Biết rằng mỗi bộ môn học có đúng 4 học sinh tham gia và 4 học sinh này không là 4 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách và với 3 học sinh bất kì của nhóm luôn cùng tham gia vào một bộ [r]
Trang 1Câu 1 [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của m để hàm số
Do y liên tục tại x 2 nên bất phương trình y 0; x 2; y 0; x 2;
Tập xác định D R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
Trang 22 14 14 0, 1
mx mx x , tương đương với 2
14( )
+ Th1: m1,y2xluôn đồng biến loại do m nguyên dương
+Th2: m 1, ( ) 0g x có hai nghiệm thỏa mãn x1x2 1.
Điều kiện tương đương là
2
3 2 2 0, 21
2
m S
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3 [2D1-3] ( THPT CHUYÊN HẠ LONG) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị
Trang 4Vận dụng vào bài toán trên: 0; 26;u m 20 ta có kết quả.
m m
m m
m m
m m
Lời giải Chọn D
Khi x 2;1 thì x22x 4 5; 1 , suy ra 5; 1; u m nên ta có gtnn của gtlncủa hàm số đã cho đạt được tại
5 ( 1)
32
Trang 5Do F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) nên ta có:
Do F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) nên
ta có '( )F x f x( ), thuộc khoảng x 1; hay
Trang 6Câu 5 [2D1-1.4-4] Cho hàm số yf x( ). Hàm số yf x'( ) có đồ thị như hình bên Hàm số yf x x( 2)
nghịch biến trên khoảng?
A
1
;2
12
x
Bảng biến thiên
.Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
1( ;+ )
Trang 7A f a f b f c f d B f a f c f d f b .
C f c f a f d f b D f c f a f b f d
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị của hàm số f x'( ), ta có dấu của f x'( ) và BBT như sau
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra f a( ) và f c( ) cùng lớn hơn f b( ) và f d( )(1)
Trang 8Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải
Chọn D
Trang 9yx x có đồ thị ( )C và điểm M m( ;2). Gọi S là tập các giá trị
thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị ( ).C Tổng các phần tử của S là
Trang 10Trường hợp 1: Phương trình ( )*
có nghiệm kép khác 0
m m
Trường hợp 2: Phương trình ( )*
có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0:
m m
có đồ thị ( )H
và điểm M m( ;3)
Gọi S là tập tất cả các giá trị của
m để qua M có đúng một tiếp tuyến với đồ thị ( )H
x
k x m x
k x
vào ( )1
ta được:
x x
x m
ì ¹ï
Trang 11m m
x3- 6x= 3x2- 6x x m- Û 2x3- 3m+6 x2+ 6m+6 x=0
Trang 12Câu 7. [2H3-3] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2; 1; 2) Biết mặt phẳng qua
B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10; ; )a b Tổng a b là
Lời giải Chọn B
Phân tích: Nội dung chính của câu hỏi này là tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.
là: 5x3y4z15 0
Gọi I a b c '; '; '
là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
Trang 13Cách khác:
Phương trình OBC
là: x z 0
Trang 14Phương trình ABC
là: 5x3y4z15 0
Gọi là mặt phẳng qua B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
Suy ra là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng OBC
Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:
Trang 15I nằm cùng phía với D đối với ABC
a b c
2
I
31; 2;
có một VTPT là n 1;1;0 1; ;b c.Vậy: b c 1
Cách khác: có thể sử dụng mặt phẳng phân giác như trên.
Câu 2. [2H3-3] Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với điểm A(1;2; 2), B ( 1;2; 1) , C(1;6; 1) và
( 1;6;2)
D Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là
A
72 613721
V
28861
V
Lời giải Chọn B
Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:
Trang 16a b c
2
I
3661
Trang 17
1 .3
ABCD ABC ABD ADC BCD
Câu 8 [1D3-3]: Với hình vuông A B C D1 1 1 1
như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp” Một
nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình
bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D 1 1 1 1
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là 2 2 2 2
hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông A B C D 1 1 1 1
thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình3 3 3 3
vuông ở chính giữa khi chia hình vuông A B C D 2 2 2 2
thành 9 phần bằng nhau Cứ tiếp tục như vậy,
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần
được tô màu chiếm nhiều hơn 49,99% diện tích hình
vuông ban đầu?
Lời giải Chọn B
Coi diện tích hình vuông ban đầu S A B C D1 1 1 1 1 Kí hiệu a là diện tích phần tô đẹp lần n Khi đó n
từ giả thiết ta thấy a n là một cấp số nhân với công bội 1
Hai câu tương tự:
Câu 1 [1D3-3]: Bạn An có một tờ giấy, bạn ấy chơi trò xé giấy như sau:
Lần 1: Từ tờ giấy ban đầu An xé thành 7 mảnh
Trang 18Lần 2: Từ một trong số mảnh trên An xé thành 7 mảnh tiếp.
Lần 3: Từ một mảnh bất kỳ An xé thành 7 mảnh nữa
Cứ như vậy sau một số lần An đếm tổng số mảnh giấy thu được Hỏi con số nào dưới đây
không thể là con số bạn ấy đếm được?
Lời giải Chọn B
Thực ra số giấy cuối thu được sau mỗi lần xé lập thành một cấp số cộng với phần tử đầu là 1 vàcông sai là 6 Do đó tất cả các phần tử của dãy chia 6 đều dư 1
Câu 2 [1D3-3]:
Lần 1: Lấy hình vuông A B C D tâm 1 1 1 1 O có diện tích là 1
Lần 2: Lần lượt lấy A B C D là trung điểm bốn đoạn 2, 2, 2, 2 OA OB OC OD 1, 1, 1, 1
Lần 2: Lần lượt lấy A B C D là trung điểm bốn đoạn 3, ,3 3, 3 OA OB OC OD 2, 2, 2, 2
4
8.7
Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta thấy ( )S là một cấp số nhân với k 1
Trang 19*) Bảng biến thiên của hàm số f x
:
*) Bảng biến thiên của hàm số f x
:
*) Đồ thị hàm số g x f x m
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Phương trình g x 0có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình f x m
có 4 nghiệm phân biệt
Đường thẳng :d ymcắt đồ thị hàm số f x
tại 4 điểm phân biệt
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f x
Trang 20*) Bảng biến thiên của hàm số f x
:
*) Đồ thị hàm số g x f x m
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Phương trình g x 0có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình f x m
có 4 nghiệm phân biệt
Đường thẳng :d ymcắt đồ thị hàm số f x
tại 4 điểm phân biệt
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f x
không tồn tại giá trị nào của mthỏa mãn
Trang 221 min 1
3
R
Trang 2334
a
33
a
23
a
Lời giải
Trang 24 , , . 3
3,
BM là đường trung bình của tam giác ADE
B là trung điểm của AE
a
Lời giải Chọn C
Trang 25Chọn hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A và ba tia Ox Oy Oz lần lượt đi qua , , ’, , B D A
(như hình vẽ) Khi đó A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , D 0;a; 0 , A' 0; 0;a , C a;a; 0 , B' a; 0;a ,
Câu 13 [1D2-4] Một tòa nhà có n tầng các tầng được đánh số từ 1 đến n theo thứ tự từ dưới lên Có 4
thang máy đang ở tầng 1 Biết rằng mỗi thang máy có thể dừng ở đúng 3 tầng (không kể tầng 1) và 3 tầng này không là 3 số nguyên liên tiếp và với hai tầng bất kì (khác tầng 1) của tòa nhà luôn có một thang máy dừng được ở cả hai tầng này Hỏi giá trị lớn nhất của n là bao nhiêu?
Gọi các thang máy lần lượt là X X X X 1, 2, 3, 4
Từ giả thiết, mỗi thang máy có thể dừng ở đúng 3 tầng (không kể tầng 1) và 3 tầng này không
là 3 số nguyên liên tiếp và với hai tầng bất kì (khác tầng 1) của tòa nhà luôn có một thang máydừng được ở cả hai tầng này nên ta luôn giả sử được:
- Tầng 2,3 có một thang máy dừng được, giả sử là X , khi đó thang máy 1 X không1
dừng được ở tầng 4
- Tầng 3,4 có một thang máy dừng được, giả sử là X ( không thể là2 X ), khi đó thang1
máy X không dừng được ở tầng 5 và đồng thời 2 tầng 2,3.2
- Tầng 4,5 có một thang máy dừng được, giả sử là X ( không thể là3 X và1 X vì thang2
máy X không dừng được đồng thời 2 tầng 2,3 cũng như đồng thời 2 tầng 3,4 do 3 X chỉ dừng3
được ở 3 tầng và ko liên tiếp) X không dừng được ở tầng 6.3
Trang 26- Tầng 5,6 có một thang máy dừng được, đó là X ( không thể là4 X và1 X ,2 X vì thang3
máy X không dừng được đồng thời 2 tầng 2,3 cũng như đồng thời 2 tầng 3,4 và đồng thời 24
tầng 4,5 do X chỉ dừng được ở 3 tầng và ko liên tiếp) 4 X không dừng được ở tầng 7.4
Vì chỉ có 4 thang máy nên nếu có tầng 7 thì sẽ không còn thang máy nào dừng ở 2 tầng6,7
Vậy tòa nhà có nhiều nhất là 6 tầng, tức là n 6
Hai câu tương tự
Câu 1 1 [1D2-4] Một nhóm gồm n học sinh được xếp theo danh sách từ 1 đến n theo thứ tự họ tên và
ngày sinh ( Không có học sinh nào trùng đồng thời họ tên và ngày sinh) Nhóm học sinh trên tham gia Câu lạc bộ học tập, trong đó có 9 môn học Biết rằng mỗi môn học có đúng 5 học sinh tham gia và 5 học sinh này không là 5 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách và với 4 học sinh bất kì của nhóm luôn cùng tham gia vào một môn học Hỏi giá trị lớn nhất của n là bao nhiêu?
Gọi các môn học lần lượt là X X X X X X X X X 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Từ giả thiết, mỗi môn học có đúng 5 học sinh tham gia và 5 học sinh này không là 5 học sinhđứng liên tiếp trong danh sách và với 4 học sinh bất kì của nhóm luôn cùng tham gia vào mộtmôn học nên ta luôn giả sử được:
- Học sinh thứ 1,2,3,4 tham gia 1 môn học, giả sử là môn X , khi đó môn 1 X không có1
học sinh thứ 5 tham gia
- Học sinh thứ 2,3,4,5 tham gia 1 môn học, giả sử là môn X , khi đó môn 2 X không có2
học sinh thứ 6 tham gia và môn X luôn khác môn 2 X 1
- Học sinh thứ 3,4,5,6 tham gia 1 môn học, giả sử là môn X , khi đó môn 3 X không có3
học sinh thứ 7 tham gia và môn X luôn khác môn 3 X , 1 X ( vì mỗi môn học có đúng 5 học2
sinh tham gia và 5 học sinh này không là 5 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách)
Tương tự như trên
…
Trang 27- Học sinh thứ 9,10,11,12 tham gia 1 môn học, đó là môn X , khi đó môn 9 X không có9
học sinh thứ 13 tham gia và môn X luôn khác môn 9 X , 1 X ,…, 2 X ( vì mỗi môn học có đúng8
5 học sinh tham gia và 5 học sinh này không là 5 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách)
Vì chỉ có 9 môn học nên nếu có học sinh thứ 13 thì sẽ không còn môn học để 4 học sinh10,11,12,13 cùng tham gia
Vậy nhóm có nhiều nhất là 12 học sinh, tức là n 12
Câu 2 [1D2-4] Một nhóm gồm 10 học sinh được xếp theo danh sách từ 1 đến 10 theo thứ tự họ tên và
ngày sinh ( Không có học sinh nào trùng đồng thời họ tên và ngày sinh) Nhóm học sinh trên tham gia Câu lạc bộ thể thao, trong đó có n bộ môn Biết rằng mỗi bộ môn học có đúng 4 học sinh tham gia và
4 học sinh này không là 4 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách và với 3 học sinh bất kì của nhóm luôn cùng tham gia vào một bộ môn Hỏi Câu lạc bộ thể thao có ít nhất mấy bộ môn?
Lời giải
Chọn A
Gọi tập X 1; 2;3; ;10 là tập hợp gồm 10 học sinh được xếp theo danh sách từ 1 đến 10
theo thứ tự họ tên và ngày sinh
Gọi các bộ môn lần lượt là X X X X X X X X X ,….1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Từ giả thiết, mỗi bộ môn học có đúng 4 học sinh tham gia và 4 học sinh này không là 4 họcsinh đứng liên tiếp trong danh sách và với 3 học sinh bất kì của nhóm luôn cùng tham gia vàomột bộ môn nên ta luôn giả sử được:
- Học sinh thứ 1,2,3 tham gia 1 bộ môn học, giả sử là môn X , khi đó môn 1 X không1
có học sinh thứ 4 tham gia
- Học sinh thứ 2,3,4 tham gia 1 bộ môn, giả sử là môn X , khi đó môn 2 X không có2
học sinh thứ 5 tham gia và môn X luôn khác môn 2 X 1
- Học sinh thứ 3,4,5 tham gia 1 bộ môn, giả sử là môn X , khi đó môn 3 X không có3
học sinh thứ 7 tham gia và môn X luôn khác môn 3 X , 1 X ( vì mỗi bộ môn có đúng 4 học2
sinh tham gia và học sinh này không là 4 học sinh đứng liên tiếp trong danh sách)
Tương tự như trên
…
- Học sinh thứ 8,9,10 tham gia 1 bộ môn, giả sử là bộ môn X , khi đó 8 X luôn khác8
môn X , 1 X ,…, 2 X ( vì mỗi bộ môn có đúng 4 học sinh tham gia và 4 học sinh này không là 47
học sinh đứng liên tiếp trong danh sách)
Trang 28Giả sử có ít hơn 8 bộ môn, chẳng hạn có 7 bộ môn thì khi đó thứ 8,9,10 sẽ không thểtham gia cùng một môn nào, điều này mâu thuẫn với giả thiết với 3 học sinh bất kì của nhómluôn cùng tham gia vào một bộ môn.
Vậy Câu lạc bộ thể thao đó phải có ít nhất là 8 bộ môn, tức là n 8
Câu 13 [2H2-4] Trong không gian, cho 4 mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp
xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả 4 mặt cầu nói trên có bán kính bằng
Gọi S1 là mặt cầu tâm A có bán kính R 1 2
Gọi S2 là mặt cầu tâm B có bán kính R 2 2
Gọi S3 là mặt cầu tâm C có bán kính R 3 3
Gọi S4 là mặt cầu tâm D có bán kính R 4 3
Gọi S là mặt cầu tâm I có bán kính R x 0
Mặt cầu S tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu trên
HCD là mặt phẳng trung trực của AB IHCD
Trang 29là mặt phẳng trung trực của CD IKAB
Vậy suy ra: IHCD KAB I HK
4
2 32
BK
HK BH
Trang 30Đường thẳng d nhận u2; 1;4 làm vectơ chỉ phương.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d
và M O Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của OM Biết
đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu đó.
E
I
O
Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O
Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định).
Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là.
Trang 31đường trung tuyến nên 1 2 1
2
ID OA
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM
nên IE song song với AM mà ODAM ODIE
Mặt khác tam giác EOD cân tại E Từ đó suy ra.
IE là đường trung trực của OD.
Nên DOE ODE IOD IDO ; IDE IOE 90 IDDE 2
có đồ thị là C
Gọi S1
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C
, trục hoành, đường thẳng x a ; S2là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
C
, trục tung, đường thẳng y b ;Slà diện tích hình phẳng giới
hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x a y b , Khi
