PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCMục tiêu của bài Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên.. Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số t
Trang 1§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Mục tiêu của bài
Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên
Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên
Vận dụng giải một số bài tập trong SGK
A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
Trả lời các câu hỏi
1 Cô giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A5 (có 40 học sinh), cô gọi theo sổ điểm lần lượt 5 học sinh tùy ý.
Cả 5 bạn ấy đều thuộc bài Cô kết luận: “Cả lớp 11A5 thuộc bài”.
H1: Cô kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng?
2 Quan sát hình vẽ có tô màu đã chuẩn bị trước
H2: Mỗi hình nhận được có mấy màu?
H3: Hai phần mặt phẳng kề nhau (có biên chung) có mấy màu?
H4: Có luận gì về màu sắc của mỗi hình bất kì ? kết luận này có đúng cho n n ³( 1)
hình tròn với cách sắp xếp tùy ý không ?
B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
Bài toán Cho các mệnh đề chứa biến
( ) : 1 2 3 ( 1),
2
n n
với n Î ¥*. ( ) : 3 2
Q n n + n
chia hết cho 3, với n Î ¥*. ( ) : ''3n 8 ''
R n > n
với n Î ¥*.
Hãy kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề đó khi n =1,2,3,4,5?
Trang 22
n n
P n + + + + =n + Q n n( ) : 3 + 2n
chia hết cho 3 R n( ) : ''3n > 8 ''n
1
2
3
4
5
Nhóm 1,3,7: kiểm tra P n( )
Nhóm 2,4,6: kiểm tra Q n( )
Nhóm 5,8: kiểm tra R n( )
Vậy với n là số nguyên dương thì các mệnh đề trên đúng hay sai? vì sao ?
H1: Để chứng minh P n Q n( ) ( ),
đúng với n Î ¥*thì thì ta chứng minh như thế nào?
H2: Để chứng minh A n( )
đúng với mọi n Î ¥* , ta cần chứng minh điều gì?
1 Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề A n( )
vớin Î ¥*, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A n( )
đúng với n =1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = ³k 1 (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề đúng với n= +k 1.
Kết luận mệnh đề đúng với n Î ¥*.
2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với
*
n Î ¥ ta có:
Trang 3( 1)
2
n n
3
b n + n chia hết cho 3
GV hướng dẫn , học sinh thảo luận nhóm, gọi 2 học sinh của 2 nhóm trình bày
H3: Tìm điều kiện của n để mệnh đề ''3 8 ''
n > n đúng
Phát biểu mệnh đề đúng
Chứng minh quy nạp ở bước 1, kiểm tra khi n bằng mấy?
Chú ý
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n³ p (p là một số tự nhiên) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n= ³k p (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề đúng với n = +k 1.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 3 ta có 3n>8 n
Học sinh trình bày
C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP, CŨNG CỐ
Câu 1: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n +1 chia hết cho 7 mọi n Î ¥*" như sau:
- Giả sử đúng với n =k, tức là 8k +1chia hết cho 7
- Ta có 8k+ 1+ =1 8 8( k + -1) 7
, kết hợp với giả thiết 8k +1chia hết cho 7nên suy ra được 8k+1+1 chia hết cho 7.
Vậy đẳng thức đúng với mọi n Î ¥*.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Học sinh trên chứng minh đúng.
B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết quy nạp.
Trang 4C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết quy nạp.
D Học sinh không kiểm tra bước 1 của phương pháp quy nạp.
Câu 2: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n( )
đúng với mọi số tự nhiên n³ p (p là một số tự
nhiên) Ở bước 1 của chứng minh quy nạp, bắt đầu kiểm chứng với n bằng
A n =1. B n =p. C n³ p D n> p
Câu 3: Với giá trị nào của số tự nhiên n, thì 3n >2n +7 ?n
Câu 4: Với mọi số nguyên dương n , tổng S n =n3+11n chia hết cho
A 6. B 4. C 9. D 12.
D.E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI & MỞ RỘNG
Bài 1: Trên mặt phẳng cho n hình tròn(n ³ 1 )
Chứng minh rằng với bất kì cách sắp đặt nào, thì hình nhận được cũng có thể tô bằng hai màu, để cho hai phần mặt phẳng kề nhau (có biên chung) cũng được
tô bằng hai màu khác nhau
Bài 2: Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6 Chứng minh rằng luôn chia được
một hình vuông thành n hình vuông nhỏ (các hình vuông sau khi chia không nhất
thiết phải bằng nhau)
Hướng dẫn, để thuân tiện cho việc chứng minh học sinh vẽ hình trường hợp
6,7,8.
n =