Bài 1. Các bài toán về tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

[r]

Câu 1: [2H3-3] Cho hình chóp t giác đ u ứ giác đều ều S ABCD có t t c các c nh b ng nhau G i . ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ả các cạnh bằng nhau Gọi ạnh bằng nhau Gọi ằng nhau Gọi ọi E, M l nần

lượt là trung điểm các cạnh t là trung đi m các c nh ểm các cạnh ạnh bằng nhau Gọi BC , SA ,  là góc t o b i đạnh bằng nhau Gọi ởi đường thẳng ường thẳng ng th ng ẳng EM và m t ph ngặt phẳng ẳng

SBD Tính  tan

L i gi i ời giải ải

Ch n ọn D.

M

E O

S

A

D

Gi s ả các cạnh bằng nhau Gọi ử OA  Ch n h tr c t a đ sao cho1 ọi ệ trục tọa độ sao cho ục tọa độ sao cho ọi ộ sao cho Ox OC , Oy OB , Oz OS ,

Ta có C1;0;0, A  1;0;0  SBD nh n  ận AC 2;0;0

là m t vecto pháp tuy n.ộ sao cho ến

T ừ SA AB OA  2  2  SO SA2 OA2  1

0;0;1 1;0;0

S A



 





;0;

Ta có

1;0;0 0;1;0

C B







1 1

; ;0

2 2

   EM nh n ận

1; ;

ME   

là m t vecto ch phộ sao cho ỉ phương ương.ng

ME AC

ME AC



2

2



    

6 3



1 cos

3



Câu 2: [2D3-3] Cho F x là m t nguyên hàm c a hàm s   ộ sao cho ủa hàm số ố f x  e x2x3 4x S c c tr c aố ực trị của ị của ủa hàm số

hàm F x là 

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

 

F f x Ta có F 0 e x2x3 4x

0 2

x x





B ng ả các cạnh bằng nhau Gọi xét d u: ất cả các cạnh bằng nhau Gọi

V y hàm s ận ố F x có 3 c c tr  ực trị của ị của

Câu 3: [1D2-3] Tìm h s c a s h ng ch a ệ trục tọa độ sao cho ố ủa hàm số ố ạnh bằng nhau Gọi ứ giác đều x5 trong khai tri n ểm các cạnh  2 310

1 x x  x

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

Ta có 1 x x2x3101xx21x10 1x 1x210  1 x10 1 x210

2

k k l l

S h ng ch a ố ạnh bằng nhau Gọi ứ giác đều x5 trong khai tri n ểm các cạnh 1 x x  2x310

khi k l, th a mãnỏa mãn

Suy ra h s c a s h ng ch a ệ trục tọa độ sao cho ố ủa hàm số ố ạnh bằng nhau Gọi ứ giác đều x5 trong khai tri n là: ểm các cạnh C C101 102 C C103 101 C C105 100 1902

Câu 4: [1D2-3] Có bao nhiêu s t nhiên có tám ch s trong đó có ba ch s ố ực trị của ữ số trong đó có ba chữ số ố ữ số trong đó có ba chữ số ố 0 , không có hai

ch s ữ số trong đó có ba chữ số ố 0 nào đ ng c nh nhau và các ch s khác ch xu t hi n nhi u nh t m t l n.ứ giác đều ạnh bằng nhau Gọi ữ số trong đó có ba chữ số ố ỉ phương ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ệ trục tọa độ sao cho ều ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ộ sao cho ần

L i gi i ời giải ải

Ch n D ọn

L y ất cả các cạnh bằng nhau Gọi 5 trong 9 ch s khác ữ số trong đó có ba chữ số ố 0 s p thành m t dãy có ắp thành một dãy có ộ sao cho A95 cách

Khi đó, ta có 5 v trí đ đ a ị của ểm các cạnh ư 3 ch s ữ số trong đó có ba chữ số ố 0 vào không đ ng c nh nhau Ch n ứ giác đều ạnh bằng nhau Gọi ọi 3 trong 5 v tríị của

đ a ư 3 ch s ữ số trong đó có ba chữ số ố 0 vào có C53 cách

V y có ận A C 95 53 151200 s th a yêu c u.ố ỏa mãn ần

Câu 5: [1D5-4] Cho hàm s ố y x 3 3x có đ th 2 ồ thị ị của  C H i có bao nhiêu đi m trên đ ngỏa mãn ểm các cạnh ường thẳng

th ng ẳng d y: 9x14 sao cho t đó k đừ ẻ được hai tiếp tuyến đến ượt là trung điểm các cạnh c hai ti p tuy n đ n ến ến ến  C ?

A 3 đi mểm các cạnh B 4 đi mểm các cạnh C 2 đi mểm các cạnh D 1 đi m.ểm các cạnh

L i gi i ời giải ải

Ch n A ọn

G i ọi A x y là đi m thu c đ th ( ; )0 0 ểm các cạnh ộ sao cho ồ thị ị của  C Ph ng trình ti p tuy n t i ương ến ến ạnh bằng nhau Gọi A có d ngạnh bằng nhau Gọi

:y 3x 3 x x x 3x 2

      

 đi qua đi mểm các cạnh M a a  ;9 14 thu cộ sao cho d khi và ch khi:ỉ phương

9a14 3x  3 a x x  3x 2

0 2

2

x





 

Đ t ặt phẳng g x 0 2x02(4 3 ) a x0 8 6a T đi m ừ ểm các cạnh M k đẻ được hai tiếp tuyến đến ượt là trung điểm các cạnh c hai ti p tuy n khi và ch khiến ến ỉ phương

phương.ng trình  1 có đúng nghi m kép khác ệ trục tọa độ sao cho 2 ho c phặt phẳng ương.ng trình  1 có hai nghi m phânệ trục tọa độ sao cho

bi t trong đó có m t nghi m b ng ệ trục tọa độ sao cho ộ sao cho ệ trục tọa độ sao cho ằng nhau Gọi 2

Trường thẳng ng h p ợt là trung điểm các cạnh  1 có nghi m kép khác 2ệ trục tọa độ sao cho

 



 



4 4 3 2

a a a

 











 



4 4 3

a a









 



Trường thẳng ng h p ợt là trung điểm các cạnh  1 có hai nghi m phân bi t trong đó có m t nghi m b ng 2:ệ trục tọa độ sao cho ệ trục tọa độ sao cho ộ sao cho ệ trục tọa độ sao cho ằng nhau Gọi

 

0

g

 



 





2

a

 

V y có 3 đi m thu c ận ểm các cạnh ộ sao cho d đ t đó k đểm các cạnh ừ ẻ được hai tiếp tuyến đến ượt là trung điểm các cạnh c 2 ti p tuy n đ n ến ến ến  C

Câu 6: [1D3-3] Giá tr c a t ng ị của ủa hàm số ổng 4 44 444 44 4    ( T ng có 2018 s h ng ) b ngổng ố ạnh bằng nhau Gọi ằng nhau Gọi

A 40 2018 

10 1 2018

2019

4 10 10

2018



C

2019

4 10 10

2018



10 1

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

Có 4 44 444 44 4 49 99 99 9

9

10 10 10 2018

      

Câu 7: [2H3-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đi m ểm các cạnh A1;2;1 , B2; 1;3  Tìm t a đ đi m ọi ộ sao cho ểm các cạnh M

trên m t ph ngặt phẳng ẳng Oxy sao cho  MA2 2MB2 l n nh t.ớn nhất ất cả các cạnh bằng nhau Gọi

A

3 1

; ;0

2 2

M

B

; ;0

2 2



M

C M0;0;5  D M3; 4;0  

L i gi i ời giải ải

Ch n ọn D.

G i ọi M x y ; ;0  Oxy là đi m c n tìm. ểm các cạnh ần

2  1  2  1 2 2 2  4 6

 2  2

2  2   1  9 2 2 4 2 14

Ta có:MA2 2MB2 x2y2 2x 4y 6 2x2y2 4x2y14

 2  2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ



V y đi m ận ểm các cạnh M3; 4;0 là đi m c n tìm.ểm các cạnh ần

Câu 8: [2D3-3] Cho hàm s ố yf x  là hàm l và liên t c trên ẻ được hai tiếp tuyến đến ục tọa độ sao cho  4;4 , bi t ến

  0

2

f x x





và

2

1

f  x x



Tính

  4

0

d

I f x x

A I 10 B I  6 C I 6 D I 10

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

Vì f x là hàm l nên   ẻ được hai tiếp tuyến đến ta có f  x  f x  

Ta có:



2

1

2

u x

Do đó:

f x x f x x f x x  

Câu 9: [2D1-4] Cho hàm s ố yf x  Bi t r ng hàm s ến ằng nhau Gọi ố yf x  có đ th nh hình vẽ bênồ thị ị của ư

dướn nhất.i

Hàm s ố yf 3 x2

đ ng bi n trên kho ngồ thị ến ả các cạnh bằng nhau Gọi

A 0;1  B 1;0  C 2;3  D 2; 1  

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

Ta có:

2

0

x







T đ th hàm s suy ra ừ ồ thị ị của ố

2

2

1

x x



L p b ng xét d u c a hàm s ận ả các cạnh bằng nhau Gọi ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ủa hàm số ố yf 3 x2

ta đượt là trung điểm các cạnh c hàm s đ ng bi n trên ố ồ thị ến 1;0

Câu 10: [2H3-4] Trong không gian Oxyz, cho m t c u ặt phẳng ần  S có tâm 1 I2;1;1 bán kính b ng 4 vàằng nhau Gọi

m t c u ặt phẳng ần  S có tâm 2 J2;1;5 bán kính b ng 2 ằng nhau Gọi  P là m t ph ng thay đ i ti p xúc v iặt phẳng ẳng ổng ến ớn nhất hai m t c u ặt phẳng ần  S ,1  S Đ t 2 ặt phẳng M m, l n lần ượt là trung điểm các cạnh t là giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a kho ngị của ớn nhất ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ị của ỏa mãn ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ủa hàm số ả các cạnh bằng nhau Gọi cách t đi m ừ ểm các cạnh O t i ớn nhất  P Giá tr ị của M m b ngằng nhau Gọi ?

L i gi i ời giải ải

Ch n C ọn

D th y hai m t c u c t nhau vì ễ thấy hai mặt cầu cắt nhau vì ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ặt phẳng ần ắp thành một dãy có 4 2 IJ   4 4 2 Nên các m t ti p xúc chung c a hai ặt phẳng ến ủa hàm số

m t c u đ u ti p xúc ngoài và luôn đi qua m t đi m ặt phẳng ần ều ến ộ sao cho ểm các cạnh S sao cho J là trung đi m ểm các cạnh SI

Khi đó d tìm đễ thấy hai mặt cầu cắt nhau vì ượt là trung điểm các cạnh c to đ c a ạnh bằng nhau Gọi ộ sao cho ủa hàm số S2;1;9

Gọi  P

: a x  2b y 1c z  9 0

Ta có    

4

d J P

M t khác, ặt phẳng

 

d O P

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:ục tọa độ sao cho ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ẳng ứ giác đều

2

    

c c

V y ận 9 15  ,   9 15

m  d O P   M

9

M m

  

I S

J

Câu 11: [2D2-3]S các giá tr nguyên nh h n ố ị của ỏa mãn ơng 2018 c a tham s ủa hàm số ố m đ phểm các cạnh ương.ng trình

log 2018x m log 1009x có nghi m làệ trục tọa độ sao cho

L i gi i ời giải ải

Ch n A ọn

Đi u ki n xác đ nh ều ệ trục tọa độ sao cho ị của

0

2018

x m x















Đ t ặt phẳng

t

t t t

x m

x







Xét hàm s ố f t  6t  2.4 ,t t 

2

2ln 4

6 ln 6 2.4 ln 4 0 log

ln 6

B ng bi n thiên: ả các cạnh bằng nhau Gọi ến

Phương.ng trình đã cho có nghi m ệ trục tọa độ sao cho x khi phương.ng trình  * có nghi m ệ trục tọa độ sao cho t T b ng bi n thiên ừ ả các cạnh bằng nhau Gọi ến

suy ra

2 log log 16 2, 01

mf  

S giá tr nguyên c a tham s ố ị của ủa hàm số ố m nh h n 2018 là 2020 ỏa mãn ơng

Câu 12: [2H2-4] Cho kh i tr có hai đáy là hai hình tròn ố ục tọa độ sao cho O R và ;  O R OO; ,  4 R Trên đường thẳng ng

tròn O R l y hai đi m ;  ất cả các cạnh bằng nhau Gọi ểm các cạnh A B, sao cho AB R 3. M t ph ng ặt phẳng ẳng  P đi qua A B, c t đo nắp thành một dãy có ạnh bằng nhau Gọi

OO và t o v i đáy m t góc b ng ạnh bằng nhau Gọi ớn nhất ộ sao cho ằng nhau Gọi 60 P c t kh i tr theo thi t di n là m t ph n c a0   ắp thành một dãy có ố ục tọa độ sao cho ến ệ trục tọa độ sao cho ộ sao cho ần ủa hàm số hình elip Di n tích thi t di n đó b ngệ trục tọa độ sao cho ến ệ trục tọa độ sao cho ằng nhau Gọi

A

2





2





2





2





L i gi i ời giải ải

Ch n A ọn

R -R

-R

R

-R 2

y

x

OA OB

Ch n h tr c nh hình vẽ bên ọi ệ trục tọa độ sao cho ục tọa độ sao cho ư  Phương.ng trình đường thẳng ng tròn đáy là

x y R  y R  x

Hình chi u c a ph n elip xu ng đáy là mi n s c xanh nh hình vẽ.ến ủa hàm số ần ố ều ọi ư

Ta có

2

R

R



Đ t ặt phẳng x R .sint

2

G i di n tích ph n elip c n tính là ọi ệ trục tọa độ sao cho ần ần S.

Theo công th c hình chi u, ta có ứ giác đều ến

2 0

S

S   S    R

Câu 13: [1H3-4] Cho hình lăng tr tam giác đ u ục tọa độ sao cho ều ABC A B C.    có c nh bên b ng c nh đáy Đạnh bằng nhau Gọi ằng nhau Gọi ạnh bằng nhau Gọi ường thẳng ng

th ng ẳng MN MA C N BC ,   là đường thẳng ng vuông góc chung c a ủa hàm số A C và BC. T s ỉ phương ố

NB NC b ngằng nhau Gọi

A

5

3

2

L i gi i ời giải ải

Ch n B ọn

x

z

A

O

A' H

Chu n hóa ẩn hóa AB 2. G i ọi O H, l n lần ượt là trung điểm các cạnh t là trung đi m c a ểm các cạnh ủa hàm số B C BC ,  OA 3.

G n h t a đ ắp thành một dãy có ệ trục tọa độ sao cho ọi ộ sao cho Oxyz v i ớn nhất O0;0;0 , A 3;0;0 , C0;1;0 , H0;0;2 



0; 1;2 0;1;2

B C





  Phương.ng trình đường thẳng ng th ng ẳng A C  và BC là

3

A C    

 

0

x

BC y t

z t







 



Đi m ểm các cạnh

'

M A C







Vì MN là đo n vuông góc chung c a ạnh bằng nhau Gọi ủa hàm số A C BC ,  

 

 

A C BC

MN u

MN u













 

.

m m n m n

m n m n



 



0; ;

m n

N

m n

 



Suy ra

NB   NC   

V y ận

3 2

NB

NC

Câu 14: [0D4-4] Phương.ng trình x 512 1024 x 16 4 8x 512 1024   x

có bao nhiêu

nghi m?ệ trục tọa độ sao cho

A 4 nghi m ệ trục tọa độ sao cho B 3 nghi m ệ trục tọa độ sao cho C 8 nghi m ệ trục tọa độ sao cho D 2 nghi m.ệ trục tọa độ sao cho

H ướng dẫn giải ng d n gi i ẫn giải ải

Ch n B ọn

Đ t ặt phẳng

8 8

512 1024





8 8

4 4

a b

a b











T (1) suy ra ừ a8b8 512 2 a b4 4  ab4.

(2) a b 2a b 256 128 ab16a b

Suy ra 512 2 a b4 4 256 128 ab16a b2 2  2a b4 416a b2 2128ab256 0

4

ab





TH1:

8 8

8 8 8

4 4

b

a b









ab  ab  ab   Xét hàm số f t   t3 4t28t 32

với 0  t 4

Ta có f t  3t28t  8 0  t 0;4

Mà f    0 f 4 32.128 0

Suy ra ab34ab28ab 32 0 có một nghiệm duy nhất trong khoảng 0;4

Phương trình 8x 512 1024   x m

có hai nghiệm khi m 0;4

Vậy phương trình  1

có 3 nghiệm

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Câu 15: [2H2-4] Cho kh i c u ố ần  S có tâm I , bán kính R không đ i M t kh i tr thay đ i cóổng ộ sao cho ố ục tọa độ sao cho ổng

chi u cao ều h và bán kính đáy r n i ti p kh i c u Tính chi u cao ộ sao cho ến ố ần ều h theo R sao cho thểm các cạnh tích c a kh i tr l n nh t.ủa hàm số ố ục tọa độ sao cho ớn nhất ất cả các cạnh bằng nhau Gọi

O

O

A

2 2

R h

3 3

R

3

R

H ướng dẫn giải ng d n gi i ẫn giải ải

Ch n D ọn

Bán kính đáy c a hình tr là ủa hàm số ục tọa độ sao cho

2 2 4

Do đó th tích c a kh i tr là ểm các cạnh ủa hàm số ố ục tọa độ sao cho

Xét hàm s ố  

3 2 4

v i ớn nhất h0;2R 

Ta có  

2 2 3

4

,  

0

3

B ng bi n thiênả các cạnh bằng nhau Gọi ến

h

V  V

0

max

V

T b ng bi n thiên suy ra th tích c a kh i tr l n nh t khi ừ ả các cạnh bằng nhau Gọi ến ểm các cạnh ủa hàm số ố ục tọa độ sao cho ớn nhất ất cả các cạnh bằng nhau Gọi

3

h