Viết phương trình mặt cầu | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình của mặt cầu.. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.2[r]

Trang 1

 Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:

Để viết phương trình mặt cầu ( ),S ta cần tìm tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R

Bán kín : h

I a b c

R







 Phương trình mặt cầu (S) dạng 2:

( ) :S x y z 2ax 2by2cz  d 0

Với a2b2c2 d 0 là phương trình mặt cầu dạng 2

Tâm ( ; ; ),I a b c bán kính: R a2b2 c2 d 0

BÀI TẬP MẪU

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S có tâm là điểm I0;0; 3  và đi qua điểm M4; 0;0 Phương trình của  S là

A. 2 2  2

3 25

x y  z 

C. 2 2  2

3 25

x y  z 

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình của mặt cầu

2 HƯỚNG GIẢI:

Bán kín : h

I a b c

R







B2: RIM  4 0 20 0 20 3 2  5

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Theo bài ta có bán kính của mặt cầu   S là RIM  4 0 20 0 20 3 2 5

Từ đó ta có phương trình mặt cầu   2 2  2

S x  y  z 

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trang 2

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 33.1: Viết phương trình mặt cầu có tâmI1; 2;3và đi qua giao điểm của đường thẳng

1

3

 





 



  



với mặt phẳngOxy

A. (x1)2(y2)2(z3)2 27 B. (x1)2(y2)2(z3)2 27

C. (x1)2(y2)2(z3)2 3 3 D. (x1)2(y2)2(z3)2 3 3

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng Oxyzlà : z 0

Gọi Ad(Oxyz)   t 3 A( 2;5; 0)

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là RIA ( 3) 232 ( 3)2 3 3

Phương trình mặt cầu S tâm I1; 2;3 và bán kính R  3 3 là

 2

(x1) (y2)  z3 27

Câu 33.2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm là điểm I  1;2; 3  và tiếp xúc với trục

Ox Phương trình của  S là:

A.   2  2 2

x  y  z  B.  2  2 2

x  y   z 

C.   2  2 2

x  y  z   D.  2  2 2

x  y  z 

Lời giải Chọn C

Gọi A là hình chiếu của I lên trục OxA(-1;0;0)

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là RIA 02 ( 2)2 ( 3)2  13

Phương trình mặt cầu S tâm I  1;2; 3 và bán kính  R 13 là

 2

(x1) (y2)  z3 13

Câu 33.3: Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3  và tiếp xúc với mặt phẳng  P :x2y2z 1 0 có phương

trình:

A  12  22  32 4

9

Trang 3

C.  12  22  32 2.

3

 Bán kính mặt cầu là :  ,   1 2.2 2.( 3) 12 2 2 2

3

1 2 2

    

 

( 1) ( 2) ( 3)

9

Câu 33.4: Mặt cầu  S tâm I2;1;5 và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2

1 : ( 1)   3

S x y z có phương trình:

A

( 2) ( 1) ( 5) 12 ( 2) ( 1) ( 5) 48





( 2) ( 1) ( 5) 2 3 ( 2) ( 1) ( 5) 4 3





C

( 2) ( 1) ( 5) 12 ( 2) ( 1) ( 5) 48





( 2) ( 1) ( 5) 2 3 ( 2) ( 1) ( 5) 4 3





Từ   2 2 2

1 : ( 1)    3

S x y z Tâm I1(1; 0; 0)và bán kính r 1 3

Do II1 27 3r1 vậy điểm I(2;1;5) nằm ngoài mặt cầu   2 2 2

1 : ( 1)   3

Ta có pt đường thẳng II là 1

1

5

y t

z t

 





 



  

 Gọi AII1( )S1 A(1  t; t; 5 )t Do A( )S1 nên

2 1 5

3 3 3

25 3

3 3 3





 Bán kính mặt cầu là : R2 3

 Phương trình mặt cầu là: (x2)2(y1)2(z5)212

 Bán kính mặt cầu là : R4 3

(x2) (y1) (z5) 48

Câu 33.5: Mặt cầu  S tâm I1; 2; 4 và tiếp xúc với mặt phẳng   2 2 2

S x y  z  có

phương trình:

A x12y22z423 B. x12y22z42  3

C. x12y22z423 D. x12y22z42  3

Trang 4

S x y  z  Tâm I1( 1;0; 2) và bán kính R 1 3 3

Do II12 33 3R1 vậy điểm I1; 2; 4 nằm trong mặt cầu  S1

 S và  S tiếp xúc 1 1 1 3 3 2 3 5 3

3

R

R R II R

R

 





 Bán kính mặt cầu là : R 3

(x1) (y2) (z4) 3

Câu 33.6: Mặt cầu  S tâm I   1; 2;3  và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình:

A.  x  1 2  y  2 2  z  3 2  1 B.  x  1 2  y  2 2  z  3 2  14

C.  x  1 2  y  2 2  z  3 2  1 D.  x  1 2  y  2 2  z  3 2  14

Lời giải ChọnC

 PT mp ( Oyz x  ) : 0

( 1) 0 0

(x1) (y2) (z3) 1

Câu 33.7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;3; 2 ,  B3;5;0 Phương trình mặt cầu đường

kính AB là:

A. (x2)2(y4)2(z1)23 B. (x2)2(y4)2(z1)212

C. (x2)2(y4)2(z1)2 12 D. (x2)2(y4)2(z1)2 3

 Trung điểm của đoạn thẳng AB là I2; 4;1, AB  2222 ( 2)2 2 3

 Mặt cầu đường kính AB có tâm I2; 4;1, bán kính 3

2

 AB

R

 Vậy phương trình của mặt cầu là: 2 2 2

(x2) (y4) (z1) 3

Trang 5

Câu 33.8: Trong không gian Oxyz, Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R=3 và tiếp xúc với

mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0)

A. x2y2z24x2y6z 5 0 B. x2y2z24x2y6z 5 0

C. 2 2 2

4 2 6 11 0

 Giả sử mặt cầu (S) có tâm I a b c ; ; ,

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0) nên M là hình chiếu của I a b c ; ;  lên mp (Oxy) suy ra I2;1;c

Ta có mp(Oxy) có pt là z 0

Ta có ( , (Ox )) 3

1

c

d I y    c

 Với c 3

Mặt cầu I2;1;3, bán kính R3 có phương trình là:

(x2) (y1) (z3)  9 x y z 4x2y6z 5 0

 Với c  3

Mặt cầu I2;1; 3 , bán kính R3 có phương trình là:

(x2) (y1) (z3)  9 x y z 4x2y6z 5 0

Câu 33.9: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(1; 2;3), B(4; 6; 2) và có tâm I thuộc trục Ox là

A. ( ) : (S x7)2y2z2 6 B. ( ) : (S x7)2y2z236

C. ( ) : (S x7)2y2z2 6 D. ( ) : (S x7)2y2z249

Lời giải Chọn D

Vì IOx nên gọi I x( ; 0; 0)

Do ( )S đi qua A B; nên IAIB  (1x)2 4 9 (4x)236 4 x7

Suy ra I(7;0; 0)RIA7

Do đó ( ) : (S x7)2y2z249

Câu 33.10: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(2;0; 2), ( 1;1; 2) B  và có tâm I thuộc trục Oy là

A. ( ) :S x2y2z22y 8 0 B. ( ) :S x2y2z22y 8 0

Trang 6

Vì IOy nên gọi I(0; ; 0).y

Do ( )S đi qua A B; nên IAIB  4 ( y)24 1 (1 y)24 y 1

Suy ra I(0; 1; 0) RIA3

( ) :S x  y1 z 9 x y z 2y 8 0

Câu 33.11: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(1; 2; 4), (1; 3;1), (2; 2;3) B  C và tâm I(Oxy) là

A. (x2)2 (y1)2 z2 26 B.(x 2)2(y1)2z2 9

C. (x2)2 (y1)2 z2 26 D.(x2)2(y1)2z2 9

Vì I (Oxy) nên gọi I x y( ; ;0) Ta có: IA IB

IA IC

 







 



(x 2) (y 1) z 26

Câu 33.12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1)

A       



( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 3) ( 3) ( 3) 9





( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 3) ( 3) ( 3) 9

C

( 1) ( 1) ( 1) 3 ( 3) ( 3) ( 3) 1





( 1) ( 1) ( 1) 3 ( 3) ( 3) ( 3) 1





Gỉa sử I a b c ; ;  là tâm mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm

(2;1;1)

Vì mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1) có các thành phần tọa độ đều dương nên abcr

Phương trình mặt cầu ( )S là (xa)2 (y a)2  (z a)2 a2

Trang 7

Vì mặt cầu ( )S đi qua điểm M(2;1;1) nên

(2a)  (1 a)  (1 a) a 2a 8a 6 0

 



1 ( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 1

3 ( ) : ( 3) ( 3) ( 3) 9

Câu 33.13: Cho mặt cầu  S có tâm I1; 2; 4  và thể tích bằng 36  Phương trình của  S là

A x12y22z429 B. x12y22z42 9

C. x12y22z429 D. x12y22z423

Ta có: 4 3 4 3

V   R   R   R

Khi đó  : Tâm: (1; 2; 4)

Bán kính: 3

I S

R













  S : x 12 y 22 z 42 9

Câu 33.14: Cho mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 và diện tích bằng 32  Phương trình của  S là

A x12y22z32 16 B. x12y22z3216

C. x12y22z328 D. x12y22z328

Ta có: S4R24R232 R 8

Khi đó  : Tâm: 1; 2;3 

Bán kính: 8

I S

R











  S : x 12 y 22 z 32 8

Câu 33.15: Cho mặt cầu  S có tâm I(1; 2;0) Một mặt phẳng ( )P cắt  S theo giao tuyến là một đường

tròn  C Biết diện tích lớn nhất của  C bằng 3  Phương trình của  S là

A. 2  2 2

x  y z 

Trang 8

C. x12y22z12 9 D.  2  2 2

x  y z 

 C lớn nhất khi ( )P qua tâm I của ( ).S

Ta có: SR2 3R 3

Khi đó Tâm: 1; 2; 0 

( ) :

Bán kính: 3

I S

R











   2  2 2

Câu 33.16: Cho mặt cầu  S có tâm I1;1;1 Một mặt phẳng ( )P cắt  S theo giao tuyến là một đường

tròn  C Biết chu vi lớn nhất của  C bằng 2 2 Phương trình của  S là

A x12y12z124 B. x12y12z122

C. x12y12z12 4 D. x12y12z12 2

Lời giải Chọn D

Đường tròn  C đạt chu vi lớn nhất khi  C đi qua tâm I của mặt cầu  S

Ta có: C2R2 2R 2

Khi đó Tâm: 1;1;1 

( ) :

Bán kính: 2

I S

R











  S : x 12 y 12 z 12 2

Câu 33.17: Cho I1; 2;3  Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho

2 3

AB 

Trang 9

A. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  16

B. ( x  1 ) 2  ( y  2 ) 2  ( z  3 ) 2  20

C. ( x  1 ) 2  ( y  2 ) 2  ( z  3 ) 2  25 D. ( x  1 ) 2  ( y  2 ) 2  ( z  3 ) 2  9

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I (1; -2;3) trên trục Ox

 M (1;0;0) và M là trung điểm của AB

Ta có: 1 12 0 22 0 32 13, 3

2

AB

IMA

M IA IM AM    R Phương trình mặt cầu cần tìm là: x12y22z32 16

Câu 33.18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu đi qua

2 ;3 ; 3 ,  2; 2 ; 2 ,  3 ;3 ; 4

A  B  C và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy 

Giả sử I a b ; ;0(Oxy và r là tâm và bán kính của mặt cầu ) ( )S và đi qua

2 ;3 ; 3 ,  2; 2 ; 2 ,  3 ;3 ; 4

Phương trình mặt cầu ( )S là (xa)2(y b )2 z2 r2

Vì mặt cầu ñi qua A2 ;3 ; 3 ,   B2; 2 ; 2 ,   C3 ;3 ; 4 nên



Vậy phương trình mặt cầu ( )S là (x6)2  (y 1)2z2 29

Câu 33.19: Trong không gian O xyz cho 4 điểm A1; 2; 4 ,   B1; 3;1 ,   C2; 2;3 ,  D1; 0; 4 Viết

phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A.  2  2 2

Trang 10

C.  2  2 2

S x y z  ax by czd a b c d là phương trình mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD Thay lần lượt tọa độ của A B C D, , , vào phương trình ta được

0

21

c

a b c d

d





          



Do đó: I  2;1; 0 và bán kính R a2b2c2d  26

Vậy (S) :  2  2 2

x  y z 

Câu 33.20: Viết phương trình mặt cầu   S có tâm I 1; 0;3   và cắt : 1 1 1

A.  2 2  2 40

9

C.  2 2  2 2 10

3

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương 2;1; 2

u và P1; 1;1 d

Ta có: 0; 1; 2  

IP u IP, 0; 4; 2 





Suy ra: d ;  , 20

3





u IP

I d

IAB vuông tại I IAB vuông cân tại I 2d ,  40

3

IA I d 

Vậy (S) :  2 2  2 40

9

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	883,02 KB