ĐỀ TỰ KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn: TOÁN - Khối 11 (Chương trình chuẩn) Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 1 Câu I:(3đ’ ) Giải các phương trình sau : a). 1 sin 2x 2 = b). cos2x 3sin 2x 2− = Câu II: (1đ’) Biết hệ số của 2 x trong khai triển n (1 3x)− là 90. Tìm n Câu III: ( 2đ’) Có 7 bông cúc và 6 bông hồng. Người ta làm một bó gồm 4 bông. Tính xác suất để : a). Bốn bông cùng loại . b). Có ít nhất 1 bông hồng . Câu IV:(1đ’) Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 2x – y + 5 = 0 Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v r = (–2;1). Câu V: (3đ’) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và DC. Gọi Q là điểm thuộc cạnh BA sao cho 1 BQ BA 3 = . a).Tìm giao điểm của mặt phẳng ( ) MQN và BD, ( ) MQN và BC. b). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNQ). ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 I E Q N M C D B A Câu Nội dung Điểm 1.a (1,5đ’) sin2x = sin 6 π 2x k2 6 2x k2 6 π  = + π  ⇔  π  = π − + π   x k 12 k Z 5 x k 12 π  = + π  ∈  π  = + π   0.75đ’ 0.75đ’ 1.b (1,5đ’) 2 3sin 2x cos2x 2 sin(2x ) 6 2 2x k2 x k 6 4 24 sin(2x ) sin( ) (k Z) 17 5 6 4 x k 2x k2 24 4 4 π − = − ⇔ − = − π π π   − = − + π = − + π   π π ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈   π π π   = + π − = + π     0.75đ’ 0.75đ’ 2. (1đ’) n 0 1 2 2 n n n n n n (1 3x) C C ( 3x) C ( 3x) .C ( 3x)− = + − + − + − Hệ số của số hạng chứa 2 x là : 1 2 2 n C ( 3x) 9nx− = Ta có : 9n = 90. Vậy n = 10 0.25đ’ 0.25đ’ 0.25đ’ 0.25đ’ 3.a (1đ’) 4 13 n( ) C 715Ω = = Số cách lấy 4 bông cúc trong 7 bông là: 4 7 C 35= . Số cách lấy 4 bông hồng trong 6 bông là : 4 6 C 15= . Số cách lấy được 4 bông cùng loại là : 35+15=50. P(A) = n(A) 50 10 n( ) 715 121 = = Ω 0.25đ’ 0.25đ’ 0.25đ’ 0.25đ’ 3.b (1đ’) Ta có B : “ không có bông hồng nào “ 4 7 n(B) C 35= = 35 35 136 p(B) p(B) 1 p(B) 1 715 715 143 = ⇒ = − = − = 0.25đ’ 0.25đ’ 0.5đ’ 4.a (1đ’) Gọi d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tính tiến theo véctơ v r = ( -2;1). d’ có phương trình :2x-y+C = 0 Lấy A(0;5) thuộc d . v A' T (A) ( 2;6)= = − r thuộc d’ nên ta có : C = 10 Vậy phương trìmh của d’ là : 2x-y+ 10 = 0 0,25đ’ 0,25đ’ 0,5đ’ 5. ĐỀ SỐ 2 Câu I: Tìm tập xác định của hàm số : y = tan2x. Câu II: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :y = 3sin 5x + Câu III: Giải các phương trình: a). cos 2x = 3 2 . b). 2cos 2 x + 7sinx – 5 = 0. c). cos3x – cos5x = sinx . Câu IV: Từ các chữ số : 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau? Câu V: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp. Tính xác suất chọn được 4 viên bi cùng màu. Câu VI: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x − 1) 2 +(y − 2) 2 = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C)qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = − 2. Câu VII: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. a). Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SCD). b). Tìm giao điểm J của đường thẳng IB với mp(SAC). Chứng minh JB =2JI c). Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(BJC). Thiết diện này là hình gì ? ĐÁP ÁN_ĐỀ 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài 1 Hàm số xác định khi :x k 4 2 π π ≠ + Tập xác định : D=R\ k ,k Z 4 2 π π   + ∈     0,25 0,25 Bài 2 Với mọi x R : 1 sin x 1∈ − ≤ ≤ . 2 y 2 2⇔ ⇔ ≤ ≤ Vậy GTLN là 2 2 ,GTNN là 2 . 0,25 0,25 Bài 3 a) .cos2x = 3 cos2x cos 2 6 π ⇔ = 2x k2 6 k Z 2x k2 6 π  = + π  ⇔ ∈  π  = − + π   x k 12 k Z x k 12 π  = + π  ⇔ ∈  π  = − + π   Vậy phương trình có nghiệm : … 0,25 0,25 0,25 0,25 b). 2cos 2 x+7sinx-5=0 ⇔ 2(1-sin 2 x)+7sinx-5=0 2sin 2 x-7sinx+3 =0 ( ) ( ) sin x 3 1 lo¹i 1 sin x nhËn 2  = >  ⇔  = −   0,25 0,25 sinx= x k2 1 6 k Z 7 2 x k2 6 π  = − + π  − ⇔ ∈  π  = + π   Vậy phương trình có nghiệm :… 0,25 0,25 c). cos3x – cos5x = sinx ⇔ 2sin4x.sinx= sinx ⇔ sinx(2sin4x – 1) = 0 ( ) x k x k k Z 24 2 5 x k 24 2   = π  π π  ⇔ = + ∈   π π  = +  Vậy phương trình có nghiệm : …… 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4 Gọi E ={ 1,2,3,4,5,6,7 } Gọi số cần tìm có dạng : x = 1 2 3 4 a a a a Vì x là số chẵn nên { } 4 4 a 2,4,6 ,a∈ có 3 cách chọn a 1 có 6 cách chọn . a 2 có 5 cách chọn . a 3 có 4 cách chọn . Vậy có tất cả là : 3.6.5.4 = 360 số cần tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5 Số phần tử không gian mẫu : ( ) 4 14 n C 1001Ω = = . Số cách chọn 4 viên bi đỏ : 4 6 C 15= Số cách chọn 4 viên bi vàng : 4 8 C 70= Gọi A là biến cố : “ Chọn được 4 viên bi cùng màu “ . n(A) = 15+70=85 P(A) = ( ) ( ) n A 85 0,084 n 1001 = = Ω 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 6 Tâm đường tròn I (1;2) ,bán kính R = 2 . Gọi I ’ là ảnh của I qua phép vị tự tâm O , tỉ số k=-2 . Ta có : ' ' ' x 2 OI 2OI y 4  = −  = − ⇒  = −   uuur uur . I ’ (-2;-4). Gọi (C ’ ) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Đường tròn (C ’ ) có tâm I ’ (-2;-4) ,bán kính R ’ =|-2|.2=4 . Phương trình đường tròn (C ’ ) : (x+2) 2 + (y+4 ) 2 =16 . 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 7 a) . Ta có ( ) ( ) S SAB SCD∈ ∩ . Ta lại có AB//CD ,mà ( ) ( ) AB SAB ,CD SCD⊂ ⊂ . Suy ra : ( ) ( ) SAB SCD St∩ = //AB//CD . 0,25 0,25 b) .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Trong mp(SBD) ,BI cắt SO tại một điểm . Điểm đó chính là giao điểm J của BI và mp(SAC) . Tam giác SBD có J là trọng tâm . Cho ta : JB=2JI . 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Ta có : ( ) I BJ I BJC∈ ⇒ ∈ ( ) ( ) I BJC SAD⇒ ∈ ∩ Ta lại có BC//AD ,mà ( ) ( ) BC BJC ,AD SAD∈ ∈ Nên : ( ) ( ) ( ) BJC SAD IH / /AD / /BC H SA∩ = ∈ Thiết diện tìm được là tứ giác BCIH . Vì IH//BC nên tứ giác BCIH là hình thang. ( Hình vẽ 0,5đ). 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ SỐ 3 Câu I: (2 điểm). Giải các phương trình sau: a) 0 x 1 cos 10 2 2   + =  ÷   b) 3sin x - cos x 3= c) 2 3tan x 5tan x -8 0+ = Câu II: (2 điểm). Trong một hộp đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra a) Có 2 viên bi màu xanh b) Có ít nhất một viên bi màu xanh. Câu III: (2 điểm). a) Xét tính tăng giảm của dãy số ( ) n u , biết n n 1 u 2n 1 − = + b) Cho cấp số cộng ( ) n u có 1 u 28= và công sai d 20= . Tính 100 u và 100 S . Câu IV: (3,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và SB. a) Chứng minh rằng: BD//(MNP). b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với BC. c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD). d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Câu V: (0,5 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 12 3 1 2x x   −  ÷   . ĐÁP ÁN_ĐỀ 3 Bài Ý Nội dung Điểm 1 2.0 a) 0,25 0 0 0 0 0 0 0 x 10 45 k.360 x 2 2 cos 10 x 2 2 10 45 k.360 2  − = +    − = ⇔   ÷    − = − +   ( ) 0 0 0 0 x 110 k.720 k x 70 k.720  = + ⇔ ∈  = − +   ¢ Vậy nghiệm của pt là: 0 0 0 0 x 100 k.720 ;x 140 k.720 ,k= + = − + ∈ ¢ 0,25 0,25 b) sin x - 3 cosx 1 2sin x - 1 3 π   = ⇔ =  ÷   ( ) x k.2 2 k 7 x k.2 6 π  = + π  ⇔ ∈  π  = + π   ¢ Vậy nghiệm của pt là: 7 x k.2 ;x k.2 ,k 2 6 π π = + π = + π ∈ ¢ 0,25 0,25 0,25 c) 2 tan x 1 3tan x 8tan x 5 0 5 tan x 3 =   − + = ⇔  =  x k 4 5 x arctan k ,k 3 π  = + π   ⇔    = + π ∈  ÷     ¢ Vậy nghiệm của pt là: 5 x k ;x arctan k ,k 4 3 π   = + π = + π ∈  ÷   ¢ 0,25 0,25 2 2.0 a) Vì lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi có 9 viên bi nên số ptử của không gian mẫu là: ( ) 3 9 n C 84Ω = = Kí hiệu: A: “3viên lấy ra có hai viên bi đỏ” Ta có: ( ) 2 1 4 5 n A C .C 30= = Vậy xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) ( ) n A 30 1 P A n 84 28 = = = Ω 0,25 0,5 0,25 b) Kí hiệu: B: “3viên lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ” Ta có: B : “Cả 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ” ( ) 3 5 n B C= ( ) ( ) ( ) n A 5 P B n 42 ⇒ = = Ω Vậy xác suất của biến cố B là: ( ) ( ) 5 37 P B 1 P B 1 42 42 = − = − = *HS làm cách khác đúng cho điểm tối đa (1 điểm) 0,5 0,5 3 2.0 a) Ta có: ( ) ( ) n 1 n n 1 1 n 1 u u 2 n 1 1 2n 1 + + + + − = − + + + ( ) ( ) 1 0 2n 3 2n 1 − = < + + Vậy dãy số n (u ) là dãy giảm. 0,25 0,5 0,25 b) 100 1 u u 99d 2008= + = ( ) 100 1 100 101 S u u 101808 2 = + = 0,5 0,5 4 1,5 a) Hình vẽ Do BD//MN(t/c đường trung bình) Mà: MN ⊂ (MNP) Nên BD//(MNP) 0,5 0,75 b) Gọi I MN BC= ∩ Ta có: ( ) I BC I MNP BC I MN ∈  ⇒ ∈ ∩  ∈  0,75 c) Vì ( ) ( ) P MNP SBD∈ ∩ và MN//BD nên (MNP) ∩ (SBD) là đường thẳng d qua P và song song với BD. 0,5 d) Gọi R SD d= ∩ . Nối IP cắt SC tại Q, nối RQ. Ta có: ( ) ( ) MNP ABCD MN∩ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MNP SAB MP MNP SBC PQ MNP SCD QR MNP SDA RN ∩ = ∩ = ∩ = ∩ = Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(MNP) là ngũ giác MPQRN 1 5 0.5 ( ) ( ) k 15 k k k 15 k k 15 5k k 1 15 15 4 1 T C 2x . 1 .2 .C .x x − − − + −   = = −  ÷   Số hạng không chứa x có: 15 5k 0 k 3− = ⇔ = Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: ( ) 3 12 3 15 1 .2 .C 1863680− = 0,25 0,25 ĐỀ SỐ 4 Câu I: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a). cos3x = sin 15 O Q R I P N M C A B D S b). cos2x + 4 sinx - 3 = 0 c). sinx + 3 cosx = 2 Câu II: (3,0 điểm) a). Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ( chữ số hàng trăm phải khác 0 ) ? b). Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 6 4 2 1 x x   +  ÷   c). Cho một túi đựng 3 quả cầu màu xanh và 2 quả cầu màu đỏ .Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ túi đã cho. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu Câu III: (1,0 điểm) Tìm x trong cấp số cộng 1, 6, 11,… biết 1 + 6 +11+ …+ x = 1071 ? Câu IV: (1,0 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình : (x -1) 2 + (y + 3) 2 = 4 .Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2; 1) → = − Câu V: (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm các đọan SA, AB và CD. a). Chứng minh rằng SC song song với mặt phẳng (MNI ) b). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (MNI) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) ĐÁP ÁN_ĐỀ 4 Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1 a) b) c) Cos3x = sin 15 O ⇔ Cos3x = cos75 O ⇔ 3x = ± 75 O + k360 O ⇔ x = ± 25 O + k120 O (k ∈ Z) ------------------------------------------------------------------------------------- --- Cos2x + 4 sinx -3 = 0 ⇔ -2sin 2 x + 4sinx – 2 = 0 ⇔ sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z) ------------------------------------------------------------------------------------ --- Sinx + 3 cosx = 2 ⇔ 2sin(x + (π/3)) = 2 ⇔ sin(x + (π/3)) = 1 ⇔ (x + (π/3)) = π/2 + k2π ⇔ x = π/6 + k2π (k ∈ Z) 3đ 0,25đ 0, 5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0, 5đ 0, 5đ 0,25đ 0,25đ Bài 2 a) b) Số tự nhiên lẻ có 3 chữ số khác nhau có dạng abc với a , b , c khác nhau đôi một và c ∈{ 1, 3, 5, 7. 9}; c có 5 cách chọn a có 8 cách chọn b có 8 cách chọn Theo quy tắc nhân có 320 số theo yêu cầu của đề bài ----------------------------------------------------------------------------------- 3đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ c) 1 k 4 6 k k k 24 6k T C (x ) ( ) C x 6 6 k 1 2 x − − = = + Số hạng không chứa x ứng với 24 – 6k = 0 hay k = 4 Hệ số của số hạng không chứa x là 15 ----------------------------------------------------------------------------------- 2 5 n( ) C 10ω = = Gọi A là biến cố lấy được 2 bi cùng màu 2 2 3 2 n(A) C C 4= + = P(A) = 2/5 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0, 5đ 0,25đ Bài 3 Cấp số cộng: 1,6,11,…có u 1 = 1, d = 5 Từ S n = 1071 suy ra 5n 2 - 3n – 2142 = 0 hay n = 21,do đó x = u 21 x = 1+ (21-1)5 = 101 1đ 0,25đ 0, 5đ 0,25đ Bài 4 (C) có tâm I(1;-3) và bán kính R = 2 Phép tịnh tiến theo vectơ v(2;-1) biến đường tròn (I;2) thành đường tròn (I’;2) với I’(3;-4) PT ảnh của đường tròn (C) : (x – 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 1đ 0,25đ 0, 5đ 0,25đ Bài 5 a) b) Hình vẽ đúng 0,25đ Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình nên SC//MO SC / /MO MO (MNI) SC / /(MNI) SC (MNI)   ⊂ ⇒   ⊄  -------------------------------------------------------------------------- (SCD) và (MNI) có điểm I chung và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song SC và MO nên giao tuyến của chúng là đường thẳng Ix song song với SC và MO Trong (SCD) gọi K= Ix ∩SD 2đ 0,25d 0, 5d 0, 5d Thiết diện cần tìm là tứ giác MNIK 0, 5d ĐỀ SỐ 5 Câu I:(3đ’ ) : Giải các phương trình sau : a). 1 cos2 2 x = b).3cos 2 x - 2sin2x + 3sin 2 x = 1 Câu II: (1đ’) Biết hệ số của 2 x trong khai triển (1 3 ) n x− là 90. Tìm n Câu III: ( 2đ') Gieo một con xúc sắc hai lần . a). Tính xác suất sao cho tổng hai mặt xuất hiện bằng 8 b). Tính xác suất sao cho tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. Câu IV:(1 đ’) Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 2x-y+7=0 Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v r = ( 2;1). Câu V: (3đ’) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là tứ giác có cặp cạnh đối AD và BC không song song với nhau. M là điểm thuộc miền trong của tam giác SAD, N là trung điểm của BC. a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). b). Tìm giao điểm của BM và mặt phẳng (SAN). ĐÁP ÁN_ĐỀ 5 [...]... 2 x - 2sin2x + 3sin 2 x = 1 (1,5đ’) ⇔ 3cos 2 x - 4sinx cosx + 3sin 2 x = 1 1.a (1,5đ’) 0.75đ’ 0.75đ’ *Với cox = 0 thỏa mãn phương trình => x = π + k π (k∈ Z) là nghiệm 2 của phương trình *Với cosx ≠ 0 chia 2 vế phương trình cho cos 2 x ta đươc : 1 3– 4tanx + 3tan 2 x = = 1 + tan 2 x cos 2 x ⇔ 2tan 2 x - 4tanx + 2 = 0 ⇔ tan 2 x - 2tanx + 1 = 0 π ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 4 2 (1đ’) 2 n (1 − 3x) n . mp(SAC). Chứng minh JB =2JI c). Tìm thi t diện của hình chóp S.ABCD với mp(BJC). Thi t diện này là hình gì ? ĐÁP ÁN_ĐỀ 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài 1 Hàm số xác định. Tìm thi t diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Câu V: (0,5 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 12 3 1 2x x   −  ÷   . ĐÁP ÁN_ ĐỀ 3