Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về mặt phẳng Oxyz trong không gian | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Khi đó, P min gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?. A..[r]

Câu 1 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

 và haiđiểm A0; 1; 3  , B1; 2; 1  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho

min min

sao cho MA2 MB22MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, tổng a b c  bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B.

T MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất là Tmin Khi đó, Tmin bằng bao nhiêu?

A min

12

252

Lời giải Chọn D.

Cách 1:

đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, tổng a2b4c bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D.

T MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất là Tmin Khi đó, Tmin bằng bao nhiêu?

A Tmin 4 B Tmin 3 C Tmin  14 D Tmin  6

Lời giải Chọn C.

Câu 9 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :x2y2z 9 0 và ba

điểm A 1; 2; 0 ,B2; 0; 1 ,C3; 1; 1 Tìm tọa độ điểm M  sao cho

2MA 3MB  4MC đạt giá trị nhỏ nhất

A M1; 2; 3   B M  3; 1; 4  C M  3; 2; 5  D M1; 3; 2  

Lời giải Chọn C.

Các bạn có thể dùng công thức tìm nhanh điểm

Câu 10 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 5x y z   2 0 và hai

điểm A 0; 1; 0  ,B  2; 1; 1  Biết điểm M thuộc mặt phẳng  P sao cho MA2 2MB2đạt giá trị lớn nhất Khi đó điểm M có hoành độ x Mbằng bao nhiêu?

A x  M 1. B x  M 2. C x  M 1. D x  M 3.

Lời giải Chọn A.

2

4

1 22

1 22

Câu 11 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x y:   3z 7 0 và ba

điểm A 2; 1; 0 ,B 0; 1; 2 ,C 2; 3; 1  Biết điểm M x y z 0; ; 0 0 thuộc mặt phẳng  P

sao cho MA23MB2 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó tổng T x03y0 2z0bằng baonhiêu?

Lời giải Chọn D.

Câu 12 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :x5y 3z 4 0 và ba

điểm A1; 1; 5  ,B0; 1; 2,C2; 3; 1  Biết điểm M thuộc mặt phẳng   sao cho biểuthức P MA 22MB2 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là Pmin Khi đó, Pmin gần giá trị nào nhất

trong các giá trị sau?

Lời giải Chọn D.

Câu 13 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y  3z 1 0 và ba

điểm A1; 1; 1 ,B  3; 1; 0 ,C  2; 1; 1  Biết điểm M  sao cho biểu thức

Câu 14 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:   1 0 và hai

điểm A  5; 1; 2,B1; 2; 2  Trong tất cả những điểm M thuộc mặt phẳng   , điểm2

2

1

1 22

1 222

Câu 15 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y  3z 6 0 và hai

điểm A0; 1; 1 ,B1; 2; 0  Biết điểm M thuộc mặt phẳng   sao cho P2MA MB 

đạtgiá trị nhỏ nhất là Pmin Khi đó, Pmincó giá trị bằng bao nhiêu?

A P min 2 3 B P min 3. C P min 14 D P min 21

Lời giải Chọn C.

CHÚ Ý: Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm giá trị nhỏ nhất của Pk MA i i

 với M là một điểm thuộcmặt phẳng cho trước” Thì ta luôn kết quả Pmin  k MI i với k IA  i i 0

Do đó ở bài toántrên ta có thể suy ra Pmin MI do  k    i 2  1 1

Câu 16 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :x 2y z  3 0 và hai

điểm A1; 1; 0 ,B2; 1; 3  Đường thẳng  đi qua điểm A, nằm trong mặt phẳng   saocho khoảng cách từ điểm Btới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của Btrên , khi đó:

d B  BH BA

Suy ra d B  , max  14 khi H A hay AB  

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  nằm trong   , cắt

Và vuông góc với AB tại A”

Ta có    

1; 2; 1

, 4; 4; 4 4 1; 1; 11; 2; 3

Câu 17 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :x y  2z 5 0 và hai

điểm M2; 1; 0 ,N3; 4; 5  Đường thẳng  đi qua điểm M , nằm trong mặt phẳng  sao cho khoảng cách từ điểm Ntới  là nhỏ nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên  và  

Khi đó: d N ,   NH NK const

Suy ra d N , max NK khi H Khay MK

31; 1; 2 : 4

Câu 18 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1

 và haiđiểm A1; 2; 0 ,B2; 3; 1  Đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với d sao chokhoảng cách từ điểm Btới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H là hình chiếu của B trên , khi đó:

d B  BH BA

Suy ra d B  , max 3 3 khi H A hay AB  

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc

Câu 19 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z   1 0 và hai

điểm M1; 2; 1 ,N3; 1; 0  Đường thẳng  đi qua điểm M , song song với  P sao cho

khoảng cách từ điểm Ntới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên ,khi đó:

d N  NH NM 

Suy ra d N  , max  6 khi H A hay MN  

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với MN và song song với  P ”.

Ta có    

2; 1; 1

, 0; 4; 4 4 0; 1; 12; 1; 1 d

Lời giải Chọn D.

Ta có MA MB MA MB A B  '  ' 2 21 MA MB min 2 21.

Dấu “” xảy ra khi A B'     M

3 4' : 1 3 4 ;1 ; 4 2

Câu 23 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 1; 0,B3; 1; 4  và mặt phẳng

  :x y z   1 0 Tìm tọa độ điểm M  sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 24 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 1; 2 ,B0; 1; 6 và đường thẳng

d      Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt

ba đường thẳng d1,d2,d3 lần lượt các điểm A,B,C sao cho AB BC

Xét ba điểm A,B,Clần lượt nằm trên ba đường thẳng d1,d2,d3, khi đó:

Gọi  cắt d1 và d2 lần lượt tại điểm A,B.

a

b kb

Với A1; 1; 2 , O0; 0; 0, suy ra phương trình :

 2

1

30 108 78 0 13

loai5

Chú ý: Các bạn xem thêm các dạng toán cực trị về đường thẳng ở bài giảng cuối cùng

Câu 30 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2; 3 Biết mặt phẳng   đi

qua M và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,Csao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ

nhất (với O là gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng   là

A   :x y z   6 0 B   : 6x3y2z18 0

C   :x2y3z 14 0 D   : 3x2y z  10 0

Lời giải Chọn B.

9

a b

Câu 31 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 0; 0, M  8; 1; 2 Mặt

phẳng   đi qua AM cắt các tia Oy,Oz tại B,Cphân biệt sao cho OB2OC có phươngtrình là

A   :x4y3z 2 0 B   :x 2y6z 2 0

C   :x 4y7z 2 0 D   :x2y4z 2 0

Lời giải Chọn D.

Câu 32 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0; 2; 0 ,B0; 0; 1  và C Ox

Biết khoảng cách từ C tới mặt phẳng  P : 2x2y z 0 bằng khoảng cách từ C tới đườngthẳng : 1 2

Câu 33 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B0; 3; 0,M4; 0; 3  Viết

phương trình mặt phẳng  P chứa B,M và cắt các tia Ox,Oz lần lượt tại A,C sao cho thể

tích khối tứ diện OABC bằng 3 (với O là gốc tọa độ)

Gọi A a ; 0; 0Ox,C0; 0; cOz Do OABC là tứ diện và  P cắt tia Ox,Oz

Câu 34 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2; 1 ,N  1; 0; 1  Viết

phương trình mặt phẳng  P đi qua M ,N và cắt trục Ox,Oy theo thứ tự tại A và B(khác

Giả sử  P cắt Ox,Oy, Oz lần lượt tại A a ; 0; 0,B0; b; 0,C0; 0; c có dạng

Câu 35 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M  2; 1; 3,N  1; 0; 1  Viết

phương trình mặt phẳng  P đi qua M và cắt ba trục tọa độ tại A,B,C khác gốc tọa độ O

sao cho tam giác ABC có trực tâm M

A  P :x y z   4 0 B  P : 2x y  3z12 0

C  P : 2x y  3z14 0 D  P :x y z  0

Lời giải Chọn C.

Cách 1:

Giả sử  P cắt Ox,Oy, Oz lần lượt tại A a ; 0; 0,B0; b; 0 ,C0; 0; c với abc 0

Câu 36 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x2y2z2 2mx 2m 1 y m  2 0

là phương trình của mặt cầu S m Biết với mọi số thực m thì S m luôn chứa một đường tròn

Gọi M x y z ; ;  là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:

Câu 37 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng   : x 2y z  1 0 ,

  :x 2y z  8 0,  :x 2y z  4 0 Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng

  ,  ,  lần lượt tại A,B,C Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AB2 144

AC

  là?

Lời giải Chọn A.

Vì ta có   / /  / /  , nên theo định lí Thales trong không gian, ta có:

Câu 38 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x 2y2z 3 0 và mặt

cầu  S :x2y2 z2 10x6y 10z39 0 Từ một điểm M thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với  S tại N Biết MN 4 Tính độ dài đoạn OM.

Lời giải Chọn D.

 S :x2y2z2 8 Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu  S tại hai điểm

A,B phân biệt Tính diện tích lớn nhất Scủa tam giác OAB

A S 2 2 B S 2 7 C S 4 D S  7

Lời giải Chọn D.

Ta có  

2 2

x

x x

Dấu “” xảy ra khi x 1 hay H M Khi đó SOAB f x   7 S

Chú ý : Ở câu hỏi này rất nhiều bạn sẽ chọn đáp án C vì lí luận như sau:

R

  ”

Nhưng do AB luôn đi qua điểm M cố định nên dấu “” ở các đánh giá trên đều không thể xảy

ra Vì vậy với những bài toán có yếu tố cực trị ta luôn dựa vào yếu tố bất biến để tư duy và bàitoán này R 2 2 và OM 1 là hai yếu tố “bất biến” ( không đổi) nên ta sẽ dựa vào nó để tìmgiá trị lớn nhất

Câu 40 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x 2y2z 3 0 và mặt

cầu  S :x2y2 z22x 4y 2z 5 0 Giả sử điểm M P và N S sao cho vectơ

Cách 1: Do MN cùng phương với vectơ u  1; 0; 1 nên :

Gọi H là hình chiếu của Nxuống  P

 Tam giác MNH vuông cân tại H  MN  2NH

Ta có NH N H' ' IN IH '  R d I ,  P    1 2 3

Suy ra MN 3 2 MNmax 3 2