Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi m[r]
Trang 1DẠNG 5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI
Bài 1 Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu hỏi khĩ người ta xây dựng thành hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1
đến Câu 10 Tính xác suất để xây dựng được hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khĩ Khơng gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra
từ ngân hàng 20 câu hỏi.
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra
từ ngân hàng 20 câu hỏi
● Chọn ra 10 câu hỏi cho đề thứ nhất, sau đĩ sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 cĩ C2010.10! cách.
● 10 câu cịn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10
cĩ 10! cách
Suy ra số phân tử của khơng gian mẫu là 10 ( )2 10
20.10!.10! 10! 20
Gọi A là biến cố ''Xây dựng được hai đề thi mỗi đề gồm 2 câu hỏi khĩ''
● Chọn ra 2 câu hỏi khĩ trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất, sau đĩ sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 cĩ
2 8
4 16.10!
C C cách.
● 10 câu cịn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10
cĩ 10! cách
Suy ra số phần tử của biến cố A là 2 8 ( )2 2 8
4 16.10!.10! 10! 4 16
Vậy xác suất cần tính ( ) ( )
( )
4 16
2 10 20
323 10!
P A
C
W
Bài 2 Một bộ đề thi tốn học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15
câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khĩ Một đề thi được gọi là''Tốt'' nếu trong đề thi cĩ
cả ba câu dễ, trung bình và khĩ, đồng thời số câu dễ khơng ít hơn 2 Lấy ngẫu nhiên một
đề thi trong bộ đề trên Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt''
Lời giải
Số phần tử của khơng gian mẫu là W=C305 =142506.
Gọi A là biến cố ''Đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt'' ''
Vì trong một đề thi ''Tốt'' cĩ cả ba câu dễ, trung bình và khĩ, đồng thời số câu dễ khơng ít hơn 2 nên ta cĩ các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A.
● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khĩ: cĩ C C C15 10 53 1 1 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khĩ: cĩ C C C15 10 53 1 1 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khĩ: cĩ C C C15 10 52 1 2 đề.
Suy ra số phần tử của biến cố A là
15 10 5 15 10 5 15 10 5 56875
Vậy xác suất cần tính ( ) 56875 625
142506 1566
A
Bài 3 Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu
nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp phiếu cĩ nội dung khác nhau từng đơi một và trong mỗi một cặp phiếu cĩ nội dung giống nhau Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu
hỏi cĩ nội dung khác nhau
Trang 2Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W =A C503 .
Gọi X là biến cố ''Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau''
Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần chọn được 1
cặp trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C41 481.
Vậy xác suất cần tính ( ) 503 41 148
3 50
1225
P X
C
W- W
Bài 4 Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên
từ ngân hàng đề thi Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi Tính xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc
Lời giải
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng 20 câu hỏi
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C204 =4845.
Gọi A là biến cố ''Thí sinh A rút được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc''
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc
Trường hợp này có C C =102 102 2025 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc
Trường hợp này có C C =103 101 1200 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc.
Trường hợp này có C =104 210 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 2025 1200 210 3435+ + = .
Vậy xác suất cần tính P A( )=WA =34354845=229323
Bài 5 Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí Một trường THPT có 40 học sinh đăng
kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường, tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có
học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 40 học sinh
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C403 .
Gọi A là biến cố ''3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn môn Hóa học'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A
● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 2 học sinh chọn môn Hóa học
Trường hợp này có C C101 202 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Có 2 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học
Trường hợp này có C C102 201 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học, 1 học sinh chọn các môn khác (Sinh học, Lịch sử và Địa lí)
Trường hợp này có C C C101 201 101 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =C C1 2 +C C2 1 +C C C1 1 1 .
Trang 3Vậy xác suất cần tính ( ) 10 20 10 20 10 20 10
3 40
247
P A
C
Bài 6 Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả
lời Tính xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi
Lời giải
Không gian mẫu là số phương án trả lời của bài thi
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=410.
Gọi A là biến cố ''Học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A.
● Học sinh làm được 8 câu hỏi, tức là làm đúng 8 câu và sai 2 câu Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời
Trường hợp này có 8 ( )2
10 3
C khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Học sinh làm được 9 câu hỏi, tức là làm đúng 9 câu và sai 1 câu
Trường hợp này có C109.3 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Học sinh làm được 10 câu hỏi, tức là làm đúng hết 10 (không sai câu nào) Trường hợp này có C1010 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Suy ra số phần tử của biến cố A là 8 ( )2 9 10
10 3 10.3 10 436
Vậy xác suất cần tính ( ) 43610 109
262144 4
A
Bài 7 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm Mỗi môn thi thí sinh
A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm.
Lời giải
Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=410.
Gọi X là biến cố ''Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu nhiên'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X .
● Thí sinh A làm được 5 câu, tức là làm đúng 5 câu và sai 5 câu Mỗi câu đúng
có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời
Trường hợp này có 5 ( )5
10 3
C khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Thí sinh A làm được 6 câu Trường hợp này có 6 ( )4
10 3
C khả năng thuận lợi
● Thí sinh A làm được 7 câu Trường hợp này có 7 ( )3
10 3
C khả năng thuận lợi.
● Thí sinh A làm được 8 câu Trường hợp này có 8 ( )2
10 3
C khả năng thuận lợi
● Thí sinh A làm được 9 câu Trường hợp này có C109.3 khả năng thuận lợi.
● Thí sinh A làm được 10 câu Trường hợp này có C1010 khả năng thuận lợi. Suy ra số phần tử của biến cố X là
( )5 ( )4 ( )3 ( )2
Vậy xác suất cần tính ( ) 8192210 0,078
4
X
Cách 2 Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là 1
4, trả lời sai là
3
4 Ta có các trường hợp:
Trang 4● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là 105
C æ ö æ öççç ÷÷÷ççç ÷÷÷
è ø è ø
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là
6 10
1 . 3 ;
C æ ö æ öççç ÷÷÷ççç ÷÷÷
è ø è ø
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là
7 10
C æ ö æ öççç ÷÷÷ççç ÷÷÷
è ø è ø
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là
8 10
1 . 3 ;
C æ ö æ öççç ÷÷÷ççç ÷÷÷
è ø è ø
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là
9 9 10
;
C æ öç ÷ç ÷çè ø÷
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là
10 10 10
1 4
C æ öç ÷ç ÷çè ø ÷ Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính P » 0,078.
Bài 8 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu
trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm Bạn Hoa vì học
rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên
Lời giải
Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 x- là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x- 0,1 50( - x)= Û4 x=30.
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=450.
Gọi X là biến cố ''Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu'' Vì mỗi câu đúng có
1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời Vì vậy có 30( )20
50 3
thuận lợi cho biến cố X .
Suy ra số phần tử của biến cố X là 30( )20
50 3
X C
Vậy xác suất cần tính ( ) ( )
20 30
50
5
1,3
3
10 4
X