Bài viết nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu.
Trang 180 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin
Existence of the Gibbs phenomenon of Wavelets approximations functions and the method multiresolution
analysis in information handling
Nguyễn Kiều Hiên
Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 14/01/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 25/3/2019
Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2019
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu (xem [2])
Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn.
Abstract
In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of functions with
a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump if the scaling function approximation satisfies a certain decay condition (see [2])
Keywords: Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point
1 GIỚI THIỆU
Năm 1975, Morlet đã phát triển phương pháp đa
phân giải Trong đó, Morlet đã sử dụng một xung
dao động, được hiểu là một Wavelets (một sóng
nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín
hiệu ở từng đoạn riêng biệt Kỹ thuật này bắt đầu
với sóng nhỏ Wavelets chứa các dao động tần số
khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu
phân tích để có hình ảnh toàn cục của tín hiệu ở
độ phân giải thô Sau đó, sóng nhỏ được nén lại
để nâng cao dần tần số dao động Quá trình này
gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích Khi thực hiện tiếp
bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết
ở độ phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành
phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu
Phương pháp đa phân giải Wavelets đã khắc
phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là
chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích
hợp cho những tín hiệu tuần hoàn không chứa các
đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không gian các hàm giảm nhanh Schwartz S ( ) và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn Và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu
2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1 (xem [2])
Cho không gian Schwartz S ( ) hoặc không gian các hàm giảm nhanh C∞( ) được định nghĩa bởi
S = f ∈ ∞ ≤ + −
k l Z+
Định nghĩa 2 (xem [2])
Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh
( )
r
C trong Sr( ) bởi
S = f ∈ C f x ≤ C + x −
Người phản biện: 1 PGS.TS Khuất Văn Ninh
2 TS Đào Trọng Quyết
Trang 2NGÀNH TOÁN
81 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
0 ≤ ≤ ∀ l r , k l , ∈ Z+.
Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ
Wavelets
2
Được xác định với hàm bước nhảy gián đoạn ở
gốc tương tự như định nghĩa sau
Định nghĩa 3 (xem [3])
Cho ϕ ∈ L2( ) khi đó hàm ϕj k, được cho bởi
, 2j , 2j
thì hệ Wavelets { } ϕj k, j k Z,
∈ trực chuẩn trong không gian L2( ) Hơn nữa { } ϕj k, j k Z,
∈ là cở sở trực giao của không gianL2( ) Khi đó hàm ϕj k,
gọi là các Wavelets, và ϕ ∈ L2( ) gọi là hàm sinh
bởi các Wavelets
Định nghĩa 4 (xem [3])
Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy
{ } Vj j Z
∈ không gian con đóng của không gian
2( )
L thỏa mãn
1
i V ⊂ V+ ∀ ∈ j Z
{ }
j Z
∈
=
j Z
∈
trù mật trongL2( ) ,
Mỗi ∀ ∈ j Z f x , ( ) ∈ V0 khi và chỉ khi
( ) 2j j
Mỗi ∀ ∈ k Z f x , ( ) ∈ V0 khi và chỉ khi
f x k − ∈ V ,
Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ V0 là hàm gộp, hoặc hàm
sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn { ϕ ( x k − ) }k Z∈
là cơ sở trực giao của không gianV0
Định nghĩa 5 (xem [2])
Giả sử hàm f x ( ) có bước nhảy gián đoạn tại
0
x =
( ) ( )
0
x
→
( ) ( )
0
x
→
hàm f ( ) ( ) 0+ ≠ f 0 −
Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f x ( ) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía phải của x = 0 nếu dãy 0.
j
x >
Tại x = 0 thỏa mãn
( ) ( )
0
j
+
+
→ > nếu f ( ) ( ) 0+ > f 0− , hoặc
( ) ( )
0
→ < nếu f ( ) ( ) 0+ < f 0− Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm
( )
f x tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của 0
x = nếu dãyxj < 0.
Tại x = 0 thỏa mãn
( ) ( )
0
j
−
−
→ < nếu f ( ) ( ) 0+ > f 0− , hoặc
( ) ( )
0
→ > nếu f ( ) ( ) 0+ < f 0−
Ví dụ 1:
Choϕ ∈ Sr( ) và hàm f x ( ) ∈ L2( ) được cho bởi như sau
( )
− − − ≤ <
Gọi hình chiếu trực chuẩn của f trên Vj xác định bởi
( ) , , , ( )
k Z
∈
( ) ( )
k Z
k Z
∞
−∞
∈
∞
−∞
∈
∞
−∞
∈
=
=
∑ ∫
∑ ∫
∑
∫
Trang 3NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
trong đó:
( ), , ( ) , ( )
k Z
∈
Khi đó ta gọi K j( )x y, là hạt nhân của Vj Ta cần
chỉ rõ K jtrong thỏa mãn điều kiện K0 của hạt
nhân trong V0 trong trường hợp cụ thể như sau
( ), , ( ) , ( )
k Z
∈
k Z
∈
k Z
∈
( ) ( )
0, 0,
0
k Z
k Z
∈
∈
=
=
∑
∑
k Z
K x y ϕ y k ϕ x k
∈
Định lý 1 (xem [1])
Cho hàm ϕ ∈ Sr( ) và
0 ,
k Z
K x y ϕ y k ϕ x k
∈
Khi đó
Chứng minh
)
i Vì
0 , 0 , 0 1, 1
K x y =K y x =K x+ y+
Không mất tính tổng quát giả sử x+ ≤y 1 và
x≥y Nếu k≥0có
Và
Từ (1) và (2) ta có
Tương tự nếu k<0ta được
Giả sử rằng ϕ ∈ Sr( ) khi đó tồn tại hằng số K
vàβ > 1 sao cho
(5)
Từ (5) suy ra
( 1 ) ,
K
x k
+ −
Và
K
+ −
Do vậy:
0 ,
k
∈
∈
≤
∑
1 ,
x y k
−
k
x y x y
k
k
(3)
1
4
k
(4)
1
4
( )
( 1 ) .
K x
x
≤
ϕ
( ) ( )j ,
∞
−∞
= ∫
( ) ( )
( ) j k, ( ) j k, ( )
k Z
−∞
∈
∞
−∞
∈
∞
=
=
∑ ∫
∑ ∫
∑
∫
0
0
1
C
x y
β
β β
∞
−∞
+ −
x y x y
k
k
Trang 4NGÀNH TOÁN
83 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
Từ (3) và (4) ta có
( )
2
0
0
4
k
β
>
≤
0
2
0
4
)
k
k
K
t
β
β
<
>
+
∑
Từ (6) có
(1+ −t 2k )β ≥ −t 2kβ
Vì vậy
(1 t12k)β ≤ t 12kβ .
− + −
Cho cố định t ∈ , nên ta tìmN ∈ + thỏa mãn
2
t − k ≥ k vớik ≥ N
Khi đó
t kβ ≤ β
−
Dùng phép so sánh ta đạt được
0
2
1
k
t k
t k
k
> >
>
≤
− + −
∑
Do vậy:
( )
1
C
K x y
x y
β
β β
+ − )
ii Cho
m
d = m∈ n∈+
là số nhị nguyên, và j∈thỏa mãnj≥n
Biết rằng:
,0 2 j 2 j .
Do vậy:
( ) : ( 2 j ) j.
−
Dẫn đến
Vì vậy suy ra
( 2 jx d ) V0.
Và
( 2 jx d ) ( 2 j( x 2 jm ) )
Xác định hình chiếu lên V0 có
P g x ∞ K x y g y dy g L
−∞
Chọn hàm
Thu được ( ) ( ),
g x = P g x
Và
0
2
j
j
K x y y d dy
ϕ ϕ
−
−∞
+
∫ Hơn nữa K0( )x y, khả tích và ϕ ( ) x có điều kiện ràng buộc Theo sự hội tụ của tích phân Lebesgue cho j → ∞ có
0
0
,
ϕ
∞
−∞
∞
−∞
=
=
∫
∫
Bây giờ chỉ ra tồn tại số d là số nhị nguyên thỏa mãn ϕ ( )d ≠0
Giả sử ϕ ( )d =0 với d là số nhị nguyên Và đồng thời cho a là số thực thỏa mãnϕ ( )a ≠0
Theo định nghĩa cần tìm dãy { }d n n∞=1 thỏa mãn
n
d → a n → ∞ khi đó
( ) dn ( ) a n , ,
Do vậy ∞ K0( )x y dy, 1, x
0
).
k< x k y k
+
k
k
∈
∈
≤
∑
2
0
(
k
K
x k y k
>
=
{ }, .
∈
=
Trang 584 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
3 SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM
XẤP XỈ WAVELETS
Định lý 2 (xem [4])
Cho f là một số thực Khi đó
( ) 0 0( )
j P f − a ∞K a u du
Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của
hiện tượng Gibbs
Định lý 3 (xem [3])
Cho hàm f như sau
( )
− − − ≤ <
Và cho ϕ ∈ Sr( ) Khi đó xuất hiện hiện tượng
Gibbs của hàm f gần x = 0nếu tồn tại một số
thực a > 0 thỏa mãn
( )
0
0∞K a u du, >1
∫
Hoặc tồn tại một số thực a < 0 thỏa mãn
( )
0
0∞K a u du, <0
∫
Chứng minh
Cho xj = 2−ja a , ∈ R,
Do đó
j
→∞ = →∞ = >
→∞ = →∞ = − <
Áp dụng định lý 2 có
j P f x j f x
→∞ > →∞
Nếu
( )
0
0∞K a u du, > ∀ >1, a 0
∫
Hoặc
j P f x j f x
→∞ < →∞
Nếu
( )
0
0∞K a u du, <0,∀ <a 0
∫
Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện
của hàm ϕ ∈ Sr( )
Nhận xét 1
Cho hàm h x ( )được định nghĩa như sau;
x
h x
x
≥
= − <
Từ định lý 2 có
j P f − x ∞ K x y h y dy
−∞
Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs Chúng ta xác định hàm r x ( )như sau;
( ) ( ) 0( ) ( ),
r x h x ∞ K x y h y dy
−∞
Áp dụng kết quả định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs
Vì vậy thay vào hàm r x ( ) được
Nếu ϕ ( ) x là hàm liên tục thì
liên tục Tiếp theo chúng ta sử dụng hàmr x ( )
được phát biểu trong bổ đề sau
Bổ đề 1 (xem [4])
Giả sử ϕ ( ) x là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng
Khi đó nếu tồn tại M > 0thỏa mãn
( )
1
,
M
x β −
trong đó:
( )
r x được định nghĩa như (6) Hơn nữa nếu 3
2
β > thì ( ) 2( )
r x ∈ L là trực chuẩn trong V0.
K x y h y dy K x y dy
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0 0
0
0 0
K x y dy x
K x y dy x
K x y dy K x y dy x
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
0 0
0 0
K x y dy x
−∞
∞
=
∫
∫
(6)
( ) ( ) 0( ) ( ),
r x h x ∞ K x y h y dy
−∞
( )
C
x β
Trang 6NGÀNH TOÁN
85 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
Bổ đề 2 (xem [4])
Giả sử ϕ ( ) x là hàm liên tục trong không gian hàm
suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức
dvới ϕ′ ( ) d ≠ 0.Cho 2( )
trực chuẩn trong V0, và ( ) 1( )
.
( ) 0
xg x dx
∞
∫
Nếuϕ ( ) x thỏa mãn điều kiện (7) thì ϕ ∈ Sr( )
và sử dụng kết quả định lý 3
Nếu a > 0thỏa mãn r x ( ) < 0thì
( )
0
0
2∫∞K a u du, − >1 1
Với
( )
0
0∞K a u du, >1
∫
Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại
phía phải của điểm x = 0
Tương tự, nếua < 0 thỏa mãn r x ( ) > 0và
( )
0
0
2∫∞K a u du, − < −1 1
Khi đó
( )
0
0∞K a u du, <0
∫
Vì vậy kết quả của định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng
Gibbs xảy ra tại phía trái của điểmx = 0
Định lý 4
Giả sử ϕ ( ) x là hàm liên tục trong không gian
hàm suy rộng, với số nhị thức d thỏa mãn
( ) d 0.
( )
C
x β
Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện
tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm
0
x =
Chứng minh
Giả sử hàm ϕ ( ) x thỏa mãn bổ đề 1 Khi đó tồn
tạiM > 0 thỏa mãn
( )
1
.
M
x β −
Trong đó:
Hàm r x ( ) được định nghĩa như (6) Bên cạnh đó, vì β > 3 theo bổ đề 2 thì
r x ∈ L là trực chuẩn trong V0. Bây giờ
ta chỉ ra rằng ( ) 1( )
xr x ∈ L thật vậy
( )
1
xM
x β
β
−
+
Giả sử hàm r x ( ) thỏa mãn bổ đề 2 với
( ) ( )
Do đó
Giả sử rằng r x ( ) ≥ 0 vớix > 0,và r x ( ) ≤ 0 với 0.
x <
Do vậy r x ( ) = 0 hầu như ở khắp nơi
Tuy nhiên trong nhận xét 1, r x ( ) ( ) − h x liên tục trong khi h x ( ) là hàm bước nhảy gián đoạn tại 0.
x = Khi đó, nếu tồn tại x > 0thỏa mãn r x ( ) < 0, hoặc x < 0thỏa mãn r x ( ) > 0.
4 KẾT LUẬN
Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn, và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy Ngoài ra Shannon Wavelets dùng dãy xấp xỉ dương để loại bỏ hiện tượng Gibbs trong Wavelets Tuy nhiên do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Anders Vretblad (2003), Fourier analysis and its applications, SpingerVerlag, New York.
[2] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university
Press, Princeton and Oxford.
xr x dx
∞
Trang 786 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
Nguyễn Kiều Hiên
- Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu):
+ Năm 2007: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán học khoa Khoa học tự nhiên - Đại học Thái Nguyên
+ Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ ngành Toán giải tích Trường Đại học khoa học tự nhiên
- Đại học Quốc gia Hà Nội
- Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Toán giải tích
- Email: nguyenkieuhien@gmail.com
- Điện thoại: 0985330644
THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ
[3] H.T Shim (1994), On Gibbs phenomenon in wavelet
subspaces and summability, Ph.D.thesis, The
University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee.
[4] Kourosh Raeen (2008), A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets,
M.A.thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico.
