ma trận và đề kiểm tra giải tích lớp 11 nâng cao lần 1 học kỳ i năm học 2017 2018 tham khảo ma trận và đề kiểm tra giải tíc

Phƣơng pháp loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện Phƣơng pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác.. Ta loại đi những điểm biểu diễn của [r]

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 11 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

I Các công thức lượng giác

1 Các hằng đẳng thức:

* sin2 cos2 1 với mọi 

* tan cot    1 với mọi

A.Hai cung đối nhau:  và 

cos( ) cos sin(  ) sin

tan(  ) tan cot(  ) cot

B Hai cung phụ nhau:  và

C Hai cung bù nhau:  và   

sin(   ) sin cos(    ) cos tan(    ) tan cot(    ) cot

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và  

sin(      ) sin  cos(      ) cos 

tan(     ) tan  cot(     ) cot 

3 Các công thức lượng giác

e Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

II Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y  f x ( ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x D  ta có

x T D   và f x T (  )  f x ( ) Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T

 Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   2

 Đồ thị hàm số y  sin x

2 Hàm số y  cos x

x y

O1

 Tập xác định: D  R

 Tập giác trị: [ 1;1]  , tức là   1 cos x    1 x R

 Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2 ; k    k 2 )  , đồng biến trên mỗi khoảng (   k 2 ; 2 )  k 

 Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   2

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k     ; k 

1

O

x y

O

 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x   k , k  làm một đường tiệm cận

x y

O

1 Điều kiện:

2 sin(3 ) 0

6

18 3

k x

2 4

x x

x k

x k

x x

2 cos( ) sin( ) 0

2 6

Vấn đề 2 Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số Phương pháp

Cho hàm số y  f x ( ) tuần hoàn với chu kì T

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k v (với v  ( ; 0), T k  ) ta được toàn bộ

f x  x  x  hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0   2

Ví dụ 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

1 f x ( ) cos  x  cos   3 x 2 f x ( ) sin  x2

Lời giải:

1 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương T thỏa

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

2 Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 3 Cho a b c d , , , là các số thực khác 0 Chứng minh rằng hàm số f x ( )  a sin cx b  cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi c

d là số hữu tỉ

Lời giải:

* Giả sử f x là hàm số tuần hoàn ( )    T 0 : ( f x T  )  f x ( )  x

   (1) không xảy ra với mọi x 

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0   2

Bài 2 Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f x ( ) tan 2 ,  x

Cho x   0 VT (2) tan 2  T  0 , còn VP (2) 0   (2) không xảy ra với mọi x 

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở 0

A Hàm số không tuần hoàn B 0

 Hàm số y  2 sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T   2

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

 Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ; 0)

 Hàm số y   2 cos 2 x là hàm tuần hoàn với chu kì T  

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;

3

1

O

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x

Đồ thị hàm số: y  2 cos x

Vấn đề 4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1 y  4 sin cos x x  1 2 y   4 3 sin 22 x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1

Ví dụ 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1. y  6 cos2x  cos 22 x 2 y  (4 sin x  3cos ) x 2 4(4 sin x  3cos ) 1 x 

-π4

5π4

7π4

3π4π

-3π

2

-π 2

π 3π

2

π 2 π

2

O

f t

7

1 Vậy min y  1 đạt được khi cos 0

Vậy min y   3; max y  46

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

2(3sin 4 cos ) 6 sin 8 cos 2 1

Suy ra: sin2x  sin2y  sin sin x x  sin sin y y

 sin cos x y  sin cos y x  sin( x y  )

Mâu thuẫn với ( ) 

 Giả sử

2 2

Suy ra: sin2x  sin2y  sin sin x x  sin sin y y

 sin cos x y  sin cos y x  sin( x y  )

Mâu thuẫn với ( ) 

Vậy min y  0 ; max y  10

2 Do sin x  cos x      2 0 x hàm số xác định với   x

Xét phương trình : sin 2 cos 1

Vậy min y   2; max y  1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin x  3

A max y  5 , min y  1 B max y  5 , min y  2 5

C max y  5 , min y  2 D max y  5 , min y  3

Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   1 2 cos2x  1

A max y  1 , min y   1 3 B max y  3 , min y   1 3

C max y  2 , min y   1 3 D max y  0 , min y   1 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y   1 3 , đạt được khi x k  

Bài 3 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2

4

A min y   2 , max y  4 B min y  2 , max y  4

C min y   2 , max y  3 D min y   1 , max y  4

Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   3 2 cos 32 x

A min y  1 , max y  2 B min y  1 , max y  3

C min y  2 , max y  3 D min y   1 , max y  3

Bài 5 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   1 2 sin 2  x

A min y  2 , max y   1 3 B min y  2 , max y   2 3

C min y  1 , max y   1 3 D min y  1 , max y  2

Bài 8 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 sin x  4 cos x  1

A max y  6 , min y   2 B max y  4 , min y   4

C max y  6 , min y   4 D max y  6 , min y   1

Bài 9 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 sin x  4 cos x  1

A min y   6; max y  4 B min y   6; max y  5

C min y   3; max y  4 D min y   6; max y  6

5 3 cos

Suy ra min y   6; max y  4

Bài 10 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin2x  3sin 2 x  4 cos2x

A min y   3 2 1; max  y  3 2 1  B min y   3 2 1; max  y  3 2 1 

C min y   3 2; max y  3 2 1  D min y   3 2 2; max  y  3 2 1 

Lời giải:

Ta có: y   1 cos 2 x  3 sin 2 x  2(1 cos 2 )  x

3sin 2 3cos 2 1 3 2 sin 2 1

4

Suy ra min y   3 2 1; max  y  3 2 1 

Bài 11 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  sin2x  3sin 2 x  3cos2x

A max y   2 10; min y   2 10 B max y   2 5; min y   2 5

C max y   2 2; min y   2 2 D max y   2 7; min y   2 7

Từ đó ta có được: max y   2 10; min y   2 10

Bài 12 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin 3 x  1

A min y   2, max y  3 B min y   1, max y  2

Lời giải:

:C

Bài 13 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   3 4 cos 22 x

A min y   1, max y  4 B min y   1, max y  7

Lời giải:

Đáp án C

Bài 14 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   1 2 4 cos 3  x

A min y   1 2 3,max y   1 2 5 B min y  2 3,max y  2 5

C min y   1 2 3,max y   1 2 5 D min y    1 2 3,max y    1 2 5

Lời giải:

Đáp án A

Bài 15 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  4 sin 6 x  3 cos 6 x

A min y   5, max y  5 B min y   4, max y  4

C min y   3, max y  5 D min y   6, max y  6

Bài 19 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 2 sin 2  2 x  4

A min y  6 , max y   4 3 B min y  5 , max y   4 2 3

C min y  5 , max y   4 3 3 D min y  5 , max y   4 3

Bài 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  sin x  2 sin  2x

Bài 21 Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan2x  4 tan x  1

A min y   2 B min y   3 C min y   4 D min y   1

Lời giải:

Ta có: t  (tan x  2)2 3

min y   3 đạt được khi tan x  2

Không tông tại max

Bài 22 Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan2x  cot2x  3(tan x  cot ) 1 x 

A min y   5 B min y   3 C min y   2 D min y   4

4

x  k

    Không tồn tại max y

Bài 23 Tìm m để hàm số y  5sin 4 x  6 cos 4 x  2 m  1 xác định với mọi x

Bài 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   2 3 sin 3 x

A min y   2; max y  5 B min y   1; max y  4

C min y   1; max y  5 D min y   5; max y  5

Lời giải:

Ta có:   1 sin 3 x      1 1 y 5 Suy ra: min y   1; max y  5

Bài 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   1 4 sin 22 x

A min y   2; max y  1 B min y   3; max y  5

C min y   5; max y  1 D min y   3; max y  1

Lời giải:

Ta có: 0 sin 2  2 x      1 3 y 1 Suy ra: min y   3; max y  1

Bài 26 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   1 3 2sin  x

A min y   2; max y   1 5 B min y  2; max y  5

C min y  2; max y   1 5 D min y  2; max y  4

Lời giải:

Ta có: 1 3 2sin   x      5 2 y 1 5 Suy ra: min y  2; max y   1 5

Bài 27 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y   3 2 2 sin 4  2 x

A min y   3 2 2; max y   3 2 3 B min y   2 2 2; max y   3 2 3

C min y   3 2 2; max y   3 2 3 D min y   3 2 2; max y   3 3 3

Lời giải:

Ta có: 2 2 sin 4   2 x    3 3 2 2    y 3 2 3

Suy ra: min y   3 2 2; max y   3 2 3

Bài 28 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  4 sin 3 x  3 cos 3 x  1

A min y   3; max y  6 B min y   4; max y  6

C min y   4; max y  4 D min y   2; max y  6

Lời giải:

Ta có:   5 4 sin 3 x  3 cos 3 x      5 4 y 6 Suy ra: min y   4; max y  6

Bài 29 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 cos x  sin x  4

A min y  2; max y  4 B min y  2; max y  6

C min y  4; max y  6 D min y  2; max y  8

Lời giải:

Ta có: 2 sin 4

3

y   x    

  Suy ra: min y  2; max y  6

Bài 30 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau sin 2 2 cos 2 3

Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 cos x  sin x  2

A min y    2 5; max y    2 5 B min y    2 7; max y    2 7

C min y    2 3; max y    2 3 D min y    2 10; max y    2 10

Lời giải:

Xét phương trình: 3 cos x  sin x   y 2

Phương trình có nghiệm  32  12 ( y  2)2    2 10     y 2 10

Vậy min y    2 10; max y    2 10

Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

Suy ra yêu cầu bài toán   1 2 m    1 m 0

Bài 34 Tìm m để các bất phương trình 3sin 2 cos 22 1

Câu 5 Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ?

A y  sin x B y  cos x C y  tan x D. y  cot x

Câu 6 Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2 

B hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 

C hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 

D hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì 2 

Câu 7 Xét trên một chu kì thì đường thẳng y  m (với    1 m 1 ) luôn cắt đồ thị

A hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm

B hàm số y  sin x tại duy nhất một điểm

C hàm số y  cos x tại duy nhất một điểm

D hàm số y  cot x tại duy nhất một điểm

Câu 8 Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

B hàm số y  sin x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

C hàm số y  tan x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

D hàm số y  cot x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 9 Trên khoảng ( 4 ; 3 )     , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương?

A y  sin x B y  cos x C y  tan x D. y  cot x

Câu 10 Trên khoảng 7 5

;

     

  , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm?

A y  sin x B y  cos x C y  tan x D. y  cot x

Câu 11 Các hàm số y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây?

x y x

A y = sinx –x B y = cosx C y = x.sinx D

Câu 18 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = x.cosx B y = x.tanx C y = tanx D

Câu 19 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

x y x





1

y x

A y  sin tanx3 B y  sinx tanx C y  cos x x  sinx D tanx

Bài 45 y  cos 2 x  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì:

2 và

1 2

 D 1

2 và

1 2

D 1

3 và

1 3 3 4

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: a sin x b cos x c (1) ; với a,b,c và a2b2 0.

Cách giải: Chia hai vế cho a2b2 và đặt

tan u(x)cot u(x)

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t sin u(x)

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: a(sin x cos x) b sin x cos x c   0 (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2

t 1

sin x cos x2

t sin x cos x 2 sin x

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a(sin x cos x) b sin x cos x c   0 (3’)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sin x cos 2x 0  2 cos x sin 2x 2  0

3 2sin(2x 35 ) 0  3 4 sin(2x 1) cos(3x 1) 0   

2 sin x cos x tan x

2

3x 1 2x 1 k2

10 52

3 sin 2x2 cos 2x cos 3x2  4 sin 2x.cos 3x sin 5x.cos 6x

5 sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x    

6 sin 3x cos 4x2  2 sin 5x cos 6x2  2 7 cos 3x cos 2x cos x2  2 0

Lời giải

1 Phương trình cos x 4 sin x cos x  0 cos x(1 4 sin x) 0 

21

sin x

x arcsin k2 ,x arcsin k24

5 Phương trình (sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x    

2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos 2x

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc

và công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3sin x 4cos x 0  2 sin 2x 3 cos 2x 1

3 2 sin 3x 5 cos 3x5 4 3 cos x 3 sin x 1

5 sin7x cos2x  3(sin 2x cos7x) 6 sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x

7 sin x cos xsin 2x  3 cos 3x 2(cos 4x sin x)  3

2  5  9 5 phương trình vô nghiệm

4 Phương trình 3 cos x sin x 1 cos(x ) 1

7 Phương trình 3sin x 1sin 3x 3 cos 3x

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin x) cos(3 sin x)   2 tan sin x 1 1

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sin x   3 1 cos x  2 2 sin 2x

2 3 sin x 5 cos x 2 cos 2x2  2  4 sin 2x

3 5sin x 2 3 1 sin x tan x     2 4 2 x 2 2x