a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD. Cho hình chóp tứ giác đều S. Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông. Tính khoảng cách từ M đến mặt[r]
Trang 1LÝ THUYẾT
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
d A AH
( AH vuông góc với tại H).
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
d A AH
( AH vuông góc với
tại H).
Chú ý
Nếu đường thẳng AB cắt
tại M Gọi A ’ , B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên
thì
BM
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) Gọi A là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng a, khi
đó d a , d A , AH
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Trang 2Cho hai mặt phẳng song song (α ) và ( β ) Gọi A là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng ( β ), khi đó
, ,
d d A AH
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
TH1 Nếu a và b chéo nhau và ab.
Dựng mặt phẳng (α ) chứa a và vuông góc với b tại B
Trong (α ) dựng BAa tại A , khi đó d a b , AB
( AB là đoạn vuông góc chung của a và b).
TH2 Nếu a và b chéo nhau và không vuông góc với nhau.
Dựng mặt phẳng (α ) chứa b và song song với a Khi đó d a b , d a ,
Trang 3Nếu (α ) và ( β ) là hai mặt phẳng lần lượt chứa a , b và song song với nhau thì d a b , d , .
BÀI TẬP
1 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có SH là đường cao Chứng minh SABC và SBAC
2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
a) Tính chiều cao của hình chóp S ABCD
b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC Chứng minh mặt phẳng ( MBD)vuông góc với mặt phẳng
(SAC).
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và ( ABCD).
3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A 60 ,
cạnh 6
2
a
SC
và SC
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh mặt phẳng ( SBD) vuông góc với mặt phẳng ( SAC ).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K Hãy tính độ dài đoạn IK
c) Chứng minh BKD 90
và từ đó suy ra mặt phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng ( SAD).
4 Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACD)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
5 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên SA tạo với đáy một góc
bằng 60 Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SB
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ).
6 Cho tam giác ABC với AB=7 cm , BC =5 cm ,CA =8 cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC) tại A lấy điểm O sao cho AO=4 cm Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng BC
7 Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông Khoảng cách từ M đến đỉnh O của góc vuông bằng 23 cm và khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox và Oy đều bằng
17 cm Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.
8 Cho tam giác ABC vuông tại A , có cạnh AB=a nằm trong mặt phẳng (α ), cạnh AC a 2 và
tạo với (α ) một góc 60 H là hình chiếu vuông góc của C trên (α )
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α )
b) Tính góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (α )
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACH ).
d) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( ABC).
9 Cho hình chóp S ACBD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , có cạnh SA a 3 và vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp sau:
10 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a Gọi I là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp sau:
Trang 411 Cho lăng trụ tam giác ABC A ’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Các cạnh
bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng ( A ’ B ’ C ’) trùng với trung điểm của cạnh B’ C ’
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC ’ B ’ là hình vuông.
-hết -BÀI TẬP BỔ SUNG – ÔN TẬP HKII
1 Cho hình tứ diện ABCD có AB= AC= AD , BAC BAD 60 , CAD 90
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và C D Chứng minh IJ AB và IJ CD
2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 2, SC vuông góc với CA và CB , SC=2 Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính góc giữa hai đường thẳng CE và SF
3 Cho hai mặt phẳng ( P) và (Q) vuông góc với nhau Trên giao tuyến ∆ của ( P)và (Q) lấy hai điểm
A và B Gọi C và D lần lượt là các điểm thuộc mặt phẳng (P) và (Q) sao cho
,
ACAB BDAB và AB= AC=BD Một mặt phẳng (α) ) đi qua A và vuông góc với CD a) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (α ).
b) Tính diện tích thiết diện khi AB=a
4 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 3 a , cạnh bên bằng 2 a Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
5 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABCD).
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SCD)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
6 Cho hình vuông ABCD cạnh a và tam giác SAB đều nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau a) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( SAD)
b) Gọi I là trung điểm của AB , K là trung điểm của AD Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( SCK )
và ( SID) vuông góc với nhau.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SCD)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và SD.
7 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Các
cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng ( A ’ B ’ C ’) trùng với trung điểm của cạnh B’ C ’
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC ’ B ’ là một hình vuông.
c) Tính góc giữa mặt bên ( ABB ’ A ’) và mặt đáy ( A ’ B ’ C ’)
d) Tính khoảng cách từ điểm C ’ đến mặt phẳng ( ABB ’ A ’).
8 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7 a , có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC) và SC=7 a
a) Tính góc giữa SA và BC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và SD.
9 Cho hình thoi ABCD
tâm O ,
có cạnh a
và có
3 3
a
OB
Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB=a.
Trang 5a) Chứng minh tam giác SAC vuông và SC vuông góc với BD
b) Chứng minh SAD SAB , SCB SCD
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD
10 Tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC, , vuông góc với nhau từng đôi một và có
OA a OB b OC c Gọi , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB)
với mặt phẳng ABC
Chứng minh rằng cos2cos2cos 2
11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B Hình thang có cạnh AD=2 a , AB=BC=a và hình chóp có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Gọi C ’ và D ’ lần lượt là hình chiếu của đỉnh A trên SC và SD.
12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA=a và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b) Mặt phẳng
vuông góc với SC lần lượt cắc SB , SC , SD tại B’ , C ’ , D ’ Chứng minh B’ D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB
c) M là điểm di động trên đoạn BC , gọi K là hình chiếu của S trên DM Tìm tập hợp các điểm
K khi M di động.
d) Đặt BM =x Tính độ dài đoạn SK theo a vàx Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK
13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a , góc BAD 60
Đường thẳng
SO
vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và đoạn
4 4
a
SO
Gọi E
là trung điểm của BC , F
là trung
điểm của BE.
a) Chứng minh mặt phẳng ( SOF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng ( SBC ).
c) Gọi
là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Xác định thiết diện của
hình chóp với
Tính diện tích này
d) Tính góc giữa
và ( ABCD).
14 Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB ,CD và E , F lần lượt là trung điểm của SA , SB a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) và tang của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
(SCD).
b) Gọi G là giao điểm của CE và DF Chứng minh CE vuông góc với SA và DF vuông góc với
SB Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (GEF ) và (SAB) Hai mặt phẳng này có vuông góc
với nhau không?
c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SCD) d) Gọi M là điểm di động trên đoạn SA Tìm tập hợp những điểm là hình chiếu của S trên mặt phẳng (CDM ).
15 Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , các cạnh bên đều bằng a 3
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABCD).
b) Gọi
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC Hãy xác định thiết diện của hình chóp với
c) Tính diện tích thiết diện nói trên
Trang 616 Cho hình lập phương ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ cạnh a
a) Chứng minh BC ’ vuông góc với mặt phẳng ( A ’ B ’ CD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC ’
17 Cho hình lập phương ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ cạnh a Gọi E , F và M lần lượt là trung điểm của AD , AB
và CC ’
a) Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng ( EFM ).
b) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD) và ( EFM ).
c) Tính diện tích thiết diện dựng được ở câu a¿.