Dễ thấy AMCN là hình bình hành nên giao điểm O của chúng là trung điểm của mỗi đường.. Cho hình chóp S ABCD[r]
Trang 103 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MP (P1) Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Gọi O O lần lượt là tâm của , ABCD và ABEF
Chứng minh OOsong song với các mặt phẳng ADF và BCE
b) M N, là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE BD, sao cho 1 1
,
Chứng minh MN / /CDFE
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB CD,
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng SBC , SAD
b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB SC, đều song song với MNP
c) Gọi G G1, 2 là trọng tâm của các tam giác ABC SBC, Chứng minh G G1 2 / / SAC
Bài 3. Cho tứ diện ABCD Glà trọng tâm của ABD M là một điểm trên cạnh BC sao cho
2
Chứng minh MG/ /ACD
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của BMG và ACD
Bài 4. Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB CD, và G là trung điểm
của đoạn MN
a) Tìm giao điểm A đường thẳng AG với mp BCD
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt mp BCD tại M Chứng minh
, ,
B M A thẳng hàng và BMM A A N
c) Chứng minh GA3GA
Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của
, ,
AB CD SA
a) Chứng minh rằng MN / /SBC, MN / /SAD
b) Chứng minh rằng SB/ /MNP, SC/ /MNP
c) Gọi I J, là trọng tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh IJ / /SAB, IJ / /SAD,
/ /
Bài 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC, SC, và K là điểm trên SD cho cho 1
2
SK KD a) Chứng minh rằng OJ / /SAD, OJ / /SAB
b) Chứng minh rằng OI / /SCD, IJ / /SBD
c) Gọi M là giao điểm của AI và BD Chứng minh rằng MK/ /SBC
Bài 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của
, ,
Trang 2a) Chứng minh rằng MN / /ABCD, MO/ /SCD
b) Chứng minh rằng NP/ /SAD , tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD cho cho SD4ID Chứng minh rằng PI / /SBC, PI / /SAD
GIẢI Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Gọi O O lần lượt là tâm của , ABCD và ABEF
Chứng minh OOsong song với các mặt phẳng ADF và BCE
b) M N, là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE BD, sao cho 1 1
,
Chứng minh MN / /CDFE
Lời giải
a) Vì O O, lần lượt là tâm của ABCD và ABEF
Nên OO/ /DF / /DE
/ / / /
b) Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra M N, là trọng tâm của ABF và ABC
Do đó, theo định lý Talet ta suy ra MN / / CF MN / /CDEF
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB CD,
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng SBC , SAD
b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB SC, đều song song với MNP
c) Gọi G G1, 2 là trọng tâm của các tam giác ABC SBC, Chứng minh G G1 2 / / SAC
Lời giải
a) Vì M N, là trung điểm của AB CD, nên MN AD BC// / /
Ta có:
Tương tự,
.
Trang 3b) Gọi P là trung điểm của SA nên / /
/ /
MP SB
NP SC
Ta có:
Tương tự,
c) Gọi E F O, , lần lượt là trung điểm của SB, SC, AC 1 2
1 2
/ / / / / / / /
G G
G G
FO SA
Bài 3. Cho tứ diện ABCD Glà trọng tâm của ABD M là một điểm trên cạnh BC sao cho
2
Chứng minh MG/ /ACD
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của BMG và ACD
Lời giải
Gọi N là trung điểm của AD
Vì Glà trọng tâm của tam giác ABC, nên
2
Mà MB2MC nên MG/ /NC.
Ta có
Bài 4. Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB CD, và G là trung điểm
của đoạn MN
a) Tìm giao điểm A đường thẳng AG với mp BCD
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt mp BCD tại M Chứng minh , ,
B M A thẳng hàng và BMM A A N
c) Chứng minh GA3GA
Lời giải
Trang 4a) Trong mp ABN : Kẻ AG giao với BN ở đâu đó chính là điểm A
b) Xét trong mp ABN : Lấy điểm M1 trên BN sao cho MM1/ /A A M1 thuộc đường Mx.
Hơn nữa M và M1 đều là giao điểm của Mxlên mp ABN nên M và M1 trùng nhau hay
Theo Ta-let thì:
1 1
c) Ta có
1
1 2
Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của
, ,
AB CD SA
a) Chứng minh rằng MN / /SBC, MN / /SAD
b) Chứng minh rằng SB/ /MNP, SC/ /MNP
c) Gọi I J, là trọng tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh IJ / /SAB, IJ / /SAD,
/ /
Lời giải
a) ABCD là hình bình hành và M N, lần lượt là trung
điểm của AB và CD nên MN / /AD/ /BC nên
/ /
MN SBC và SAD
b) Trong tam giác SAB có M P, lần lượt là trung điểm
của ABvà SA nên MP SB/ / SB/ /MNP
Trang 5Dễ thấy AMCN là hình bình hành nên giao điểm O của chúng là trung điểm của mỗi đường Trong SAC có PO là đường trung bình nên PO/ /SC SC/ /MNP
c) Lấy K là trung điểm của
2 3 2 3
AI AK BC
SJ AK
/ / / /( ), / /( ), / /( )
Bài 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC, SC, và K là điểm trên SD cho cho 1
2
SK KD a) Chứng minh rằng OJ / /SAD, OJ / /SAB
b) Chứng minh rằng OI / /SCD, IJ / /SBD
c) Gọi M là giao điểm của AI và BD Chứng minh rằng MK/ /SBC
Lời giải
a) Dễ thấy OJ là đường trung bình trong tam giác SACnên OJ / /SA nên OJ / /SAD và
/ /
b) OI là đường trung bình trong tam giác ABCnên OI / /AB OI/ /CD OI / /SCD Tương tự IJ là đường trung bình trong tam giác
SBC nên IJ / /SB IJ / /SBD
c) Theo hình vẽ :
2
1 3
BM
BD .
3
SK
SD .
3
Bài 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của
, ,
a) Chứng minh rằng MN / /ABCD, MO/ /SCD
Trang 6b) Chứng minh rằng NP/ /SAD , tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD cho cho SD4ID Chứng minh rằng PI / /SBC, PI / /SAD
Lời giải
a) Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác
SBOnên MN / /BO MN / /ABCD
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác
SBD nên MO/ /SD MO/ /SCD
b) NP là đường trung bình của tam giác SOD ứng
với cạnh SD nên NP SD/ / NP/ /SAD
NPOM là hình bình hành vì MN / /OP và
1
2
MN OP OB
c)Ta có: SD BD 4 IP SB / / / /SBC