Một phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằng

Một phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằng

2.1 Thuªt to¡n tu¦n tü v  sü hëi tö 242.2 Thuªt to¡n song song v  sü hëi tö 33

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  sü ch¿b£o nghi¶m kh­c cõa th¦y gi¡o GS TSKH L¶ Dông M÷u (Tr÷íng ¤i håcTh«ng Long H  Nëi) Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t ¸nth¦y

T¡c gi£ công xin k½nh gûi líi c£m ìn ¸n cæ gi¡o PGS.TS Nguy¹n ThàThu Thõy còng c¡c th¦y, cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc cao håc 2016

- 2018, nhúng ng÷íi ¢ t¥m huy¸t gi£ng d¤y v  trang bà cho t¡c gi£ nhi·uki¸n thùc cì sð

Xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, khoa To¡n - TinTr÷íng HKH, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trongqu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± çng nghi»p v  c¡c th nh vi¶ntrong lîp cao håc to¡n K10A ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n, gióp ï tæi trongthíi gian håc tªp v  qu¡ tr¼nh l m luªn v«n

Tuy b£n th¥n câ nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n

câ h¤n n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât R§t mong ÷ñc sü ânggâp quþ b¡u cõa Quþ th¦y, cæ còng to n thº b¤n åc

T¡c gi£

LÍI NÂI †U

Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., i v  chu©n

k.k t÷ìng ùng Cho C l  mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong H v  f l  song

h m tø C × C v o R sao cho f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ C Trong luªn v«n n y

ta s³ x²t b i to¡n c¥n b¬ng sau ¥y, ÷ñc kþ hi»u l  EP(C, f ):

T¼m x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1)

B i to¡n EP(C, f ) cán ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc Ky Fan º ghi nhªn sü

âng gâp cõa æng trong l¾nh vüc n y

B§t ¯ng thùc (1) l¦n ¦u ti¶n, n«m 1955, ÷ñc Nikaido v  Isoda dòngtrong trá chìi khæng hñp t¡c N«m 1972, Ky Fan gåi (1) l  b§t ¯ng thùcminimax v  ÷a ra mët ành lþ v· sü tçn t¤i nghi»m cho b i to¡n n y trongkhæng gian húu h¤n chi·u Ngay trong n«m â, ành lþ n y ÷ñc mð rëng ratrong khæng gian væ h¤n chi·u bði Br²sis v  Stampacchia N«m 1984, L.D.Muu gåi (1) l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  nghi¶n cùu t½nh ên ànhcho b i to¡n n y N«m 1992, l¦n ¦u ti¶n (1) ÷ñc gåi l  b i to¡n c¥n b¬ngtrong t i li»u [9]

C¡c nghi¶n cùu v· b i to¡n c¥n b¬ng câ thº chia theo hai h÷îng ch½nhbao gçm nhúng nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c thuªt to¡n gi£i b ito¡n c¥n b¬ng Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ ÷a ra nhi·u ph÷ìng ph¡p º gi£i

b i to¡n c¥n b¬ng ch¯ng h¤n nh÷ ph÷ìng ph¡p chi¸u v  c¡c bi¸n d¤ng cõa

nâ Tuy nhi¶n, º t«ng c÷íng sü hi»u qu£ ng÷íi ta ¢ nghi¶n cùu c¡c ph÷ìngph¡p t¡ch(splitting method) º gi£i b i to¡n c¥n b¬ng

Möc ½ch cõa b£n luªn v«n n y l  giîi thi»u nhúng ki¸n thùc cì b£n nh§tcõa b i to¡n c¥n b¬ng v  tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p t¡ch gi£i mët lîp b ito¡n c¥n b¬ng mîi ÷ñc cæng bè g¦n ¥y

Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng, k¸t luªn v  danh möc c¡c

t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n li¶n quan ¸n · t i C¡cv§n · li¶n quan ¸n sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n

c¥n b¬ng công ÷ñc · cªp ¸n.

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y hai thuªt to¡n t¡ch gi£i b i to¡n c¥n b¬ng trong âsong h m l  têng cõa hai song h m Thuªt to¡n ¦u l  mët thuªt to¡n t¡chtu¦n tü, thuªt to¡n sau l  mët thuªt to¡n t¡ch song song

xn → x: D¢y {xn} hëi tö m¤nh tîi x;

xn * x: D¢y {xn} hëi tö y¸u tîi x;

x := y: Ngh¾a l , x ÷ñc ành ngh¾a b¬ng y;

PC(x): H¼nh chi¸u cõa x l¶n C

thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

1 hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

2 hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H;

3 hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈R, ∀x, y ∈ H;

4 hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H

÷ñc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert

Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert

V½ dö 1.1 L2[a,b] l  khæng gian c¡c h m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch tr¶n [a,b]vîi f ∈ L2[a,b] sao cho Rb

v  chu©n

kf kL2 [a,b] =

Tr¶n H câ hai kiºu hëi tö ch½nh sau:

ành ngh¾a 1.2.(xem [4]) X²t d¢y {xn}n≥0 v  x thuëc khæng gian Hilbertthüc H Khi â:

• D¢y {xn} ÷ñc gåi l  hëi tö m¤nh tîi x, kþ hi»u xn → x, n¸u nh÷

• N¸u {xn} hëi tö m¤nh ¸n x th¼ công hëi tö y¸u ¸n x

• Måi d¢y hëi tö m¤nh (y¸u) ·u bà ch°n v  giîi h¤n theo sü hëi tö m¤nh(y¸u) n¸u tçn t¤i l  duy nh§t

• N¸u khæng gian Hilbert thüc H l  khæng gian húu h¤n chi·u th¼ sü hëi

X²t C l  tªp con kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H

ành ngh¾a 1.3.(xem [10]) Tªp C trong khæng gian Hilbert thüc H ÷ñcgåi l  mët tªp lçi n¸u

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

ành ngh¾a 1.4.(xem [10]) iºm a ÷ñc gåi l  iºm bi¶n cõa C n¸u måil¥n cªn cõa a ·u câ iºm thuëc C v  iºm khæng thuëc C;

Tªp C ÷ñc gåi l  tªp âng n¸u C chùa måi iºm bi¶n cõa nâ;

Tªp C ÷ñc gåi l  mët tªp compact n¸u C l  mët tªp âng v  bà ch°n

ành ngh¾a 1.5.(xem [10]) Cho C l  mët tªp lçi cõa khæng gian Hilbert

H v  x ∈ C

Nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa C ÷ñc kþ hi»u v  ành ngh¾a bði:

NC(x) := {w| hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

ành ngh¾a 1.6.(xem [10]) X²t h m f : H → R∪ {+∞} Khi â:

(i) H m f ÷ñc gåi l  h m lçi tr¶n H n¸u

Ta nâi δC l  h m ch¿ cõa C Do C lçi n¶n δC l  h m lçi

3 H m kho£ng c¡ch Gi£ sûC l  mët tªp âng, kh¡c réng H m kho£ng c¡ch

dC(y) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

dC(y) = inf

x∈Ckx − yk

Khi â, n¸u C l  tªp lçi th¼ dC l  h m lçi.

Thªt vªy, x²t x, y ∈ H v  λ ∈ (0, 1) b§t ký °t z = λx + (1 − λ)y Theo

ành ngh¾a tçn t¤i c¡c d¢y {xk} , {yk} trong C sao cho

Kþ hi»u h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C l  PC(y) Khi â, π = PC(y)

Ti¸p theo ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa h¼nh chi¸uxuèng mët tªp lçi âng Sau â ta s³ kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t cì b£n cõato¡n tû chi¸u ÷ñc sû döng trong ch÷ìng sau cõa luªn v«n

M»nh · 1.2.(xem [10]) Gi£ sû C l  lçi, âng kh¡c réng trong H Khi â:(i) Vîi måi y ∈ H, π ∈ C hai t½nh ch§t sau t÷ìng ÷ìng:

(iv) nh x¤ y 7→ PC(y) câ c¡c t½nh ch§t sau:

(a) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, ∀y (t½nh khæng gi¢n);

(b) hPC(x) − PC(y), x − yi ≥ kPC(x) − PC(y)k2 (t½nh çng bùc)

Chùng minh

(i) Gi£ sû câ (a), tùc l  π l  h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C L§y x ∈ C °t

xλ := λx + (1 − λ)π

Do C lçi n¶n xλ ∈ C vîi måi λ ∈ (0, 1) Theo ành ngh¾a h¼nh chi¸u ta câ

Chùng minh Thªt vªy, °t d = inf

u∈Ckx − uk Khi â, tçn t¤i {un} ⊂ C saocho kx − unk −→ d, n −→ ∞ Tø â ta câ

Suy ra u = v Vªy tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk = infu∈C kx − uk

(iv) (a) Theo ph¦n (ii) ¡nh x¤ x 7→ PC(x) x¡c ành kh­p nìi.

Do z − PC(z) ∈ NC(PC(z)) vîi måi z, ¡p döng vîi z = x v  z = y, ta câ

Kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x l  ∂f (x)

Khi ∂f (x) 6= ∅ th¼ ta nâi h m f kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i iºm x

f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n mët tªp n¸u f kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i måi

Ta câ m»nh · sau nâi l¶n t½nh kh£ d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi

M»nh · 1.3.(xem [10]) N¸u f : H → R l  h m lçi th¼ ∂f (x) 6= ∅ vîi måi

x ∈ X hay l  f kh£ d÷îi vi ph¥n kh­p nìi

ành ngh¾a 1.8.(xem [10]) H mf : H → R ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i

mët iºm x, n¸u vîi måi d¢y xk ⊂ E; xk → x ta câ lim

H m f ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i mët iºm x n¸u nh÷ nâ vøa nûa li¶n töc tr¶n

v  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x

Khi E l  to n khæng gian, ta nâi ìn gi£n l  nûa li¶n töc d÷îi, nûa li¶n töctr¶n hay li¶n töc

ành ngh¾a 1.9.(xem [10]) Mët h m sè thüc ϕ ÷ñc gåi l  tüa lçi tr¶n tªplçi C, n¸u vîi måi sè thüc γ tªp mùc d÷îi

{x ∈ C|ϕ(x) ≤ γ}

lçi T÷ìng tü, h m mët h m ϕ ÷ñc gåi l  tüa lãm tr¶n C, n¸u −ϕ l  h mtüa lçi tr¶n C

N¸u ϕ tüa lçi tr¶n C th¼ ∀x, y ∈ C v  λ ∈ [0, 1] ta câ

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max {ϕ(x), ϕ(y)} ;

T÷ìng tü, n¸u ϕ tüa lãm tr¶n C th¼ ∀x, y ∈ C v  λ ∈ [0, 1] ta câ

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ min {ϕ(x), ϕ(y)}

C¡c ành ngh¾a v· t½nh ìn i»u cõa song h m v  ¡nh x¤ ÷ñc sû döng trongvi»c tr¼nh b y t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (xem [1], [7])

Trong c¡c ành ngh¾a sau x²t C l  tªp kh¡c réng, âng, lçi trong khæng gianHilbert thüc H.

ành ngh¾a 1.10.(xem [7]) Gi£ sû f : C × C → R Ta nâi

(i) f ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0, n¸u

1 f (x, y) := h(x) − h(y) l  ìn i»u nh÷ng khæng ìn i»u ch°t

2 g(x, y) := h(x) − h(y) − 1 l  ìn i»u ch°t nh÷ng khæng ìn i»u m¤nh.Thªt vªy, x²t g(x, y) + g(y, x) = −2 < 0 vîi måi x, y ∈ H n¶n g ìn

Cho t → ∞ th¼ i·u ki»n tr¶n ch¿ x£y ra khi β ≤ 0 (m¥u thu¨n) 2

C¡c kh¡i ni»m v· ìn i»u èi vîi song h m câ li¶n quan ch°t ch³ vîi c¡ckh¡i ni»m v· ìn i»u cõa ¡nh x¤ (to¡n tû), r§t quen thuëc trong gi£i t½chphi tuy¸n

ành ngh¾a 1.11.(xem [1-7]) nh x¤ F : C → H ÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0, n¸u

Tø ành ngh¾a ta câ (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv)

V½ dö 1.5 Cho C l  tªp lçi, h m f : C →R Khi â:

• N¸u f l  h m kh£ d÷îi vi ph¥n, lçi tr¶n C th¼ ∂f l  ìn i»u tr¶n C.Thªt vªy, l§y tòy þ x, y ∈ C v  u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) theo ành ngh¾a cõad÷îi vi ph¥n n¶n

N¸u F l  L - Lipschitz tr¶n C th¼ vîi méi x, y ∈ C, f (x, y) = hF (x), y − xi

câ t½nh ch§t li¶n töc kiºu Lipschitz vîi h¬ng sè c1 = c2 = L

2 tr¶n C

Do vªy, f l  li¶n töc câ t½nh ch§t kiºu Lipschitz tr¶n C 2

1.2 Sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa b i to¡n c¥n

b¬ng

Trong ph¦n n y ta nh­c l¤i mët sè ành lþ quen thuëc trong gi£i t½ch phituy¸n C¡c ành lþ n y l  cæng cö s­c b²n º nghi¶n cùu, °c bi»t l  º chùngminh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

B i to¡n c¥n b¬ng

Ta nh­c l¤i b i to¡n c¥n b¬ng (cán ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc Ky Fan):X²t H l  khæng gian Hilbert thüc; C l  tªp lçi, âng, kh¡c réng cõa H v 

f : C × C →R∪ {+∞} Khi â, b i to¡n c¥n b¬ng l  b i to¡n

T¼m x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP (C, f )

Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc kþ hi»u l  Sol(C, f )

D÷îi ¥y ta s³ luæn gi£ thi¸t f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ C Mët song h mtho£ m¢n i·u ki»n n y ÷ñc gåi l  song h m c¥n b¬ng C ÷ñc gåi l  tªpch§p nhªn ÷ñc hay l  tªp chi¸n l÷ñc v  f l  h m c¥n b¬ng cõa b i to¡n

EP(C, f )

Ti¸p theo ta x²t sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa b i to¡nc¥n b¬ng

º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng, ta c¦n ¸n c¡c

ành lþ iºm b§t ëng trong gi£i t½ch h m l  ành lþ Brouwer º ti»n theodãi, ta nh­c l¤i c¡c ành lþ n y trong khæng gian Euclide húu h¤n chi·u, m°c

dò c¡c ành lþ n y ¢ ÷ñc chùng minh trong khæng gian væ h¤n chi·u.

Ta công s³ sû döng ành lþ quen thuëc sau, l  ành lþ cüc ¤i Berge

ành lþ Cho X, Y l  c¡c khæng gian tæ-pæ, F : X → 2Y l  ¡nh x¤ nûali¶n töc tr¶n tr¶n X sao cho F (x) compact, hìn núa F (X) compact Gi£ sû

f : X × X → R l  h m sè nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X Khi â h m gi¡ trà tèi

Düa v o ành lþ iºm b§t ëng Brouwer v  ành lþ cüc ¤i Berge, ta câm»nh · sau nâi v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

M»nh · 1.4 Cho C l  mët tªp lçi, compact kh¡c réng v  song h m c¥nb¬ng f : C x C → R∪ {+∞} câ c¡c t½nh ch§t:

(i) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C;

(ii) f (x, ) lçi, nûa li¶n töc d÷îi v  kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C vîi måi

x ∈ C

Khi â, b i to¡n EP(C, f ) câ nghi»m

Chùng minh Vîi méi x ∈ C, ta gåi S(x) l  tªp nghi»m cõa b i to¡n

min {f (x, y) : y ∈ C} (CO)

Do C compact v  f (x, ) nûa li¶n töc d÷îi n¶n theo ành lþ Weistrass, b ito¡n n y tçn t¤i nghi»m Hìn núa, do C lçi, compact, f (x, ) lçi, n¶n S(x)

lçi, compact Theo ành lþ cüc ¤i Berge, ¡nh x¤ S nûa li¶n töc tr¶n Vîi S

l  mët ¡nh x¤ tø C v o C Vªy theo ành lþ iºm b§t ëng Brouwer, tçnt¤i x∗ ∈ C tho£ m¢n x∗ ∈ S(x∗)

B¥y gií ta s³ ch¿ ra x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) Thªtvªy, do f (x, ) lçi, kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C, theo i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷ucõa quy ho¤ch lçi, ta câ

0 ∈ ∂2f (x∗, x∗) + NC(x∗)

Theo ành ngh¾a cõa d÷îi vi ph¥n v  nân ph¡p tuy¸n, tø ¥y ta câ v∗ thuëc

Tçn t¤i tªp compact B sao cho

C ∩ B 6= ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0

Khi â, b i to¡n EP(C, f ) câ nghi»m

Chùng minh Theo m»nh · tr¶n, b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp compact

C ∩ B vîi h m c¥n b¬ng f câ nghi»m, tùc l  tçn t¤i x∗ ∈ C ∩ B Tø i·uki»n bùc (C1) v  t½nh lçi cõa tªp C, ta suy ra nghi»m x∗ công l  nghi»m cõa

M»nh · tr¶n l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ sau ¥y cõa Ky Fan

ành lþ (Ky Fan) Cho f : C × C → R∪ {+∞} l  mët song h m c¥n b¬ng

câ c¡c t½nh ch§t sau:

(i) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C;

(ii) f (x, ) tüa lçi tr¶n C vîi måi x ∈ C

Khi â, b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) câ nghi»m, n¸u nh÷ C compact, ho°c

i·u ki»n bùc (C1) tho£ m¢n

B¥y gií ta x²t t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

M»nh · 1.5 Cho C l  tªp lçi, âng kh¡c réng v  f : C × C →R∪ {+∞}

l  song h m c¥n b¬ng Khi â:

(i) N¸u f l  ìn i»u ch°t tr¶n C, th¼ b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) cânhi·u nh§t mët nghi»m;

(ii) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C v  f (x, ) lçi, nûa li¶n töcd÷îi vîi méi x ∈ C v  f ìn i»u m¤nh tr¶n C, th¼ b i to¡n EP(C, f ) luæn

câ v  câ duy nh§t nghi»m

Chùng minh

(i) Gi£ sû EP(C, f ) câ hai nghi»m x∗ v  y∗ Khi â f (x∗, y∗) ≥ 0 v 

f (y∗, x∗) ≥ 0 Th¸ nh÷ng, n¸u f (x∗, y∗) ≥ 0, th¼ theo t½nh ìn i»u ch°t, taph£i câ f (y∗, x∗) < 0 i·u n y m¥u thu¨n vîi f (y∗, x∗) ≥ 0

(ii) L§y x0 ∈ C b§t ký Do f (x0, ) nûa li¶n töc d÷îi v  f (x0, x0) = 0,n¶n tçn t¤i µ sao cho

f (x0, v) ≥ µ, ∀v ∈ B(x0, 1) ∩ C,

trong â B(x0, 1) kþ hi»u qu£ c¦u âng t¥m x0, b¡n k½nh b¬ng 1 Ta s³ ch¿

ra f tho£ m¢n i·u ki»n bùc (C1)

Thªt vªy, vîi b§t ký x ∈ C\B(x0, 1), th¼ λ = 1

kx0 − xk < 1.Vªy

ra tø ph¦n (i) do t½nh ìn i»u m¤nh k²o theo ìn i»u ch°t

B i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) câ mèi li¶n h» ch°t ch³ vîi b i to¡n sau,

÷ñc gåi l  b i to¡n èi ng¨u cõa EP(C, f )

T¼m y∗ ∈ C : f (x, y∗) ≤ 0, ∀x ∈ C (DEP )

Ta kþ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n èi ng¨u l  DS Mèi quan h» giúa hai

b i to¡n n y ÷ñc thº hi»n ð m»nh · d÷îi ¥y

M»nh · 1.6 Gi£ sû f : C × C → R∪ {+∞} l  song h m c¥n b¬ng Khi

â:

(i) N¸u f (x, ) l  lçi tr¶n C vîi måi x ∈ C th¼ tªp nghi»m DS lçi;

(ii) N¸u f gi£ ìn i»u tr¶n C, f (., y) l  nûa li¶n töc tr¶n theo méi tia(b¡n li¶n töc) vîi méi y ∈ C v  f (x, ) lçi vîi méi x ∈ C th¼

Gi£ sû x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n èi ng¨u, tùc l  f (x, x∗) ≤ 0 vîi måi

x ∈ C N¸u x∗ khæng ph£i l  nghi»m cõa b i to¡n gèc (EP), th¼ s³ tçn t¤i

1.3 C¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n c¥n b¬ng

V· m°t h¼nh thùc b i to¡n c¥n b¬ng kh¡ ìn gi£n, tuy nhi¶n nâ bao h m

÷ñc nhi·u lîp b i to¡n quan trång kh¡c nhau thuëc nhi·u l¾nh vüc D÷îi

¥y l  mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n n y

1 B i to¡n tèi ÷u X²t b i to¡n

min {ϕ(x)|x ∈ C}

°t

f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x)

Khi â

ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Vªy b i to¡n tèi ÷u tr¶n l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n (EP)

2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n atrà sau:

Cho C l  mët tªp lçi âng, kh¡c réng trong H v  F : C → H l  mët ¡nhx¤ a trà ( tùc l  vîi méi x ∈ C, gi¡ trà F (x) l  mët tªp kh¡c réng) X²t b ito¡n:

T¼m x∗ ∈ C, v∗ ∈ F (x∗) sao cho hv∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (V I)

Ta câ thº minh ho¤ b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) d÷îi gâc ë mæ h¼nh kinht¸ nh÷ sau: Gi£ sû C l  tªp hñp c¡c chi¸n l÷ñc (tªp r ng buëc) c¡c ph÷ìng

¡n s£n xu§t câ thº lüa chån Vîi méi ph÷ìng ¡n s£n xu§t x ∈ C, tªp (¡nhx¤ gi¡) F (x) l  tªp hñp c¡c gi¡ th nh chi ph½ câ thº, ùng vîi ph÷ìng ¡n x.Khi â b i to¡n (V I) ch½nh l  b i to¡n t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t x∗ trong tªpchi¸n l÷ñc C v  gi¡ v∗ ùng vîi x∗ sao cho chi ph½ l  th§p nh§t Trong tr÷ínghñp ¡nh x¤ gi¡ khæng phö thuëc v o ph÷ìng ¡n s£n xu§t, tùc l  F (x) = c

vîi måi x, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) trð th nh b i to¡n quy ho¤ch quenthuëc

mincTx : x ∈ C (LP )

Trong b i to¡n quy ho¤ch n y, vec-tì gi¡ c khæng phö thuëc v o ph÷ìng ¡ns£n xu§t

V· m°t h¼nh håc, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) l  b i to¡n t¼m mët iºm

x∗ ∈ C sao cho tªp F (x∗) câ mët ph¦n tû l  vec-tì ph¡p tuy¸n (ngo i) cõatªp C t¤i iºm x∗

Gi£ sû vîi méi x ∈ C, tªpF (x) lçi, compact kh¡c réng Vîi méix, y ∈ C,

º mæ t£ b i to¡n (V I) v· b i to¡n c¥n b¬ng, ta °t

Mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n (V I) l  khi C = Rn+ v  F

ìn trà Khi â b i to¡n (V I) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n sau, ÷ñc gåi l  b ito¡n bò:

T¼m x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, xTF (x) = 0 (CP )

Ta ch¿ ra r¬ng b i to¡n (CP) n y t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n:

T¼m x ≥ 0 sao chohF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ≥ 0