Đạo hàm bậc nhất của u và v liên tục mọi nơi.[r]
Trang 1Đáp án: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201 Số tín chỉ: 3 Đề số: 1
Câu I.(3đ)
Tích phân phương trình vi phân sau:
y00+ 4y = 4t2+ 10e−t, với điều kiện ban đầu y(0) = y0(0) = 0
Đáp án: Nghiệm tổng quát:
y(t) = c1cos (2t) + c2sin (2t) + t2−1
2 + 2e
−t
Áp dụng điều kiện ban đầu, nghiệm của bài toán:
y(t) = −3
2cos (2t) + sin (2t) + t
2−1
2+ 2e
−t Câu II.(2đ)
Khai triển hàm sau thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa của z
(z − 1)(z − 2) 1) trong miền |z | < 1,
1 (z − 1)(z − 2) =
1 (z − 2) −
1 (z − 1) =
1 (1 − z) −
1 2
1 −z2
= 1 + z + z2+ + zn+ −1
2
1 +z
2 +
z 2
2
+ +
z 2
n
+
= 1
2 +
3
4z +
7
8z
2+ +
1 − 1
2n+1
zn+
2) trong miền |z | > 2
1
(z − 1)(z − 2) =
1 (z − 2)−
1 (z − 1) =
1 z
1
1 −2z −
1 z
1
1 −1z
= 1
z 1 +
2
z +
2 z
2
+ + 2
z
n
+
!
−1
z 1 +
1
z +
1 z
2
+ + 1
z
n
+
!
= 1
z2 + 3
z3 + 7
z4 + + 2n+1− 1 1
zn+2 +
Câu III.(1,5đ)
Hãy chỉ ra rằng hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0 mà không giải tích tại bất kỳ điểm nào khác
Đáp án:
TailieuVNU.com
Trang 2Ta có, f (z) = |z|2 = u(x, y) + iv(x, y), do đó u(x, y) = x2+ y2 and v(x, y) = 0 Đạo hàm bậc nhất của u và v liên tục mọi nơi Nhưng, ux= 2x bằng vy = 0, và uy = 2y bằng −vx = 0 nếu và chỉ nếu x = y = 0 Do đó, hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0
Câu IV.(3,5đ)
Tính các tích phân sau:
1)
Z
γ
ez+ z
z − 2dz, trong hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1}; b) γ = {z : |z| = 3}
Đáp án:
a)R|z|=1ez−2z+zdz = 0, do 2 /∈ {z : |z| = 1}
b) R
|z|=3e
z +z z−2dz = 2πi(e2+ 2), do 2 ∈ {z : |z| = 3} là điểm cực đơn
2) I =
Z ∞ 0
t sin (αt)
1 + t2 dt = 1
2
Z ∞
−∞
t sin (αt)
1 + t2 dt = 1
2Im
Z ∞
−∞
teiαt
1 + t2dt
Hàm biến phức f (z) = z
1 + z2 có các tính chất sau:
(i) là hàm giải tích ở nửa trên mặt phẳng phức trừ tại điểm z = i, và
(ii) |f (z)| ∼ z−1 → 0 khi |z| → ∞ trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực
Do α > 0, các điều kiện của bổ đề Jordan được thoả mãn và ta có thể xem xét tích phân
J = Z
C
zeiαz
1 + z2dz trong đó, C là đường tròn nằm trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực có R → ∞ Bổ đề Jordan cho ta tích phân dọc theo nửa đường tròn Γ tiến tới 0 khi R → ∞ Định lý thặng dư khi đó cho ta,
Z ∞
−∞
teiαt
1 + t2dt = 2πi Res
z=i
zeiαz
1 + z2 = 2πiie
−α
2i . Lấy phần ảo của kết quả trên ta nhận được
Z ∞
−∞
t sin (αt)
1 + t2 dt = πe
−α
2
và kết quả của tích phân là,
I = 1 2
πe−α
πe−α
4 .
Hà Nội, Ngày 3 tháng 1 năm 2018
Người làm đáp án
TailieuVNU.com