Đề thi học sinh giỏi có đáp án chi tiết môn toán năm 2018 tỉnh bắc giang | Toán học, Đề thi đại học - Ôn Luyện

Học sinh cần chú ý tới biểu thức của tham số m để đưa ra được đánh giá, nếu học sinh không để ý biểu thức này mà cố gắng cô lập tham số và xét hàm thì sẽ mất thời gian vì bài toán trở [r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC GIANG

n n

n n

C 

D 32 1

n n

C 

Lời giải Chọn C

Câu 12 [2D1-3] [HSG,Bắc Giang, 2018]Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồ thị

hàm số như hình vẽ bên dưới Tìm tất cả các giá trị của m để y f x( ) 2 m

có ba điểm cực trị là:

A

1232

f(x)=-3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Lời giải Chọn D

Xét hàm số g x( ) f x( ) 2 m , x  

Khi đó

'( ) ( ) 2'( )

Từ đồ thị ta thấy f x '( ) 0 có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi f x( )2m có 1 nghiệm khác

nghiệm của f x '( ) 0 hoặc f x( )2m có hai nghiệm phân biệt trong đó có

nghiệm trùng nghiệm của f x '( ) 0

Dựa vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán

m m

Bài tập phát triển :

Câu 1 [2D1-3] Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của m để y f x( ) m có năm điểm cực trị là:

A

22

m m

m m

f(x)=-3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Lời giải Chọn B

Xét hàm số g x( ) f x( ) m , x  

Khi đó

'( ) ( )'( )

Từ đồ thị ta thấy f x '( ) 0 có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số đã cho có 5 cực trị khi và chỉ khi f x( )m có 3 nghiệm khác

nghiệm của f x '( ) 0

Dựa vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán   2 m 2

Câu 2 [2D1-3] Cho hàm số bậc bốn yf x( ) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên

dưới Tìm tất cả các giá trị của m để y f x( ) m có năm điểm cực trị là:

A.m  B 22  m C 2 m  D 2

22

m m

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

Lời giải Chọn C

Xét hàm số g x( ) f x( ) m , x  

Khi đó

'( ) ( )'( )

Từ đồ thị ta thấy f x '( ) 0 có ba nghiệm phân biệt

Để hàm số đã cho có 5 cực trị  f x( )m có 2 nghiệm khác nghiệm của

Câu 13 [2D2-4] [HSG,Bắc Giang, 2018]Trong không gian với hệ tọa độ , cho

phẳng qua và vuông góc với đồng thời cách B một khoảng lớn nhất

A x y  2z 3 0 B x y 2z 3 0 C x 2y z 0 D x y  2z 3 0

Lời giải Chọn A.

Gọi  d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp  P vậy phương trình

đường thẳng của đường thẳng là:

Gọi  Q là mặt phẳng đi qua B và song song với mp P vậy phương trình mặt phẳng  Q

là:

Giao điểm của đường thẳng  d và mp  Q là

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua A3; 2;1 và vuông góc

với đường thẳng BC vậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là:

Gọi  d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp  P vậy phương trình

đường thẳng của đường thẳng là:

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua A3;2;1 và vuông góc

với đường thẳng BC vậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là:

Gọi  d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp  P vậy phương trình đường thẳng của đường thẳng là:

Gọi  Q là mặt phẳng đi qua B và song song với mp P vậy phương trình

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua và vuông góc

với đường thẳng BC vậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là:

Câu 28 [1H3-3] [HSG,Bắc Giang, 2018]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình

Ta có: SMN  SAM tồn tại đường thẳng d trong SAMvuông góc với

SMN , suy ra d MN  , mà MNSAnên MN SAM  MN AM

Ta có AMN 900  AMB NMC 900 tanAMBcotNMC

với mặt phẳng ABCD ta lần lượt lấy hai điểm  M N, sao cho mặt phẳng

BDM , BDNvuông góc với nhau Đặt AM a CN b,  Chọn mệnh đề đúng

A.ab h 2 B a2b2 h2 C ab2h2 D a2b2 4h2

Lời giải Chọn A.

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A C, lên BD. Ta có AH CK h.

Câu 2: [1H3-3- PT2]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và

đường thẳng SAvuông góc với mặt phẳng ABCD Lấy các điểm  M N, lần

lượt nằm trên các cạnh BC CD, .Đặt CM x CN, y với 0x y a,  Biết mặtphẳng SAM , SAN tạo với nhau một góc  45 0 Chọn mệnh đề đúng

A.2a2 2a x y  xy 0 B 3a2 3a x y  xy 0

C a2 a x y  2xy 0 D a x y   a2 xy 0

Lời giải Chọn A.

2a ax ay

   ax ay xy   2a2 2a x y  xy0

Câu 29 [1D1-3] [HSG,Bắc Giang, 2018] Trong các giá trị của tham số msau đây,

giá trị nào thì phương trình cos 4x cos 2x2 m2  4m 3 m2  4m 6  7 sin 3x

có nghiệm

12



32

   

4.sin 3 sinx x sin 3x m 4m3 m 4m6 7

+ Xét VT  4.sin 3 sin2 x 2x sin 3x 4.sin 32 x sin 3x 5

+ Xét VPm24m3 m24m67

.Đặt tm24m31

thì VP t t  37t2 3t 7  (t 1)t2 5 5Vậy: Ta có

55

Phân tích: Đây là một phương trình không mẫu mực được giải quyết bằng

phương pháp đánh giá hai vế Học sinh cần chú ý tới biểu thức của tham

số m để đưa ra được đánh giá, nếu học sinh không để ý biểu thức này mà

cố gắng cô lập tham số và xét hàm thì sẽ mất thời gian vì bài toán trở nêncồng kềnh, phức tạp về tính toán

Bài tập phát triển:

Ta có thể đưa ra một số bài toán tương tự

Câu 1 [1D1-3-PT1]Trong các giá trị của tham số msau đây, giá trị nào thì

4.cos 3 cosx xcos3x m 6m8 m 6m11 7

+ Xét VT  4.cos 3 cos2 x 2x cos3x 4.cos 32 x cos3x 5

+ Xét VPm26m8 m26m117

Đặt tm26m81thì VP t t  37t2 3t 7  (t 1)t2 5 5

Vậy: Ta có

55

Câu 2 [1D1-3-PT2] Trong các giá trị của tham số msau đây, giá trị nào thì

m m

m m

m m

2

y mx  m x  m

Đường thẳng d có hệ số góc

12

k 

.Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng d  m

 (hiển nhiên m  thì phương trình (*) có 1 nghiệm 0 x  )1

Phương trình (*) có duy nhất 1 nghiệm âm

2 3

0

m m



023

m m

Câu 1: [2D1-3] Cho hàm số y2x33m1x26m1x1 có đồ thị là C m, với m

là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để trên C có 2 điểm có hoành độ m

âm mà tiếp tuyến của C m tại điểm đó vuông góc với đường thẳng :d

6 0

x y

A 0 m B

01

m m

k 

.Tiếp tuyến của C m

vuông góc với đường thẳng d 

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm  2 m0 m 2

Câu 2: [2D1-3] Cho hàm số y x 3 3mx23m21x 2m3

có đồ thị là C , với m m

là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để trên C m có 2 điểm có hoành độ

âm mà tiếp tuyến của C tại điểm đó vuông góc với đường thẳng : m d

196

y x

A 0 m B

11

m m

k 

.Tiếp tuyến của C m vuông góc với đường thẳng d 

Câu 33 [2D2-3] [HSG,Bắc Giang, 2018] Cho mlogx x y3 với x 1,y 1 Đăt

Câu 1 [2D2-3PT1] Cho mlogx x y3 với x 1, y 1 Đăt T 6logx y24logy x Khi

đó, giá trị của m để T đạt giá trị nhỏ nhất là

 2

4812

2

f m   m

(

12

m 

loại) Lập bảng biến thiên ta được min

52

với x 1, 0 y1 Đăt T logx ylogy x Khi

đó, giá trị của lớn nhất của T bằng

Lời giải Chọn D.

 2

22

Câu 37 [2D3-3] [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân 2 2 2

Do

00

0

a a

Lời giải Chọn A.

Lời giải Chọn A.

Do sin m n  sin m n  sin m n    sin m n     0

ĐỀ NGUYỄN KHUYẾN – BÌNH DƯƠNG

Câu 25 [2D4-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Gọi T là tổng phầnthực và phần ảo của số phức w i 2i2 3i3  2018 i2018 Tính giá trị của T?

Lời giải Chọn.B.

Câu 26 [2D3-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có

đường kính bằng 4 và 2 đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông gócnhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1 Diện

tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?

A S 4,8 B S 3,9 C S 3,7 D S 3, 4

x 

Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình : y 4 x2 Diện tích cần tính là

2 5

2 5

Câu 1: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau Biết

khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét

và 2 mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ănchung (lấy giá trị gần đúng nhất)

Diện tích phần được tô màu là:

21

3 8

Câu 2: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài

trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhậntrục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa

là 100.000 đồng/1m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất2

56481

5

64 25

64 8

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường   E1 ; E2; x4; x4

và diện tích của dải vườn là

Câu 33 [2D1-3] Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a trên BC’ lấy điểm M ' ' '

sao cho 3 véc tơ D M DA AB' ; ', '

31

11

21

P Q

N

M

E C

B A

S

[2D1-3-PT1] Cho hình chóp đều S ABC có ABC đều cạnh bằng a Gọi M N, lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB BC, và P thuộc BC sao cho BP2PC.Xác định Q thuộc SC sao cho 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng Mặt phẳng

MNPQ chia khối tứ diện S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa

diện chứa đỉnh A có thể tích V1

Phần còn lại là V Tính 2

1 2

V V

Chọn B.

Goi E là giao điểm của AC và NP ta có

Thể tích khối chóp V V SABC

Gọi P EN CD  và Q EM AD

Suy ra P Q, lần lượt là trọng tâm của BCE và ABE

Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SCDE SBNE S.

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh

A là 2 1

1118

ABCD

V V V  V

Suy ra

1 2

711

V

V 

[2D1-3- PT2 ] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cạnh đáy AD = 2BC.

Gọi M, N là hai trung điểm của SA, SB tương ứng Mặt phẳng (DMN) cắt SC

tại P Tính tỉ số

SMNPD ABCD

V V

6

SMNP SABC

3

SMDP SACD

1cos

a b dx

Ta có

3 4 0

1cos

1 tan

cos

dx x

3

x x



  2 3  a2,b3,c1

Vậy T 2a2 3b24c2 2.22 3.324.12 15.

Bài toán tương tự:

Bài 1: Biết

2 3 6 6

sincos

, trong đó a b, và c d, là các cặp số tự nhiên nguyên tố

cùng nhau Khi đó giá trị của T ab cd  bằng bao nhiêu?

A T  6 B T 246 C T 13 D T  17

Lời giải Chọn B.

Ta có

2 3 6 6

sincos

1tancos

a b dx

Ta có

4

sin2

4tan

4

x d x

yf x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hỏi số điểm cực trị của hàm số g x   f x 

nhiều nhất là bao nhiêu?

Lời giải Chọn D.

Ta có đồ thị hàm số yf x  có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên

đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương Khi đó

Hàm số yf x  là hàm số bậc ba liên tục trên 

Ta có f  0   ; 2 0 f  1     ; a b 1 0 f  2 4a2b  và 6 0 x Lim f x 

nên tồn tại x  thỏa mãn 0 2 f x  0 0

Do đó phương trình f x   0 có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên 

102

x x

x x

x x x x

x x x

1 2 3 4 5 6 7 8

A.M 11;15 B M 15;17

C M 11;12 D Không tồn tại M

Lời giải Chọn A.

Ta có  

2 1 1

410

z z

và

1ax

z

Khẳng định nào sau đây đúng?

72;

Lời giải Chọn C.

Ta có

3 3 3

Ta có

31

Câu 42 [1H3-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho hình chóp

tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB vuông

cân tại S và tam giác SCD đều Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

S

D

O T

I

E

H

N M

A

C B

K

Tam giác SCD đều suy ra SC SD nên hình chiếu H của S trên ABCD 

cách đều C D,

Do đó H thuộc MN với M N, là trung điểm của AB và CD

Ta có HA HB  SA SB do đó tam giác SAB vuông cân tại S

a HJ

Phân tích: Để giải quyết bài toán này ta phải xác định được chân đường cao

từ S xuống đáy Giả thiết cho mặt bên cân suy ra được H thuộc trung trực của đáy

Bước tiếp theo tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau ta làm như sơ đồtính

Bài toán tương tự:

Bài 1: [1H3-3] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,

a

21 5

a

3 5

a HN

Bài 2: [1H3-3] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy lầnlượt là trung điểm của Tính khoảng cách giữa và

M

C H

S

B

D A

Gọi là trung điểm của

Mặt khác

Gọi là trung điểm của

Ta có: vì cùng song song với

Ta lại có

Xét tam giác :

Câu 43 [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Trong không gian Oxyz, cho

mặt cầu  S :x2y2z2 2x4y 2z 4 0 Gọi  P ,  Q là hai mặt phẳng

vuông góc với nhau theo giao tuyến d và đồng thời tiếp xúc với  S , K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu  S lên d và M là giá trị lớn

nhất của diện tích tam giác OIK ( O là gốc tọa độ) Hãy chọn khẳng định

đúng về M

315

a

4 15a

3 510

P Q

Câu 1: [PT1] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z2 2x4y 6z 4 0

Gọi  P ,  Q là hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d và

đồng thời tiếp xúc với  S , K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặtcầu  S lên d Khi diện tích tam giác OIK ( O là gốc tọa độ) đạt giá trị lớn nhất, gọi h là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng OK Khẳng định nào

sau đây đúng?

A h 0;1 B h 1; 2 C h 2;3 D h 3; 4

Lời giải Chọn C.

P Q

Giả sử  S tiếp xúc với  P ,  Q lần lượt tại E và F

nào sau đây đúng?

A

32

R 

52

R 

34

R 

Lời giải Chọn A.

I

C M

R 

Câu 3: [PT3] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z2 4x4y 2z 4 0

Gọi  P ,  Q là hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d và

đồng thời tiếp xúc với  S , K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặtcầu  S lên d Khi diện tích tam giác OIK ( O là gốc tọa độ) đạt giá trị lớn

nhất, gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK Khẳng định nào

P Q

2 khi sinOIK   1 OI IK

Khi đó tam giác OIK nội tiếp trong đường tròn đường kính IK  19



192

Như thế đồ thị hàm số g x  có được bằng cách tịnh tiến

đồ thị hàm số h x theo vectơ   v0;m2 1

Ta thấy rằng f x   luôn có ba nghiệm phân biệt nên 0 f x 1  cũng 0luôn có ba nghiệm phân biệt, do đó đồ thị hàm số f x 1 luôn có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành Do đó, đồ thị hàm số

h x  f x

có 5 điểm cực trị Vậy đồ thị hàm số g x   f x 1 m2  1

cónhiều nhất 5 điểm cực trị

Bài tập phát triển

Câu 1 [2D1-3] Cho hàm số y=f ( x ) có đồ thị hàm số f'

(x ) cắt trục hoành tại các điểm

a , b , c , d như hình vẽ Biết rằng f (0 ) f ( c )<0 Hỏi đồ thị hàm số ¿ có bao nhiêu điểm cực trị

Như vậy, ta có bảng biến thiên của hàm f(−|x|) là

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f(−|x|) ta thấy đồ thị hàm số

f(−|x|) có 5 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 4 điểm đơn Vậy đồ thị hàm số

|f(−|x|) | có 9 điểm cực trị

Câu 2 [2D1-3] Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba y=f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt Số điểm cực trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số |f(|x|) | lần

lượt là M và m Giá trị của M +m là

Lời giải

Chọn C

Vì đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên hàm số có

hai điểm cực trị Và gọi hệ số ứng với x3 là a

Để đồ thị hàm số f(|x|) có số điểm cực trị lớn nhất thì đồ thị hàm số y=f ( x ) có hai điểm cực trị dương Khi đó số điểm cực trị lớn nhất của hàm số f(|x|) là 5

Để đồ thị hàm số |f(|x|) | có số điểm cực trị lớn nhất thì đồ thị hàm số f ( x ) có hai giá trị cực trị trái dấu nhau và a f (0 )<0 Khi đó số điểm cực trị lớn nhất

của đồ thị hàm số |f (|x|) | là 11

Vậy đồ thị hàm số |f(|x|) | có số điểm cực trị lớn nhất là M=11 đạt được khi hàm số f ( x) có hai giá trị cực trị trái dấu và hai điểm cực trị cùng dương,

a f (0 )<0

Để đồ thị hàm số f(|x|) có số điểm cực trị bé nhất thì f ( x) có hai điểm cực trị

âm Để đồ thị hàm số |f(|x|) | có số điểm cực trị bé nhất thì a f (0 )>0 và hai giá

trị cực trị cùng dấu dương

Vậy đồ thị hàm số |f(|x|) | có số điểm cực trị bé nhất là m=¿1 đạt được khi

hàm số f ( x) có hai giá trị cực trị cùng dấu dương và hai điểm cực trị cùng

âm, a f (0 )>0.

Câu 45: [1D3-3][Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho dãy số  u n

với

2sin

n

n

u      

  Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số này Tính n

giá trị của biểu thức    

   