Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân?. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm.A[r]

Trang 1

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

[ ; ].a b Hiệu số F b( ) F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

trên đoạn [ ; ]a b của hàm số f x( ),kí hiệu là ( )

b a

f x dx F x F b F a

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )

b a

f x dx

b a

S f x dx

2 Tính chất của tích phân

a a

I

(1 )

dx x





1 0

I

1

x dx x





1 0

2 9 I

3

x dx x

I 4

x dx x

Trang 2

I  2x x 1 dx.3)

1

0

16 0

u b b

1

1 3 0

dx I

Trang 3

1 Có f x( ) t f x( ) 3 3

x dx I

e xdx I

x dx I

1

1 2

0 1

dx I

Trang 4

IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u u x ( ) và v v x ( ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

b a

 

cos kx

P(x): Đa thức Q(x): e kx

* u P x ( )

* dv là Phần

còn lại củabiểu thức dướidấu tích phân

x x v

Trang 5

.sin 2

( 1) x

I x e dx

Trang 6

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ ; ]a b và số thực k tùy ý Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào luôn đúng?

1 0

dx I x

sin

x I

x d

Trang 7

Câu 11.Tích phân

1 0 2

f x dx

5 1

f x dx

3 1

e dx e

3 3

Câu 16.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 17.Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a, b, c tùy ý Trong các khẳng

định sau, khẳng định nào sai?

Trang 8

f x dx

x x dx

tích phân dưới đây?

3 sin xdx



ln 10 2 0

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a b; , sao cho ( ) 0

Trang 9

D Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn  1;5 thì    

5 3 5

2

1 1

( )( )

2 5

Trang 10

III  

2 2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III.

Câu 28.Xét tích phân

3 0

A

4 0

21

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng.

đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

Trang 11

1 2

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

 

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm.

Câu 34.Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b Gọi F và G lần lượt

luôn đúng?

b a

Câu 36.Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b và số thực k bất kỳ trong 

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

dx

Trang 12

Câu 39.Cho số thực a thỏa mãn 1 2

1

a x

2 0

dx I x

sin

x I

x d

f x dx

5 1

Trang 13

Câu 49.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu

5 1

f x dx

3 1

Câu 51.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 52.Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a, b, c tùy ý Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

Trang 14

f x dx

x

e dx

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

3 3

2

1 1

( )( )

Trang 15

A F(6)F(3) B 3F(6)F(3) C 3F(2)F(1) D F(2)F(1).

Câu 61.Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

2 0

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III.

Câu 63.Xét tích phân

3 0

A

1

1 2

21

Câu 64.Cho hàm số y f x( ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức

sau, bất đẳng thức nào luôn đúng?

Trang 16

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng.

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

 

2 1

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm.

Câu 69.Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn

[ ; ]a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Trang 17

A ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b a

F x g x dx F x G x  f x G x dx

trên, biến đổi nào là sai?

1 0

( ) ( )

F x g x dx

Trang 18

I u du B

0 2 1

2

t dt t



5 1

( 1)t dt t



4 1

1 ( 1)2

t dt t



4 1

2

t dt t



Câu 82.Tích phân

4 3 4 1

Trang 19

Câu 83.Cho hai tích phân

2 3 0

I x dx,

2 0

(e 1)

k  dx

2 0

x

ke dx

2 3 3 0

3ke dx x

2 3 2 0

f x dx 

5 1

2 ( )f x dx2

3 1

f x dx

5 3

e e

1 1

e e

x  x x  x dx.

C 2

1 1

e e

1 1

e e

x x  x  x dx.

Trang 20

2 2 0

2

2 3 1

2

3 2 1

Trang 21

A.2 B 2 C 2 D 5.

Câu 103. Tích phân

3 2 2

41

dx x

Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa f x( ) f( x) 2 2 cos 2 x, với mọi x 

Giá trị của tích phân

2 2

2 0

11

Câu 107. Giá trị của tích phân

1 2

01

dx I

1

2 3 0

1



Trang 22

1

x dx

1

x

dx x

101 0

Trang 23

sin(sin + cos )

xdx



Trang 24

1

01 x

dx I

e e

22ln

1

e e

Trang 25

ln 2 0

A B

Trang 26

Câu 152. Giá trị của tích phân 2 2

0

a dx

Câu 154. Cho

1 2

1

x

dt I

1ln(sin )sin

ln 22

2 2

3 22ln

Trang 27

Câu 161. Cho hàm số 2

sin 2( )



2ln1

a a



a a



2ln

a a

Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b và có đạo hàm liên tục trên a b; ,





 có dạng I aln 3bln 5( ,a b ).Khi đó a2ab3b2 có giá trị là

Trang 28

Câu 168. Với n,n1, tích phân 2 

b

Trang 29

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trang 30

Hướng dẫn giải

1 1

1 0

xdx

Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp

án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ



1

1 0 0

2dx2x 2



2 2 2

0 0

22

Trang 31

1 1

2 1

2 2

là đáp án của bài toán

dx I x

Trang 32

Kết quả

5 2

5ln2

dx

x 

5 2

1

ln 33

d

x x 

5 2

2ln5

sin

x I

x d

2 3

1

ln 32

12ln3

Trang 33

2 3

dx x

Trang 34

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

5 1

f x dx

3 1

e dx e

3 3

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Trang 35

D Hàm số G cho bởi G x( )F x( ) 5 cũng thỏa mãn ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b G a

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a, b, c tùy ý Trong các khẳng

định sau, khẳng định nào sai?

a

f x dx

Trang 36

Các công thức

( )( )

a

f x dx

x x dx

tích phân dưới đây?

3 sin xdx



ln 10 2 0

2 2 0

x

e dx

Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a b; , sao cho ( ) 0

Trang 37

B Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

3 3

2

1 1

( )( )

2 5

6sin5 (2) ( )1

x x dx F F

Trang 38

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a b Nếu ( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể

Ví dụ f x( )x với x[0;1] Khi đó

1( )

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

2 0

Trang 39

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III Hướng dẫn giải

1 1

A

4 0

21

Trang 40

(1x dx)x 0

Câu 31. Cho hàm số y f x( ) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2; 2] Trong các đẳng thức

sau, đẳng thức nào luôn đúng?

Trang 41

Vậy trong bài này ta chọn

2 2

hàm số đơn giản, xác định trên [ 2; 2] và tính toán Ví dụ f x( )x với

[ 2; 2]



2 2

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t (x1)2 với   2 x 1 thì không suy ra t  x 1 được, vì x1 có thể

bị âm khi    2 x 1

Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

 

2 1

Trang 42

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b Gọi F và G lần lượt

luôn đúng?

b a

x

xe dx

3e 1 Sau

đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả

Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b và số thực k bất kỳ trong 

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

Trang 43

Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a Trong các đẳng thức

2 0

Trang 44

Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được:



1 1

2 1

2 2

dx I x

Trang 45

Phép tính Kết

quả

Phép tính

Kết quả

5 2

5ln2

dx

x 

5 2

1

ln 33

d

x x 

5 2

2ln5

sin

x I

x d

2 3

1

ln 32

12ln3

dx x

Trang 47

f x dx

3 1

Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a, b, c tùy ý Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

Trang 48

f x dx

a

f x dx

Trang 49

Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (Chỉ tính đến khinhận được kết quả đúng thì dừng lại):

2 2 0

x

e dx

Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

3 3

2

1 1

( )( )

Trang 50

Câu 57 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

sin x

dx x

Trang 51

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể

Ví dụ f x( )x với x[0;1] Khi đó

1( )

sin 3x

dx x

Trang 52

III  

2 2

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

1 1

A

1

1 2

21

Câu 64. Cho hàm số y f x( ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức

sau, bất đẳng thức nào luôn đúng?

(1x dx)x 0

Trang 53

Ta thấy (1x)x1 với mọi x[0;1] nên

(1x dx)x 0

Câu 66. Cho hàm số y f x( ) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2; 2] Trong các đẳng thức

hàm số đơn giản, xác định trên [ 2; 2] và tính toán Ví dụ f x( )x với

[ 2; 2]



2 2

Trang 54

Vậy chọn

2 2

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng.

Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

 

2 1

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Trang 55

Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn Cách tính đúng là:

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên

b a

x

xe dx

được kết quả như hình bên Loại được đáp án

F x g x dx F x G x  f x G x dx

trên, biến đổi nào là sai?

xe dx xe  e dx

Trang 56

1 0

67( ) ( )

Trang 57

 

2 1

I u du B.

0 2 1

e

x dx x

(1 25ln 2 16ln 3)7x 12

x dx

I x dxcó giá trị là:

Trang 58

t dt t



5 1

( 1)t dt t



4 1

1 ( 1)2

t dt t



4 1

2

t dt t

I x dx,

2 0

Trang 59

I x dx và

2 0

(e 1)

k  dx

2 0

x

ke dx

2 3 3 0

3ke dx x

2 3 2 0

Trang 60

Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

5 1

2 ( )f x dx2

3 1

f x dx

5 3

x  x x  x dx.

C 2

1 1

e e

1 1

e e

x x  x  x dx Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Trang 61

2 2 2 2

2 0

3 0

Trang 62

ln 28

3cos

2

2 2 0

2

2 3 1

2

3 2 1

1 1

I  u du u

Trang 63

1

e x

1 3 1

549

5494

41

dx x

Trang 64

Bước 1: Bấm máy tính để tính

3 2 2

41

dx x

Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa f x( ) f( x) 2 2 cos 2 x, với mọi x 

Giá trị của tích phân

2 2

2 0

11

01

dx I

Trang 65

dx I

2 2 12

Trang 66

0 3 1

31

Trang 67

Chú ý: Phân tích

1 0

31

Câu 117. Giá trị của tích phân 1 5

1

x dx

Trang 68

Câu 121. Giá trị của tích phân: I  

4

2 0

1

x

dx x

x Đổi

101 0

Trang 70

sin(sin + cos )

tan

22

4

x dx

Trang 71

sin 43

t t

Trang 72

2

10 0

n n

e e

22ln

1

e e

Trang 73

3 2

(t1)dt

2 0

Trang 75

Xét tích phân

2 2

A B

Trang 76

Câu 153. Giá trị của tích phân 3

1

x

dt I

1ln(sin )sin

1

cotsin

Trang 77

2 2

2

6

2 2 6 6

ln 22

ln 2 02

dx x

2 2

3 22ln

2 3

Trang 78

4 2

1

3 2

Trang 79

Câu 163. Cho ba tích phân

1

03 1

dx I

0 0



2ln1

a a



a a



2ln

a a

Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b và có đạo hàm liên tục trên a b; ,

Trang 80

Câu 167. Kết quả phép tính tích phân

5

dx I





 có dạng I aln 3bln 5( ,a b ).Khi đó a2ab3b2 có giá trị là

Trang 81

Câu 171. Giá trị của tích phân 2 1 cos

0

(1 sin )ln

x a



Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	16,13 MB