Miền xác định của hàm số đang xét là R 2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi. x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án và Thang điểm
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
Câu 1 (1,25đ)Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi d
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi y
x
x sin y y sin x ) y , x
3 3
trong đó d là tham số
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2.(0,25đ)
3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2
3 3
y x
y y
x
x y
x
y y
x
x y
x
y y
x
x y
x
y x ) y , x ( 0
0 y x y
y
x
x
2
3
2
3
0 y x
y x lim )
y
,
x
(
3 3 ) 0 , 0 ( ) y , x ( )
0
,
0
(
)
y
,
x
Do đó, nếu c = 0 thì f(0,0) = 0 và
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu c 0 thì f(0,0) = c 0 tức là
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
đang xét không liên tục tại điểm (0,0).(0,25đ)
2 2 y ) 3 x (
1 1 y ) 3 x ( ) y , x (
2.1 Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2 Tìm lim (x,y)
) 0 , 3 ( ) y , x
Bài giải
2 2 y ) 3 x (
1 1 y ) 3 x ( ) y , x (
xác định khi (x – 3)2 + y2 0 hoặc x 3 hoặc y
0 nên miền xác định của hàm số là D = R2\{(3,0)}, tức là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm trên trục tọa độ Ox và đường thẳng x = 3.(0,5đ)
2.2 Đặt t = (x – 3)2 + y2 t 0 khi (x,y) (3,0)
1 1
1 t t
1 1 t 1 1 t t
1 1 t y
) 1 x (
1 1 y ) 3 x ( ) y , x
2 2
2
1 1 1 0
1 1
1 t
1 lim ) y , x ( lim
0 t )
0 , 3 ( )
y
,
x
Câu 3 (0,75đ) Chứng minh rằng hàm số
y
z arctan z
x arctan x
y arctan )
z , y , x
z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
) z , y , x (
2 2 2
2 2
2
trong không gian R3
Bài giải
z x
z y
x
y z
1 z
x 1
1 x
y x
y 1
1 x
) z , y , x (
TailieuVNU.com
Trang 22 2 2 2 2 2 2
2
) z x (
xz 2 )
y x (
xy 2 x
) z
,
y
,
x
(
2 2 2 2 2 2 2
2
) x y (
yx 2 )
z y (
yz 2 y
)
z
,
y
,
x
(
2
) y z (
zy 2 )
x z (
zx 2 z
) z , y , x (
0 z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
) z
,
y
,
x
(
2 2 2
2 2
2
Câu 4 (1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2 Tính gradf(x,y,z) và
l
) z , y , x (
tại điểm M0(1,1,-1), biết
rằngl được xác định bởi véc tơ M0M1với M1(-1,-1,0)
Bài giải
+ Ta có
2 ) 1 (
1 1 2 z
) 1 , 1 , 1 (
2 ) 1 (
1 1 2 y
) 1 , 1 , 1 (
2 ) 1 (
1 1 2 x
) 1 , 1 , 1 (
z y x 2 z
) z , y , x (
yz x 2 y
) z , y , x (
z xy 2 x
) z , y , x (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
z
) 1 , 1 , 1 ( j y
) 1 , 1 , 1 ( i x
) 1 , 1 , 1 ( ) 1 ,
1
,
1
(
+ Ta có M0M1(11)i(11)j(01)k2i2jk M0M1 (2)2(2)212 3
do đó các cosin chỉ phương của véc tơ
3
2
3
2 cos
3
1 cos (0,5đ)
2i 2 j 2k cos i cos j cos k l
) 1 , 1 , 1 (
3
1 3 k 3
1 j 3
2 i 3
2 k
2
j
2
i
(0,25đ)
Câu 5 (2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2
- Ta có
) 6 y y 2 x 4 x ( 6 36 y 30 y 12 x 24 x y
) y , x (
) 1 y )(
2 x ( 12 2 x y xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x
) y , x (
2 2
2 2
Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là
0 6 y 5 y 2 x 4 x
0 ) 1 y )(
2 x ( 0 ) 6 y y 2 x 4 x ( 6
0 ) 1 y )(
2 x ( 12 0
y
) y
,
x
(
0 x
) y
,
x
(
2 2
2
TailieuVNU.com
Trang 3
3 x
1 x
1 y
2 1 y
2 y
2 x
0 3 x 4 x
1 y
0 2 y y 2
2 x
0 6 y 5 y x x
0 1 y
0 6 y 5 y x x
0 2 x
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1)
- Ta có
) 5 y 4 ( 6 y
) y , x ( f ) y , x ( C ) 5 y 4 ( 6 30 y 24 y
) y , x ( f
) 2 x ( 12 y x
) y , x ( ) y , x ( B ) 2 x ( 12 24 x 12 y x
) y , x (
) 1 y ( 12 x
) y , x ( ) y , x ( A 1 y 12 12 y 12 x
) y , x (
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2(x 2) (y 1)( y 5)
72 ) 5 y 4 ( 6 )
1 y ( 12 ) 2 x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x
(
B
)
y
,
x
(0,5đ)
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0 12 ) 2 , 2 ( A
0 216 )
2 , 2 (
nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là
fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0 6 ) 2 1 , 2 ( A
0 108 )
2 1 , 2 (
nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại
là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
Câu 6 (1,5đ)Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = x2 + 3y2 + x – y trên miền đóng
D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, y = 1 và x + y = 1
Bài giải
Miền xác định của hàm số đang xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi
x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D (0,25đ)
Ta có hệ phương trình
0 1 y 6 y
) y , x (
0 1 x x
) y , x (
để xác định các điểm dừng Hệ phương trình này có
1 nghiệm duy nhất
6 1 y
2 1 x
, tức là có 1 điểm dừng (-1/2,1/6) là điểm nằm ngoài miền D nên ta không xét.(0,25đ)
Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:
- Trên đường x = 1 thì f(1,y) = 3y2 – y + 2 với 0 y 1 nên fmin = f(1,1/6) = 23/12 và fmax = f(1,1)
= 4.(0,5đ)
- Trên đường y = 1 thì f(x,1) = x2 + x + 2 với 0 x 1 nên fmin = f(0,1) = 2 và fmax = f(1,1) = 4
(0,25đ)
- Trên đường x + y = 1 thì f(x,1–x) = 4x2 – 4x + 2 với 0 x 1 nên fmin = f(1/2,1/2) = 1 và fmax = f(1,0) = 2.(0,5đ)
TailieuVNU.com
Trang 4So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được GTNN(f) = 1 tại điểm (1/2,1/2)
và GTLN(f) = 4 tại điểm (1,1).(0,25đ)
y x ) y , x
3
y 2
x
Bài giải
3
y 2
x ) y , x ( 0 1 3
y 2
x 1 3
y 2
3
y 2
x y
x ) y , x ( ) y , x ( ) , y , x (
1 3
y 2
x ) , y , x (
L
3 y 2 y
) , y , x (
L
2 x 2 x
) , y , x (
L
, (0,25đ)
do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là
13 72 13
12 y 13
18 x
0 1 3
y 2 x
0 3 y 2
0 2 x
0 0
0
(0,25đ)
Tại
13
72
0
2 y
13 12 , 13 18 f C
0 y
x
13 12 , 13 18 f B
2 x
13 12 , 13 18 f A
2 y
) y , x (
0 y x
) y , x (
2 x
) y , x (
y 2 y
) y , x (
x x
) y , x (
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
(0,25đ)
2 2
2 2
0
0
2
dy 2 dx 2 Cdy Bdxdy 2 Adx )
y
,
x
(
0 dx 2
13 ) y , x ( d dx 2
3 dy 0 dy 3
1 dx 2
1 ) y , x ( d 0 1 3
y 2
x
)
y
,
x
dạng toàn phương d2f(x0,y0) xác định dương, (0,25đ) do đó hàm số 2 2
y x ) y , x ( đạt cực tiểu tại
13
12 , 13
18 )
y
,
x
( 0 0 và giá trị cực tiểu
13
36 13
12 , 13
18 f
TailieuVNU.com