Bài tập có đáp án chi tiết về ứng dụng tích phân môn toán lớp 12 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục OxA. A..[r]

Trang 1

Câu 1 [2D3-1] Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

đường cong yf x , trục hoành, các đường thẳng x a x b ;  được xác định bằng công thức nào sau đây?

A

 d

b

a

S f x x

 d

a

b

S f x x

 d

b

a

S f x x

  d

b

a

S f x x

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức

  d

b

a

S f x x

 đáp án D

Câu 2 [2D3-1] Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

(liên tục trên

a b;  ), trục hoành Ox và hai đường thẳng x a x b ;  (a b ) khi đó S được tính theo công

thức nào sau đây?

A

 d

b

a

S f x x

 d

a

b

S f x x

  d

b

a

S f x x

 

2 d

b

a

S f x x

Lời giải Chọn C

Công thức S chính xác là

  d

b

a

S f x x

Chú ý : Công thức

 d

a b

Sf x x

chỉ đúng khi phương trình f x   0 không có nghiệm thuộc

a b;  hoặc nghiệm thuộc khoảng a b;  là nghiêm bội chẵn Hay nói cách khác, chỉ áp dụng công thức này khi f x  mang một dấu trên a b; 

Câu 3 [2D3-2] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai 3

đường thẳng x1, x bẳng bao nhiêu?2

15 4

S 

D

17 4

S 

Cách 1: Ta có

2

3 3

15

x

S x dxx dx 

Cách 2:

2 3 1

15 4

Casio

S x dx  

Chú ý: Dấu trong các dòng máy Casio được bấm bằng tổ hợp phím “SHIFT+hyp”= “Abs”

Câu 4 [2D3-1] Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

1 , 2

yf x yf x và các đường thẳng x a x b a b ,     là công thức nào sau đây?

A

   

1 2

b

a

S f x  f x dx

B

   

2 1

b

a

S  f x  f x dx

Trang 2

C

   

b

a

S  f x  f x dx

D

   

1 2

b

a

S f x f x dx

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức:

   

1 2

b

a

Sf x  f x dx

Đáp án A

Câu 5 [2D3-2] (Chuyên KHTN lần 4) Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số

3 , 2

y x  x y x và các đường thẳng x1,x được xác định bởi công thức nào sau đây?1

1

3 1



 

1

3 1



 



Xét phương trình hoành độ giao điểm:

3

x









Diện tích cần tìm:

Câu 6 [2D3-1] (Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 1) Hãy viết công thức tính diện tích S của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 , trục hoành và đường thẳng 1 x  ?2

A

2 2

1 1 d



1 1 d



1 1 d

S x  x.

Lời giải Chọn B

Xét phương trình x2  1 0 x , suy ra 1

2 2

1 1 d



Chú ý : Ở bài toán này nếu cần tính ra kết quả cụ thể ( không dùng casio ) thì ta phải tách thành hai tích phân Cụ thể

   

1 1 d 1 1 d 1 1 d 1 1 d 1 1 d

(có thể vẽ trục số hoặc phác ra đồ thị để thấy rõ điều này).

Câu 7 [2D3-2] (Đề minh hoạ – lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3

y x  x và đồ thị hàm số y x x  2

A

37

9

81

Lời giải

Trang 3

Chọn A

Xét phương trình x3 x x x  2  x x 2 x 2  0 x0;1; 2 

, suy ra

1 3 2

2 2 d



Cách 1:

1 3 2 2

37

2 d

12

Casio



      .

Cách 2:

37



Câu 8 [2D3-3] Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1 2

x y x





 và các trục toạ

độ Biết ln2

c

S a b 

với , ,a b c là các số nguyên Khi đó tổng a b c  bằng bao nhiêu?

A a b c   4 B a b c   5 C a b c   2 D a b c   3

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

1 2

x y x





 và trục hoành là : 1

2

x

x x



  

Suy ra:







Khi đó

, ,

3

a b c Z

c

Câu 9. [2D3-2] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1 2

x y x





 và các trục tọa độ Chọn kết quả đúng nhất?

A 3ln 6 B

3 3ln

3 3ln 2

3 3ln 1

2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của

1 2

x y x





 và trục hoành y  là: 0

1

2

x

x x



  

Trang 4

Suy ra:

0

1

1 2

x











Bước 1: Nhập

0

1

1 2

x dx x









và gán vào A (SHIFT STO A)

Bước 2: Kiểm tra các phương án

 đáp án D

Chú ý:

+) Thực ra ở Bước 2 sau khi tính

3

2

cũng cho ta biết được đáp án là D

+) Ta cũng có thể bỏ qua Bước 2 khi ta ghi ra nháo kết quả và đối chiếu với các phương án +) Ta có thể giải theo cách không sử dụng Casio (tham khảo Câu 8)

Câu 10 [2D3-2] (Sở GD&ĐT Phú Thọ) Cho hàm số f x x3 3x22x

Tính diện tích S của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục tung, trục hoành và đường thẳng x  3

A

7 4

S 

9 4

S 

11 4

S 

13 4

S 

Phương trình hoành độ giao điểm:

3 2

0

2

x







 



Khi đó:

3

asio

3 2 0

9

2, 75

4

 đáp án D

Câu 11 [2D3-1] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục hoành, đường thẳng x a x b ;  ( như hình vẽ bên)

Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng?

Trang 5

A

 d

b

a

S f x x

B

 d  d

S f x xf x x

C

 d  d

S f x xf x x

D

 d  d

S f x xf x x

Công thức S chính xác trong hình vẽ này là

 d  d

S f x xf x x

-> Đáp án C

Câu 12 [2D3-1] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục hoành, đường thẳng x a x b ;  ( như hình vẽ bên)

Biết

 d 3

c

a

f x x 



và

 d 5

b

c

f x x 



Hỏi S bằng bao nhiêu?

Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có

  d

b

a

S f x x  d  d

f x x f x x

   ( 3) 5 8

  -> đáp án C

Câu 13 [2D3-2] Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 ,  

yf x y g x

và hai đường thẳng x a x b ,  như hình dưới đây

A

S  f x  g x  xg x  f x  x

B

S g x  f x  x f x  g x  x

C

    d

b

a

S g x  f x  x

Trang 6

D

    d

b

a

S  f x  g x  x

Dựa vào hình vẽ cho ta biết:

+ Trên đoạn a c;  : f x  g x 

hay f x  g x 0

+ Trên đoạn c b;  : g x f x  hay g x  f x 0

Do đó:

    d

b a

S g x  f x  x     d

c

a

f x g x x

b

c

f x g x x

    d

c

a

f x g x x

b

c

g x f x x

-> đáp án A

Câu 14. [2D3-2] Tính diện tích S của hình phẳng  H

giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y  ,3x

4

y  x và trục tung

A

2 ln 3

S  

B

2 ln 3

S  

C

2 ln 3

S  

D

2 ln 3

S  

Phương trình hoành độ giao điểm của y  và 3x y 4 x là: 3x 4 x  x 1

1

0

2 ln 3

x

 đáp án D

Câu 15. [2D3-2] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ,y x sin2x,x  ,0

x 

1 2

S  

C S  1. D S 2





Ta có

2



 đáp án D

Câu 16. [2D3-2] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y 4 x và trục

hoành

Trang 7

A

16 3

S 

Phương trình hoành độ giao điểm của y 4 x và trục hoành là: 4 x  0 x4

4



 đáp án B

Câu 17. [2D3-3] (Chuyên Vinh – Lần 1) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ,3

2

y  x và y 0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A

1 2 3

0 1

S x xx x

2 3 0

2 d

S x  x x

C

1 3 0

1

d 2

S  x x

D

1 3 0

S x   x x

Dựa vào hình vẽ ta xét các phương trình hoành độ giao điểm:

3 0 0;

x   x 2 x 0 x và 2 x3 2 x x3 x 2 0  x1

Khi đó, diện tích:

1

2

S x x  x x x x

 đáp án C

Câu 18. [2D3-3] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hai hàm số y 2x,y 4 x

và trục hoành Ox được tính bởi công thức nào dưới đây?

A

S  x x  x x

B

S  x x  x x

0

S  x x x

0

S   x x x

Trang 8

Dựa vào hình vẽ ta xét các phương trình hoành độ giao điểm:

2x  0 x 0; 2

4

10 16 0

x





Diện tích cần tìm là:

S  x x  x x

 đáp án C

Câu 19. [2D3-3] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   1 3

: 4

C y x  x

và tiếp tuyến của đồ thị  C

tại điểm có hoành độ bằng 2

Ta có 3 2  

4

y x  y  

và y  2  , suy ra phương trình tiếp tuyến :0 y2x2

Xét phương trình hoành độ giao điểm :1 3 2 2 2

4 4

x





Suy ra

4 3 2

1

4

Casio



     

 đáp án A

Câu 20. [2D3-3] (Lương Thế Vinh – Hà Nội) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

y ax a

, trục hoành và đường thẳng x a bằng ka2 Giá trị của tham số k bằng bao

nhiêu?

Trang 9

A

7 3

k 

B

4 3

k 

C

12 5

k 

D

6 5

k 

Ta có

2 2

a

S  ax x a x x  a x  a ka  k 

 đáp án B

Câu 21. [2D3-3] Cho số phức  2 

z m   m  i

với m   Gọi  C

là tập hợp các điểm biểu diễn

số phức z trong mặt phẳng tọa độ Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  C và trục

hoành

32 3

S 

C

4 3

S 

D

8 3

S 

Gọi M x y ; 

biểu diễn số phức z m  2m21i

2

1

x m

y m

 



 



Vậy  C

có phương trình y x 24x 3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và trục hoành, ta được :

4 3

3

x





    



1 2 3

4

3

Casio



 đáp án C

Câu 22. [2D3-3] Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x x 2 và trục hoành

Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S

Phương trình hoành độ giao điểm :

2

x

x x

x





    

2

2 0

4

3

Casio

, suy ra số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1.

 đáp án D

Trang 10

Câu 23. [2D3-3] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2my x 2,2mx y 2,m 0

Tìm giá trị của m để S  3

A

3 2

m 

1 2

m 

Ta có

2 2

2

x

m

và 2mxy2  y 2mx (do y 0)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

2

2 2

x x

mx

m







Suy ra

2 2

0

2

m

x

m

Thử từng trường hợp của m ta thấy

3 2

m 

thỏa yêu cầu  đáp án A

để thay như cách làm trên, khi đó ta buộc phải tính tích phân của S như sau:

2

m

2

0

3

m

 đáp án A

Câu 24. [2D3-3] (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 8) Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai

mặt phẳng có phương trình x  và 0 x  Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với 2

trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 2

, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 x Tính thể tích V của phần vật thể B

A

4 3

V 

B

3 3

V 

C V 4 3 D V  3

Một tam giác đều cạnh a có diện tích

2 3 4

a

S 

Do đó tam giác đều cạnh x 2 x có diện tích là:    

2 2 3 4

Trang 11

Suy ra thể tích

2

Casio

 đáp án B

Câu 25. [2D3-3] Trong không gian Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  và x0  , biết 

rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x ,0 x    là một tam giác đều cạnh là 2 sin x Tính thể tích của vật thể đó.

Một tam giác đều cạnh a có diện tích

2 3 4

a

S 

Do đó tam giác đều cạnh 2 sin x có diện tích là:   4sin 3 3 sin

4

x

Suy ra thể tích

 

 đáp án C

Câu 26. [2D3-3] (Đề Tham Khảo – Lần 3) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt

phẳng x  và 1 x  , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại 3

điểm có hoành độ x 1 x 3

thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x

và 3x  2

124 3

C

124 3

V 

D V 32 2 15 

Diện tích thiết diện của hình chữ nhật là : S x  3x 3x2 2

Khi đó  

2

V  x x x x  x  

 đáp án C

Câu 27. [2D3-1] (Đề Minh Họa – Lần 1) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra

khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục Ox và hai đường thẳng

,

x a x b a b    , xung quanh trục Ox

Trang 12

A

 

2 d

b

a

V f x x

B

 

2 d

b

a

V f x x

C

 d

b

a

V f x x

D

  d

b

a

V f x x

Dựa vào công thức tính thể tích khối tròn xoay ta có:

 

2 d

b a

V f x x

 đáp án A

Câu 28. [2D3-1] (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 2) Cho hình  D

giới hạn bởi các đường

 

yf x

,y 0, x  , x e  Quay  D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V Khi đó V được xác định bằng công thức nào sau đây?

A

  d

e



 

B

 

2 d

e



 

C

 

2 d

e



 

D

  d

e





Dựa vào công thức tính thể tích khối tròn xoay với e nên ta có

 

2 d

e



 

 đáp án C

Câu 29. [2D3-2] (Đề Minh Họa – Lần 1) Kí hiệu  H

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2 1 x

y x e , trục tung và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay

hình  H

xung quanh trục Ox

A V  4 2 e B V 4 2 e  C V e2 5. D V e2 5 

Do V  nên loại 0 A, B Giới hạn hình  H

bởi các đường y2x1e x;y 0;x  0

Xét phương trình

1

2 2 0

2 x1 e x 0 x 1 V 4 x 1 e dx xf e  

loại C

 đáp án D

Câu 30. [2D3-2] Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x2 x và trục hoành Tính

thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox ?

A

16 15

V  

B

17 15

V  

C

18 15

V  

D

19 15

V  

Lời giải

Trang 13

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

x

x x

x





    



Thể tích vật tròn xoay cần tìm là: V 

16 5



 

Câu 31. [2D3-2] Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) : y xP  2và

đường thẳng :d y x quay xung quanh trục được xác định bởi công thức nào sau đây?

A

1

2 2 0

V x  x dx

B

1 1

2 4

0 0

V x dxx dx

C

1 1

2 4

0 0

V x dx x dx

D

1

2 2 0

V x x dx

1

x





   



Do y x nằm phía trên ( ) :P y x 2 trên đoạn 0;1

Thể tích khối tròn xoay cần tìm

2 4 2 4

V x  x dxx dx x dx

Chú ý: Để biết dấu của x4 x2ta chỉ việc lập trục xét dấu với nghiệm x 1 (do x 0là nghiệm bội chẵn)

Câu 32. [2D3-2] Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y x 2 và y x Khối tròn xoay tạo ra

khi

( )H quay quanh Ox có thể tích V được xác định bằng công thức nào sau đây?

A

1 4 0

V x  x dx

B

1 4 0

V x  x dx

C

1

2 0

V  x x dx

D

1 4 0

V x x dx

1

x





   



Do y x nằm ở phía trên y x 2trên đoạn 0;1

Thể tích khối tròn xoay cần tìm 1 2 2 2 1 2 4

V  x  x dxx  x dx

Câu 33. [2D3-2] Thể tích Vcủa khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x  x và y2x quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau đây?

Trang 14

A

2

2 2 1

V x  x dx

B

2

2 2 2 1

V  x  x  x dx

C

2

2 2 2 1

V  x  x  x dx

D

2

2 2 2 1

V  x  x  x dx

2

x







V  x  x  x dx  x  x  x dx

Câu 34. [2D3-2] Hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường parabol ( ) :P y x 21 trục tung và tiếp tuyến

với ( )P tại điểm (1;2) M khi quay quanh trục Ox Công thức nào sau đây sử dụng để tính thể

tích Vcủa hình ( )H ?

A

1

2 2 0

( 1)

V x  dx

B

1

2 2 2 0

V   x   x dx

C

1 2 0

(2 )

V  x dx

D

1

2 2 0

( 2 1)

V x  x dx

Ta có y2x y(1) 2. Suy ra phương trình tiếp tuyến với ( ) : yP x21 tại điểm M(1; 2)

là y2(x1) 2 hay y2 x

Hoành độ tiếp điểm x 1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm :

2 2 2 2 2 2

V x   x dx x   x dx

Câu 35. [2D3-2] Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) :C yx24x và đường thẳng

y x Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng ( )H quay xung quanh trục hoành.

A

81 10

V  

B

81 5

V  

C

108 5

V  

D

108 10

V  

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,12 MB