04 chu de 4 PP tung phan tim nguyen ham 18 trang demo

CHỦ ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A.. Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng.. dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1.. Khi đó theo công thức ng

CHỦ ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hai hàm số u=u x( ) và v=v x( ) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng

phần:u vd =uv−v ud

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng

( ) ( ) d

I = f x g x x, trong đó f x( ) và g x( ) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ

Để tính nguyên hàm  f x g x( ) ( ) dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Đặt ( )

d

u f x du f x x

dv g x x v G x



(trong đó G x( ) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm

số g x( ))

Bước 2 Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ' d

f x g x x= f x G x − G x f x x

Chú ý: Khi I = f x g x( ) ( ) dx và f x( ) và g x( ) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó Ví dụ:

• Nếu f x( ) là hàm log, g x( ) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt ( )

( ) .

u f x

v g x x

=





=



• Tương tự nếu f x( ) là hàm mũ, g x( ) là hàm đa thức, ta sẽ đặt ( )

( )

u g x

v f x x

=





=



Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

 Dạng 1: I =P x( ) (ln mx+n)dx, trong đó P x( ) là đa thức

( )

ln

u mx n

v P x x





=

cos

x

x

 , trong đó P x( ) là đa thức

Theo quy tắc ta đặt

( )

sin

cos

u P x

x

x

=





=



 Dạng 3: ( ) ax bd

I =P x e + x, trong đó P x( ) là đa thức

Theo quy tắc ta đặt ( )

d ax bd

u P x

v a + x

 =





=

cos

x

x

x

Theo quy tắc ta đặt

sin cos

x u

x

v e x

=



B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) I1=xsinx dx b) 3

2 = x

3 = cos

I x x dx d) I4 =xlnx dx

Lời giải:

a) I1=xsinx dx

 Cách 1: Đặt

←→

→ =I x xdx= −x x+ xdx= −x x+ x C +

 Cách 2: I1=xsinx dx= −xd(cos )x = −xcosx−cosx dx= −xcosx+sinx C+

-

2 = x

I xe dx

3

=



=

←→

=

=

du dx

u x

v e

e dx dv

2

(3 )

I xe dx xe e dx xe e d x xe e C

 Cách 2:

( )

2

(3 )

I xe dx x d e xe e dx xe e d x xe e C

-

3 = cos

I x x dx

 Cách 1: Đặt

2

2 sin cos

=

←→

=



du xdx

u x

x dx dv

Khi đó I3 =x2cosx dx=x2sinx−2 sinx x dx=x2sinx−2J

Xét J =xsinx dx Đặt

2

→ =I x x− −x x+ x +C

3 = cos = (sin )= sin −sin ( )= sin −2 sin

I x x dx x d x x x x d x x x x x dx

=x x+ xd x =x x+ x x−  x dx=x x+ x x− x C +

-

d) I4 =xlnx dx

 Cách 1: Đặt

4 2

ln

2



=

=

dx du

v

 Cách 2: Ta có

( )

x

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

5 = ln

6 = ln +1

I x x dx

7 =ln + 1+

I e x dx

Lời giải:

5 = ln

I x x dx

 Cách 1:

Đặt

2 5

ln

3



=



=

=

dx du

x

v

 Cách 2:

x

-

6 = ln +1

I x x dx

+

 x x dx  x dx  x d x x  x d x

x

+

x

Xét

1

+

x

6

-

7 =ln + 1+

I x x dx

u= x+ +x v=x ta có

( ) ( ) ( ) 2

1 1

1

x x

+ +

1 1

2

+

7 = ln + 1+ − 1+ +

-

d) 8 = xsin

I e x dx

8 = xsin =sin x = xsin − x sin = xsin − xcos = xsin −cos x

I e x dx x d e e x e d x e x e x dx e x x d e

e x x d e e x e x e d x e x e x e x dx

2

−

= x − x + = x − x − → = e x x e x x+

Nhận xét: Trong nguyên hàm I 8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được

Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:

5 = ln( +1)

6 = tan

I x x dx

7 = ln( +1)

I x x dx d) I8 = xsin x dx

Lời giải

a) I5 =xln(x2+1)dx Đặt ( 2) 2

2

2

1 2



+

=

x dx du

x xdx dv

v

2 5

ln 1

+

x

1

Ta đi tính 6 2

cos

= x

cos

=





=



u x

du dx

dx dv x

6

cos sin

d x

x dx

2

2

c) 2 2

7 = ln( +1)

I x x dx Đặt ( 2) 2

3 2

2

3



=



x dx du

x

x dx dv v

Ta đi tính

4

1

=

+

x

cos

x t dx

t và

2

1

cos

t

3 arctan

−

+

x

7

d) I8 = xsin x dx

2

x t dt x dx dt dxI8 =2 sint tdt Đặt



t dt dv v t

Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau:

a) 9 ln( 1)2

(2 1)

−

=

+

(1 3 )

+

=

−

x

11= sin cos

2

= +

 x e x

x

Lời giải

a) Đặt

1

1 1

1



−

x

v

9

I

ln

b) Đặt

1

ln 2 1

1

1



+



x

v

10

ln 2 1

I

ln

sin cos

3

=



=

⇔

du dx

u x

x

3

3 11

cos

−

d) Đặt

2

2

2 1



u x e du x x e dx

dx

2

2

+

x

x e

xe e C

Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I =ln(x+2 d ) x

A I =xln(x+ − +2) x C B I = +(x 2 ln) (x+ − +2) x C

2

x

2

x

+

Lời giải:

2

2

x

x

v x

v x



+

=

(Ta có thể chọn v=x v; = +x 1 , tuy nhiên ta nên chọn v= +x 2

để tính toán dễ dàng hơn)

Khi đó I = +(x 2 ln) (x+ −2) dx= +(x 2 ln) (x+ − +2) x C. Chọn B

Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I =xln(x−1 d) x

I = x− − + +C B 2 1 ( ) 2

I = − x− − + +C

I = − x− − − +C

Lời giải:

d d

x u

x x

v x x

v



−

=



I = − x− − + x= − x− − − +C

Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I = (x−2)e x xd

A I = −(x 3)e x+C B I = −(x 1)e x+C C I =xe x+C D I = +(x 1)e x+C

Lời giải:

Ví dụ 8: Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) (= 2x+1 sin ) x Biết F( )0 =3, tìm

( )

F x

A F x( ) (= 2x+1 cos) x+2 sinx+2 B F x( ) (= − 2x+1 cos) x+2 sinx+4

C F x( ) (= 2x+1 cos) x−2sinx+2 D F x( ) (= − 2x+1 cos) x−2sinx+4

Lời giải:

Ta có: F x( ) (= 2x+1 sin d) x x Đặt 2 1 d 2d



( ) (2 1 cos) 2 sin d

Mặt khác F( )0 = − + =1 C 3C=4F x( ) (= − 2x+1 cos) x+2sinx+4. Chọn B

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm

( )2

ln d 1

x x I

x

= +



1

x

x

2 ln

1

x x

x − + + +

1

x x

x

ln

1

x x

x

+

Đặt

( )2

d ln

d

1 1

x

x x

v x



=

x x x x x

Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm I = (2−x)cos dx x

A I = −(2 x)sinx+cosx C+ B I = −(2 x)sinx−cosx C+

C I = −(2 x)cosx−sinx C+ D I = −(2 x)cosx+sinx C+

Lời giải:

Ví dụ 11: Tìm nguyên hàm I = (x+1 3 d) x x ta được:

ln 3

x

x

2

x

C ( 1 3)

ln 3

x x

x

I = + − +C

2

x

I = + − +C

Lời giải:

3

3 d

ln 3

x x

du dx

I

dv x v

=



= +

2

x

Ví dụ 12: Cho nguyên hàm 2 2

x x x=m x +n x x+ p x+C

Tính giá trị của P= + +m n p

A 3

4

P= B 5

4

P= C 3

2

P= D 5

8

P=

Lời giải:

x

I = x + x= x x+ x x x

Đặt

sin 2 sin 2 d cos 2 d

sin 2

2

u x

x x x x

=



=

sin 2 cos 2

C

I = x + x x+ x C+ m+ + =n p Chọn D

Ví dụ 13: Cho ( ) 2

1

F x

x

= là một nguyên hàm của hàm số ( )

2

cos

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

sin 2

x

+

sin 2

x

+



cos

x

+

cos

x

+



Lời giải:

Tính nguyên hàm I = f '( )x tan dx x

Đặt

d

x

x I f x x

v f x



=

1

x

' cos

Do đó

2

Ví dụ 14: Cho ( ) 1 2 cos sin

2

x

= −  +

  là một nguyên hàm của hàm số f x( )sinx Nguyên hàm của hàm số f '( )x cosx là:

A cosx−xsinx C+ B sinx+xcosx C+

C cosx+xsinx C+ D sinx−xcosx C+

Lời giải:

Tính nguyên hàm I = f '( )x cos dx x

Đặt

I f x x f x x x

v f x x v f x

( )cos 1 2 cos sin

2

x

2

x

f x = I = x+x x Chọn C

Ví dụ 15: Cho ( ) x

F x = +e x là một nguyên hàm của hàm số f x( ).

x Tìm nguyên hàm của hàm số

( )ln

f′ x x

A x e( x+x)lnx e− − +x x C B x e( x+1 ln) x e− − +x x C.

C x e( x+1 ln) x e− + +x x C D x e( x+x)lnx+ + +e x x C

Lời giải:

Tính nguyên hàm I = f '( )x ln dx x

Đặt

d

x

x

v f x



=

Mặt khác f x( ) F'( )x e x 1 f x( ) x e( x 1)

I =x e + x e− − +x C Chọn B

Ví dụ 16: Cho F x( )=xsinx là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) x Tìm nguyên hàm của hàm

số f '( )x e x

A x(sinx+cosx)+sinx C+ B e x(cosx−sinx)+sinx C+

C x(cosx−2sinx)+sinx C+ D x(cosx−sinx)+sinx C+

Lời giải:

Đặt

d

I f x e x e f x f x e x

v f x x v f x

Lại có: f x e( ) x =F'( )x =sinx+xcosx

Ví dụ 17: Cho ( ) 2

1

F x =x + là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của f '( )x ln x

f x x dx=x x+ +C

f x x dx=x − x +C

f x x dx= −x x+ +C

f x x dx=x x− +C



Lời giải:

Đặt

d

x

x

v f x x

v f x



⇔

suy ra f ( )x ln dx x ln x f x( ) f x( )dx

x

f′ x x x= x x− − + =x C x x− +C

Ví dụ 18: Cho F x( )=lnx là một nguyên hàm của xf x( ) Tìm nguyên hàm của f '( )x ln x

2

x

2

x

=  + +

2

x

1

x



Lời giải:

Đặt

d

x

x

v f x x

v f x



⇔

suy ra f ( )x ln dx x ln x f x( ) f x( )dx

x

F x x f x x f x f x

2

Ví dụ 19: Cho F x( )=lnx là một nguyên hàm của ( )

3

f x

x Tìm nguyên hàm của f '( )x ln x

2

f x x dx=x  − x+C

2

f x x dx=x  x+ +C

f x x dx=x x− +C

2

f x x dx x  x  C

=  − +



Lời giải:

Đặt

d

x

x

v f x x

v f x



⇔

suy ra f ( )x ln dx x ln x f x( ) f x( )dx

x

1

2

x

f′ x x x=x x− x x=x x− +C

Ví dụ 20: Cho F x( )=xtanx+ln cosx là một nguyên hàm của hàm số ( )

2 cos

f x

x Tìm nguyên hàm

của hàm số f '( )x tan x

A  f '( )x tanx dx=ln cosx +C B  f '( )x tanx dx=ln sinx +C

C  f '( )x tanx dx= −ln cosx +C. D  f '( )x tanx dx= −ln sinx +C

Lời giải:

Đặt

d

x

v f x



Do đó  f′( )x tanx dx=x tanx−x tanx−ln cosx + = −C ln cosx +C. Chọn C

Ví dụ 21: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=lnx thỏa mãn điều kiện F( )1 =3

Tính giá trị của biểu thức T =2F e( )+log 3.log4 3F e( )

2

T = D T =17

Lời giải:

Đặt

d

x

x

v x

v x



⇔

=

suy ra  f x( )dx=x.lnx−dx=x.lnx− +x C

Mà F( )1 = 3 →1.ln1 1− + = ⇔ =C 3 C 4 Vậy T =17. Chọn D

Ví dụ 22: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x

f x =xe thỏa mãn 1 0

2

F 

=

 

Tính ln 5

2

F 

 

 

2

F   = −

2

F   =

2

F   =

2

F   =

 

Lời giải:

2

2

x x

u x

u x

e

v e x v

=



=

⇔

x e e x e e

2

= → =

 

x e e

2

F   =

  Chọn C

Ví dụ 23: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x =x e− thỏa mãn F( )0 = −1 Tính tổng

S các nghiệm của phương trình F x( )+ + =x 1 0

Lời giải:

v e− x v e−

⇔

    f x( )dx= −x e −x+e−xdx= −x e −x−e−x+C

Mà F( )0 = − 1 → − = − ⇔ =C 1 1 C 0 → F x( )= −x e −x−e−x

0

x

=

Ví dụ 24: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx thỏa mãn F( ) π =2 π Tính giá trị của biểu thức T =2F( )0 −8F( )2π

A T =6 π B T =4 π C T =8 π D T =10 π

Lời giải:

⇔

  x.sin dx x= −x.cosx+cos dx x= −x.cosx+sinx C+

Mà F( ) π =2π → =C 4 π Do đó F x( )= −x.cosx+sinx+4 π Vậy T =2.4π−8.2π = −8 π

Chọn C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=xcosx thỏa mãn F( ) π =2017

C F x( )= −xsinx+cosx−1. D F x( )= −xsinx−cosx+2017

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

cos

x

f x

x

=

Câu 3: (Sở GD& ĐT Tp Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm nguyên hàm của y=xe x

x

f x dx=x e +C

 B  f x dx( ) =xe x+C.

C  f x dx( ) = +(x 1)e x+C D  f x dx( ) = −(x 1)e x+C

Câu 4: (Sở GD& ĐT Tp Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm nguyên hàm của y=xln x

A

2

2

1

x

x+ x +C B 2 1 2

2

x x− x +C C

2

2

1

x

x− x +C D ln 1

2

x x+ x C+

Câu 5: (THPT Chuyên Bến Tre – Bến Tre năm 2017) Tìm nguyên hàm của f x( )=ln x

A lnx x C+ B x−xlnx C+ C lnx x+ +x C. D lnx x− +x C

Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=xsinx thỏa mãn 2019

2

F π

=

 

 

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1 sin ) x

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= 2x−1)e−x

A −(2x+1)e−x+C B −(2x−1)e−x+C

C −(2x+3)e−x+C D −(2x−3)e−x+C

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số y= +(x 1 cos ) x

Câu 10: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=lnx thỏa mãn F( )1 =3 Tính F e( )

A F e( )=3 B F e( )=1. C F e( )=4 D F e( )=0

Câu 11: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=x e −x thỏa mãn F( )0 =1

A ( 1) x 1

x e−

− + + B ( 1) x 2

x e−

− + + C ( 1) x 1

x+ e− + D ( 1) x 2

x+ e− +

Câu 12: Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 )

2 x

f x = x + x e

A (2x+2)e x B 2

x

x e C ( 2 )

x

x +x e D ( 2 )

2 x

x − x e

Câu 13: (THPT Chuyên Đại Học Vinh lần 3 năm 2017) Cho y= f x( ) thỏa mãn

f x = +x e và  f x dx( ) =(ax b e+ ) x+c, với , ,a b c∈ℝ Tính a+b

A a+ =b 0. B a+ =b 3. C a+ =b 2. D a+ =b 1.

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho ( ) 2

F x =x là một nguyên hàm của hàm số

( ) 2

x

f x e Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

f x e

f x e dx= − +x x C+

f x e dx= − + +x x C

f x e dx= x − x C+

f x e dx= − x + x C+



Câu 15: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho F x( ) (= −x 1)e x là một nguyên hàm của hàm

số ( ) 2

x

f x e Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

f x e

f x e dx= −x e +C

2

f x e dx= − e +C

f x e dx= −x e +C

f x e dx= − x e +C



Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho ( ) 3

1 3

F x

x

= − là một nguyên hàm của hàm số

( ).

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm số f '( )x ln x

5

x

5

x

x x



3

x

3

x



Câu 17: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho ( ) 2

1 2

F x

x

= là một nguyên hàm của hàm số

( ).

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm số f '( )x ln x

2

x

= − + +

x x



2

x

x x

= − + +



Câu 18: Cho ( ) 2

1

F x

x

= là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của hàm số f '( )x ln x

x x

x x

= − + +

x x

x x

= − − +



Câu 19: Cho F x( )=lnx là một nguyên hàm của ( )

2

f x

x Tìm nguyên hàm của f '( )x ln x

A  f '( )x lnx dx=x(lnx+ +1) C B  f '( )x lnx dx=x(lnx− +1) C

C  f '( )x lnx dx=x(lnx− +x) C D  f '( )x lnx dx=x(1 ln− x)+C

Câu 20: Cho ( ) 3

1

F x

x

= là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của hàm số f '( )x ln x

2

x

2

x

2

x

2

x

x x



Câu 21: Cho ( ) 2

1

F x

x

= là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của hàm số f '( )x x ln x

1 ln

x x

= −  − +

x x

=  + +

1 ln

x x

=  − +

x x

= −  + +



Câu 22: Cho ( ) 2

1

F x

x

= là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của ( ) ( 3 )

f x x +

A ( ) ( 3 )

2

2

x

2

2

x

C ( ) ( 3 )

2

2

x

2

2

f x x dx x C

x



Câu 23: Cho ( ) 2

4

x

F x = là một nguyên hàm của f x( ).

x Tìm nguyên hàm của f '( )x ln x

x

f x x dx=  x− +C

x

f x x dx=  x+ +C



x

x

x

x



Câu 24: Cho ( ) x

F x = −xe là một nguyên hàm của ( ) 2

x

f x e Tìm nguyên hàm của ( ) 2

f x e

f x e dx= −x e +C

2

f x e dx= − e +C

f x e dx= −x e +C

f x e dx= −x e +C



Câu 25: Cho F x( ) (=2 x−1)e x là một nguyên hàm của hàm số f '( )x e x và f ( )0 =0 Tìm nguyên hàm của hàm số f x e( ) x

f x e dx= x − x+ e +C

f x e dx= x + x− e +C

f x e dx= x − x+ e +C

f x e dx= x + x− e +C



LỜI GIẢI CHI TIẾT

F x x x x x x x x

x x x C

= + + Lại có F( )π = πsinπ +cosπ + = − + =C 1 C 2017C=2018

Do đó F x( )=xsinx+cosx+2018. Chọn B

2

d

tan d

cos

u x

u x

f x x x x x x x

v

x

=



=

d cos sin

x x



Khi đó xe x xd =xe x−e x xd =xe x− + = −e x C (x 1)e x+C. Chọn D

Câu 4: Đặt 2 2 2

2

d d

2

x u

v



=

=

Câu 5: Đặt

d

x

x x x x x x x x C x

v x

v x



=

x x x x x x x

x x x C F x f x x x x x C

 

 

Vậy F x( )=sinx−xcosx+2018. Chọn B

(x 1 cos) x sinx C

= − + + + Chọn B

v e− x v e−



Khi đó  (2x−1)e−xdx= −(2x−1)e x+2e−xdx= −(1 2x e) −x−2e−x+C

( 1 2x e) −x C (2x 1)e−x C

(x 1 sin) x cosx C

x

F x x x x x x x x x C x

v x

v x



=

Laị có: F( )1 =1.ln1 1− + =C 3C=4F e( )=elne e− + =4 4. Chọn C

v e− x v e−



F x =xe− x= −xe− +e− x= −xe− −e− + = − +C x e− +C

Mặt khác F( )0 = − + =1 C 1C =2 F x( ) (= − +x 1)e−x+2. Chọn B

u x x

f x x x x e x e x

v e x v e

Xét nguyên hàm (2 2) xd

x+ e x



(2x 2)e x 2e x 2xe x C

f x x= x + x e − xe + =C x e +C

Câu 13: Ta có ( ) ( ) x

f x dx= ax b e+ +c



Đạo hàm 2 vế ta được  f x( )dx′ =(ax b e+ ) x+c′

Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta được: f '( )x =ae x+(ax+ +a b e) x =(ax+2a b e+ ) x = +(x 1)e x

a

a b

a b

=



 + =

Câu 14: Đặt

f x e x e f x e f x x

v f x x v f x

( )

x

Mặt khác ( ) 2x '( ) 2

f x e =F x = x '( ) 2xd 2 2 2

f x e x= x− x +C

Câu 15: Đặt

f x e x e f x e f x x

v f x x v f x

2

f x e =F x = + −e x e =xe

f x e x=xe − x− e + = −C x e +C

Câu 16: Đặt

d

x

v f x



=

1 ln

3

x

3

−

3

x

'

f x

2

x

3

2

1

' ln d 2

x

v x

x



−

−

=

Cách 2: Đặt

d

x

x f x x f x x

v f x



=

1

2

x

2

x

= − + +