng minh Định lý 1.6 ñược xem như bài tập ■

1.7 Chú ý Để ý hai hàm xác ñịnh trên
như sau:

(i) Hàm Gauss:

( ) 2 2

1 exp 2

Từ kết quả của các ñịnh lý De Moivre - Laplace và sử dụng hai hàm ϕ và

Φ, chúng ta có công thức gần ñúng ñể tính các xác suất trong phân phối nhị thức:

Nếu X ~ B(n, p), với n lớn và p không quá gần 0 và không quá gần 1 ( n >

Giá trị các hàm ϕ và Φ ñã ñược tính sẵn và trình bày, theo thứ tự, trên bảng

3 và bảng 4, ñể tiện việc tính toán

Hai công thức gần ñúng trên ñược gọi là các công thức DeMoivre −− Laplace Chúng cho phép chúng ta tính xấp xỉ xác suất luật nhị thức khá chính

xác khi n ñủ lớn và p không quá gần 0 và không quá gần 1

Các số liệu sau ñây minh hoạ ñiều trên Giả sử X ~ B(n; 0,5) Ký hiệu Pn(k) và Gn(k) lần lượt là giá trị ñúng và giá trị gần ñúng của P(X = k), chúng ta có:

0,09679 0,04839 0,024194 0,014234

0,000630,00008 0,000013 0,000002

1,0065 1,00171,0005 1,0001

1.8 Thí dụ Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt

lép là 0,2 ñể kiểm tra Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt

(a) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa ñể xác suất có ít nhất một hạt lép

Theo giả thiết:

1 − (0,8)n ≥ 0,95 ⇔ (0,8)n ≤ 0,05 ⇔ ln (0,05)

ln (0,8)

n ≥Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa

(b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số hạt lép trong mẫu thì X ~ B(n;p), với n

= 100 và p = 0,2 Vì n > 30, np = 20 > 5 và n(1 − p) = 80 > 5 nên chúng ta có thể áp dụng các công thức gần ñúng DeMoivre − Laplace

(i) Xác suất ñể có 25 hạt lép:

100

1.9 Thí dụ Cần xét nghiệm máu cho 5000 người ñể tìm dấu hiệu một

loại bệnh B tại một ñịa phương có tỉ lệ người mắc bệnh B theo thống kê là 10%

Có 2 phương pháp:

1 Xét nghiệm từng người một

2 Mỗi lần lấy máu một nhóm 10 người trộn lẫn vào nhau rồi xét nghiệm Nếu kết quả âm tính thì thông qua, nếu dương tính thì phải làm thêm 10 xét nghiệm ñể xét nghiệm lại từng người một trong nhóm

Hỏi phương pháp nào có lợi hơn, biết rằng mỗi xét nghiệm ñều tốn kém như nhau và khả năng mắc bệnh của mỗi người ñộc lập nhau?

Nếu dùng phương pháp (1) thì phải thực hiện 5000 xét nghiệm

Bây giờ chúng ta xem phương pháp (2):

Đặt X chỉ số nhóm có kết quả dương tính thì X ~ B (500; 1 − (0,9)10 ) Đặt Y chỉ số xét nghiệm theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X

Số xét nghiệm trung bình theo phương pháp (2) là:

E(Y) = 500 + 10E(X) = 500 + 5000(1 − (0,9)10 ) ≈ 3757

Vậy, áp dụng theo phương pháp (2) có lợi hơn

2 PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC

Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối siêu hình học

(hay siêu bội) kích thước N, với các tham số nguyên dương T và n không lớn hơn

N nếu X có Im(X) =  ∩ [max(0, -( n N T - )], ., min( , )] T n , và với mọi k ∈ Im(X),

X k

Ký hiệu: X ~ H(N, T, n)

Kỳ vọng: E(X) = np;

n N

−

− tiến ñến 1 Khi ñó, E(X) = np, D(X) = npq

và chúng ta có thể xem như X ~ B( ; T)

N

n

3 PHÂN PHỐI POISSON

3.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối

Poisson với tham số λ (λ > 0) nếu Im(X) = , và với mọi k ∈ ,

−λλ

trong một khoảng thời gian hoặc không gian liên tục có chiều dài w; với ñiều kiện

là số lần xảy ra trong những khoảng không giao nhau là ñộc lập nhau, và xác suất xuất hiện A nhiều hơn một lần trong khoảng ñó là rất bé Hơn nữa, “cường ñộ” xuất hiện A là không thay ñổi, i.e số lần xuất hiện trung bình của A trong một khoảng chỉ phụ thuộc vào ñộ dài của khoảng ñó

Với các ñiều kiện trên, nếu gọi X là BNN chỉ số lần xuất hiện A trong một

khoảng chiều dài w thì người ta chứng minh ñược rằng X tuân theo kuật phân

phối Poisson với tham số λ = mw, trong ñó m là một hằng số dương chỉ “cường ñộ” xuất hiện của A (xem phần chứng minh trong giáo trình Xác suất – Thống kê dùng cho các lớp chuyên ngành Toán của cùng tác giả)

Thí dụ, số cuộc ñiện thoại gọi ñến trong một phút tại một trạm nào ñó; số lỗi trên một trang giấy trong một quyển sách dầy; số ñơn ñặt hàng gửi tới một cơ

sở trong một tháng;

Biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện nêu trên ñã ñược nhà toán học Simeon

D Poisson nghiên cứu và hình thành phân phối Poisson

Ngoài ra, phân phối Poisson còn ñược dùng ñể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n;p) khi n lớn và p khá gần 0 hoặc gần 1, dựa vào ñịnh lý sau:

3.2 Định lý Poisson Giả sử trong một dãy n phép thử ñộc lập, một biến

cố A xuất hiện với xác suất p n trong mỗi phép thử Nếu khi n → ∞ mà p n → 0 sao

cho n.p n = λ (λ là một hằng số dương) thì với mọi k ∈ {0,1,2,…,n}, chúng ta có:

chúng ta có thể xem như X ~ Poisson(np)

3.3 Định lý Cho hai BNN X và Y ñộc lập Nếu X ~ Poisson(µ) và Y ~

i

k e

3.4.1 Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận ñược 4 ñơn

ñặt

hàng Biết rằng số ñơn ñặt hàng X mà cơ sở nhận ñược trong một tuần là một BNN có phân phối Poisson Tính xác suất ñể cơ sở ñó

(a) nhận ñược hơn 5 ñơn ñặt hàng trong một tuần

(b) nhận ñược 6 ñơn ñặt hàng trong hai tuần liên tiếp

k

k k

= 1 − 0,7851 = 0,2149

(b) Gọi Y là BNN chỉ số ñơn ñặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên tiếp thì

Y ~ Poisson(8) Xác suất phải tính:

P(Y = 6) = 86 8

6!e− = 0,1221

3.4.2 Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho Xác suất ñể mỗi chai

bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0035 Tính xác suất ñể sau khi vận chuyển, có 6 chai rượu bị vỡ; có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ (giả sử rằng sự kiện các chai rượu

bị vỡ là ñộc lập nhau, do chất lượng riêng của mỗi chai)

Vì n = 1000 và n.p = 3,5 < 5, nên có thể xem: X ~ Poisson(3,5) Do ñó:

6

(3,5) 3,56!

Xác suất ñể có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ

8(3,5) 3,5

!2

k

k k

=

4 PHÂN PHỐI CHUẨN

4.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X tuân theo

luật phân phối chuẩn với các tham số a và b2 (b > 0) nếu X có hàm mật ñộ f

ñược xác ñịnh bởi:

( )2

1 2

12

x a b

b

−

−π

Vậy, hai tham số a và b2 trong phân phối N(a, b2), theo thứ tự, là kỳ vọng

và phương sai của X Do ñó, h.m.ñ f của BNN X ~ N(a, b2) có thể ñược viết dưới

Hai dồ thị hàm mật ñộ chuẩn với

µ bằng nhau và σ khác nhau

0.2 0.4

µ

− α Φ

µ

− β Φ

≤

≤ σ

µ

− α

* X

Trong nhiều vấn ñề kỹ thuật, thường phải tính xác suất ñể một biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(µ, σ2) lấy giá trị lệch khỏi kỳ vọng µ không quá một số dương α cho trước:

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng nào

4.2 Thí dụ

4.2.1 Thời gian ñể sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo

luật phân phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (ñơn vị là phút)

(a) Tính xác suất ñể một sản phẩm loại A nào ñó ñược sản xuất trong khoảng thời gian từ 9 phút ñến 12 phút

(b) Tính thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ

Giải

Đồ thị hàm mật ñộ chuẩn N(0,1) ( Hàm Gauss )

σ = 1

σ = 2

Gọi X là BNN chỉ thời gian dể sản xuất một sản phẩm loại A , X ~ N(10; 1)

(a) Xác suất phải tính:

(b) Theo qui tắc 3σ, hầu như chắc chắn X lấy giá trị trong khoảng:

[ 10 3 1; 10 3 1 − × + × ] = [ 7; 13 ]

Vậy, thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ là từ 7 phút ñến 13 phút (hầu như chắc chắn)

4.2.2 Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối N(µ, σ2) Biết rằng

X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516, hãy tính µ và σ

( 90) 0, 0516

− µ σ

− µ σ

− µ σ

1, 28

1, 64

µ − σ

− µ σ

4.3 Định nghĩa Giả sử U ~ N(0,1) Nếu P(U < c) = α thì c ñược gọi

là Bách phân vị mức α α của phân phối chuẩn, ký hiệu uααα

Các số ño về ñặc tính sinh học như chiều cao, cân nặng, huyết áp, hầu như

có phân phối chuẩn; các sai số trong ño lường vật lý; lực chịu nén của một thanh xà cũng tuân theo luật phân phối chuẩn

Trong xã hội, số con trong một gia ñình, số lợi tức hằng năm, sản lượng một

vụ mùa trên một ñơn vị diện tích tuân theo luật phân phối chuẩn

4.4 Định lý Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập Khi ñó, nếu

X ~ N(µ σ1, 12)và Y ~ N(µ σ2, 22) thì biến ngẫu nhiên k1X + k2Y tuân theo luật phân phối N k( 1 1µ +k2 2µ , k1 12 2σ +k2 22 2σ ), trong ñó k1 và k2 là 2 hằng số thực

5 PHÂN PHỐI ĐỀU

5.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân

phối ñều trên ñoạn [a, b] nếu X có h.m.ñ f ñược xác ñịnh bởi:

6.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân

phối χ2 với n bậc tự do (n ∈ *) nếu X có hàm mật ñộ f ñược xác ñịnh trên

bởi:

/ 2

11

2 ( / 2 ) , 0 ( )

,

trong ñó, ký hiệu Γ chỉ hàm Gamma

Ký hiệu: X ~ χ χ2(n)

n =2

0.2

Đồ thị hàm mật ñộ của phân phối χ2 với các bậc tự do khác nhau

Giả sử X ~ χ2(n), nếu P(X < c) = α thì c ñược gọi là Bách phân vị

mức ααα của phân phối χχχ2(n), ký hiệu: χ2α(n)

Vậy, P(X < χ2α(n)) = α

Nếu X ~ χ2(n) thì E(X) = n và D(X) = 2n

Chúng ta công nhận:

6.2 Định lý Giả sử các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn ñộc lập và cùng

có phân phối chuẩn N(0,1) Khi ñó,

(a) Các BNN Xi2 (i = 1,…, n) tuân theo luật χ2(1);

(b) BNN Q2= X12+ X22+ + Xn2 tuân theo luật χ2(n)

7 PHÂN PHỐI STUDENT

7.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân

phối Student (hay phân phối t ) với n bậc tự do khi X có h.m.ñ f ñược xác ñịnh

0 0.2 0.4

0 0.2 0.4

0 0.2 0.4

Giả sử T ~ t(n); nếu P(T < c) = α thì c ñược gọi là Bách phân vị mức ααα của phân phối t(n), ký hiệu là t(n)α

7.2 Định lý Cho các biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập Nếu X~ N(0,1) và

Y ~ χ2(n) thì biến ngẫu nhiên

/

Y n

=tuân theo luật phân phối Student với n bậc tự do

8 PHÂN PHỐI FISHER −−−− SNEDECOR

8.1 Định nghĩa Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân

phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do khi X có h.m.ñ f ñược xác ñịnh bởi:

8.2 Định lý Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên ñộc lập Nếu X ~

χ2(n1) và Y ~ χ2(n2) thì biến ngẫu nhiên

1 2

X / n

Y / n

tuân theo luật phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do

9 PHÂN PHỐI CHUẨN HAI CHIỀU

9.1 Định nghĩa Người ta nói rằng vectơ ngẫu nhiên (X,Y) phân phối

theo qui luật chuẩn hai chiều với các tham số µ1, µ2, σ1, σ2 và ρ (σ1 > 0, σ2 > 0,

− 1 < ρ < 1) nếu nó có hàm mật ñộ f xác ñịnh trên
2 bởi:

2

1 2

( , ) 1

1 2

x

e

− µ σ

1 2

y

e

− µ σ

9.2 Định lý Nếu vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn

hai chiều thì với mọi số thực a và b, BNN Z = aX + bY tuân theo luật phân phối chuẩn

BÀI TẬP

3.1 Có 2 kiện hàng Kiện thứ nhất có 10 sản phẩm, trong ñó có 8 sản

phẩm loại A; kiện thứ hai có 8 sản phẩm, trong ñó có 5 sản phẩm loại A Lần ñầu, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau ñó lấy ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2 sản phẩm Đặt X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai

Tìm luật phân phối xác suất của X và của Y; tính E(X), D(X), E(Y) và D(Y) 3.2 Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong ñó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản

phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại)

(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra, và tính xác suất ñể trong ñó có ít nhất 2 sản phẩm tốt (b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra ñi bán Biết rằng bán một sản phẩm tốt ñược lời 50 ngàn ñồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn ñồng Tính lợi nhuận thu ñược trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên

3.3 Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%

(a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất ñể có nhiều nhất 2 sản phẩm giả

(b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một ñể kiểm tra cho ñến khi nào gặp sản phẩm giả thì dừng Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ

vọng của số sản phẩm thật ñã kiểm tra; tìm luật phân phối xác suất và

tính kỳ vọng của số sản phẩm ñã kiểm tra

3.4 Các khách hàng mua xe gắn máy tại một ñại lý, nếu xe có sự cố kỹ

thuật thì ñược quyền trả lại xe trong vòng ba ngày sau khi mua và ñược lấy lại nguyên số tiền mua xe Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho ñại lý 250 (ngàn)VNĐ Có 50 xe vừa ñược bán ra Xác suất ñể một xe bị trả lại là 0,1

(a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả lại Tính xác suất ñể có nhiều nhất 2 xe bị trả lại

(b) Tìm kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà ñại lý phải chịu do việc trả lại xe

3.5 Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK M phải làm một

ñề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong

ñó chỉ có một lời giải ñúng M sẽ ñược chấm ñậu nếu trả lời ñúng ít nhất 6 câu (a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10 câu Tính xác suất ñể M thi ñậu Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần ñể xác suất có ít nhất một lần thi ñậu không nhỏ hơn 97%?

(b) Giả sử M chắc chắn trả lời ñúng ñược 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên một trong 4 lời giải của mỗi câu Tính xác suất ñể M thi rớt

3.6 Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi Nhà

máy thử thách người dự tuyển 7 lần Mỗi lần nhà máy ñem ra 4 sợi giống nhau, trong ñó chỉ có một sợi thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật Nếu chọn ñúng

ít nhất 6 lần thì ñược tuyển dụng Một người ñến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn qua là có thể phân biệt sợi thật hay giả với xác suất 80% "

(a) Nếu người này nói ñúng khả năng của mình thì xác suất ñược tuyển dụng là bao nhiêu?

(b) Tính xác suất ñể ñược tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người này không biết gì về sợi cả

3.7 Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là pA = 0,1; ở lô B là pB = 0,08 và ở lô C là

pC = 0,15 Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc

(a) Lấy 3 chai ở lô A Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3 chai Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng

Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) ñể xác suất có ít nhất một chai hỏng không nhỏ hơn 94% ?

(b) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy từ lô ñó ra 3 chai Tính xác suất ñể có ít nhất 1 chai hỏng

(c) Lấy ở mỗi lô một chai Tìm phân phối xác suất rồi tính kỳ vọng

và phương sai của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra

(d) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C rồi ñể lẫn lộn Một người ñến mua 1 chai về dùng Tính xác suất ñể ñược chai tốt

3.8 Giả sử ngày sinh của mỗi người dân trong một thành phố lớn có thể

rơi ngẫu nhiên vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày) Chọn ngẫu nhiên 1095 người trong thành phố ñó Tính xác suất ñể

(a) có hai người có cùng ngày sinh ñã cho;

(b) có không quá 7 người có cùng ngày sinh ñã cho

3.9

(a) Cho ba biến ngẫu nhiên ñộc lập X,Y và Z Giả sử:

X ~ B(24; 0,1); Y ~ B(9; 0,1) và Z ~ B(17; 0,1) Hãy tính: P(X + Y + Z = 4)

(b) Cho hai BNN X và Y ñộc lập Giả sử X ~ Poisson(λ) và Y ~ Poisson(µ) Hãy tính xác suất P(X = k/X + Y = n), trong ñó 0 ≤ k ≤ n

(c) Cho hai BNN X và Y ñộc lập; X ~ N (7; (1, 2) )2 và Y ~

2

(5; (0,9) )

N Tính P(X + Y < 9,5); P(X ≤ Y) và P(X > 2Y)