Xét tính tuần hoàn các các hàm số lượng giác, ta sử dụng một số kết quả: a.?. (ycbt).[r]
Trang 1Chủ đề: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- LÝ THUYẾT:
0 Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác:
" Î - £ £ - £ £
x R: 1 sinx 1, 1 cosx 1
: sin 2 sin cos 2 cos
: tan tan cot cot
* Các giá trị đặc biệt:
p
4 cos 0 5 cos 1 2 6 cos 1 2
2
7 tan 0 8 tan 1 9
4
= - Û = - +
tan 1
4
-
1 Hàm số y = sin x:
* TXĐ: D=R * Tập giá trị: " Îx R: 1 sin- £ x£1
* Hàm số y = sin x là hàm số lẽ * Tuần hoàn với chu kỳ: T=2p
Đồ thị:
2 Hàm số y = cos x:
* TXĐ: D=R * Tập giá trị: " Îx R: 1- £cosx£1
* Hàm số y = cos x là hàm số chẵn * Tuần hoàn với chu kỳ: T=2p
Đồ thị:
y
x
2
- p
1
y
x
1
-1
O
- p
2
p
- p
cotang
tang sin
cos
Trang 23 Hàm số y = tan x:
* TXĐ: = ìp + p Î ü
2
D R k k Z * Tập giá trị: " Îx D: tanxÎR
* Hàm số y = tan x là hàm số lẽ * Tuần hoàn với chu kỳ: T =p
Đồ thị:
3 Hàm số y = cot x:
* TXĐ: D=R \{kp, kÎZ} * Tập giá trị: " Îx D: co txÎR
* Hàm số y = cot x là hàm số lẽ * Tuần hoàn với chu kỳ: T =p
Đồ thị:
Dạng toán 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
*Nhắc lại: M ột số dạng tìm Tập xác định hàm số thường gặp:
³ ì
î
³ ì
î Î ì
î
2
3
( ) 0
§ iÒu kiÖn ( ) cã nghÜa
( ) 0 Tæng qu¸t: ( ) ( ) §iÒu kiÖn:
§ iÒu kiÖn ( ) cã nghÜa ( )
2) ( ) ( ) §iÒu kiÖn:
§ iÒu kiÖn ( ) cã nghÜa
n
A x
A x
A x
A x
A x
y
x
O
y
x O
Trang 3+ ì Î
î
¹ ì
î
Tæng qu¸t: ( ) ( ) §iÒu kiÖn:
§ iÒu kiÖn ( ) cã nghÜa ( ) 0
( )
3) ( ) §iÒu kiÖn:
( ) § iÒu kiÖn ( ), ( ) cã nghÜa
A x
B x
A x
f x
4) ( ) tan §iÒu kiÖn: cos 0
2
k
π
5) ( )f x cotk u x §iÒu kiÖn: sinu x 0 u x kπ
Bài tập 1: (Mức độ cơ bản) Tìm TXĐ của các hàm số sau:
10
a) 4tan 2 b) 2tan2 cot 2 sin 7
4
c) d)
p
+
-Hướng dẫn:
cos2 0
sin2 0
x
x x
x
p
¹
î þ î
¹
î
{ }
2
cos 1
k
x
ì + ü
+
ï
î
Nªn ®iÒu kiÖn lµ: 1 VËy
Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm TXĐ của các hàm số sau:
2 2
a) b) c)
Hướng dẫn:
2
sin
2
5 2
2
cos3 cos
p p
ì ¹ +
ï ¹ + ïî
¹
¹ + ì
¹ Û í ¹ - +î Û
2
a)
6
6
c) §k:
y
x k
x x k
4
p
p p
ì
î þ
ïîx k VËy D R k
Trang 4Dạng toỏn 2: TèM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HSLG
Phương phỏp:
Bước 1: Sử dụng cỏc kỹ năng biến đổi để cú cỏc BĐT và kết luận GTLN- GTNN Bước 2: Chỉ rừ GTLN- GTNN xóy ra trong trường hợp nào?
Bài tập 1: (Mức độ cơ bản) Tỡm GTLN- GTNN của cỏc hàm số sau:
2 2
a) 2 4cos2 b) 3sin 2 4 c) 4cos 2 1 d) 2 cos3 4
-Hướng dẫn:
2
x x y
" ẻ - Ê Ê
ị - Ê Ê
R
a)
Vậy max đạt được khi
và min
2 2 2
: 0 sin 2 1
0 3sin 2 3
1
x x y y
p
" ẻ Ê Ê
Û - Ê Ê
ị Ê Ê
=
-R
R
đạt được khi b)
2 2 2 2
2 : 0 cos 2 1
0 4cos 2 4
1 4cos 2 1 5
1 4cos
x x
p
" ẻ Ê Ê
Û Ê
R
được khi
c)
2
2
x y
p
+ Ê
ị Ê Ê
R
R
Vậy max đạt được khi
Trang 5: 0 cos3 1
0 2 cos3 2
3
x x y
p
" ẻ Ê Ê
ị Ê Ê
R
R
d)
Vậy max đạt được khi
Bài tập 2: (Mức độ trung bỡnh) Tỡm GTLN- GTNN của cỏc hàm số sau:
a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos
3
p
Hướng dẫn:
2
2
2sin
2
= + ỗ - ữ= ỗ - ữ
4
Ta có: cos2 cos2 và tiếp tục như bài tập trên
và tiếp tục như bài tập trên
Bài tập 3: (Mức độ khỏ) Tỡm GTLN- GTNN của cỏc hàm số sau:
2 2
a) 3 sin cos 2 b) 2sin 2 sin 2 4cos 2
2 cos c) 3sin 5cos 8sin cos 2 d)
-+
x
Hướng dẫn:
Chỳ ý: Điều kiện để phương trỡnh y=asint+bcost cú nghiệm là: a2+b2³c 2
a) y= 3 sinx-cosx+ Û2 3 sinx-cosx= -y 2 (*)
Miền giỏ trị của hàm số trờn là " ẻy R sao cho phương trỡnh sau:
3 sinx-cosx= -y 2 cú nghiệm x R ẻ
2
Û ỗ - ữ= Û - = + Û = +
-R
R
Vậy max đạt được khi
và min đạt được khi
Û ỗ - ữ= - Û - = - + Û = - +
Trang 6Hướng khác:
p
vµ tiÕp tôc nh bµi tËp trªn
Hướng 3:
2
2 2
2
Þ - £ Û - £ - £ Û £ £
vµ tiÕp tôc nh bµi tËp trªn
2
1 cos 4
2 4sin 4 cos 4 1
b)
vµ tiÕp tôc nh bµi tËp trªn
x
4sin 2 2
2 cos
-+
vµ tiÕp tôc nh bµi tËp trªn
d)
x
x
Với điều kiện có nghiệm 2 ( ) (2 )2
vµ tiÕp tôc nh bµi tËp trªn
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
2
1 4cos 1) 2 4cos 2) 3 8sin cos 3) 4) 2sin cos2
3 5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2sin cos
3
x
+
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
4 4
1) sin 4sin 2 2) sin cos 0
3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2sin 4cos 8sin cos 1
5) sin cos
6) y=sin x+cos x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số:
1 1) sin 3 2) cos 3) sin 4) cos
5) 6) cot 2 7) 8)
p
+ +
x
Trang 7Dạng toỏn 3: XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Phương phỏp:
Bước 1: Tỡm tập xỏc định D của hàm số y= f x( ), lỳc đú:
+ Nếu D là tập đối xứng (tức là " ẻ ị - ẻx D x D ), ta thực hiện bước 2
+ Nếu D khụng là tập đối xứng ($ ẻ ị - ẽx0 D x0 D ), ta kết luận hàm số ( )
y= f x khụng chẵn cũng khụng lẻ
Bước 2: Xỏc định f(-x Lỳc ) đú:
ộ
ở
( ) ( ) : Hàm số ( ) là hàm chẵn ( ) ( ) : Hàm số ( ) là hàm lẻ
Lưu ý: Về mặt hỡnh học:
1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
2 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tõm đối xứng
Nhận xột: Với cỏc hàm số lượng giỏc cơ bản, ta cú:
a Hàm số y=cos là hàm số chẵnx
b Hàm số y=sin , x y=tan , x y=cot là các hàm số lẽx
Bài tập 1: Xỏc định tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số:
3 4
a) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin 3 d)
x
Hướng dẫn:
a) TXĐ: D R Ta cú: = " ẻ ị - ẻx D x D
và Hàm số đã cho là hàm không chẵn không lẻ trên R
y x y x
2
p
= + ỗ - ữ=
cos
TXĐ: D R Ta cú: = " ẻ ị - ẻx D x D
( )- = -1 cos( )- cos 2( )- =1 cos- cos 2 = ( )ị Hàm số đã cho là hàm chẵn trên R
c) TXĐ: D R Ta cú: = " ẻ ị - ẻx D x D
d) TXĐ: \
D R k Ta cú: " ẻ ị - ẻx D x D
( ) ( )- = - 3-sin( ) ( )- - +3 sin = - 3 -sin = - ( )ị
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập: Xỏc định tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số:
3 3
2000
1) cos3 3) sin 3 4) 5)
cos2
1 cos 6) sin 2 7) 1 cos 8) 9) sin cos2
1 cos 10)
+
-=
x
x x
y
11) 12) sin 2
+
+
x
Trang 8Dạng toán 4: XÁC ĐỊNH TÍNH TUẦN HOÀN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
1 Chứng minh hàm số y= f x( ) tuần hoàn
Xét hàm số y= f x( ), tập xác định D, ta dự đoán có số thực dương T sao cho: 0
" Î - Î + Î ìï
ïî
0
( ) (2)
2 Chứng minh T là chu k0 ỳ của hàm số ( nghĩa là T d0 ương nhỏ nhất thoả mãn hệ (1) và
(2)) Thực hiện bằng phản chứng
Bước 1: Giả sử có số T sao cho 0< <T T tho0 ả mãn các tính chất (1) và (2):
" Îx D: f x+T = f x( )Û Þ M©u thuÈn víi gi¶ thiÕt 0< <T T0
Bước 2: Mâu thuẩn này chứng tỏ T là s0 ố dương nhỏ nhất thoả mãn (2)
Kết luận: Vậy T là chu k0 ỳ của hàm số y= f x( )
3 Xét tính tuần hoàn các các hàm số lượng giác, ta sử dụng một số kết quả:
a Hàm số y=sin , x y =cos tuÇn hoµn víi chu kú 2x p
b Hàm số y=tan , x y=cot tuÇn hoµn víi chu kú x p
M ở rộng: (cm)
c Hàm số y=sin(ax+b), y=cos(ax+b) (a>0) tuÇn hoµn víi chu kú 2p
a
d Hàm số y=tan(ax+b), y=cot(ax+b) (a>0) tuÇn hoµn víi chu kú p
a
Định lý: Cho cặp hàm số ( ), ( )f x g x tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần lượt là vµ a b
Î
víi a Q
b Khi đó, các hàm số: F x( )= f x( )+g x( ), ( )G x = f x g x c( ) ( ) ũng tuần hoàn trên M
Hệ quả:
Hàm số F x( )=mf x( )+ng x tu( ) ần hoàn với chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của µ a v b
Bài tập 1: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau là một hàm số tuần hoàn và hãy tìm chu kỳ của
nó:
2
1) 2sin 2) cos 5 3) tan 4) cos2
5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin
2 4
9)
x
y
p
sin x
Trang 9SAI LẦM Ở ĐÂU?
Xét bài toán:
Tìm chu kỳ của hàm số: f x( ) sin= (ax b+ ); (a¹0)
( Trắc nghiệm Nghuyễn Văn Nho ĐHSP2006 và nhiều sách khác)
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: Gọi T là chu kỳ của hàm số đã cho
Bước 2: Lúc đó:
( + )= ( )Ûsinéë + + ù =û sin +
Û ax b aT+ + = ax b (*) + Bước 3: Do hàm số y=sinx tuần hoàn với chu kỳ T =2p
Từ (*)Û aT =2p T 2
a
p
Û =
Vậy chu kỳ của hàm số đã cholà T 2
a
p
= (ycbt) Bài giải của học sinh trên đã đúng chưa? Nếu chưa thì sai ở bước nào?
*Lưu ý:
Nhìn tổng thể thì bài giải có vẻ đúng nhưng bản chất thì sai Sai vì chưa hiểu rõ thế nào là chu kỳ của một hàm số
Nhắc: T được gọi là chu kỳ của hàm số y= f x( )khi chỉ khi:
+ f x T( + )= f x( ) (*) + T là số dương nhỏ nhất thoả (*) Như vậy đối với bài giải trên, chỉ đúng khi a>0 Vậy trong trường hợp tổng quát thì sao? Ta giải như sau:
TH1: a>0 giải như trên
TH2: a<0 Thực hiện phép biến đổi: sin(ax b+ ) = -sin(- -ax b Lúc này ta đưa bài ) toán về TH1
Bài tập: Tìm chu kỳ của các hàm số sau:
a) y=cos 2( x-4) b) y=cot 3(- +x 1) c) tan 2 1
3
= ç - ÷
x
y c) y=sin 4(- +x 2)
Bài toán: Cho hàm số ( )f x =asinux b+ sinvx, trong đó , , ,a b u v là các số thực khác 0
a) Chứng minh rằng: Nếu hàm số y= f x( ) tuần hoàn thì u
v là số hữu tỉ
b) Ngược lại nếu u
v là số hữu tỉ thì hàm số y= f x( ) tuần hoàn
Chứng minh:
a) Giả sử hàm số y= f x( ) tuần hoàn với chu kì T Ta có: "x f x T: ( + ) = f x( )
Cho x=0, ta có: f T( )= f(0)ÛasinuT b+ cosvT =b (1)
Cho x= -T, ta có: f ( )-T = f(0)Û -asinuT b+ cosvT =b (2)
Q
Trang 10b) Giả sử v = mÎQ
u n với , m n là các số nguyên khác 0 Chọn
2 m 2 n T
Khi đó: ( + ) = sin æ +2p ö+ æ +2p ö
Vậy hàm số y= f x( ) tuần hoàn (đ.p.c.m)
Định lý: Cho cặp hàm số ( ), ( )f x g x tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần lượt là
Î
vµ víi a
b Khi đó, các hàm số: F x( )= f x( )+g x( ), ( )G x = f x g x c( ) ( ) ũng tuần hoàn trên M
Hệ quả:
Hàm số F x( )=mf x( )+ng x tu( ) ần hoàn với chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của µ a v b
Ví dụ minh họa 1: Xác định chu kì của các hàm số sau:
2
2
1 1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2
4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos
Giải:
4) Ta có:
Hàm số y=sinx tuần hoàn chu kì 2p
Hàm số y=sin 2x tuần hoàn chu kì p
Suy ra, hàm số 1
sin sin 2
2
y= x+ x tuần hoàn với chu kì T =2p
Hàm số y=sin 3x tuần hoàn chu kì 2
3
p
sin sin 2 sin 3
y= x+ x+ x tuần hoàn với chu kì 2p
Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số ( ) cosf x = x Chứng minh rằng hàm số trên không tuần hoàn phải
Giải: Giả sử hàm số đã cho là tuần hoàn phải Khi đó có tồn tại số dương T sao cho:
0 : cos cos
" ³ + =
Cho x=0, ta có: cos T = Û1 T =k2p (1)
Cho x T= , ta có: cos 2T =cos T = Û1 2T =m2p (2)
Lập tỉ số (1) (2) , ta được: 2 = k ÎQ
m Mâu thuẩn Vậy hàm số đó không tuần hoàn phải
Ví dụ minh họa 3:
Tìm tất cả các số nguyên n khác 0 để hàm số: y f x( ) cos sinnx 5x
n
= = tuần hoàn với chu kì
3p
p
Trang 115( 3 ) 5
p
Thay x=0 ta được: 15 15
p = Û p = p Û = Tức là
n là ước của 15, do
đó: nÎ ±{ 1; ±3; ±5; ±15}
Đảo lại:" Î ±n { 1; ±3; ±5; ±15} thì: 5( 3 ) 5
( ) cos ( ).sin x cos sin x
p
Thật vậy, vì 3n và 15
n là các số nguyên lẻ nên :
-+ = æ + ö=
Do đó các giá trị n cần tìm là nÎ ±{ 1; ±3; ±5; ±15} (y.c.b.t)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập: Xác định chu kỳ của các hàm số:
2
2
1 1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2
4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos