Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 60 phút
Họ và tên học sinh: Số báo danh:
Bài 1. (1.0 điểm) Xác định Parabol y = ax2+ bx + c, biết rằng parabol đó đi qua gốc tọa độ O và có đỉnh I (1; −4)
Bài 2. (1.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1; −2), B(0; 1), C(4; −1) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài 3. (1.0 điểm)Giải phương trình√x2− x + 1 = 2x − 1
Bài 4. (1.0 điểm)Cho phương trình x2+ 2(m − 1)x + m2− 3m = 0 Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 0 và tìm nghiệm còn lại
Bài 5. (1.0 điểm)Giải hệ phương trình:
x + y = xy + 1
x2+ y2 = 5
Bài 6. (1.0 điểm)Cho phương trình x2+ 2(m − 1)x + m2− 3m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2
1+ x2
2 = 16
Bài 7. (1.0 điểm)Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 3a, ’BAC = 60◦ Tính độ dài BC và trung tuyến AM
Bài 8. (1.0 điểm)Cho 4ABC đều, độ dài cạnh AB là 4cm Gọi H là trung điểm của BC Tính# »
AB·# » AH
Bài 9. (1.0 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(3; 1), C(2; 4) Tìm tọa độ chân đường cao AH của tam giác ABC
Bài 10. (1.0 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4x + 9
x − 2, với x > 2
—–Hết—–
Trang 2ĐÁP ÁN HỌC KỲ I MÔN TOÁN - KHỐI 10 NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 1. (1.0 điểm)Xác định Parabol y = ax2+ bx + c, biết rằng parabol đó đi qua gốc tọa độ O
và có đỉnh I (1; −4)
Ta có Parabol y = ax2+ bx + cđi qua gốc O (0; 0) nên c = 0./
Lại có tọa độ đỉnh I (1; −4) nên
−b 2a = 1
a · 12+ b · 1 + c = −4
⇔
2a + b = 0
a + b = −4
/ ⇔
a = 4
b = −8
/
Vậy Parabol cần tìm là y = 4x2− 8x./
Bài 2. (1.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1; −2), B(0; 1), C(4; −1) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Gọi D(x; y) ta có # »
AB = (−1; 3), # »
DC = (4 − x; −1 − y)./
ABCDlà hình bình hành ⇔ # »
AB = # »
DC/ ⇔
− 1 = 4 − x
3 = −1 − y
⇔
x = 5
y = −4
/ Vậy D(5; −4)./
Bài 3. (1.0 điểm)Giải phương trình√x2− x + 1 = 2x − 1
Ta có:√x2− x + 1 = 2x − 1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x2− x + 1 = (2x − 1)2
/ ⇔
x ≥ 1 2
− 3x2+ 3x = 0
/
⇔
x ≥ 1
2
x = 0 (loại)
x = 1 (nhận)
/ Vậy phương trình có một nghiệm x = 1 /
Trang 3Bài 4. (1.0 điểm)Cho phương trình x2+ 2(m − 1)x + m2− 3m = 0 Tìm m để phương trình
có một nghiệm bằng 0 và tìm nghiệm còn lại
Phương trình có một nghiệm bằng 0 suy ra:
02+ 2(m − 1)0 + m2− 3m = 0 ⇔ m2− 3m = 0/ ⇔
m = 0
m = 3
/
• Với m = 0 ta được phương trình x2− 2x = 0 ⇔
x = 0
x = 2 /
• Với m = 3 ta được phương trình x2+ 4x = 0 ⇔
x = 0
x = −4
/
Bài 5. (1.0 điểm)Giải hệ phương trình:
x + y = xy + 1
x2+ y2 = 5
Hệ đã cho tương đương
x + y = xy + 1 (x + y)2− 2xy = 5
Đặt
S = x + y
P = xy
, điều kiện S2 ≥ 4P
Hệ trở thành:
S = P + 1
S2− 2P = 5
/ ⇔
P = S − 1
S2− 2S − 3 = 0
⇔
S = −1, P = −2 (nhận)
S = 3, P = 2 (nhận)
/
• Với
S = −1
P = −2
⇔
x + y = −1
xy = −2
Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình:
X2+ X − 2 = 0 ⇔
X = 1
X = −2
⇒
(x; y) = (1; −2) (x; y) = (−2; 1)
/
• Với
S = 3
P = 2
⇔
x + y = 3
xy = 2
Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình:
X2− 3X + 2 = 0 ⇔
X = 1
X = 2
⇒
(x; y) = (1; 2) (x; y) = (2; 1)
/ Vậy hệ có 4 nghiệm (x; y) là (1; −2), (−2; 1), (1; 2) và (2; 1)
Trang 4Bài 6. (1.0 điểm)Cho phương trình x2 + 2(m − 1)x + m2− 3m = 0 Tìm m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2
1+ x2
2 = 16
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆0 > 0 ⇔ m > −1./
Theo định lí Vi-ét ta có
x1+ x2 = 2(1 − m)
x1x2 = m2− 3m
Khi đó:
x21+ x22 = 16 ⇔ (x1+ x2)2− 2x1x2 = 16
⇔ m2− m − 6 = 0/ ⇔
m = −2
m = 3
/
Đối chiếu với điều kiện m > −1 ta được m = 3 /
Bài 7. (1.0 điểm)Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 3a, ’BAC = 60◦ Tính độ dài BC và trung tuyến AM
• Ta có: BC2 = AB2+ AC2− 2AB · AC · cos ’BAC/ ⇒ BC2 = 7a2 ⇒ BC = a√7 /
• AM2 = 1
4(2AB
2+ 2AC2− BC2) / ⇒ AM2 = 19a
2
√ 19
2 /
# »
AB · # »
AH
Ta có: AH = 4
√ 3
2 = 2
√
3(cm)/,Ä# »
AB; # »
AHä= 30◦./
# »
AB · # »
AH = AB · AH · cosÄ# »
AB;# »
AHä/ = 4 · 2√
3 · cos 30◦ = 12./
Bài 9. (1.0 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(3; 1), C(2; 4) Tìm tọa độ chân đường cao AH của tam giác ABC
Gọi H(x; y) Ta có # »
BC = (−1; 3),# »
BH = (x − 3; y − 1)
# »
AH,# »
BC cùng phương nên x − 3
y − 1
Lại có # »
AH(x + 1; y − 1), AH ⊥ BC nên # »
AH · # »
BC = 0 ⇔ −x + 3y − 4 = 0./ (2)
Trang 5Từ (1), (2) ta có
3x + y = 10
− x + 3y = 4
⇔
x = 13 5
y = 11 5 /
Vậy HÅ 13
5 ;
11
5
ã /
Bài 10. (1.0 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4x + 9
x − 2, với x > 2
Ta có y = 4x + 9
x − 2 = 4(x − 2) +
9
x − 2 + 8 /
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 4(x − 2) và 9
x − 2, ta được
4(x − 2) + 9
x − 2 ≥ 2
… 4(x − 2) · 9
x − 2 = 12/
⇒ y = 4(x − 2) + 9
x − 2 + 8 ≥ 12 + 8 = 20.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4(x − 2) = 9
x − 2 ⇔ (x − 2)2 = 9
4 ⇔ x = 7
2 / (loại nghiệm
x = 1
2 vì x > 2)
Vậy min y = 20 khi x = 7
2 /
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.