Đề thi chọn đội tuyển PTNK 2010 - ÔN THI TOÁN

Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O). Chứng minh đường thẳng KN luôn qua một điểm cố định.. Với bộ số mới ta lại tiếp tục thực hiện phép biến đổi tương tự. a) Chứn[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN

NĂM HỌC 2010 – 2011

Ngày thi thứ nhất: 18/10/2010 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 Giải hệ phương trình

4

5

6















Bài 2 Tìm tất cả các hàm f R: R thỏa mãn

 

  3  , ,

f x y f y f y  y f x x yR

Bài 3 Cho p là số nguyên tố lẻ và n = 2p + r với r0,1, 2, ,p 1 Đặt X 1, 2, ,n Ánh xạ f X: X được gọi là có tính chất P nếu f không phải là ánh xạ đồng nhất và

 

 

f f f k k (ánh xạ hợp p lần ) với mọi kX Đặt A f kX | f k k

a) Chứng minh rằng nếu f có tính chất P thì A f rmodp

b) Gọi d là số các ánh xạ f có tính chất P Chứng minh rằng d không là ước số của n!

(Kí hiệu |A| chỉ số các phần tử của tập hợp A)

Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có A cố định và B, C thay đổi trên (O)

sao cho BC luôn song song với một đường thẳng cố định Các tiếp tuyến của (O) tại B và

C cắt nhau tại K Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN luôn qua một điểm cố định

Hết

Ngày thi thứ nhất: 19/10/2010 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 5 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

 2 a  2 b c   2 b  2 c  a  2 c  2 a  b   25 abc

Bài 6 Cho dãy {un} thỏa u 1 2 và

2 1

n

n

u





Tìm

2

2

lim

Bài 7 Xét số tự nhiên n > 1 Bắt đầu từ bộ số 1, 2, …, 2n – 1, 2n ta thực hiện phép biến

đổi sau: Chọn hai số a, b sao cho a – b > 1, xóa hai số này và thay bởi hai số a – 1, b+ 1 Với bộ số mới ta lại tiếp tục thực hiện phép biến đổi tương tự

a) Chứng minh rằng ta sẽ đạt đến trạng thái dừng, tức là không thể tiếp tục thực hiện phép biến đổi như vậy được nữa

b) Gọi k là số lần phép biến đổi cần thực hiện để đạt đến trạng thái dừng Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của k

Bài 8 Cho đường tròn ( γ1) đường kính AB và đường tròn ( γ2) tâm A cắt (γ1) tại C, D Điểm M thay đổi trên cung CD (nằm bên trong (γ1)) của (γ2), BM cắt (γ1) tại N (N khác

M và B) Tìm giá trị nhỏ nhất của ND NC

MN

