TOÁN 7 – 15 ĐỀ ÔN LUYỆN HỌC KÌ 2 CÓ ĐÁP ÁN.

TRẮC NGHIỆM (2 điểm) Viết vào bài làm chữ cái đứng trước câu trả lời đúng. Kẻ MK vuông góc với BC tại K. a) Tính độ dài cạnh BC. Chứng minh tia AK là tia phân giác của góc DAC.. Cho G [r]

I TRẮC NGHIỆM (2 điểm) Viết vào bài làm chữ cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1: Giá trị của biểu thức 1 2 2

A AB B BC C AC D Không xác định được Câu 4: Cho ABC, G là trọng tâm, D là trung điểm của AC Khi đó:

II TỰ LUẬN (8 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm) Thu gọn và tìm bậc của đa thức A  3x y2 – 7 4xy  x y2 8 1  xy   xyBài 2 (2,0 điểm) Cho hai đa thức:

P x   3x x32x2 5 2x4 ; Q x x32x4x22

a) Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến và tìm bậc, tìm hệ số cao nhất,

hệ số tự do của mỗi đa thức;

Bài 3 (3,0 điểm) Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6 cm; AC = 8 cm; BM là đường phân giác Kẻ

MK vuông góc với BC tại K

Ghi vào bài làm chữ cái in hoa đứng trước câu trả lời đúng:

1 Giá trị của biểu thức 2

4 Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác, ta có:

A O cách đều ba cạnh của tam giác

B O cách đều ba đỉnh của tam giác

C Một đáp án khác

II/Tự luận (8 điểm):

Bài 1(2 điểm) : Điểm kiểm tra học kì II môn Toán của lớp 7A được ghi trong bảng sau:

vuông góc với Ox, Oy (A thuộc Ox, B thuộc Oy) Chứng minh:

a AOC BOC

b OC là đường trung trực của đoạn thẳng AB

c Kẻ AD vuông góc với OB ( D thuộc OB) Gọi M là giao điểm của AD với Oz Chứng

minh rằng BM vuông góc với OA

Bài 4(0,5 điểm): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ 2;3;4 Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó

tỉ lệ với ba số nào?

Bài 2 ( 2 điểm) Cho các đa thức: A(x) 3x 25x x 3x27và B(x)   5x 11 x3

a) Thu gọn rồi sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến

b)Tính A(2) và B( 1)

c) Tìm đa thức f (x) biết f (x) A(x) B(x) 

d) Tìm đa thức g(x) biết g(x) A(x) B(x) 

Bài 3(1,5 điểm): Cho đa thức P( )x  x2 mx9(m là tham số)

a/ Tìm giá trị của m để x1 là một nghiệm của đa thức P( )x

b/ Khi m0, tìm tất cả các nghiệm của đa thức P( )x

c/ Khi m0, tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P( )x

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH (H thuộc BC)

a) Chứng minh: H là trung điểm của BC và BAH  HAC

b) Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N Chứng minh: Tam

giác AMN cân ở A

c) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP Chứng minh: đường thẳng BC là đường trung trực của đoạn thẳng MP

d) MP cắt BC tại điểm K, NK cắt MH tại điểm D Chứng minh: Ba đường thẳng AH,

MN, DP cùng đi qua 1 điểm

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho đa thức ( )f x thỏa mãn ( 1) ( ) (x f x  x2) (f x3) với mọi x Tìm 5 nghiệm của

đa thức ( )f x

Câu 4: Trọng tâm của tam giác là:

A Giao điểm của các đường phân giác của tam giác

B Giao điểm của các đường trung trực của tam giác

C Giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác

D Giao điểm của các đường cao của tam giác

II Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm): Cho đơn thức 5 2 3 3 3  2 

b) Tìm hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A

Bài 3 (4 điểm): Cho ABC có  90o

A , kẻ AH BC HBC Vẽ AM là phân giác của ,HAC

MHC Kẻ MK  AC KAC

a) Chứng minh AMK  AMH

b) Gọi giao điểm của KM và AH là Q Chứng minh AM QC và HK // QC

c) So sánh hai đoạn thẳng MC và QC

d) Các tia phân giác của AHB và BAH cắt nhau tại I; BI cắt AH ở E Chứng minh E là

trực tâm của ABM

I TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Chọn phương án đúng cho các câu sau

Câu 1: Đa thức A6x y4  1 6xyx3xy3 có bậc là:

A Bậc 5 B Bậc 4 C Bậc 3 D Bậc 2

Câu 2: Đa thức x2 x 2 có nghiệm là:

A x1 hoặc x2 B x 1 hoặc x 2 C x1 hoặc x 2 D x 1 hoặc

C BC = 8 hoặc BC = 3cm D Không tính được BC

Câu 4: Trên hình vẽ bên biết DA = DC, DB = DE, FB = FC Tỉ số CG

II TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm): Cho 1 4 3 22

29

 

M x y xy a) Thu gọn đơn thức M

b) Tính giá trị của M, biết

c) Tìm nghiệm của đa thức P(x), biết P x( )C x( ) x3 4

Bài 3 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC Lấy điểm D sao cho A là trung

điểm của BD

a) Chứng minh CA là tia phân giác của BCD

b) Vẽ BE vuông góc với CD tại E, BE cắt CA tại I Vẽ IF vuông góc với CB tại F Chứng

minh CEF cân và EF song song với DB

c) So sánh IE và IB

d) Tìm điều kiện của ABC để BEF cân tại F

Bài 4 (0,5 điểm): Tìm giá trị của biểu thức sau

Em hãy trả lời câu hỏi bằng cách ghi lại chữa cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1: Bậc của đa thức f x 7x4 4x3 8x2 5x5 x4 5x5 4x4 2018 là:

Câu 2: Kết quả kiểm tra phần thi tâng cầu của môn thể dục được cô giáo ghi lại như sau:

Kết quả tang cầu của một học sinh (tính thao

Mỗi học sinh phải tâng được ít nhất 4 quả cầu mới đạt Số học sinh thi đạt bài kiểm tra là:

Câu 3: Cho ABC biết BC 4cm;AB5cm,AC 3cm Khi đó có ABC

A/ Nhọn B/ Vuông tại A C/ Vuông tại B D/ Vuông tại C

Câu 4:Cho ABC có 3 góc nhon (AB > AC), đường cao AH, điểm P thuộc đoạn AH, khi đó ta có:

a) Tìm bậc, hệ số tự do, hệ số cao nhất của A x  Tính A 2

b) Thu gọn, sắp xếp đa thức B x  theo lũy thừa giảm dần của biến

a) Chứng minh HB HC và AH là tia phân giác của BAC

b) Lấy D trên tia đối của tia BC sao cho BD BH ; lấy E trên tia đối của tia BA sao cho

BEBA Chứng minh rằng DE AH

c) So sánh DAB và BAH

d) Lấy điểm F sao cho D là trung điểm của EF Gọi Glà trung điểm của EC Chứng

minh rằng , ,F B G thẳng hàng

Câu 8 (0,5 điểm): Cho đa thức có các hệ số a, b, c, d nguyên Biết với mọi số nguyên x

Chứng minh rằng a, b, c, d chia hết cho 5

I TRẮC NGHIỆM (2 điểm) Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm

Câu 1 Bậc của đa thức A y 93x y 2xy3  23x y y3  9xy là:

II TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau

c)Chứng tỏ 2 là nghiệm của T x  nhưng không là nghiệm của H x 

Bài 3 (3,5 điểm) Cho ABC vuông tại A có AB AC , kẻ đường cao AH Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD HA

a) Chứng minh rằng: ABH  DBH

b) Chứng minh rằng: CB là phân giác củaACD

c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BD , cắt cạnh BC tại E

Chứng minh rằng: DE AB

d) Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại K Chứng minh rằng: HK 1AD

2



b) Cho đa thức F x    ax2 bx c  với các hệ số a b c , , thỏa mãn 11 a b   5 c  0

Chứng minh rằng F   1 và F    2 không thể cùng dương

1) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng (trục hoành biểu diễn điểm số, trục tung biểu diễn tần số)

2) Lớp 7A có bao nhiêu học sinh? Tính điểm trung bình cộng của học sinh trong lớp?

c Gía trị x 1 có phải là nghiệm của đa thức B x P x Q x  không? Vì sao?

Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác BD D AC   Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = EC Gọi I là giao

điểm của BD và FC Chứng minh rằng

Câu 4 Giao điểm ba đường trung trực của tam giác

A)là trực tâm B)là trọng tâm

C)cách đều ba cạnh của tam giác D) cách đều ba đỉnh của tam giác

II Tự luận (8 điểm)

Bài 1 (1 điểm) Cho đa thức A x y xy 2  25x y2 2 x33xy2x y x y2  2 2

a) Thu gọn đa thức A

b) Tính giá trị của đa thức A tại x2;y3

Bài 2 (2 điểm) Cho đa thức f x 3x2  5 x4 3x32x2x3

g x  x 2x   x x 2x  x 1 a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm của biến

b) Lấy điểm E thuộc tia đối của tia CD sao cho CECD Chứng minh: AED cân

c) AE cắt BCở N Chứng minhNlà trung điểm của AE

d) DN cắt AC ở G; EG cắt AD ở K Chứng minh: M, N,K thẳng hàng

Bài 5 (0.5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 22x4y24y4

Bài 1: (0,5 điểm) Chọn phương án đúng

(Hướng dẫn làm trắc nghiệm: Nếu câu a em chọn phương án A thì ghi a - A, nếu em chọn

phương án A,B thì ghi a - AB, các câu khác làm tương tự)

A Tần số của giá trị 7 là 8 C Có 20 học sinh được điều tra

B Điểm trung bình nhóm là 8,25 D Mốt của dấu hiệu là 3

Bài 2: (1 điểm) Hãy cho biết mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(Hướng dẫn làm trắc nghiệm: Nếu câu a em cho là đúng thì ghi a - Đ, nếu câu a em chọn sai thì ghi a - S, các câu khác làm tương tự)

a) Hai tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng nhau thì bằng nhau

b) Tam giác cân có một góc bằng 600 thì có đường trung tuyến đồng thời là đường

trung trực, đường phân giác, đường cao

c) Trong hai đường xiên cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường thẳng, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu tương ứng lớn hơn

d) Trong tam giác cân có số đo góc ở đỉnh luôn nhỏ hơn tổng số đo của hai góc kề đáy

b) Cho B x( )x5 x4 2x3 x5 4x2 2x3 3, thu gọn rồi tìm B 1

Bài 4: (3,5 điểm) (Học sinh được sử dụng chứng minh tương tự trong bài làm)

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM

a) Chứng MB = MC

đường trung trực của đoạnt HK

c) Lấy điểm E sao cho H là trung điểm của đoạn EM, lấy điểm F sao cho K là trung

điểm của đoạn thẳng FM Chứng minh AEF cân

d) Chứng minh FE // BC

Bài 5: (0,5 điểm) Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d (a, b, c ,d là các số nguyên) Chứng

minh rằng không thể tồn tại đồng thời f  7 53 và f  3 35

- Hết -

A x  xXét 2 1 0

4 0

2

xx

d) Kẻ KH vuông góc với AC tại H

Chứng minh ADK  AHK(cạnh huyền – góc nhọn)

  (hai cạnh tương ứng) (3)

   AB BK (hai cạnh tương ứng) (4) Xét HKC vuông tại H

1

H M

K D

C B

A

X  b)

2

C

y O

c) OC ABOC là đường cao của AOB

Vì AD OB  AD là đường cao của OAB

Mà OD OC  M M là trực tâm của OAB

BM

 là đường cao của OABBM OA

Bài 4 (0,5 điểm)

Gọi 3 cạnh của tam giác là a a a1, ,2 3 và các đường cao tương ứng lần lượt là h h h1, ,2 3

Vì diện tích tam giác không đổi h a1 1 h a2 2 h a3 3 (1)

Vậy m8 thì x1 là một nghiệm của đa thức P( )x

b) Thay m0 vào đa thức P( )x ta có:

Vậy khi m0, nghiệm của đa thức P( )x là x 3; x3

b) Thay m0 vào đa thức P( )x ta có:

2

P( )x x 0x9 P( )x  x2 9

Ta có: x2 , 0 x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

N M

H

A

 MHP cân tại H (định nghĩa)

Mà HB là tia phân giác của MHP(cmt)

HB là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của MHP

BH là đường trung trực của MP

Mà B, H, C thẳng hàng (H BC )

BC là đường trung trực của MP

d) Giả sử MN AH O  Để chứng minh ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua 1 điểm Ta chứng minh: Ba điểm P,D,O thẳng hàng

Theo phần a ta có: AHBAHC

BAH CAH  (2 góc tương ứng bằng nhau)

 O là trung điểm của cạnh MN

OP là trung tuyến ứng với cạnh MN của MNP (2)

Từ (1) và (2)  OP đi qua điểm D hay ba điểm P,O,D thẳng hàng

Bài 5

(x1) ( ) (f x  x2) (f x3) (1),x

+)Thay x1 vào (1) ta có: (1 1) (1) (1 2) (1 3) f   f  0 (1) 3 (4)f  f  f(4) 0

Do đó x10là nghiệm của đa thức ( )f x

Vậy đa thức ( )f x có 5 nghiệm là: 4; 2; 5;7;10 

Mà là đườngAM đường phân giác nên AM là đường cao củaAHK AM HK (2)

Từ (1) và (2)  HK/ / QC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

c)Có QMC là góc ngoài tại đỉnh M của KMCQMC K QMC 900 (t/c góc ngoài) Xét QMC có QMClà góc tù nên QC là cạnh lớn nhất trong QMC do đó QC MC

d)Có  ABH HAC ( cùng phụ với BAH )

F I

E

K

M H

A

Q

Có BAM MAC  900  BAM ABE 900

Xét ABF có BAM ABE900  AFB900 BF  AM

Xét ABM có hai đường caoBFvà AH cắt nhau tại E nên Elà trực tâm của ABM

BAC (tam giác ABC vuông tại A)  CA là đường cao của tam giác BCD

A là trung điểm của BD (GT)  CA là đường trung tuyến của tam giác BCD

 BCDlà tam giác cân tại C (dấu hiệu nhận biết)

 CA là tia phân giác của BCD (tính chất tam giác cân)

 CEF cân tại C(định nghĩa)

Xét CEF cân tại Ccó:

CH là đường phân giác của CEF ( vì CA là tia phân giác của BCD - câu a)

 CH cũng là đường cao của CEF(tính chất tam giác cân)

EF

CI  (định nghĩa đườn cao của tam giác)

Mà ACBD BAC ( 900GT)

 EF BD (Định lí từ vuông góc đến song song)

c) Ta có ICF  ICE(cmt) IE IF ( hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác IEF có:

E

B

A

C D

 

FEC BCE  EFCcân tại F(dấu hiệu nhận biết) FE FC ( tính chất)

Mà FE BE (BEF cân tại F)BF CF EF

+ Xét BCDcó :

DF là đường cao (DF BC cmt )

DF là đường trung tuyến (BF CF cmt )

 BCDcân tại D (dấu hiệu nhận biết)

4x

 Vậy đa thức M(x) có 1 nghiệm 1

4

xb)Ta có

xx

xx

a) + Ta cóAH BC(gt) nên AH là đường cao của

ABC



+ Mà: ABC cân tại A nên AH vừa là đường trung

tuyến, vừa là đường phân giác

Do đó: HB HC và AH là tia phân giác của BAC

B( Xét DBE và HBA ta có:

+ BD BH (gt) +DBE HBA  (đối đỉnh)

+ BE BA (gt)

 

DBE HBA c g c

+ Lại có: AH BCAH  AD(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)DEAD

Trong ADE có: DE AD DAB DEB  (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Mà:  DEBBAH Suy ra: DAB BAH 

d) Vì D là trung điểm của EF nên CDlà đường trung tuyến của CEF

Có: Glà trung điểm của EC nên FG là đường trung tuyến của CEF

CB CD

B

 là trọng tâm của CEF

Do đó: trung tuyến FG đi qua trọng tâm B

Tam giác cân có độ dài hai cạnh là 7 cm và 3 cm Theo bất đẳng thức tam giác ta có cạnh còn lại có độ dài lớn hơn 4 cm Suy ra độ dài cạnh còn lại là 7 cm Chu vi tam giác là 17 cm

Câu 4

II TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau

) 9 16 0

9 1616943

b xxxx

2 ( 1) 9( 1) 0(2 9)( 1) 0

 ABC DBC ( c.g.c )ACB DCB CB là phân giác của ACD

c) ABC DBC BAC BDC mà BAC 90  BDC 90  BDDC

d) Trên tia đối của tia HK lấy điểm M sao cho Hlà

trung điểm của MK HM HK 1MK

2

   Chứng minh được MHA KHD c.g.c 

D

H

A B

C

  trái dấu F   1 ; F 2 trái dấu

Vậy F   1 và F    2 là hai số trái dấu

1) Vẽ đồ thị đoạn thẳng

2) Số học sinh của lớp 7A là: 50 học sinh

Điểm trung bình cộng của học sinh trong lớp 7A là:

4.1 5.4 6.5 7.14 8.10 9.15 10.1

7,550

Vậy ABD EBD c.g.c 

Suy ra DEB DAB 90   0 suy ra DE BC

2) Do ABD EBD cmt DA DE , mà BA BE gt  ,từ đó suy ra BDlà đường trung trực của AE

3) Do BA BE;F A CE  BF BC  BFC cân tại B; có BIlà phân giác, suy ra BIlà

đường cao

Xét BFC có hai đường cao BI;CA cắt nhau tại D, suy ra Dlà trực tâm, suy ra

FDBC mà DE BC nên suy ra ba điểm F, E,D thẳng hàng

E

DA

212x = x 2 x 1 5 x 2 0

21

x = x 3x 12 0

4

1 VËþ x

E

M

A CB

D K

Có NEC NAC900 và NCE NCA900

Mà NAC NCA(cmt)NEC NCE  NECcân tại N NENC  4

Từ  3 và  4 ANNEN là trung điểm của AE

d) Trong ADE có trung tuyến AC cắt trung tuyến DN tại G nên G là trọng tâm của ADEsuy ra K là trung điểm của AD

Trong tam giác vuông ACD có CK là trung tuyến nên CKAK(tính chất đường

trung tuyến trong tam giác vuông) nên K thuộc đường trung trực của AC  *

Trong tam giác vuông ABC có AN là trung tuyến nên ANCN(tính chất đường

trung tuyến trong tam giác vuông) nên N thuộc đường trung trực của AC  **

Từ  * và  ** mà M là trung điểm của AC nên ba điểm N;M;K thẳng hàng

Bài 5 (0.5 điểm) Ta có : 2 2   2 2

A x  x y  y  x  y    Dấu " " xảy ra khi  

 

2 2

 



 



34: 2323

a) Vì ABC cân tại A mà lại có AM là đường cao nên AM đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Do đó: ∆AHM = ∆AKM (canh huyền – góc nhọn)

Suy ra MH = MK , AH = AK (hai cạnh tương ứng)

 M, A thuộc đường trung trực của MK

2 1

F E

K H

M

A