TOÁN 6 – MỘT SỐ DẠNG NÂNG CAO.

* Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên [r]

DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT

I LÝ THUYẾT

1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số:

- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

2 Các phép tính của phân số:

a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:

M

BA

BA

M

B

M

A    (M 0,A B )

b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

- Quy đồng mẫu các phân số

- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung

c Nhân các phân số: A C A

 C (B D  , 0)

d Chia 2 phân số: A C A

.:  D , ,(B C D  0)

3 Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:

an

aa

nan

aa

ananaa

).(

).(

)().(

Tính tổng

101.100

1

4.3

13.2

12.1

1    

Hướng dẫn phân tích: 1 1 1

12

13.2

2

7.5

25.3

23.1

2     ( dạng toán áp dụng trực tiếp)

Hướng dẫn phân tích:

3

11

13.1

2   ;

5

13

15.3

2   ;

7

15

17.5

2   ; … ;

101

199

1101.99

2  

Lời giải

101.99

2

14.11

311

8

38

1

18.14

114.10

110.6

B

c)

507.502

10

22.17

1017.12

1012

4

23.18

418.13

413.8

DLời giải

18.14

114.10

110

10

22.17

1017.12

1012

4

23.18

418.13

413

 

Tính tổng:

a)

509.252

1

19.7

17.9

Dạng toán tìm quy luật của dãy

Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy: 1 ; 1 ; 11 1 1 ; 1 1 ; 1 1 ;

Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị

Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: 5n4 5 n 1 

3.1

3

4.2

4

5.34

15  ; 2 2

100

101.99100

36

35.28

27.21

* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: ana a.a.a.a a(n thừa số a với a thuộcQ)

Qui ước: a01(a0)&a1a

* Các phép tính luỹ thừa:

- Nhân 2 luỹ thưa cùng cơ số: am.an am  n

- Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số : am :an am  n(a0;mn)

- Luỹ thừa 1 tích: (a.b)na nbn

- Luỹ thừa 1 thương: (a : b )nan:bn(b0)

- Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n am n

- Luỹ thừa tầng: amna( mn)vidu:323 38

- Luỹ thừa với số mũ âm: a 3 3

10

110)0(

 a vidu

an n

B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA

I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng

C/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: So sánh hai số lũy thừa

h/ 5300 (53)100125100 &3500 (33)100 243100 5300 3500

i/ 430 (22)30 (2.2)30 230.230 (23)10.(22)15 810.315 810.310.3(8.3)10.32410.3 Vậy 230 330430 3.2410

7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2)

Từ (1) và (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375

b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535

Vậy 291 > 535

DẠNG 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)

* Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật

* Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B

* Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng

Với a, n, m, K N* Ta có:

- Nếu m > n thì K - a > K - a và K + a < K + a

Lời giải 2.S = 222 23 24  29 210

Bài tập 3: So sánh hai biểu thức:

2 13 2 65

2 104



C

a) A =

110

110

110

32

32

2006

2007





- Ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 -> ta so sánh 10A và10B

- Ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh

2

1

C và 2

1

D

a) Ta có A =

110

110

16

15



 => 10A = 10 10101611

15

=

110

1010

16

16



 =

110

91110

9110

16 16

110

17

16



 => 10B = 10  10101711

16

=

110

1010

91110

9110

17 17

9110

91110

32

1

22

12222

3212

32

2008

2008 2008

2008 2007

32

2006

2007



 =>

2

1

D = 2

1

22

12222

3212

32

2007

2007 2007

2007 2006

12

38

3   = 3 4 4

8

48

38

48

3   = 3 4 3

8

48

38

38

48

38

DẠNG 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết

Từ mệnh đề so sánh đã cho, bằng việc phân tích lũy thừa đưa hai về về hai lũy thừa cùng cơ số (cùng số mũ) rồi lập luận tìm cơ số (số mũ chưa biết)

Tùy theo điều kiện bài cho về cơ số (số mũ) ta tìm được cơ số (số mũ) tương ứng

Bài tập 1: Tìm x thuộc N Biết :

a/ 16x1284

0 18

2

1.5 100 0:25

5  

chuso

x x

x   

Lời giải a/ 16x1284 => (2)4<(27)4;44 x 228 4x28x7x 0,1,2,3,4,5,6

0 18

2

1.5 100 0:25

5  

chuso

x x

=> 53 x  3 1018 :218 53 x  3 518  3 x  3 18x5 x0,1,2,3,4,5Bài tập 2: Tìm các số tự nhiên n sao cho :

a) 3 < 3n  234

b) 8.16  2n  4

Hướng dẫn: đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n biết rằng :

415 915 < 2n 3n < 1816 216 Gợi ý: quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số

Bài tập 4: Cho A = 3 + 32 + 33 + …….+3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n

Lời giải

Có A = 3 + 32 + 33 + …….+3100 3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101

Suy ra: 3A – A = 3101 – 3 Hay: 2A = 3101 – 3 => 2A + 3 = 3101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3n

Suy ra: 3101 = 3n => n = 101

2/ Nếu m-n 22m n1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ

khi phân tách ra thừa số nguyên tố Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2

b) 243 > 3n  9 => 35 > 3n  32 => 5 > n  2 , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; 2

Bài tập 7: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 < 6300

( giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là 5+6+7+8+9+10+11=56)

Số2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho 364 < n48 < 572

Bài tập 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần

và chỉ một lần ?

Lời giải 1/ TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321

2/ TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị nầy quá nhỏ so với 321)

* Xét các luỹ thưa có số mũ Một chữ số dươc 4 số : 132,312,123,213 213 312

* Xét các luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 213,231,312,321

Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số

Vậy m có 28 chữ số

II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“:

mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương

III/ PHƯƠNG PHÁP 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )

 Hướng dẫn

* M, N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho

* Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

c) Nếu aM 1; c N 1

b d mà M > N thì

a c

b  d

* M, N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó

* Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn

Bài tập 1: So sánh 19

18 và

20052004Hướng dẫn

Ta có 7 1 19 7 19

9  17 9 17

2/ DÙNG 1 PHÂN SỐ LÀM TRUNG GIAN:

* Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai

* Nhận xét: Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn

hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương )

n

n Nn

 và 2004.2005 1

?2004.2005

2000.2001

?2000.2001 1Hướng dẫn:

Từ câu ac : Xét phân số trung gian

Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là1

4

Ta có : 12 12 1

47 48 và 4 19 19 1 12 19

7776 4 4777Bài tập 2: Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :

VI/ PHƯƠNG PHÁP 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :

+ Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn

+ Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo

Hướng dẫn

8

31

a b c d e f       g h k ta cộng mỗi phân thức thêm 1

Bước 2: Quy đồng từ phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung

Chú ý: Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số

Dạng 3: Tìm x dạng toán quy luật

PP: Đưa bài toán về dãy tính tổng, dãy tính tích được học trong chủ đề: Dãy quy luật

Bài 1: Tìm x, với x      2; 4; 8; 14 biết:

Dạng 6: Tìm x dạng toán sử dụng tính toán phân thức

PP: Vận dụng quy tắc tính giá trị biểu thức để thu gọn các biểu thức

PP: Đưa về tìm ước của mótố

Bài 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn:

a,x 4 x 1 b,4x 3 x 2 c,x15 x 2

Lời giải a) x 4x   1 x 1 3x  1 3x 1

Vớix  , mà x là số nguyên tố nên2 x lẻ  y2  x2 117 là số chẵn

y

 số chẵn mà y lại là số nguyên tố nên y 2 (Không thỏa mãn y2  x2 117)

Vậyx  ; 2 y 11

Chúc các em ôn tập tốt nhé!