Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư.. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà khô[r]
Trang 1DẠNG 7 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẶP ĐÔI
Bài 1 Trong một buổi liên hoan cĩ 10 cặp nam nữ, trong đĩ cĩ 4 cặp vợ chồng Chọn
ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ Tính xác suất để 3 người được chọn khơng cĩ cặp vợ chồng nào
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người.
Suy ra số phần tử khơng gian mẫu là W=C203 =1140.
Gọi A là biến cố '' 3 người được chọn khơng cĩ cặp vợ chồng nào'' Để tìm số phần
tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A, với biến cố A là 3 người được chọn luơn
cĩ 1 cặp vợ chồng
● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, cĩ C14 cách.
● Chọn thêm 1 người trong 18 người, cĩ 1
18
C cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C14 181 =72.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 1140 72 1068- = .
Vậy xác suất cần tính ( ) 1068 89
1140 95
A
Bài 2 Một lớp học cĩ 40 học sinh trong đĩ cĩ 4 cặp anh em sinh đơi Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phĩ và bí thư Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà khơng
cĩ cặp anh em sinh đơi nào
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh
Suy ra số phần tử khơng gian mẫu là W=C403 =9880.
Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn khơng cĩ cặp anh em sinh đơi nào'' Để tìm
số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A, với biến cố A là 3 học sinh được chọn luơn cĩ 1 cặp anh em sinh đơi
● Chọn 1 cặp em sinh đơi trong 4 cặp em sinh đơi, cĩ C14 cách.
● Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh, cĩ C381 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C14 138=152.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 9880 152 9728- = .
Vậy xác suất cần tính P A( )=WA =97289880=6465
Bài 3 Một người cĩ 10 đơi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên
4 chiếc Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra cĩ ít nhất một đơi
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C204 =4845.
Gọi A là biến cố '' 4 chiếc giày lấy ra cĩ ít nhất một đơi'' Để tìm số phần tử của biến
cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A, với biến cố A là 4 chiếc giày được chọn khơng
cĩ đơi nào
● Số cách chọn 4 đơi giày từ 10 đơi giày là 4
10
C .
● Mỗi đơi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc cĩ 1
2
C cách chọn Suy ra 4 chiếc cĩ
( )1 4
2
C cách chọn
Trang 2Suy ra số phần tử của biến cố A là 4 ( )1 4
10 2 3360
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 4845 3360 1485- = .
Vậy xác suất cần tính ( ) 1485 99
4845 323
A
Bài 4 Một trường THPT cĩ 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp khơng bắt tay với nhau) Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần
Lời giải
Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10lớp cử ra 30 học sinh
Suy ra số lần bắt tay là C302 (bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau).
Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 10.C32.
Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau thỏa mãn yêu cầu là C302 - 10.C32=405.
Bài 5 Cĩ tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi
người khơng bắt tay vợ hoặc chồng của mình) trong một buổi gặp mặt, biết rằng cĩ tất cả
cĩ 40 cái bắt tay
Lời giải
Giả sử cĩ n nỴ ¥( *) cặp vợ chồng, suy ra cĩ tất cả 2n người.
Cứ 2 người trong 2n người bắt tay với nhau thì cĩ C 2n2 cái bắt tay.
Số cái bắt tay giữa các cặp vợ chồng với nhau là nC22.
Suy ra số cái bắt tay lẫn nhau thỏa mãn yêu cầu bài tốn là C22n- nC22.
Theo giả thiết, ta cĩ ( )
2 2
2 2
2 !
2! 2 2 !
n
n
n
( )
2 1 2
n
n
é =
=-ê
thoả mãn loại Vậy cĩ tất cả 5 cặp vợ chồng
Cách 2 Giữa hai cặp vợ chồng bất kỳ cĩ tất cả 4 lần bắt tay (hai người đàn ơng, hai
người đàn bà và 2 lần chéo nhau)
Giả sử số cặp vợ chồng cần tìm là n (n³ 2) Khi đĩ số cách chọn ra 2 cặp từ n cặp
đĩ là C n2.
Do đĩ tổng số cái bắt tay được thực hiện lúc này là
( )
( )
n
n n
é = ê
=-ê
thoả mãn loại Vậy cĩ tất cả 5 cặp vợ chồng