Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm nguyên hàm | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lầnA. + -..[r]

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

dx x C 

11

11

1

tancos u du u C



2

1

cotsin x dx x C

1

cotsin u du u C



II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 2. Hàm số F x  5x34x2 7x120C là họ nguyên hàm của hàm số nào sauđây?

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số:

3ln

3ln

3ln

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x   x1 x2

3 2

32

22

22

3 3

x   

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 2 x

A

1sin 2 cos 2

2) 1 t n 

4

x

f x dx C

C

2

sin( )

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x e x ex

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số

1( )

C  

2 12

123

f x dx  x  x C

1 3 1 34

f x dx  x  x C

 . D f x dx   1 3 x23C.

Hướng dẫn giải: Đặt t31 3 x dxt dt2 Khi đó

x e

x e

F x  x  x

2

1 3 33

F x  x  x

2

1 3 13

C ( ) sinF x  x x cosx C D ( )F x xsinxcosx C

1( ) sin 2 cos 2

2

rồi sử dụng phương phápnguyên hàm từng phần

3

x x

F x   e C

D

3

3( )

3

x x

A.F x( )xtanxln | cos |x  C B ( )F x xcotxln | cos |x  C

C ( )F x  xtanxln | cos |x C D ( )F x xcotx ln | cos |x  C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

2

1co

C F x( )x2sinx 2 cosx x2sinx C D F x( ) (2 x x 2) cosx x sinx C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2

lần với u x dv 2; cosxdx, sau đó u1 x dv; 1 sinxdx

4

1( ) (2 cos 2 sin 2 )4

C.

1( ) (2 cos 2 sin 2 )

4

1( ) (2 cos 2 sin 2 )4

( ) g( )

f x dx

f x dx

A. f x  sinx7 cosx B. f x   sinx7 cosx

C. f x sinx 7 cosx D.f x   sinx 7 cosx

1sin xcos x dx

A.tanx cotx C B cot 2x C

C.tan 2x x C  D  tanxcotx C

tan cotsin xcos x dx cos x sin x dx x x C

có một nguyên hàm là

Hướng dẫn giải: Ta cóesinxcosxdxesinx d(sin )x esinxC

Câu 45. Tính tan xdx bằng

A. ln cos x C B ln cos x C C. 2

1cos xC D 2

1cos x C









1sin x C

Hướng dẫn giải: Ta có

1cot (sin ) ln sin

x C

1ln

x C x

x

C x





2ln

x C

x

C x

x

C x





C

1ln

x C

1ln

x C

Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số  

x

Câu 56. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số  f x   ln2x1.lnx x thoả mãn

2 2

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos sin 2 x x

A

3

cos( )

Câu 67. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( ) (ex e x)2

  thỏa mãn điều kiện(0) 1

Hướng dẫn giải:  

ln 11

e

f x e

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số

1( )

f x dx x   x C

8 43

f x dx  x C

8 43

4

34

t tdt

t x

+

-+

+

a b c  

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm

2( 1)

3 x 2

+

5 2

4( 1)

15 x 

2

8( 1)

A. F x( )xlnx 1x2 1x2 C

1( )1

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

C 

Phương pháp trắc nghiệm:

x e

Câu 89. Kết quả của

cos

x e dx x

31

x dx

x 

3 4

44

x C

x  x C.ln(x31)C D

3 4

x C

x C

x C



 C

13

(5 9 )13

x C



 D

13

(5 9 )9

x C







bằng

A.

1cot

x x C

C.

12cos cos 2

4

x x C

D.

12cos cos 2

Hướng dẫn giải

Đặt

22

ln 2

x x

12

5 24

dx x

Câu 115. Giá trị m để hàm số F x mx33m2x2 4x là một nguyên hàm của3

hàm số f x  3x210x 4 là:

Hướng dẫn giải:  3x210x 4dx x 35x2 4x C , nên m  1

Câu 116. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số  f x sin 24 x thoả mãn  

308

.Khi đó F x là: 

nên suy ra đáp án.

Câu 117. Biết hàm số f x( ) (6 x1)2có một nguyên hàm là F x( )ax3bx2cx d

thoả mãn điều kiện ( 1) 20.F   Tính tổng a b c d  

C 

Thay x 3 ta được đáp án

Câu 119. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) cos  f x x x thỏa mãn F 0  1

Khi đó phát biểu nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải: Đặt tsin2x 3 dt 2sin cosx xdx

2 2

m 

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 122. Tìm nguyên hàm của hàm số

1( )

sin cos sin cos sin 1 sin

2 1 sin sin 2 1 sin

cos( )sin

4

x

f x dx C

cos 2 sinx xcos x dx

  cos 2xsin2xcos2x 2sin cos2x 2 x dx

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 128. Hàm số F x( ) ln sin x cosx là một nguyên hàm của hàm số

A.

sin cos( )

2 2

12

cos

x e dx x

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 134. Biết hàm số ( )F x  x 1 2 x2017 là một nguyên hàm của hàm số

2( )

F x  x  x C

31

t x



23

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm

Câu 143. Tính

1( ) ln

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và

nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng



1920



C 

Do đó

21(1)20

Kết quả F x( )(2x1)sinxdx2 cosx x cosx2sinx C nên a b c   1

Câu 146. Cho hàm số F x( )xln(x1)dx có (1) 0F  Khi đó giá trị của (0)F bằng

A.

14

C

Vậy

1(0)4

F 

Câu 147. Hàm số F x( )(x21) ln xdx thỏa mãn

5(1)9

F 

là

A.

3 3

1( 3 ) ln

3

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

F 

suy ra C 0 nên

3 3

1( ) ( 3 )ln

xe

2

1(x 1)(x1)e x

(Chuyển (x1)e x qua dv )

11

x



1

x e

(nhận (x1)e x từ u )

đó F x là hàm số nào dưới đây? 

A. ( )F x xtanxln | cos | 2017x  B ( )F x xtanx ln | cos | 2018x 

+

-C ( )F x xtanxln | cos | 2016x  D ( )F x xtanx ln | cos | 2017x 

1,

( ) (1 sin 2 ) cos 2 sin 2

F x x  x dx Ax Bx x C x D Giá trị của biểu thức



A B C  

1 sin( )

Hướng dẫn giải

  Vậy ( )F x  cosxtanx 2 1

Câu 154. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số

3( ) 2sin 5

5

f x  x x

thỏa mãn đồ thịcủa hai hàm số ( )F x và ( ) f x cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là

Câu 159. Cho hàm số f x( ) tan 2x có nguyên hàm là ( )F x Đồ thị hàm số y F x ( )

cắt trục tung tại điểm (0;2)A Khi đó ( )F x là

A.F x( ) tan x x  2 B ( ) tanF x  x 2

C.

3

1( ) tan 23