Bài viết nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng dãy số dương delta.
Trang 1Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện
tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải
tín hiệu xử lý thông tin
Using positive delta sequenses eliminates the Gibbs
phenomenon of Wavelets approximations functions in
multiresolution analysis information handling
Nguyễn Kiều Hiên
Email: nguyenkieuhien@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 20/11/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/12/2019
Ngày chấp nhận đăng: 31/12/2019
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng dãy số dương delta (xem [2])
Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; dãy số dương delta.
Abstract: In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of
functions with a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use positive delta sequences (see [2])
Keywords : Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point; positive delta sequences
Người phản biện: 1 PGS.TS Khuất Văn Ninh
2 TS Nguyễn Viết Tuân
1 GIỚI THIỆU
Năm 1898, J Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự
hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn
đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs Tuy nhiên, phải
đến năm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi
tiết về mặt toán học Sau đó năm 1975, Morlet đã
phát triển phương pháp đa phân giải Trong đó,
Morlet đã sử dụng một xung dao động, được hiểu
là một Wavelets (một sóng nhỏ) cho thay đổi kích
thước và so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng
biệt Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ Wavelets
chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này
được so sánh với tín hiệu phân tích để có hình ảnh
toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô Sau đó
sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần tần số dao
động Quá trình này gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích
Khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được
nghiên cứu chi tiết ở độ phân giải cao hơn, giúp
phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn
ẩn bên trong tín hiệu Phương pháp đa phân giải
Wavelets đã khắc phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn không chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không gian các hàm giảm nhanh Schwartz và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy Đồng thời đưa ra cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng cách sử dụng dãy tựa dãy số dương delta
2 SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM XẤP XỈ WAVELETS
Định nghĩa 1 (xem [2])
Cho không gian Schwartz S( )! , hoặc không gian các hàm giảm nhanh 𝐶𝐶 ! (ℝ) được định nghĩa bởi
Định nghĩa 2 (xem [2])
Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh
𝐶𝐶 ! (ℝ) trong 𝑆𝑆 ! (ℝ) bởi
𝑆𝑆(ℝ) = {𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶!: |𝑓𝑓"(𝑥𝑥)| ≤ 𝐶𝐶",$(1 + |𝑥𝑥|)%$}
" Î!
Trang 2Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ
Wavelets được xác định với
hàm bước nhảy gián đoạn ở gốc tương tự như
định nghĩa sau
Định nghĩa 3 (xem [3])
Cho ∈ 𝐿𝐿 ! (ℝ) khi đó hàm jj,k được cho bởi
, 2j , 2j
j k x j k x k
{ }jj k j k, ,Î! trực chuẩn trong không gian 𝐿𝐿!(ℝ)
Hơn nữa { }jj k j k, ,
Î!là cơ sở trực giao của không gian𝐿𝐿!(ℝ). Khi đó hàm jj,kgọi là các Wavelets, và
∈ 𝐿𝐿 ! (ℝ) gọi là hàm sinh bởi các Wavelets
Định nghĩa 4 (xem [3])
Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy
{ }V j jÎ! không gian con đóng của không gian𝐿𝐿!(ℝ)
thỏa mãn điều kiện sau
j
iii V
Î!
" trù mật trong 𝐿𝐿!(ℝ),
)
iv Mỗi jÎ!,f x V( )Î 0 khi và chỉ khi (2j )
j
)
v Mỗi kÎ!,f x V( )Î 0khi và chỉ khi f x k( - Î) V0,
)
vi Nếu tồn tại hàm j ÎV0 là hàm gộp, hoặc hàm
sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn {j(x k- ) }kÎ! là
cơ sở trực giao của không gian V0
Định nghĩa 5 (xem [2])
Giả sử hàm f (x) có bước nhảy gián đoạn tại x = 0
Hàmf( )0+ ¹ f( )0
-Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f (x) tồn tại
hiện tượng Gibbs ở phía phải của x = 0 nếu dãy
x j > 0.
Tại x = 0 thỏa mãn
0
j +P f x f +
->
Hoặc
0
j +P f x f +
-< Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm
f (x) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của x = 0
nếu dãy x j < 0
Tại x = 0 thỏa mãn
0
lim j j 0
j -P f x f
-® < nếuf( )0+ f( )0 ,
0
lim j j 0
j +P f x f +
® > nếuf( )0+ f( )0
-<
Định nghĩa 6 (xem [2])
Ta gọi dãy {dm(x y, )}trong không gian 𝐿𝐿 ! (ℝ) với tham số𝑥𝑥 ∈ ℝ là dãy số dương nếu thỏa mãn điều kiện sau:
i) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn
ii) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn
x c m
x c+ d x y dy
ò khi hội tụ đều trên tập compact của
iii) Cho mỗi g > 0 thỏa mãn
m
x y gd x y dy
Định nghĩa 7 (xem [2])
Cho dãy {dm(x y, )}được định nghĩa như Định nghĩa
6 Ta cho điều kiện với mọi x, y∈!và dm(x y ³, ) 0 thì
( )
{dm x y, }gọi là dãy số dương delta
Định lý 1 (xem [1])
Cho hàm ϕ∈S r( )! và 0( , ) ( ) ( )
k
K x y j y k j x k
Î
Khi đó
Chứng minh
i) Vì
Không mất tính tổng quát giả sử x y+ £ 1 và x ≥ y Nếu k ≥ 0 có
Và
Từ (1) và (2) ta có
S r(!) = { f ∈C r
: f l
x
( )≤ C l ,k(1+ x)− k}
0 £ £ "l r k l, , Î ! +
𝑓𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿!(ℝ)
1
i V ÌV+ " Î !j
{ }
j
ii V
Î
=
!
"
0
x
®
= < ¥
0
x
®
= < ¥
! |𝛿𝛿" ! (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)|
#" 𝑑𝑑𝑦𝑦 < 𝐶𝐶, ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑚𝑚 ∈ ℤ$
,
m ® ¥
ℝ
.
m ® ¥
1+ x − y
ii)∫−∞∞K0(x, y)dy = 1, ∀x ∈!
2 2
x y x y
x y k x y
x y k x y
+
= +
æ ö æ ö
=ç - ÷ ç- - ÷
è ø è ø
³ -
2 2
x y k
-³ -
-(1)
x y x y
y k- = + - - -k
x y- k x y+
x y- k x y+
x y- k x y
-(2)
4
(3)
Trang 3Tương tự nếu k < 0 ta được
Giả sử rằng ϕ ∈S r( )! khi đó tồn tại hằng số K và
b > 1 sao cho
(5)
Từ (5) suy ra
Và
Do vậy
Từ (3) và (4) ta có
Từ (6) có
(1 t 2k)b t 2 kb
-Vì vậy
( )
2
1+t-2k b £ t- kb
Cho cố định t∈!, nên ta tìmNÎZ+ thỏa mãn
2
t- k k³ với k ≥ N Khi đó
t- kb £ b
Dùng phép so sánh ta đạt được
0
2
1 2
1 , 1.
k
t k
t k
k
b b
> >
>
£
-+
-£ < ¥ >
å
Do vậy
1
C
K x y
x y
b
b b
+
-ii) Cho
2n
m
là số nhị nguyên, và j ÎZ thỏa mãn j ≥ n Biết rằng
,0 2 j 2 j .
-Do vậy
h x( ):= ϕ(2− j x)∈V − j.
Dẫn đến
h x ÎV ÞV- ÍV
Vì vậy suy ra (2 j x d V) 0
j
Và
(2 j x d) (2 j(x 2 j m) ).
Xác định hình chiếu lên V0 có Chọn hàm
( ) (2 j ) 0
g x j - x d V
Thu được
( ) ( ),
g x =P g x!
Và
Hơn nữa K 0 (x,y) khả tích và j(x) có điều kiện ràng buộc Theo sự hội tụ của tích phân Lebesgue cho
j →∞ có
Bây giờ chỉ ra tồn tại số d là số nhị nguyên thỏa
mãn j(d) ≠ 0 Giả sử j(d)=0 với d là số nhị nguyên Và đồng thời cho a là số thực thỏa mãn j(a) ≠ 0 Theo định nghĩa cần tìm dãy{ }d n n¥=1thỏa mãn d n®a n, ® ¥,
khi đó
Do vậy ∫−∞∞K0(x, y)dy = 1, ∀x ∈!
Định lý 2 (xem [4])
Cho f là một số thực Khi đó
j
j P f - a ¥K a u du
-Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của hiện tượng Gibbs
Định lý 3 (xem [3])
Cho hàm fnhư sau
Và cho ϕ ∈S r( )! Khi đó xuất hiện hiện tượng
Gibbs của hàm f gần x=0 nếu tồn tại một số thực
a > 0 thỏa mãn
4
(4)
( )
(1 ) .
K
x
x
£
j
(1 ) ,
K
x k
K
y k
y k b
k
k
Î
Î
-£
-å
Z
Z
2
0
(
k
K
>
=
0
+
( )
2
0
0
4
k
b
>
£
+ - - - + å
β
1+ x − y + 2k
( )β(x − y +1)β
k <0
βK2
x − y +1
1
1+ t − 2k
k >0
V- span j
-Î
=
Z
(
0
2
j
j
j j
¥
ò
0
2
j
j
j j
ò
0 0
,
j
¥ -¥
¥ -¥
=
=
ò ò
( )d n ( )a n, ,
( )
- - - £ <
ì ï
=í - < £
ï <- >
î
Trang 4Hoặc tồn tại một số thực a < 0 thỏa mãn
( )
0
0¥K a u du, < 0.
ò
Chứng minh
j
Áp dụng định lý 2 có
( ) ( )
limj P f x j j limj f x j .
®¥ > ®¥
Nếu
( )
0
0¥K a u du, >1," >a 0
ò
Hoặc
lim j j lim j ,
j®¥P f x <j®¥f x
Nếu
0
0¥K a u du, <0," <a 0
ò
Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện của
hàm ϕ∈S r( )!
Nhận xét 1
Cho hàm h x ( ) được định nghĩa như sau:
x
h x
x
³ ì
= í- î <
Từ Định lý 2 có
j
j P f - x ¥K x y h y dy
-¥
Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs Chúng ta xác
định hàm r(x)như sau:
( ) ( ) 0( , ) ( ) .
r x =h x -ò-¥¥K x y h y dy
Áp dụng kết quả Định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs
0 , 20 0 , 1.
K x y h y dy K x y dy
Vì vậy thay vào hàm r(x) được
Nếu j(x) là hàm liên tục thì
( ) ( ) 0( , ) ( )
r x =h x -ò-¥¥K x y h y dy liên tục Tiếp theo
chúng ta sử dụng hàm r(x) được phát biểu trong
bổ đề sau
Bổ đề 1 (xem [4])
Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm
suy rộng
Khi đó nếu tồn tại M > 0thỏa mãn
r x( )≤ M
1+ x
x∈!,
Trong đó:
r(x) được định nghĩa như (6) Hơn nữa nếub >32
thì r x( )∈L2( )! là trực chuẩn trong V0.
Bổ đề 2 (xem [4])
Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm
suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức
dvới j¢( )d ¹ 0.Cho g ∈L2( )! là trực chuẩn trong
0,
V và xg x( )∈L1
! ( ).Thìò-¥¥xg x dx( ) = 0.
Nếu j(x) thỏa mãn điều kiện (7) thì ϕ∈S r( )! và sử dụng kết quả Định lý 3
Nếu a > 0thỏa mãn r(x) < 0thì2ò0¥K a u du0( , ) - >1 1 Với ò0¥K a u du0( , ) > 1.
Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía phải của điểm x = 0
Tương tự, nếua < 0 thỏa mãn r(x) > 0 và
( )
0 0
2ò¥K a u du, - < -1 1
Khi đó
( )
0
0¥K a u du, < 0.
ò
Vì vậy kết quả của Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía trái của điểmx = 0
Định lý 4 (xem [4])
Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, với số nhị thức dthỏa mãn j'(d)≠0và
ϕ( )x ≤ C
1+ x
( )β
x ∈!,C > 0,β> 3.
Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm
x = 0
Chứng minh Giả sử hàm j(x) thỏa mãn Bổ đề 1 Khi đó tồn tại
M>0 thỏa mãn
r x( )≤ M
1+ x
x∈!
Trong đó:
Hàm r(x) được định nghĩa như (6)
Bên cạnh đó, vì b > 3 theo Bổ đề 2 thì r x( )∈L2( )!
là trực chuẩn trong V0. Bây giờ ta chỉ ra rằng
xr x( )∈L1( )! thật vậy
( )
xM
+
0
0¥K a u du, >1
ò
lim lim 2 j 1, 0,
j
lim lim 2 j 1, 0.
j
( )
( )
( )
0 0 0
0
0
0
0
0
0
K x y dy x
K x y dy x
K x y dy K x y dy x
¥
¥
¥
¥
¥
ï
= í
î
ï
= í
î
ò
ò
ò
ò
( )
( )
0
0
0
0
-¥
¥
ï
= í
î
ò
ò
(6)
ϕ( )x ≤ C
1+ x
x ∈!,C > 0,β > 1 ( (7)
Trang 5
Do đó
xr x dx
¥
ò
Giả sử rằng r (x) ≥ 0 với x > 0 và r (x) ≤ 0 với x<0.
Do vậy r (x) = 0 hầu như ở khắp nơi
Tuy nhiên trong nhận xét 1, r (x) - h (x) liên tục
trong khi h (x) là hàm bước nhảy gián đoạn tại
x = 0
Khi đó, nếu tồn tại x > 0 thỏa mãn r (x) < 0, hoặc
x < 0 thỏa mãn r (x) > 0
3 KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS
Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sử dụng phương
pháp xây dựng dãy tựa dãy số dương delta chỉ ra
rằng hàm xấp xỉ Wavelets dùng hạt nhân dãy số
dương delta loại trừ hiện tượng Gibbs Phương
pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính
hội tụ, mà còn hội tụ đều tới chính hàm f
Định lý sau chỉ ra rằng dãy số dương delta hội tụ
đều hầu khắp nơi loại bỏ được hiệu ứng Gibbs
Định lý 5
Giả sử {dm(x y, )} là dãy số dương delta Cho f
là hàm liên tục từng mảnh với giá compact trên
trục thực Cho I = [a,b] là khoảng hữu hạn với
0<m<b-a/2, và e > 0 Thì
( ) ( , ) ( )
m- £e f x =ò d x y f y dy M£ +e
!
[ , ],
x a b
" Î +µ -µ
Trong đó:
infx I ,
Chứng minh
Đầu tiên tính chất (i) và(ii) của Định nghĩa 6 là
( , ) 1 9
ò!
Giả sử rằng supp f x( )ÍI Thì ta có
Vì thế, kết hợp (9) ta có
Giả sử rằng suppf x( )ËI
Cho f x I( )= f x( ) ( )XI x Do vậy
Ta có
Với x aÎ +[ µ,b-µ],ta có b x- ³µ,x a- ³µ
Do vậy, theo tính chất (ii) của dãy số dương delta
(10) hội tụ đều tới 0 hầu khắp nơi trong I Ta chọn
NÎZ+ thỏa mãn (10) thì tồn tại e/2 sao cho
Do vậy ta được
Điều phải chứng minh
4 KẾT LUẬN
Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn, và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy Ngoài ra khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets còn có phương pháp dùng nhân tốt Haar Wavelets Tuy nhiên, do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Anders Vretblad (2003), Fourier analy-sis and its applications, SpingerVerlag, New York [2] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003),
Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford [3] H.T Shim (1994), On Gibbs phenomenon
in wavelet subspaces and summability,
Ph.D.thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee
( ) ( )
Giả sử hàm r (x) thỏa mãn Bổ đề 2 với
(8)
supx I .
(9)
t I f t d x y dy d x y f y dy
Î ò! £ò!
δm(x, y)
!
∫ f( )y dy≤ sup
t ∈I f t( ) ∫!δm(x, y)dy.
inft I f t dm x y dy, m,
t I f t d x y dy M
inft I f t dm x y dy, m,
t I f t d x y dy M
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
d
ò
!
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
-¥
!
(10)
2
m x y dy
M
- <
ò!
e d
[ ] ( ) ( )
,
,
2
b m a
b m a
t a b
A B x y f y dy
x y f y y dy
x y f y dy
f t x y dy M
M M
Î
£ + çè + ÷ø
ò ò ò
ò
!
!
d
e e
e
